函数极限证明(多篇)
二元函数极限证明
二元函数极限证明)in1y?ysin1x, 求在点( 0 , 0 )的两个累次极限 .二重极限与累次极限的关系:（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序。
例函数 f(x,y)?x?y?x?yx?y22的两个累次极限是 y?yyx?xx22limlimx?y?x?yx?yx?y?x?yx?yy?0x?0?limy?0?lim(y?1)??1y?0?lim(x?1)?1x?0limlimx?0y?0?limx?0（２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在例f(x,y)?xyx?yxyx?y，两个累次极限都存在limlimy?0x?0?0,limlimxyx?yx?0y?0?0但二重极限却不存在，事实上若点p(x,)沿直线 y?kx趋于原点时，kxf(x,y)?x?(kx)?k1?k二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数 f(x,y)?xsin1y?ysin1x由|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,( x ,y)?(0,0).可见二重极限存在 ,但1xlimsinx?0和limsiny?01y不存在，从而两个累次极限不存在。
（4）二重极限极限lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存x?x0y?y0在 , 则必相等.( 证 )（5）累次极限与二重极限的关系若累次极限和二重极限都存在，则它们必相等第三篇：二元函数极限的研究二元函数极限的研究作者：郑露遥指导教师：杨翠摘要函数的极限是高等数学重要的内容，二元函数的极限是一元函数极限的基础上发展起来的，本文讨论了二元函数极限的定义、二元函数极限存在或不存在的判定方法、求二元函数极限的方法、简单讨论二元函数极限与一元函数极限的关系以及二元函数极限复杂的原因、最后讨论二重极限与累次极限的关系。
函数极限的证明(精选多的篇)
函数极限的证明(精选多的篇)
函数极限的证明是数学分析中一个重要的内容，它能够让我们更好地理解函数的性质和特征。
通过证明函数极限可以更加深入地了解函数的行为，使我们能够正确应用函数来解决问题。
函数极限的证明可以从不同的角度来看，最常见的是从定义上来看。
它定义为：对于给定函数f(x)，当x的取值趋近于某一特定的数值a时，函数f(x)的值趋近于L，则称L为函数f(x)在x=a处的极限。
换句话说，就是函数f(x)的值在x取值不断靠近a 时，其值也会靠近某一特定的数值L，L就是函数f(x)在x=a处的极限。
为了证明函数极限，首先要引入极限定义，即当x取值趋近于a时，函数f(x)的值趋近于L，则称L为函数
f(x)在x=a处的极限。
然后，根据极限定义，可以将函数f(x)分成两部分：
1. 在x取值趋近于a的情况下，函数f(x)的值小于极限L；
2. 在x取值趋近于a的情况下，函数f(x)的值大于极限L。
然后，对于第一部分，可以通过证明：即使x取值趋近于a，函数f(x)的值仍然小于极限L，从而证明函数
f(x)在x=a处的极限L。
而第二部分，则可以通过证明：即使x取值趋近于a，函数f(x)的值仍然大于极限L，从而证明函数f(x)在x=a处的极限L。
最后，根据以上两个部分，可以得出结论：函数f(x)在x=a处的极限L是有效的，即函数f(x)的值在x取值趋近于a时，其值也会靠近某一特定的数值L。
函数极限的证明是一个简单而又实用的数学技术，它能够让我们更好地了解函数的性质和特征，使我们能够正确应用函数来解决问题。
关于函数极限如何证明
关于函数极限如何证明函数极限的性质是怎么一回事呢?这类的性质该怎么证明呢?下面就是学习啦给大家的函数极限的性质证明内容，希望大家喜欢。
X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会|Xn+1-A|以此类推，改变数列下标可得|Xn-A||Xn-1-A|……|X2-A|向上迭代，可以得到|Xn+1-A|只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);设x(k+1)>x(k)，则x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1<4，设x(k)<4，则x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。
当0构造函数f(x)=x*a^x(0令t=1/a，则：t>1、a=1/t且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)则：lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导)=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0所以，对于数列n*a^n，其极限为03.根据数列极限的定义证明：(1)lim[1/(n的平方)]=0n→∞(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2n→∞(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0n→∞(4)lim0.999…9=1n→∞n个95几道数列极限的证明题，帮个忙。
Lim就省略不打了。
n/(n^2+1)=0√(n^2+4)/n=1sin(1/n)=0实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1= 0lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1limsin(1/n)=lim[(1/n)*sin(1/n)/(1/n)]=lim(1/n)*lim[sin(1/n) ]/(1/n)=0*1=0猜你感兴趣：1.利用导数证明不等式2.构造函数证明不等式3.统计物理小结(精选3篇)4.xx成人高考数学备考复习攻略5.中心极限定理证明。
极限证明(精选多篇)
极限证明(精选多篇)第一篇：极限证明极限证明1.设f(x)在(??,??)上无穷次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求证当k?n?1时，?x，limf(k)(x)?0．x???2.设f(x)??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；当n为偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和．xf(n)(x)?0．?{xn}?3.设f(x)在(??,??)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，????n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．sin(f(x))?1．求证limf(x)存在．4.设f(x)在(a,??)上连续，且xlim???x???5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。
6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x.n??xn??n7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。
an?1t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，为单侧极限）。
证明：函数f在?a,b?上有界。
10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?.n??2n211.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。
12.证明：若???af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.11?an?收敛。
?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?n14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。
证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f'?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0???r?0?.i?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limr2r??dr17.设f?x?于[a,??)可导，且f'?x??c?0?c为常数?,证明：?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。
用函数极限的定义证明极限例题
用函数极限的定义证明极限例题要用函数极限的定义来证明极限，首先得聊聊极限这个概念。
极限，哎，就是我们在数的世界里，看到一个数值不断靠近某个特定的值。
就像一只小猫追着一个移动的玩具，越追越近，最终可能就能碰到它。
你可以想象，当自变量逐渐逼近某个点，函数的值也慢慢逼近另一个数。
这可不是随便说说的，而是有数学基础的。
举个简单的例子，咱们用 ( f(x) = 2x ) 来说明一下。
如果我们想证明 ( lim_{x to 3 f(x) = 6 )，得从定义出发，简单来说就是要确保无论你选择多小的距离 ( epsilon )（就是目标值和函数值之间的差距），总能找到一个合适的 ( delta )（自变量的距离），让 ( |f(x) 6| < epsilon )。
这话听起来有点拗口，但说白了，就是让你可以放心大胆地靠近这个极限值。
所以，咱们先来看看 ( |f(x) 6| ) 这部分。
把 ( f(x) = 2x ) 代进去，变成了 ( |2x 6| )。
这就像是在说：你离目标值6有多远？再简单点，算算 ( |2(x 3)| )，这里的关键就是看( x ) 逼近3的速度。
你瞧，问题就变得简单多了。
为了让这个表达式小于 ( epsilon )，我们得解一下不等式。
换句话说，我们需要让( |2(x 3)| < epsilon )，再简单点，变成 ( |x 3| < frac{epsilon{2 )。
所以只要我们选定一个( delta = frac{epsilon{2 )，就能保证不管你选择多小的 ( epsilon )，都有对应的 ( delta ) 让这俩条件同时成立。
是不是挺简单的？再说说这过程的美妙，就像在跑步比赛中，参赛者不断逼近终点，尽管有时会稍微偏离，但只要沿着正确的路线，最终都会冲过终点线。
极限的世界也是这样，函数值就像这些跑步的选手，始终在追赶那个理想的目标。
咱们换个角度，想想这极限的意义。
求函数极限的方法与技巧6篇
求函数极限的方法与技巧6篇第1篇示例：求函数极限的方法与技巧在学习数学的过程中，函数极限是一个非常重要的概念。
通过求函数的极限，我们可以了解函数在某一点的变化趋势，从而掌握函数的性质和特征。
在实际应用中，求函数极限也是解决数学问题和物理问题的基础。
那么，如何求函数的极限呢？下面我们就来讨论一下求函数极限的方法与技巧。
我们来说一说函数极限的定义。
对于函数f(x)，当自变量x趋于某一值a时，如果函数值f(x)无限接近于某一确定的常数L，那么常数L 就是函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
换句话说，就是当x无限接近a时，f(x)的取值无限接近L。
要求函数的极限，就是要找到这个L。
1. 代入法：对于一些简单的函数，我们可以直接代入a的数值，求出f(a)的值。
如果f(a)存在且有限，那么这个值就是函数在点a处的极限。
2. 因子分解法：对于一些复杂的函数，我们可以通过因子分解来求得函数的极限。
根据函数的性质，我们可以将函数分解为一些简单的分式或者根式，从而求得极限的值。
3. 夹逼定理：对于一些特殊的函数，我们可以利用夹逼定理来求得函数的极限。
夹逼定理是一种通过两个较为简单的函数来夹逼待求函数的极限的方法，通过和两个函数比较来逼近待求函数的极限值。
4. 利用导数：对于一些连续的函数，我们可以利用导数来求得函数的极限。
通过求导数，我们可以得到函数的切线斜率，从而得到函数在某一点的变化趋势。
除了以上的方法与技巧，还有一些注意事项需要我们在求函数极限时要注意：1. 涉及无穷大的极限时，要格外注意函数的性质，以及无穷大的表示方式。
2. 找出函数的不确定形式，通过化简或者变形来求得函数的极限。
3. 对于有理函数的极限，要特别注意分母为0的情况，以及分子、分母次数的关系。
4. 要熟练掌握常用函数的极限形式，比如指数函数、对数函数、三角函数等。
5. 在求导数时，要注意一阶导数、高阶导数等，以及导数的性质和规律。
极限证明(精选多篇)
极限证明1.设f在上无穷次可微，且f??，求证当k?n?1时，?x，limf?0．x???2.设f??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f是以2?为周期的周期函数；当n为 偶数时f是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和．xf?0．?{xn}?3.设f在上无穷次可微；ff??0xlim求证：n?1，????n，0?xn?xn?1，使f?0．sin)?1．求证limf存在．4.设f在上连续，且xlim???x???5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x. n??xn??n7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。an?1t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限。证明：函数f在?a,b?上有界。10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?. n??2n211.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。12.证明：若???af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?n14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.15.设f?x?在上连续，且f?0,记fvn?f,?n??exp{b?a，试证明：n1blnfdx}并利用上述等式证明下?ab?a式2??2?lndx?0?35.设f连续，???0fdt，且limx?0论?’在x?0处的连续性。f，求?’，并讨?ax36．给出riemann积分?afdx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛i1lim?s。n??ni?0n?x322,x?y?0?237.定义函数f?x???x?y2.证明f?x?在?0,0?处连续但不可微。?0,x?y?0?n?1b38.设f是?0,??上有界连续函数，并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.39.设函数f?x?在x?0连续，且limx?0f?2x??f?x??a,求证：f’?0?存在且等于a.x1n40.无穷数列?an??,bn?满足limn??an?a,limn??bn?b,证明:lim?aibn?1-i?ab.n??ni?141.设f是?0,??上具有二阶连续导数的正函数，且f’?x??0,f’’有界，则limt??f’?t??042.用???分析定义证明limt??1x?31? x2?9243.证明下列各题?1?设an??0,1?，n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n收敛；n?1??2?设?an?为单调递减的正项数列，级数?n2014an收敛，试证明limn2014an?0;n??n?1??3?设f?x?在x?0附近有定义，试证明权限limx?0f?x?存在的充要条件是：对任何趋于0的数列?xn??,yn?都有limn???f?xn??f?yn???0.?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列，级数?anln?1?an?0???收敛，试证明limn??n?n?1?a?1。45.设an?0，n=1,2，an?a?0,,证limnn???46.设f为上实值函数，且f＝1，f?＝〔1，＋?〕limf存在且小于1＋。x?＋?4，证明x?1）2x2＋f?47.已知数列{an}收敛于a，且a?a???asn?，用定义证明{sn}也收敛于an48.若f?x?在?0,???上可微，limn??f?0，求证?0,???内存在一个单x??x调数列{?n}，使得lim?n???且limf??0n??x??e?sinx?cosx?,x?049.设f?x???2,确定常数a,b,c,使得f’’?x?在???,??处处存在。??ax?bx?c,x?0极限的证明 利用极限存在准则证明： 当x趋近于正无穷时，的极限为0;证明数列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx>0,x_>0,故lnx/x_>0且lnx1),lnx/x_故的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0>√a时,xn-x=/2且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为a,xn和x极限都为a.对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a同理可求x0综上,数列极限存在,且为√时函数的极限： 以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……时函数的极限： 由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课： 函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性:th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4例5例6例7数列极限的证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限 求极限我会|xn+1-a|以此类推，改变数列下标可得|xn-a||xn-1-a|……|x2-a|向上迭代，可以得到|xn+1-a|2只要证明{x}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法：①证明{x}单调增加。x=√=√5>x;设x>x，则x-x)=√-√=/>0。②证明{x}有上界。x=1设xx=√3当0当0构造函数f=x*a =x* =x/t则：limf=limx/t=lim=lim1/=1/=0所以，对于数列n*a
函数极限的证明(精选多篇)
函数极限的证明(精选多篇)第一篇：函数极限的证明函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(于正无穷。
把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;那么存在n1,当x>n1,有a/mn2时，0ni时，0那么当x>n,有(a/m)第三篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y 同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。
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函数极限证明（多篇）函数的极限是高等数学中非常重要的内容,关于一元函数的极限及其求法,各种教材中都有详尽的说明。
二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,两者之间既有联系又有区别。
例如,在极运算法则上,它们是一致的,但随着变量个数的增加,二元函数极限比一元函数18 / 29二元函数极限证明极限变得复杂得多,但目前的各类教材、教学参考书中有关二元函数极限的求法介绍不够详二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念,它刻划了当自变量趋向于某一个定值时,函数值的变化趋势。
是高等数学中一个极其重要的问题。
但是,一般来说,二元函数的极限比起一元函数的极限,无论从计算还是证明都具有更大的难度。
本文就二元函数极限的问题作如下探讨求一元函数的极限问题,主要困难多数集中于求未定型极限问题,而所有未定型的极限又总可转化为两类基本型即00与∞∞型,解决这两类基本未定型的有力工具是洛泌达(lhospital)法则。
类似地,二元函数基本未定型的极限问题也有相似的洛泌达法则。
为了叙述上的方便,对它的特殊情形(即(x0,y0)=(0,0))作出如下研究,并得到相应的法则与定理。
二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念,它刻划了当自变量趋向于某一个定值时,函数值的变化趋势。
是高等数学中一个极其重要的问题。
但是,一般来说,二元函数的极限比起一元函数的极限,无论从计算还是证明都具有更大的难度。
本文就二元函数极限的问题作如下探讨。
§二元函数的极限与连续定义设二元函数有意义,若存在19 / 29二元函数极限证明常数a, 都有则称a是函数当点趋于点或或趋于点时的极限,记作。
的方式无关,即不,当（即）时，在点的某邻域内或必须注意这个极限值与点论p以什么方向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向分接近,就能使。
只要p与充与a接近到预先任意指定的程度。
注意：点p趋于点点方式可有无穷多种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。
图8-7 同样我们可用归结原则,若发现点p按两个特殊的路径趋于点时, 极限在该点存在,但不相等,则可以判定元函数极限不存在的重要方法之一。
极限不存在。
这是判断多20 / 29二元函数极限证明一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论,在二元函数极限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。
例如若有,其中。
求多元函数的极限,一般都是转化为一元函数的极限来求,或利用夹逼定理来计算。
例4求。
解由于, 而,根据夹逼定理知,所以。
a≠0) 。
解例求（。
例6求。
解21 / 29二元函数极限证明由于理知且,所以根据夹逼定 .例7 研究函数在点处极限是否存在。
解当x2 +y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于（0，0 ）的极限，有值，可得到不同的极限值,所以极限不存在,但,。
很显然，对于不同的k 。
注意：极限方式的的区别,前面两个求本质是两次求一元函数的极限,我们称为累次极限,而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。
例8 设函数极限都不存在,因为对任何22 / 29二元函数极限证明,当时, 。
它关于原点的两个累次的第二项不存在极限；同理对任何时,的第一项也不存在极限, 但是因此。
由例7知,两次累次极限存在,但二重极限不存在。
由例8可知,二重极限存在,但二个累次极限不存在。
我们有下面的结果:定理1若累次极限都存在,则三者相等（证明略）。
推论若但不相等, 则二重极限不存在和二重极限23 / 29二元函数极限证明, 由于, 存在。
定义设在点的某邻域内有意义, 且称函数,则在点处连续, 记上式称为函数(值)的全增量。
则。
24 / 29二元函数极限证明定义增量。
为函数(值)对x的偏二元函数连续的定义可写为偏增量。
若断点,若在点为函数（值）对y的处不连续, 则称点是的间在某区域在区域g上连续。
若在闭区域g g上每一点都连续,则称的每一内点都连续,并在g的连界点处成立, 则称25 / 29二元函数极限证明为连续曲面。
在闭域g上连续。
闭域上连续的二元函数的图形称关于一元函数连续的有关性质,如最值定理、介值定理、cantor 定理,对于二元函数也相应成立。
可以证明如下的重要结果：定理2设在平面有界闭区域g上连续,则（1）必在g上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2 ）,当时,都有。
以上关于二元函数的在g上一致连续,即极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。
函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.26 / 29二元函数极限证明例1验证例2验证例3验证证…… (二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
27 / 29 等式性质以及有理运算性等。
二元函数极限证明教学方法：讲练结合。
一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.28 / 29二元函数极限证明例1(利用极限和) 例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 例5例6例7 函数极限证明函数极限的性质证明函数极限的定义证明利用函数极限定义证明11 用定义证明函数极限方法总结29 / 29第3篇：函数极限的性质证明函数极限的性质证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会|Xn+1-A||X2-A|①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√[2+3x(1)]=√5x(1); 设x(k+1)x(k)，则x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1x(k+1)=√[2+3x(k)]1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t1) 则：lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明3.根据数列极限的定义证明：(1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞(4)…9=1 n→∞ n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。
Lim 就省略不打了。
第4篇：函数极限的定义证明习题1 31.根据函数极限的定义证明:(1)lim(3x1)8;x 3(2)lim(5x2)12;x 2x244;(3)limx2x 214x3(4)lim 2.x2x121证明(1)分析|(3x1)8||3x9|3|x3|, 要使|(3x1)8| , 只须|x3|.31证明因为0, , 当0|x3|时, 有|(3x1)8| , 所以lim(3x1)331(2)分析|(5x2)12||5x10|5|x2|, 要使|(5x2)12| , 只须|x2|.51证明因为0, , 当0|x2|时, 有|(5x2)12| , 所以lim(5x2)25(3)分析|x(2)|.x24x24x4x24(4)|x2||x(2)|,要使(4), 只须x2x2x 2x24x24(4), 所以lim 4.证明因为0, , 当0|x(2)|时, 有x2x2x 2(4)分析14x31114x312, 只须|x()|.2|12x2|2|x()|, 要使2x12x1222 14x31114x32, 所以lim证明因为0, , 当0|x()|时, 有12x122x 2.根据函数极限的定义证明:(1)lim1x32x3sinxx1;2(2)limx x0.证明(1)分析|x| 11x32x311x3x322x312|x|3, 要使1x32x311, 只须, 即322|x|2.证明因为0, X(2)分析sinxx012, 当|x|X时, 有1x1x32x311x31, 所以lim.x2x3221x, 即xsinxx|sinx|x, 要使sinx证明因为0, X2, 当x X时, 有xsinxx0, 只须.0, 所以limx0.3.当x2时,y x24.问等于多少, 使当|x2|\n解由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即1x 3.要使|x24||x2||x2|5|x2|, 只要|x2|, 取, 则当0|x2|时, 就有|x24|x21x34.当x时, yx21x2 31, 问X等于多少, 使当|x|X时, |y1|\n解要使14x2 3, 只|x|3397, X.5.证明函数f(x)|x| 当x0时极限为零.x|x|6.求f(x), (x)当x0时的左﹑右极限, 并说明它们在x0时的极限是否存在.xx证明因为xlimf(x)lim lim11,x0x0xx0xlimf(x)lim lim11,x0x0xx0limf(x)limf(x),x0x0所以极限limf(x)存在.x0因为lim(x)limx0x0|x|xlim1,x0xx|x|x lim1,xx0xlim(x)limx0x0lim(x)lim(x),x0x0所以极限lim(x)不存在.x07.证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则limf(x) A.x证明因为limf(x)A, limf(x)A, 所以0,xxX10, 使当x X1时, 有|f(x)A|;X20, 使当x X2时, 有|f(x)A| .取X max{X1, X2}, 则当|x|X时, 有|f(x)A| , 即limf(x) A.x8.根据极限的定义证明: 函数f(x)当x x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f(x)A(x x0), 则0, 0, 使当0\n|f(x)A|\n因此当x0\n|f(x)A|\n这说明f(x)当x x0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性.设f(x00)f(x00)A, 则0,10, 使当x010, 使当x0\n取min{1, 2}, 则当0\n| f(x)A|\n即f(x)A(x x0).9.试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解x时函数极限的局部有界性的定理如果f(x)当x时的极限存在则存在X0及M0使当|x|X时 |f(x)|M 证明设f(x)A(x)则对于1X0当|x|X时有|f(x)A|1所以|f(x)||f(x)A A||f(x)A||A|1|A|这就是说存在X0及M0使当|x|X时 |f(x)|M其中M1|A|第5篇：函数极限的性质证明函数极限的性质证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会|Xn+1-A|以此类推，改变数列下标可得|Xn-A||Xn-1-A|……|X2-A|向上迭代，可以得到|Xn+1-A|2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。