人教版高中数学-对数的概念与运算性质

课题：2.2.1对数与对数运算

一、教学内容解析

本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学1（必修）》中第二章第二节内容，属于单元教学课。之前学生已经学习了指数的相关内容，对于数的研究思路也有了一定的了解，对数是在指数基础上定义的一种新数，所以这节课既是对指数的概念、运算性质、指数函数的深化与理解，又为学习对数函数打下基础。同时也为今后复数的学习提供了研究思路与方法。

对数与对数运算主要内容包括：对数的概念、对数的运算性质、换底公式，如何将三块内容融合到一节课中，意味要抓住这一节的核心知识，舍弃细枝末节，要从整体上去研究这节课。具体体现为借助已有经验，从“研究一个代数对象”的“基本套路”出发，发现和提出对数的研究内容，构建研究路径，得出结论，并用于解决问题。让学生完整经历“现实背景——定义——性质——运算性质”过程，学生在整体框架下自主探究，合作学习。

基于上述分析，将本节课的教学重点确定为：对数的概念、性质与运算性质。

二、教学目标设置

1．经历对数概念的形成过程，掌握对数的概念；

2．从研究一个数的“基本套路”出发，能够将指数中相关的性质和运算性质转化为对数的性质和运算性质；

3．知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；

4．感受转化与化归、数形结合、类比、从特殊到一般的数学思想，提升学生的数学抽象，数学运算素养。

三、学生学情分析

知识结构上学生已经学习了指数与指数幂运算，指数函数，经历过研究一种新数的基本套路，这为学生研究“对数与对数运算”提供了理论基础与探究方向。

能力水平上，学生已经具备一定的抽象概括能力以及类比，转化和分析问题的能力，可是如何使学生将已有的知识成功迁移到新知识的学习上，自主探究获得对数的运算性质，从而提高发现问题，探索问题和解决问题的能力，实现学习方式的

转变，这是本节课需要突破的。

本节课的难点是：对数概念的理解，对数运算性质的探究与证明。

四、教学策略分析

本节课始终从学生最近发展区设置问题，遵循自主探究，合作交流的学习方式，充分发挥学生的主观能动性，在探究活动中培养学生的数学素养。

1．通过创设恰当的问题情境：如何解指数式方程中“已知底和幂求指数”问题。引发认知冲突，让学生明确对数产生的背景，初步感受引入对数的必要性，为抽象出对数的定义提供先行组织者。

2．在整节课中始终抓住对数定义这一条主线。本节课看似知识点零散，对数的概念、性质和运算性质好像是不同的知识人为拼凑在一节课中，但实质上性质和运算性质都可以看作是对数定义的一个深化理解。具体体现在：探究对数的性质和运算性质时实质上是将指数式转化为对数式，探究换底公式时是将对数式转化为指数式，都体现了定义中指对数式可以互化这一核心思想。

3．本节课坚持在整体观的引领下探究问题。首先回忆研究一种新数的基本套路，在方法的指引下学生进行主动探究；其次，探究的理论基础是定义中指对数式相互等价的关系，在这种关系下可以通过类比思想，不断通过学生熟悉的指数相关性质来探究对数相关的性质，自主探究，合作交流。最后，由于本节课内容多，所以要抓大放小，不易过多进行技能训练，但在关键的地方又要舍得花时间让学生思考。

五、教学过程设计

1．提出问题，明确思路

问题1、对于一种新的数，我们一般如何研究它呢？

【设计意图】通过回顾旧知总结出研究一种新数的基本思路，即“现实背景——定义——性质——运算性质”，整体上为对数的学习提供了一条路线图。

2．创设情境，引入新知

引例：解方程：（1）644=x ；（2）931=??? ??x

；（3）52=x . 师生活动：（1）抽象出三个方程的共同结构，形如)10(≠>=a a N a x 且的式子称之为指数式，明确每个字母的名称；

（2这三个方程都是已知什么？求什么？你会解吗？

【设计意图】通过熟悉的解方程问题切入新课，一方面让学生明确对数产生的背景是解决指数式中“已知底数与幂求指数”的问题，另一方面通过方程（3）的不会解引发认知冲突，从而形成引入对数的必要性。

3．引导探索，形成概念

问题2:对于方程52=x ，这里的x 存在吗？为什么？

师生活动：（1）通过画图发现这里的x 存在且唯一；

（2）既然x 存在且唯一，如何表示这个数呢？

（3）引入对数符号：5log 522=?=x x 。

【设计意图】通过数形结合得出方程的解存在且唯一，让学生感受到对数定义的合理性，并初步了解对数源出于指数，为抽象出对数定义打下认知基础。

问题3:对于等式)10(≠>=a a N a x 且，如何表示这里的x ？

师生活动：得出对数的定义，书写格式，读法，字母名称的变化等，明确指数式与对数式的等价关系。

【设计意图】由特殊到一般，培养学生的抽象与概括能力，定义是这节课的核心概念，让学生经历定义的形成过程，为对数的性质与运算性质的探究提供理论支持。

4．探究性质，理解概念

问题4：如何研究对数的性质与运算性质呢？

师生活动：通过指数式与对数式的等价关系，可以将指数中的相关性质与运算性质转化为对数的性质与运算性质。

【设计意图】明确方法，为对数的性质与运算性质的探究提供思路，提高探究效率。 活动一、对数性质的探究

师生活动：教师提供指数中的性质10=a ，a a =1，幂为正，指数可取一切实数,希望学生得出对数中对应的性质：1log =a a ，01log =a ,真数为正，对数可取一切实数。

【设计意图】熟悉对数定义中将指数式化为对数式的转化思路，深化对数的概念理解，同时为对数运算性质的探究作铺垫。

活动二、对数运算性质的探究

师生活动：通过自主探究，使学生得出对数对应的三条运算性质。

有三种预设：

（1）通过取一些特殊的对数，从特殊到一般，最后归纳猜想得出对数的运算性质；

（2）通过与指数结构的类比发现性质，抓住指数式中的指数就是对数式中的对数，指数式中的幂就是对数式中的真数这一联系猜想结论；

（3）通过严格的证明并总结出转化的三个步骤：

首先将指数转化为指数式：MN a N a M a n m n m ===+则令,,；

其次将指数式转化为对数式：)(log ,log ,log MN n m N n M m a a a =+==；

最后由指数的性质转化为对数的性质:N M MN a a a log log )(log +=.

思考：对数是苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的运算而发明了的。同学们从这三条运算性质有没有体会到“对数”对于简化运算的作用？

【设计意图】通过探究对数运算性质让学生不断的回归定义思考问题，这里放足够多的时间给学生，让学生亲历探究过程，通过交流，展示不同学生的想法，充分体现教师是主导，学生是主体的新课程理念，最后通过思考让学生感受对数的发展史，进一步加深对数三条运算性质的记忆与理解。

5．引例再探，解决问题

活动三、如何利用常用对数表或自然对数表计算：5log 2？（参考数据：69897.05lg =，30103.02lg =，60944.15ln =，693147.02ln =）

师生活动：（1）介绍两个特殊的对数：常用对数与自然对数，通常将以10为底的对数叫做常用对数，简记为N N lg log 10=，以后在物理、化学，建筑学等自然学科中还经常用到以（e=2.71828…）为底的对数，叫做自然对数，简记为N N e ln log =。

（2）数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数。现在还可以用计算器或计算机计算这两个对数值，用给定的数据如何计算对数值呢？

（3）学生合作交流得出解法：令525log 2=?=x x ，两边取常用对数可得：5lg 2lg =x 即：5lg 2lg =x ，所以2

lg 5lg =x ，通过查常用对数表可得69897.05lg =，30103.02lg =解得x ≈2.32193，或通过自然对数表可得60944.15ln =，693147.02ln =解得x ≈2.32193。

思考：?log =b a 能否转化为以c （10≠>c c 且）为底的对数？

【设计意图】呼应引例教学，解决学生心中疑惑，同时体现转化与化归思想，体会所学知识的应用价值。

6．回顾反思，布置作业

问题5：请从知识、思想方法等方面谈一下你的收获和体会。

师生活动：（1）知识上：对数的概念，性质，运算性质；

（2）思想方法上：转化与化归、数形结合、类比、特殊到一般等；

（3）研究一个“代数对象”的基本套路：实际背景——定义——性质——运算性质。

【设计意图】学生小结，不仅是单纯的知识罗列，而且是提炼出在知识形成过程中所体现的数学思想方法以及研究数学问题的一般方法，培养学生反思的习惯。 历史上许多科学家对纳皮尔的对数给予了高度评价：

拉普拉斯说：对数用缩短计算时间延长了天文学家的寿命；

伽利略说：给我空间、时间、及对数，我就可以创造一个宇宙；

恩格斯把对数的发明、解析几何的创始、微积分的建立并称为17世纪数学三大成就；

ln为世界上“十个重要的数学公1971年，尼加拉瓜发行了一套邮票，还尊崇N

e N

式”之一。

【设计意图】感受对数的数学文化和应用价值。

作业：

1、习题2.2 A组1、

2、

3、4；

2、阅读课本68-69页，了解对数的发展史；

3、阅读课本，进一步完善对数与对数运算中“基本套路”的每一个步骤。

六、课堂教学目标检测

在本节课的教学中，为了达成教学目标，我注意了教学环节的设计与教学目标的达成相呼应，做到目标确定环节，在环节中实现目标，具体如下：本课的教学目标达成情况如下：