苏教版高中数学必修一课后巩固·提能：2.1.1.1函数的概念(必修1)
苏教版高中数学必修一知识讲解_《函数》全章复习与巩固_基础
《函数》全章复习与巩固： ：【学习目标】1. 体会函数式描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念.2. 了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域；掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解分段函数，并能简单地应用.3. 理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，能判断或证明一些简单函数的单调性；了解奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性，能证明一些简单函数的奇偶性；学会运用函数的图象理解和研究函数的性质。
4. 了解映射的概念，进一步了解函数是非空集合到非空集合的映射。
【知识网络】【要点梳理】要点一、映射与函数 1.映射设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A 、B 及集合A 到集合B 的对应法则f)叫做集合A 到集合B 的映射,记作 f ：A →B 。
理解：（1）映射是从集合A 到集合B 的“一对一”或“多对一”两种特殊的对应.函数的性质 函数函数的表示函数的概念奇 偶 性单 调 性周 期 性函数三要素映射（2）映射中的两个集合可以是数集，点集或其它集合.（3）集合A到集合B的映射 f：A→B是一个整体,具有方向性； f：A→B 与 f：B→A 一般情况下是不同的映射.（4）给定一个集合A到集合B的映射 f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有 f：a→b,则b叫做a的象,a 叫做b的原象.（5）映射允许集合B中的元素在集合A中没有原象.2.函数的定义（1）传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).（2）现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合C=｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域.理解：①集合A、B是两个非空数集；②f表示对应法则；③f：A→B为从集合A到集合B的一个映射；④值域C B。
高中数学 第二章 函数 2.1 函数的概念及性质素材 苏教版必修1(2021年最新整理)
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2。
1 函数的概念及性质【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=(其中12)x x <122b x x a ==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a ≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1。
2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f 对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么:f A B →叫做集合A 到B 的一个函数，记作．A x x f y ∈=),(②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小(大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法:④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1。
苏教版高中数学必修一2.1.1《函数的概念、定义域、值域和图象》课件
变式 训练
1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．
1，x≥0， |x| (1)f(x)＝ x ，g(x)＝ －1，x<0；
(2)f(x)＝ x ，g(x)＝( x) ； (3)f(x)＝ x· x＋1，g(x)＝ x2＋x； (4)f(x)＝ x＋22，g(x)＝|x＋2|.
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2
1＋ 3 y (4)原函数可化为 x＝ ， 2－ y 由于 x<0，且 x≠－3 可得不等式组：
1＋3y － ≠－3， y－ 2
1＋3y － <0， y－ 2 1 所以 y<－ 或 y>2. 3
1 故函数值域为－∞，－3∪(2，＋∞)．
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(1)定义域不同，两个函数也就不同； (2)对应法则不同，两个函数也是不同的； (3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是 同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法 则．
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例如：函数 y＝2x＋1 与 y＝x－1，其定义域都是 R，值域都为 R.也就是说，这两个函数的定义域和值域相同，但它们的对应法则 是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数． 定义域 A、值域 C 以及从 A 到 C 的对应法则 f，称为函数的三 栏 要素．由于值域可用定义域和对应法则唯一确定．所以两个函数当 且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数．
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变式 训练
1 2． 函数 y＝ 2的定义域是______________． 6－x－x
解析：由 6－x－x >0 得 x ＋x－6<0， 即(x＋3)(x－2)<0⇒－3<x<2. 答案：{x|－3<x<2, x R}
苏教版高中数学必修1课件 2.1.1函数的概念和图象(1)课件3
呈重点、现规律
1．函数是一种特殊的对应 f：A→B，其中集合 A，B 必须是非空的数集；y＝f(x)表 示 y 是 x 的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则 一经 确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一 样，或定义域和对应法则一样才是同一函数．
探要点、究所然
探究点一 ：函数的概念
思考 2 阅读教材 P23 中的三个实例，并指出三个实例变量之间的对应法则是采用 什么形式表达的？三个实例中的变量之间的关系如何用一种形式表达？
答 每个实例中都存在着两个变量；实例 1 中的两变量关系是通过列表的形式表 达的，实例 2 中的变量间的关系是通过关系式表达的，实例 3 中的变量间的关系 是通过图象表达的；三个实例变量之间的关系都可以描述为：当一个变量取一确 定的值时，另一变量有唯一确定的值与之对应．
探要点、究所然
探究点一 ：函数的概念
思考 3 如何用集合的语言来阐述这三个实例中的共同特点？ 答 存在某种对应法则，对于集合 A 中任意元素 x，集合 B 中总有一个元素 y 与之对应．
思考 4 函数的概念如何从集合及对应的角度定义？函数的定义域是怎么定义的？ 答 一般地，设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应，那么这样的对应 叫做从 A 到 B 的一个函数，通常记为 y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值 x 组成 的集合 A 叫做函数 y＝f(x)的定义域．
探要点、究所然
探究点一 ：函数的概念
思考 5 理解函数的定义，我们应该注意什么？ 答 ①函数是非空数集到非空数集上的一种对应． ②符号“f：A→B”表示 A 到 B 的一个函数，它有三个要素：定义域、值域、对应 法则，三者缺一不可． ③集合 A 中数的任意性，集合 B 中数的唯一性． ④f 表示对应法则，在不同的函数中，f 的具体含义不一样． ⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为 f 与 x 的乘积． ⑥在研究函数时，除用符号 f(x)表示函数外，还常用 g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示．
苏教版数学必修1讲义：第2章 2.1.1 第1课时 函数的概念
2．1函数的概念2．1.1函数的概念和图象第1课时函数的概念1．在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．(重点、难点)2．会求几种简单函数的定义域、值域．(重点)[基础·初探]教材整理1函数的定义阅读教材P23至P25“例1”，完成下列问题．1．函数的定义一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为：y＝f (x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f (x)的定义域．2．函数的三要素指函数的定义域、对应关系和值域．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．()(2)已知定义域和对应法则就可以确定一个函数．()(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x 可以对应着不同的y .( )【答案】 (1)× (2)√ (3)×教材整理2 函数的定义域阅读教材P 25“例2”，完成下列问题．1．定义域的意义 定义域实质上是使函数表达式有意义的自变量的取值范围．2．求定义域的常用方法已知函数y ＝f (x )，(1)若f (x )为整式，则定义域为R ；(2)若f (x )为分式，则定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)若f (x )是偶次根式，那么函数的定义域是被开方数不小于零的实数的集合；(4)若f (x )是x 0的形式，则f (x )的定义域为{x |x ≠0}；(5)若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各式子均有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；(6)若f (x )是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．(1)函数f (x )＝x －10的定义域为________．(2)函数f (x )＝1x －2的定义域为________． (3)函数f (x )＝49－x (x ∈N )的定义域为________．【解析】 (1)x －10≥0，∴x ≥10，即{x |x ≥10}．(2)x －2>0，∴x >2，即{x |x ＞2}．(3)⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x ∈N ⇒⎩⎨⎧x ≤9，x ∈N ，∴x 的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9， 即{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．【答案】 (1){x |x ≥10} (2){x |x >2} (3){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}教材整理3 函数的值域。
苏教版高一数学必修1课后导练：2.1.1函数的概念 Word版含解析
课后导练基础达标1.函数符号y=f(x)表示（ ）A.y 等于f 与x 的乘积B.f(x)一定是一个式子C.y 是x 的函数D.对于不同的x,y 也不同解析：由函数定义知y=f(x)表示y 是x 的函数，故选C.答案：C2.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是（ ）A.f ：x →y=21x B.f ：x →y=31x C.f ：x →y=32x D.f ：x →y=x 解析：解本题的关键是抓住函数的定义，看是否满足对于集足A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应.C 答案中我们以x=4为例，当x=4时，y=38而38不是集合B 中的元素，所以选C.答案：C3.若已知f(x)=x 2+1则f(3x+2)为( )A.9x 2+12x+5B.9x 2+6x+5C.x 2+3x+2D.9x 2+6x+1解析：f(3x+2)=(3x+2)2+1=9x 2+12x+5.故答案选A.答案：A4.由下列各式表示的x 与y 的对应中，y 不是x 的函数的是( )A.3x+2y=1B.xy=1C.x 2+y 2=1(-1≤x ≤1)D.x 3+y 3=1解析：此类题主要考虑对于x 的任意一个值，在B 中是否有唯一值与它对应.C 答案中对于x 的每一个值，y 都有两个值和它对应，故选C.答案：C5.设M={x|-2≤x ≤2},N={y|0≤y ≤2),给出下列4个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系是( )解析：据函数概念判断.A 答案中定义域为{x|-2≤x ≤0}与M 不同；C 答案表明对于x 的每一个值，y 除x=2点之外，都有两个值与x 对应；答案D 的值域与N 不一致，故选B.答案：B 6.f(x)=1|2|+-x x ,f(-2)=____________,f(0)=_____________,f(a)=_____________,f(-x)=_________,f(t-1)=____________.解析：把x=-2,0,a,-x,t-1分别代入函数的解析式并化简得最简结果.答案：-4 2 1|2|+-a a x x -+1|2| tt |3|- 7.函数y=f(x)定义在区间［-1，1］上，则函数y=f(x)的图象与直线x=21的交点个数是_____. 解析：由函数定义知，在y=f(x)中，x=21时，有唯一的y 值和它对应，故交点个数是1. 答案：18.已知f(x)=x 2-mx+n ，且f(1)=-1,f(0)=2，求f(-5)的值.解析：由f(1)=-1,f(0)=2得⎩⎨⎧=-=-,2,2n m n ∴⎩⎨⎧==.2,4n m ∴f(x)=x 2-4x+2.∴f(-5)=52+4×5+2=47,9.已知f(x)=x 2+1,求f(x-1)=5的解.解析：∵f(x)=x 2+1，∴f(x-1)=(x-1)2+1，当f(x-1)=5时，（x-1)2+1=5，∴(x-1)2=4，∴x-1=±2，∴x=3或x=-1.10.已知f(3x+1)=4x+3，求f(2)的值.解析：先求f(x)的解析式，f(3x+1)=4x+3=34(3x+1)+35， ∴f(x)=34x+35, ∴f(2)=34×2+35=313. 综合训练11.长方形的周长为4，一边长为x ，面积为y ，则（ ）A.y=4x-x 2(0<x<2)B.y=2x-x 2(0<x<2)C.y=4x-x 2(0<x<4)D.y=2x-x 2(0<x<4)解析：周长为4，一边长为x ，则另一边长为（2-x)，∴y=x(2-x)=2x-x 2，由题意可知0<x<2，故选B .答案：B12.拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f(m)=1.06×(0.5［m ］+1）(元)决定,其中m>0，［m ］是大于或等于m 的最小整数，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（ ）A.3.71元B.3.97元C.4.24元D.4.77元 解析：由题意知［5.5］=6，∴f(5.5)=1.06×(0.5×6+1)=1.06×4=4.24，故选C.答案：C13.已知f(x)=x 2+x+1，则f(2)=____________，f ［f(2)］=___________.若f(2x+1)=x 2，则f(x)=_____________.解析：f(2)=(2)2+2+1=3+2，f ［f(2)］=f(3+2)=(3+2)2+3+2+1=15+72,∵f(2x+1)=x 2，令2x+1=t 则有x=21-t ，∴f(t)=(21-t )2,即f(x)=(21-x )2. 答案：3+2 15+72 (21-x )2 14.已知四组函数：（1）f(x)=x,g(x)=(n x 2)2n (n ∈N *)；（2）f(x)=x,g(x),=1212++n n x (n ∈N)；（3）f(n)=2n-1,g(n)=2n+1(n ∈N)；(4)f(x)=x 2-2x-1,g(t)=t 2-2t-1.其中表示同一函数的是_____________.解析：在（1）中f(x)的定义域为R ，g(x)的定义域为{x|x ≥0};在（3）中两函数的对应关系不同，故（1）（3）中的两个函数不是相同的函数.在（2）中1212++n n x =x ，且两函数定义域均为R ，故（2）中两函数表示同一函数. 在（4）中虽然自变量用不同的字母表示，但两函数的定义域和对应关系都相同，所以表示同一函数.∴(2)（4）表示同一函数.答案：（2）（4）15.设f(x)满足3f(x)+2f(x1)=4x,求f(x). 解析：∵3f(x)+2f(1x)=4x, ①∴3f(x 1)+2f(x)=x4, ② 联立，用①×3-②×2,5f(x)=12x-x8， ∴f(x)=512-x 58. 拓展提升16.从甲地到乙地的火车票价为80元，儿童乘火车时，按照身高选择免票、半票或全票，选购票种的规则如下表.（1）若儿童身高h为输入值，相应的购票款为输出值，则1.0→____________；1.3→____________；1.5→____________.(2)若购票款为输入值，儿童身高h为输出值，则0→____________；40→____________. 解：（1）0 40 80(2)h≤1.1 1.1<h≤1.4。
高中数学苏教版必修一《2.1.1函数的概念和图象》课件PPT
函数的概念和
图象（2）
苏教版 高中数学
函数的概念以及记法：
一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f， 对于集合 A中的每个元素x，在集合B中都有惟一的元素和它对应，那么这 样的对应 叫从A到B的一个函数．通常记为：y＝f(x)，xA， x的值构成的 集合A叫 函数y＝f(x)的定义域．
已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－3x＋2，试分别求出g(f(x) 和f(g(x)的值域，比较一下，看有什么发现．
定义域 函数的 对应法则 通常称之函数的三要素．
值域
f(g(x)型的函数通常被称之为复合函数．
作业： P31第5，8，9．
2.1.1
谢谢大家
苏教版 高中数学
例2 已知f (x)＝(x－1)2＋1，根据下列条件，分别 求函数f (x)的值域． (1)x{－1，0，1，2，3}． (2)xR． (3)x[－1，3]． (4)x(－1，2]． (5)x(－1，1)．
数学应用：
例3 求下列函数的值域.
(1) y x2 4
(2) y 4 x2
思考： 求函数f(x)＝ x －2 的值域.
求函数值域的常用方法： (1) 视察法——依托图象． (2) 代入法——一般适用于定义域为孤立 数集． (3) 依托已知函数的值域． (4) 其他方法．
例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出， x123 4 x 1 234 f(x) 2 3 4 1 g(x) 2 1 4 3
试分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．
f(g(x))与g(f(x))的涵义以及不同之处. x f f(x) g
g(f(x))
苏教版高中数学必修一同步课堂精练-2.1.1函数的概念和图象.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．给出下列四种说法：①函数就是从定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素；③因为f (x )＝5这个数值不随x 的变化而变化，所以f (0)＝5也成立；(4)f (x )表示的意义是与自变量x 对应的函数值，而不是f 与x 的乘积，其中正确的个数是________．2．给出下列对应：①A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →|x |；②A ＝B ＝N ，f ：x →|x －3|；③A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →x 的平方根；④A ＝B ＝Z ，f ：x →x 2；⑤A ＝{三角形}，B ＝{x |x ＞0}，f ：“对A 中的三角形求面积与B 中元素对应”，其中能够表示从A 到B 的函数的序号是__________．3．已知函数f (x )的定义域A ＝{x |0≤x ≤2}，值域B ＝{y |1≤y ≤2}，在下面的图形中，能表示f (x )的图象的只可能是________(填序号)．4．下列各组函数中，表示同一函数的是________．①f (x )＝x ，2()()g x x =；②f (x )＝x ，2()()g x x =；③f (x )＝3x ＋1，g (t )＝3t ＋1；④f (x )＝|x |，2()()g x x =；⑤f (x )＝x ＋3，29()3x g x x -=-. 5．根据函数f (x )＝x 2的图象可知，当f (m )＞f (2)时，实数m 的取值范围为________．6．已知函数()11f x x x =++-，则f (x )的定义域为________，f (x )的值域为____________．7．画出下列函数的图象：(1)y ＝x 2－2，x ∈Z ，且|x |≤2；(2)y ＝x －1，x ∈[－1,4]；(3)y ＝－2x 2＋3x ，x ∈(0,2]．8．(1)求函数311y x=--的定义域； (2)已知函数(1)f x +的定义域为[0,3]，求f (x ＋2)的定义域．9.已知函数()x f x ax b=+ (a ，b 为常数，且a ≠0)，满足f (2)＝1，方程f (x )＝x 有惟一解． 求(1)a ，b 的值；(2)f (f (－3))的值；(3)f (x )的定义域和值域．参考答案1．4 解析：∵函数是从定义域到值域的对应，∴当定义域中只有一个元素时，值域也只能有一个元素，所以①②正确．∵f (x )＝5是常数函数，解析式与x 无关，∴对任意x ∈R ，都有f (x )＝5，∴③正确；由f (x )的符号意义知，④正确．2．②④ 解析：①0∈A ，|0|＝B ，∴f ：x →|x |不表示从A 到B 的函数；③当输入值为4∈A ，则有两个值±2输出(对应)，∴f ：x →x 的平方根不是从A 到B 的函数；⑤A 中的元素不是数集，所以该对应不是从A 到B 的函数．3．④ 解析：图①中，当1[0,)2x ∈时，y ∈[0,1)，B 中无元素相对应，同理②图中，当x ∈(1.5,2]时，y ∈[0,1)B 也无对应元素，故不是f (x )的图象．图③中对一个x 值如x ＝1，y 有两个值与之对应，所以不是f (x )的图象．只有图④符合．4．③④ 解析：①中，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为[0，＋∞)，定义域不同不是同一函数；②中，2()g x x =＝|x |与f (x )的对应法则不同，不是同一函数．⑤中，f (x )的定义域为R ，29()33x g x x x -==+-.定义域为{x |x ≠3}．所以不是同一函数． 5．m ＜－2或m ＞2 解析：由函数f (x )＝x 2的图象知，当m ＞0时，由f (m )＞f (2)得m ＞2；当m ＜0时，由f (m )＞f (－2)，∴m ＜－2.6．[－1,1] [2,2] 解析：要使函数f (x )有意义，只需10,10.x x +≥⎧⎨-≥⎩∴－1≤x ≤1.即f (x )的定义域为[－1,1]．∵f (x )≥0，∴222[()](11)221f x x x x =++-=+-.∵－1≤x ≤1，∴x 2∈[0,1]，1－x 2∈[0,1]，∴2≤[f (x )]2≤4，∵f (x )≥0.∴2()2f x ≤≤，即f (x )的值域为[2,2]．7．解：(1)∵x ∈Z ，且|x |≤2，∴函数图象为5个孤立的点分布在抛物线y ＝x 2－2上．如图(1)．(2)图象为直线y ＝x －1在[－1,4]上的一段，即一条线段，如图(2)．(3)∵x ∈(0,2]，∴函数图象是抛物线y ＝－2x 2＋3x 介于0＜x ≤2之间的一部分．如图(3)．8．解：(1)要使函数有意义，则需110,10,x x ⎧--≠⎪⎨-≥⎪⎩∴0,1.x x ≠⎧⎨≤⎩ ∴x ≤1，且x ≠0.∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)∵()1fx +的定义域为[0,3]，∴0≤x ≤3，则1≤x ＋1≤4. ∴112x ≤+≤，故f (x )的定义域为[1,2]，∴使f (x ＋2)有意义的条件是1≤x ＋2≤2.即－1≤x ≤0，∴f (x ＋2)的定义域为[－1,0]．9.解：(1)由已知条件f (2)＝1，得212a b =+，∴2a ＋b ＝2①.又方程f (x )＝x ，即x x ax b=+有惟一解．∴x (ax ＋b －1)＝0有惟一解．∵ax 2＋(b －1)x ＝0 (a ≠0)的判别式Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0，∴解得b ＝1，将b ＝1代入①式，得12a =.∴a 、b 的值分别为12，1. (2)由(1)知，2()1212x x f x x x ==++. ∴()23(3)632f ⨯--==-+. ∴263((3))(6)622f f f ⨯-===+. (3)∵()22x f x x =+，∴f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． ∵()()2242422222x x f x x x x +-===-≠+++，∴f (x )的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．。
苏教版高中数学必修一第2章-函数2.1.1第1课时+54张
，
组成
函数的概念
判断下列对应 f 是否为从集合 A 到集合 B 的函 数． (1)A＝N，B＝R，对于任意的 x∈A，x→± x； (2)A＝R，B＝N*，对于任意的 x∈A，x→|x－2|； (3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4； (4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的 x∈A，x→0.
【提示】 v 是常量，s、t 是变量． 2．三者之间有何关系？ 【提示】 s＝vt，s 随时间 t 而变化． 3．s，t 有何限制？ 【提示】 t≥0，s≥0. 4．t 给定，s 是否确定？ 【提示】 确定并且唯一．
1．函数的定义 一般地，设 A，B 是两个
非空的数集
，如果按某种
对应法则 f，对于集合 A 中的 每一个
元素 x，在集合 B 中都
有唯一 的元素 y 和它对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数，通常记为：
y＝f(x)，x∈A
.其中，所有的输
定义域
入值 x 组成的集合 A 叫做函数 y＝f(x)的
.
2．函数值域 若 A 是函数 y＝f(x)的定义域，则对于 A 中的 都有一个输出值 y 与之对应， 我们将 的集合称为函数的值域.
(3)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即 A 中的每一个元素 在对应法则 f 之下，在 B 中都有唯一元素与之对应，虽然 B 中有很多元素在 A 中无元素与之对应，但依函数的定义，仍 能构成函数． (4)对于集合 A 中任意一个实数 x， 按照对应法则在集合 B 中都有唯一一个确定的数 0 与它对应，故是集合 A 到集合 B 的函数．
∴x＝1， 即函数的定义域为{1}．
(2)要使函数有意义，需满足
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第2章函数§2.1 函数的概念2．1.1 函数的概念和图象(一)一、基础过关1．下列对应：①M＝R，N＝N＋，对应法则f：“对集合M中的元素，取绝对值与N中的元素对应”；②M＝{1，－1,2，－2}，N＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝{三角形}，N＝{x|x>0}，对应法则f：“对M中的三角形求面积与N中元素对应”．是集合M到集合N上的函数的有________个．2．下列各组函数中，表示同一函数的有________个．①y＝x－1和y＝x2－1 x＋1②y＝x0和y＝1③f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2④f(x)＝x2x和g(x)＝xx23．若A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝________. 4．函数y＝1－x＋x的定义域为________．5．函数y＝ln x＋1－x2＋4的定义域为________________________________．6．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝x－2＋2－x是函数；③函数y＝2x (x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝x2x与g(x)＝x是同一个函数．其中正确命题的序号有________．7．判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数．(1)A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |；(2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2；(3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ；(4)A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{0}，f ：x →y ＝0.8．已知函数f (1－x 1＋x)＝x ，求f (2)的值． 二、能力提升9．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有________．(填序号)10．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是________．(填序号)①f (x )＝|x |；②f (x )＝x －|x |；③f (x )＝x ＋1；④f (x )＝－x .11．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________． 12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00至12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？三、探究与拓展13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．答案1．12．13．[1，＋∞)4．{x |0≤x ≤1}5．(－1,2)6．①②7．解 (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故不是集合A 到集合B 的函数．(2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应法则f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．(3)集合A 中的负整数没有平方根，故在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数．(4)对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应法则f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数．8．解 由1－x 1＋x ＝2，解得x ＝－13， 所以f (2)＝－13. 9．②③10．③11．[0，13] 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤2x ≤10≤x ＋23≤1得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤1223≤x ≤13，即x ∈[0，13]． 12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为h m，∴水的面积A＝[22＋2h]h2＝h2＋2h(m2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0，1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}．(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h<1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．。
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课后巩固·提能
一、填空题
1.已知f(2x+1)=x2-2x，则f(3)=_________.
2.(2012·广东高考)函数y=x1
x
+的定义域为________.
3．(2012·徐州高一检测)函数f(x)=x2+x,x∈［-1,3］的值域是________.
4.下列函数(1)y=2x2x1
-+；(2)y=
2
x1
x1
-
+
；(3)y=t-1与函数y=x-1是同一函数
的有_________．
5．已知某对应f：{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))=f(x)，则符合要求的函数个数共有_________个.
6．已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，那么f(2)等于_________．
7.某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，则y=_________,其定义域为_________.
二、解答题
8．(2012·青岛高一检测)下列式子能否确定y 是x 的函数？ (1)x=y ;(2)x 2+y 2=1.
9.(2012·韶关高一检测)已知函数f(x)=1x 3,x 2
++
+ (1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(-3),f(23)的值；
(3)当a>0时，求f(a),f(a-1)的值.
10．已知函数f(x)对任意实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y)成立．
(1)求f(0)与f(1)的值；
(2)若f(2)=a ，f(3)=b(a,b 均为常数)，求f(36)的值．
答案解析
1.【解析】令2x+1=3，得x=1，
所以f(3)=12-2×1=-1.
答案：-1
2.【解析】由x 10x 0+≥⎧⎨≠⎩
，得函数的定义域为{x|x ≥-1,且x ≠0}. 答案：{x|x ≥-1,且x ≠0}
3．【解析】f(x)=x 2+x=211
(x ),24
+-
∵-1≤x ≤3，∴117x ,222
-≤+≤ ∴0≤2149(x ),24+≤∴f(x)∈1,12.4-［］
答案：1
,124
-［］ 4.【解析】(1)y=2x 2x 1x 1-+=-与函数y=x-1对应法则不同，不是同一函数； (2)y=2x 1x 1
-+=x-1(x ≠-1)与函数y=x-1(x ∈R)定义域不同，不是同一函数；(3)y=t-1的定义域、对应法则与函数y=x-1都相同，是同一函数．
答案：(3)
5．【解析】(1)当f(x)=k(k=1,2,3)时满足，这样的函数有3个；
(2)当f(x)=x 时满足，这样的函数有1个；
(3)f(1)=1，f(2)=f(3)=2；f(1)=1，f(2)=f(3)=3，有2个，同样，f(2)=2和f(3)=3，也各有2个．
故满足题设要求的共有10个函数．
如图
答案： 10
【误区警示】本题易对f(f(x))=f(x)理解错误，解决本题的关键是合理分类，并将函数对应关系逐一列出即可找到正确答案.
6．【解析】由题意可知，-32-8a-2b-8=10，
所以8a+2b=-50，故f(2)=32+8a+2b-8
=32-50-8=-26．
答案：-26
【举一反三】本题条件不变，求“a,b 的关系式”.
【解析】由题意可知，-32-8a-2b-8=10，
所以8a+2b=-50，故4a+b=-25．
答案：4a+b=-25
7.【解析】解析式为y=2.5x,定义域是{x|x ∈N +}.
答案：2.5x {x|x ∈N +}
8．【解析】(1)能.由x=y ,可得y=x 2(x ≥0)，
可见，y 是x 的函数.
(2)不能.由x 2+y 2=1,得y=21x ,±-
给一个x 的值，可能有两个y 值与它对应，所以，由x 2+y 2=1不能确定y 是x 的函数.
9.【解析】(1)由x 30x 20+≥⎧⎨+≠⎩，，
得x ≥-3且x ≠-2. 所以函数的定义域是{x|x ≥-3且x ≠-2}. (2)f(-3)=1331,32
-++=--+ 221113333f ()3.233383823
=++=+=++ (3)a>0,f(a)=1a 3,a 2
++
+因为a-1∈{x|x ≥-3且x ≠-2}. 所以f(a-1)=1a 2.a 1+++ 10．【解题指南】本题关键是利用f(xy)=f(x)+f(y)代入特值求解.
【解析】由已知对任意实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y)．
(1)令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0．令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)，
∴f(1)=0．
(2)令x=y=2，得f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)=2a．
令x=y=3，得f(9)=f(3)+f(3)=2f(3)=2b．
令x=4，y=9,得f(36)=f(4×9)=f(4)+f(9)=2a+2b．
【规律方法】抽象函数求值问题初探
对于与抽象函数有关的求值问题，通常在函数定义域内赋给自变量恰当的值，代入已知关系式中通过化简运算，可求得函数值．。