(完整版)2-10戴维南定理和诺顿定理
(完整版)第二章电路分析方法
第二章电路的分析方法电路分析是指在已知电路构和元件参数的情况下，求出某些支路的电压、电流。
分析和计算电路可以应用欧姆定律和基尔霍夫定律，但往往由于电路复杂，计算手续十分繁琐。
为此，要根据电路的构特点去寻找分析和计算的简便方法。
2．1 支路电流法支路电流法是分析复杂电路的的基本方法。
它以各支路电流为待求的未知量，应用基尔霍夫定律（KCL 和KVL ）和欧姆定律对结点、回路分别列出电流、电压方程，然后解出各支路电流。
下面通过具体实例说明支路电流法的求解规律。
例2-1】试用支路电流法求如图2-1 所示电路中各支路电流。
已知U S1 130V ，U S2 117V ，R1 1 ，R2 0.6 ，R 24 。
【解】该电路有3 条支路（b=3），2个结点（n=2）,3 个回路（L=3 ）。
先假定各支路电流的参考方向和回路的绕行方向如图所示。
因为有3 条支路则有3 个未知电流，需列出3 个独立方程，才能解得3个未知量。
根据KCL 分别对点A、B 列出的方程实际上是相同的，即结点A、B 中只有一个结点电流方程是独立的，因此对具有两个结点的电路，只能列出一个独立的KCL 方程。
再应用KVL 列回路电压方程，每一个方程中至少要包含一条未曾使用过的支路（即没有列过方程的支路）的电流或电压，因此只能列出两个独立的回路电压方程。
根据以上分析，可列出3 个独立方程如下：结点A I1 I2 I 0回路ⅠI1R1 I2R2 U S1 U S2回路ⅡI2 R2 IR U S2I1 10A， I2 5A， I=5A 联立以上3 个方程求解，代入数据解得支路电流通过以上实例可以总出支路电流法的解题步骤是：1．假定各支路电流的参考方向，若有n个点，根据KCL 列出（n－１）个结点电流方程。
２．若有b 条支路，根据KVL 列（b－n＋１）个回路电压方程。
为了计算方便，通常选网孔作为回路。
5 3．解方程组，求出支路电流。
【例 2-2】如图 2-2 所示电路，用支路电流法求各支路电流。
戴维宁定理和诺顿定理
§3.3 戴维宁定理和诺顿定 理
等效电阻Req的求取
③开路电压和短 路电流法
(Req=uoc/isc)
Req
uoc
uoc
Req
uoc
isc
④加接测试电阻法
(输出端不能短接，不能加接 电源，Rf已知， uf可测得)
uf
Req
Rf
uoc
§3.3 戴维宁定理和诺顿 定理
1.2A
b
b
§3.3 戴维宁定理和诺顿 定理
1、戴维宁定理对于只需求解电路中某一条支路的电压
或电流时，是很有效的。
ⓐ N
ⓑ
ⓐ N
ⓑ
ⓐ
Req N
uoc ⓑ
2、电路N必须是线性含源的，负载可以是线性、非线性 的，但负载不能是耦合元件或受控元件。另外，电路 N与负载之间还应具有唯一解。
§3.3 戴维宁定理和诺顿 定理
R2 10i1 R3
4
3
U oc
b
§3.3 戴维宁定理和诺顿定 理
等效电阻Req的求取
①串并联方法
(在N0中求取)
R2
R1
a
I x Rx
b
US
R4
R3
R2
a Req
R4
R1 b
R3
②外施电源法(在N0中求取)
R1
uS
R2
a
R1gu
R3
u
N0
b
ai u
b
R1 R2
a
R1gu i1
R3 i
u
b
3、负载可以是单个电阻元件，也可一个子电路。
4、用戴维南定理求含受控源电路的开路电压uoc和等效 电阻Req时，受控源不能当独立源处理，且必须保留 在电路中（除非求Req时要用到网孔法或节点法）。
戴维南定理与诺顿定理
3Uo 2
a +
U– ob
1
+ – 2V 2
加压求流
2
–+ 66UUo
a
I+ +
U– o
U –
b
a
– 0.53
+ –
– 0.267 V b
U 6U 2I 1 2 I 0 1 2
I 5U 15 U
22
8
Ro
U I
3
0.53
三、诺顿定理
I1 = 10 mA
2.
求 Isc
5
I1
Uoc 20103 I2 35 V
a I1=40 /（5 103）= 8 mA
+
–
40V 20k
I2=0
IC
b
Isc
Isc=I1+IC=1.75I1 =14 mA
Ro
U oc Isc
2.5 k
作业；2-19 ~ 22
N
–Uoc
戴维南等
效电阻
No
Ro
戴维南定理的证明：
设一线性网络与单口网络N相连：
用替代定理将
I
N
+ U –
外 电 路
a +
外电路用电流 源IS = I 代替
N
U –
IS = I
b
据迭加定理把U 看做网络内部电源
和外部电流源共同作用的结果，则：
I
a
N
+U’+
–
No
+U’’
– Is
=
I
戴维宁定理和诺顿定理
+E – 已知：R1=5 、 R2=5
R3=10 、 R4=5 E=12V、RG=10 试用诺顿定理求检流计中
的电流IG。
a
IG G RG
b +–
E
有源二端网络
解: (1) 求短路电流IS
因 a、b两点短接，所以对
a 电源 E 而言，R1 和R3 并联，
I1
R2 和 R4 并联，然后再串联。
I3
I2
I4
IS R =(R1//R3) +( R2//R4 )
= 5. 8
I
+E–
b I E 12 A 2 . 07A R 5.8
I1
R3 R1 R3
I
10 10
5
2
.
07 A
1.
38
A
1 I2 I4 2 I 1 . 035 A
IS = I1 – I2 =1. 38 A– 1.035A=0. 345A
解：
+
应用戴维宁定理
6V-
UOC1=2×2+6=10V 2Ω
A 2A R 5Ω
+ 12V -
6Ω
U OC 2
R 12 R6
10V
解得：R=30Ω
+ 10V-
2Ω
A+ 10V
R02
2.7.2 诺顿定理
任何一个有源二端线性网络都可以用一个电流为
IS的理想电流源和内阻 R0 并联的电源来等效代替。
有源 二端 网络
aI
+
U –
RL
IS
b 等效电源
aI + R0 U RL – b
等效电源的电流 IS 就是有源二端网络的短路电流， 即将 a 、b两端短接后其中的电流。
电路定理(戴维宁和诺顿变换)
注：
1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。 2.
无电压源回路； 替代后电路必须有唯一解 无电流源节点(含广义节点)。 3.替代后其余支路及参数不能改变。
与理想电压源并联的元件的处理：
a a Is b a
RO
与理想电压源并
E
+ -
+
E
-
b
+ E -
联的元件可去掉
b
来列KVL方程。
与理想电流源串联的元件的处理：
三、齐次定理 (homogeneity theorem)
齐次定理：在任何线性电阻、线性受控 源及独立源组成的电路中，当所有的激励 都同时增大或缩小K倍，响应也将同样增大 或缩小K倍。
1.
I1 R1
若 E1 增加 n 倍，各
R2
I2 R2
E1
+
I3
电流也会增加 n 倍。
齐性原理（homogeneity property)
2.
① ②
定理说明
③
④
适用范围：线性电路。 某个独立源单独作用=其它独立电源不作 用(置零)：电压源短路；电流源开路。 代数和：分量的参考方向最后叠加时要考 虑和原量是否一致, 相反时，叠加时相应项 前要带负号。 功率不能叠加。
2 P1 I R1 ( I1 I1 ) R1 I1 R1 I1 R1 2 1 2 2
i 2 (1) 1 A
1 （ 1） u ＋ (1) 2i － － ＋
u 6 2 8V
i（ 1） ＋ 画出分 电路图 10V － 2
＋
i (2)
2
5A ＋ 1 u(2) ＋ (2) 2i － －
电路定理——戴维南,诺顿,等效
电路定理——戴维南,诺顿,等效
1.戴维南定理
戴维南定理是一种简化线性电路分析的方法，它的出发点是利用电压和电流之间的关系，把原来的电路转化为一个等效的电压源和电阻的串联电路，从而简化了电路的分析。
戴维南定理的基本思想是：在一个电路中，任何两个端点之间都可以看成是一个电压源和一个内部电阻的串联，其等效电路的电压源等于这两个端点之间的电压，内部电阻等于这两个端点看到的电阻。
式子表示为：
Vth=Voc
Rth = Voc/Isc
其中，Vth为等效电路的电压源，Rth为等效电路的内部电阻，Voc为开路电压，Isc 为短路电流。
2.诺顿定理
In = Isc
3.等效电路
等效电路是指具有相同电学特性的两个电路，它们在电性能上是等价的，可以相互替代。
在分析和设计电路时，我们可以将一个复杂的电路转化为一个简单的等效电路来替代原电路，从而使分析和设计电路变得更容易。
等效电路的基本特点是：
1）等效电路与原电路在端口参数方面具有相同的电学特性。
等效电路的应用主要有以下两个方面：
1）简化电路分析。
将一个复杂的电路转化为等效电路来代替原电路，从而使电路的分析变得更简单和方便。
2）设计和优化电路。
根据等效电路的特性和性能，我们可以对电路进行优化和设计，从而实现电路的更好性能和更高效的运行。
本文简要介绍了戴维南定理、诺顿定理和等效电路的概念和基本原理。
希望读者可以通过学习这些电路定理，更好地掌握电路分析和设计的技能。
戴维宁定理和诺顿定理
戴维宁定理和诺顿定理戴维南定理（Thevenin’s theorem）：含独立电源的线性电阻单口网络N，就端口特性而言，可以等效为一个电压源和电阻串联的单口网络。
电压源的电压等于单口网络在负载开路时的电压uoc；电阻R0是单口网络内全部独立电源为零值时所得单口网络N0的等效电阻。
戴维南定理（又译为戴维宁定理）又称等效电压源定律，是由法国科学家L·C·戴维南于1883年提出的一个电学定理。
由于早在1853年，亥姆霍兹也提出过本定理，所以又称亥姆霍兹-戴维南...对于含独立源，线性电阻和线性受控源的单口网络（二端网络），都可以用一个电压源与电阻相串联的单口网络（二端网络）来等效，这个电压源的电压，就是此单口网络（二端网络）的开路电压，这个串联电阻就是从此单口网络（二端网络）两端看进去，当网络内部所有独立源均置零以后的等效电阻。
uoc 称为开路电压。
Ro称为戴维南等效电阻。
在电子电路中，当单口网络视为电源时，常称此电阻为输出电阻，常用Ro表示；当单口网络视为负载时，则称之为输入电阻，并常用Ri表示。
电压源uoc 和电阻Ro的串联单口网络，常称为戴维南等效电路。
当单口网络的端口电压和电流采用关联参考方向时，其端口电压电流关系方程可表为：U=R0i+uoc。
戴维南定理和诺顿定理是最常用的电路简化方法。
由于戴维南定理和诺顿定理都是将有源二端网络等效为电源支路，所以统称为等效电源定理或等效发电机定理。
诺顿定理(Norton’s theorem)：含独立源的线性电阻单口网络N，就端口特性而言，可以等效为一个电流源和电阻的并联。
电流源的电流等于单口网络从外部短路时的端口电流isc；电阻R0是单口网络内全部独立源为零值时所得网络N0的等效电阻。
诺顿定理与戴维南定理互为对偶的定理。
定理指出，一个含有独立电源线性二端网络N, 就其外部状态而言,可以用一个独立电流源isc 和一个松弛二端网络N0的并联组合来等效。
戴维南定理和诺顿定理
戴维南定理和诺顿定理引言在电路理论中，戴维南定理和诺顿定理都是非常重要的理论。
戴维南定理和诺顿定理是解决电路中相互独立的两个部分联通时的问题，最早于19世纪初被提出。
本文将介绍这两个定理的定义、证明以及应用。
戴维南定理定义戴维南定理是指任何由电阻、电源和电线组成的电路网络，在一对电端子之间的电势差等于这一对电端子在电路网络中所取的任何一条通路的电阻乘以沿此通路的电流的代数和。
证明设电路网络中有一对电端子，其电压为V，电流为I，连接这一对电端子的任意通路电阻为R。
则戴维南定理可以写成如下的方程：V = IR戴维南定理可以很容易地从欧姆定律推导出来。
因为电势差等于电流和电阻的乘积：V = IR应用戴维南定理可以应用于解决电路中的任何问题。
例如，可以使用戴维南定理计算两个点之间的电位差；可以使用戴维南定理计算电路中的总电阻，以及计算电阻的并联和串联等。
诺顿定理定义诺顿定理是指任何由电阻、电流源和电线组成的电路网络，在任意两个电端子之间的电流等于这一对电端子所取的任意一条通路的电流源的代数和和这一对电端子所取的任意一条通路的电阻的倒数之和。
证明设电路网络中有一对电端子，其电流为I，连接这一对电端子的任意通路电阻为R，通路电流源为Is。
则诺顿定理可以写成如下方程式：I = I_s - IR将其化简可得：I_s = IR + I诺顿定理的本质和戴维南定理相同，只是引入了电流源。
应用诺顿定理和戴维南定理可以互相转换。
诺顿定理通常用于求解对称网络中的电路，因为对于这类电路，电压源和电流源的作用是相同的。
戴维南定理和诺顿定理是电路理论中非常基础的两个定理。
熟练掌握这两个定理可以在解决电路问题中起到重要的作用，可以大大简化计算难度。
同时，掌握这两个定理还可以帮助我们更深入地理解电路中电势、电流以及电阻等基本概念。
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§2—10 戴维南定理和诺顿定理一、戴维南定理二端网络也称为一端口网络，其中含有电源的二端网络称为有源一端口网络，不含电源的二端网络称为无源一端口网络,它们的符号分别如图2—10—1（a ）（b ）所示.任一线性有源一端口网络(如图2-10—2（a ）所示)对其余部分而言，可以等效为一个电压源d U 和电阻dR 相串联的电路（如图2—10-2（b ）所示），其中d U 的大小等于该有源一端口网络的开路电压，电压源的正极与开路端高电位点对应;d R 等于令该有源一端口网络内所有独立源为零（即电压源短接、电流源开路）后所构成的无源一端口网络的等效电阻。
这就是戴维南定理，也称为等效电源定理；d U 与d R 串联的电路称为戴维南等效电路.下面证明戴维南定理，如图2—10-2(a ）所示,电阻R 上的电压、电流为确定值，利用替代定理，将图2-10-2（a ）中的R 替代为电流源，如图2-10—2(c ）所示.因为网络A 为线性有源一端口网络，因此，可利用叠加定理,将上述图（c)中的电压U 看作两组独立源分别作用产生的两个分量之和。
第一个分量是由网络A 中的图2—10—1图2-10-2独立源作用所产生的，即令独立电流源为零，将11'端口断开后在11'端口产生的开路电压d U ，如图2-10-2（d ）所示;第二个分量是由电流源I 单独作用所产生的，即令网络A 中所有独立源为零后在11'端口产生的电压U '，如图2—10-2（e)所示,这时有源网络A 即变为相应的网络P,值得注意的是倘若A 中含受控源,受控源应依然保留在网络P 中。
观察图（e ），设从11'端口向左看的入端等效电阻为d R ，即网络P 的入端等效电阻为Rd ，则有d U R I '=-，两个分量叠加得：d d d U U U U R I '=+=-。
对照图2—10-2（b ）可知，上述图（b ）与图(a ）具有相同的端口特性方程，由此可知图(b ）就是图（a ）的等效电路，戴维南定理得证. 要计算一个线性有源一端口网络的戴维南等效电路，其步骤和方法为：1、计算d U ：利有电路分析方法，计算相应端口的开路电压；2、计算d R ：当线性有源一端口网络A 中不含受控源时，令A 内所有独立电源为零后得到的无源一端口网络P 则为纯电阻网络，利用无源一端口网络的等效变换就可求出端口等效电阻；当线性一端口网络A 中含有受控源时，令A 内所有独立电源为零后得到的一端口网络P 中仍含有受控源，这时,可采用加压法和开路短路法求d R .（i)加压法：如图2—10-3（a ）所示，令有源一端口网络A 内所有独立源为零后得到一端口网络P （注意受控源仍需保留），在网络P 的端口加上一个独立电压源U(或独立电流源I ）计算出端口电流I （或端口电压U)，那么d UR I =。
（ii ）开路短路法：图2-10-3（b ）所示为戴维南等效电路，从中可知:短路电流d d d U I R =，当然d d dUR I =.当求出有源线性一端口网络A 端口的开路电压d U 、短路电流d I 后，d R 也就求出来了（注意d d U I 、的参考方向）。
图2—10-3例2-10—1 利用戴维南定理求图2-10—4（a)所示电路中的电流I 为多少？解：将A 、B 左边部分电路看作有源一端口网络,用戴维南等效电路替代后如图2-10-4（b ）所示。
（1）求d U :将A 、B 端口开路,得到图2—10—4（c)所示电路。
由米尔曼公式得:012/6218/69()1/61/6d AB U U V -+===+（2）求等效电阻d R ：令A 、B 以左的三个独立源为零,得到图2—10—4（d ）所示电路，则A 、B 端口的等效电阻为：6//63()d R ==Ω（3）从图2—10-4（b ）中求I ：141()(4//(31))431d d U I A R +=⨯=++++例2—10-2 在图2-10—5（a)所示电路中，已知4,S I A =11R =Ω，23R =Ω，求A 、B 端口的戴维南等效电图2-10-4 例2-10—1附图(图2-10-5 例2-10—2附图路。
解：（1）求d U :图2—10—5(a ）中A 、B 端口处于开路状态，列写KVL 方程:22202(13)42 2()36()d AB I I I A U U I V +⨯=+===⨯=（2)求等效电阻d R ：下面分别用两种方法求解。
（i ）开路短路法：开路电压已在(1）中求得,现求A 、B 端口的短路电流。
将A 、B 端口短接，如图2-10-5(b)所示，从图中易看出：230I ⨯=， 即20I =则受控源220,I =则有： 4/14()d I A == / 1.5()d d d R U I ==Ω（ii) 加压法：将独立电压源置零后，然后再在A 、B 端口加上一个电压源，如图2-10—5（c ）所示。
列写KVL 方程： 212312I I I ⨯-⨯= 21I I = 又因为： 23U I =所以： 12d U U R I I I ==+ 2 1.5223U UUI ===Ω⨯⨯（）最后，得到A 、B 端口的戴维南等效电路如图2-10-5(d)所示.二、最大功率的传输条件：当一个线性有源一端口网络化为戴维南等效电路后，在其端口接上可变电阻R ，如图2—10-6所示。
当d d U R 、已知,那么当R 为多少时它能获得最大功率?获得的最大功率又为多少？2R P I R =2()()d d U R f R R R=⨯=+令()0df R dt=，得到：d R R = (式2—10—1 ） 此时 2max4d R dU P P R == （式2—10-2） (式2-10-1）就是最大功率的传输条件.若d R 是信号源内阻，R 是负载电阻,则当满足最大功率传输条件时，传输效率为50％,即有一半功率消耗在信号源内阻上。
例2-10—3 在图2-10—7（a ）所示电路中，两个有源一端口网络1A 、2A 串联后与R 相连,R 从0→∞改变,测得0R =Ω时，0.2I A =；50R =Ω时，0.1I A =。
（1）当R 为多少时，能获得最大功率?（2）当将图2—10-7（b ）所示电路代替R 接于A 、B 端口时,12320R R R ===Ω,VCVS 的控制系数 3.6μ=，求端口电压AB U .解:（1)首先将两个有源一端口网络12A A 、化为戴维南等效电路，分别记为1d U 、1d R 、2d U 、2d R ，再将1d U 、2d U 等效为一个电压源，记为d U ,将串联的1d R 、2d R 等效为一个电阻d R ，于是串联的两个有源一端口网络12A A 、最后等效为一个电压源d U 和一个电阻d R 的串联，如图2-10-7（c ）所示。
()d d I R R U +=代入已知条件： 0.2(0)d d R U ⨯+= 0.1(50)d d R U ⨯+= 解之得: 50(), 10()d d R U V =Ω=图2-10-7例2—10-3附图所以当50d R R ==Ω时，获得最大功率：22max100.5()4450d d U P W R ===⨯ （2)将图2-10—7(b)所示电路接于A 、B 端口,利用节点电压法，由米尔曼公式得：231230.20.091110.095d d ABABd U U R R U U R R R R μ++==+++ 其中： 221212AB AB U U R U R R =⨯=+最后得到： 40()AB U V = 三、诺顿定理任一线性有源一端口网络（如图2—10—8（a ）所示）对其余部分而言，可以等效为一个电流源d I 与一个电阻d R 相并联的电路（如图2-10-8（b)所示)，其中d I 的大小等于有源一端口网络端口的短路电流,电流的方向从高电位点流出；d R 等于戴维南定理中的d R ，即等于令有源一端口网络内所有独立源为零后所构成的无源一端口网络的等效电阻.利用戴维南定理，将网络A 化为d U 、d R 串联电路,再根据实际电压源与实际电流源模型的等效变换，将d U 、d R 串联组成的实际电压源模型化为由d I 、d R 并联组成的实际电流源模型,其中dd dU I R =，显然，从图2-10—8(b)中易看出d I 就是网络A 的短路电流，诺顿定理得证。
图2-10—8下面再利用替代定理、叠加定理,采用证明戴维南定理对偶的方法来证明诺顿定理。
如图2-10-8（a ）所示，电阻上的电流为确定值，利用替代定理,用一个电压源U 替代电阻R ，如图2-10-9（a ）所示.因为有源一端口网络A 为线性有源二端网络,利用叠加定理，将图2—10-9(a ）中的电流I 看作两组独立源分别作用产生的两个分量之和：第一个分量是A 中所有独立源作用、令电压源U 为零时产生的电流，即A 的短路电流d I ，如图2—10-9（b ）所示；第二个分量是电压源U 单独作用、令A 中所有独立源为零时产生的电流I '，如图2-10-9（c ）所示，假设令A 中所有独立源为零（若含有受控源，受控源依然保留）后所形成的网络P 的入端电阻为d R ，则dU I R '=-,两分量叠加得到:d d d U I I I I R '=+=-。
比较图2—10-9（a ）与图2—10-8（b ），线性有源一端口网络A 与电流源d I 、电阻d R 并联电路在端口11'上具有完全相同的端口特性方程，因此它们对其余部分而言彼此等效，故而诺顿定理成立。
要计算一个线性有源一端口网络A 的诺顿等效电路,只要求出网络A 的短路电流d I 、令网络A 中所有独立源为零后的网络P 的入端等效电阻d R 即可。
诺顿定理中的d R 与戴维南定理中的d R 是完全相同的，因此求解方法也完全相同。
例2-10-4 利用诺顿定理计算图2-10-10（a ）所示电路中的电流I 。
解：（1)求短路电流d I :将A 、B 端口短接，右边4Ω的电阻被短接，得到图2-10-10（b ）所示电路。
1123()(3//6)(3//6)I A ==+2162()36I I A =⨯=+ 3131()36I I A =⨯=+图2-10—10例2—10—4附图231()d I I I A =-=（2）求等效电阻d R ：令左边12V 的电压源为零，左边4Ω电阻被短接，如图2-10-10（c ）所示。
[(3//6)(3//6)]//42()d R =+=Ω（3)画出AB 端口以左电路的诺顿等效电路，如图2-10-10(d ）所示。