差分方程基本知识
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8.6 差分方程(包括二阶)PPT课件
设 y * 是方程(1)的一个特解, yc( x)是(2)的通解,
那么方程(1)的通解为 yx yc (x) y* .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
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铃
用待定系数法求解. f(x) Pm (x) b x
其中 Pm (x) 是 m 次多项式, b 为非零常数.
设特解的形式为 y* x μQm (x)bx ,
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
（3）( yx zx ) yx zx
4 ( yt zt ) zt1yt yt zt yt1zt zt yt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
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例1 设 yx x2 2 x 3 ，求yx 2 yx 解
§8.6 差分方程
一、基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、二阶常系数线性差分方程
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铃
一、基本概念
在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔 时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的 时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统 计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这 类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学 模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分 方程是研究他们之间变化规律的有效方法。 本节介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法， 与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似， 可对照微分方程的知识学习本节内容。
那么方程(1)的通解为 yx yc (x) y* .
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其中 Pm (x) 是 m 次多项式, b 为非零常数.
设特解的形式为 y* x μQm (x)bx ,
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讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
（3）( yx zx ) yx zx
4 ( yt zt ) zt1yt yt zt yt1zt zt yt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
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例1 设 yx x2 2 x 3 ，求yx 2 yx 解
§8.6 差分方程
一、基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、二阶常系数线性差分方程
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一、基本概念
在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔 时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的 时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统 计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这 类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学 模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分 方程是研究他们之间变化规律的有效方法。 本节介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法， 与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似， 可对照微分方程的知识学习本节内容。
差分方程简介
日期:
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
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目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
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公式法
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通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
7.数学建模-差分方程法
pt 发生动态等幅振荡;
ab t ) p* (5) 当 0 < ab < 2 , pt ( A1 sin kt A2 cos kt)( 2 ab ab t 1 ( ) 为衰减因子 2 2
pt → p*
( t → + ∞ ) , pt 动态发展趋于稳定 .
5．差分形式的生物数量 ic（阻滞增长）模型及其稳定性研究 描述生物生长受到环境约束的微分方程模型是 Logistic（阻滞增 长）模型 。其形式是 ： y
0
这时还贷公司需要还清银行的债务的时限变为:
b ln b ry0 x 503.5 ( 半月) 21年 . ln(1 r )
这表明还贷公司只用 21 年就可还清银行的债务, 由此 , 还贷公司赚 了购房人 一年的钱: 24 × 316 = 7584 ( 元 ) . 故问题 (2) 的解答是 : 此方案对还贷公司而言是有利可图的 。
模型II . 模型假设: (1) t 时刻的商品价格 pt 是商品数量 xt 的直线下降函数: pt = pM - a xt ; (2) 这一时期的商品数量 xt 是前两个时期的商品价格 pt-1 与 pt-2 的 算术平均值的直线上升函数（企业对市场的分析、判断应更成 b( pt 1 pt 2 ) 熟一些）: 模型建立:
p ( 0 ) = p0 ，p(1) = p1 ( 初始价格 ) . （二阶线性常系数差分方程）
r1, 2
ab ab(ab 8) 4
p M axm p* 1 ab
(2) 当 ab = 8 时,
ab t pt ( A1 A2 t )( ) p * ( A1 A2 t )(2) t p * 4 ab t ) p* (3) 当 ab < 8 时, pt ( A1 sin kt A2 cos kt)(
差分方程的基本知识(3)
差分方程模型的理论和方法1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。
通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。
通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。
实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。
差分方程模型有着非常广泛的实际背景。
在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。
可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。
或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。
在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。
10.1差分方程的基本概念 共21页
程 (1 06)的.解 如果(方 10 6程 )的解中 k个 含独 有 立的任,则 意称 常这 数样的 (10 解 6)的 为通 ,方解 而通解中给任意常数以确定值的解, 称为方程 (106) 的特解.
例3 设差分 yn1 方 3yn程 3n,验证 ynC3nn 33n 是否为差分 ,并 方 求 程 满 的 y0足 5 通 的 条 解 特 件 . 解 将ynC3nn 33n代入方程
2yn(yn) 2 ( n 1 ) 2 ( 2 n 2 ) 2.
例2 设ynf(n)表示某辆汽n车 小外 时出 汽 车里程表显示的公里数, 且6前 个读出 {f(数 n)}为 { 1 4 ,1 4 2 ,1 5 5 ,1 5 1 5 ,1 5 0 ,1 6 9 4 } ,其 3 5 中 f0 (1)表示 开车时里程表的读数, f(2)表示行1小 驶时后里程 的读数, 以此类推, 可将 yn,yn,2yn各值列,表 并称为 yn的 函差 数.分表
k 阶差分方程的一般形式 为 F ( n , y n , y n , , k y n ) 0 ( 1 5 ) 0
其 F (n 中 ,yn , yn, , kyn )为 n ,yn , yn, , kyn的已 知,函 且至数 少 kyn要在式中 . 出现
定义10.2 含有自变 n和量两个或两个值 以yn上 , yn1,的函数,方 称程 为 (常)差分方.出 程现在差 方程中的未知的 函最 数大 下 ,称 差 标为差分方.程
方 n n 3 程 y 3 y n 1 n 2 1 是二阶非齐次线性差方分程,
方 n n 3 程 y 3 y n 1 0 是对应的齐次方程.
三、差分方程的解
定义10.3 如果将y已 n(知 n)代 函 入 数 (1方 06)程 使其 n0 对 ,1,2, 成为恒 ,则等 y称 n式 (n)为方
例3 设差分 yn1 方 3yn程 3n,验证 ynC3nn 33n 是否为差分 ,并 方 求 程 满 的 y0足 5 通 的 条 解 特 件 . 解 将ynC3nn 33n代入方程
2yn(yn) 2 ( n 1 ) 2 ( 2 n 2 ) 2.
例2 设ynf(n)表示某辆汽n车 小外 时出 汽 车里程表显示的公里数, 且6前 个读出 {f(数 n)}为 { 1 4 ,1 4 2 ,1 5 5 ,1 5 1 5 ,1 5 0 ,1 6 9 4 } ,其 3 5 中 f0 (1)表示 开车时里程表的读数, f(2)表示行1小 驶时后里程 的读数, 以此类推, 可将 yn,yn,2yn各值列,表 并称为 yn的 函差 数.分表
k 阶差分方程的一般形式 为 F ( n , y n , y n , , k y n ) 0 ( 1 5 ) 0
其 F (n 中 ,yn , yn, , kyn )为 n ,yn , yn, , kyn的已 知,函 且至数 少 kyn要在式中 . 出现
定义10.2 含有自变 n和量两个或两个值 以yn上 , yn1,的函数,方 称程 为 (常)差分方.出 程现在差 方程中的未知的 函最 数大 下 ,称 差 标为差分方.程
方 n n 3 程 y 3 y n 1 n 2 1 是二阶非齐次线性差方分程,
方 n n 3 程 y 3 y n 1 0 是对应的齐次方程.
三、差分方程的解
定义10.3 如果将y已 n(知 n)代 函 入 数 (1方 06)程 使其 n0 对 ,1,2, 成为恒 ,则等 y称 n式 (n)为方
差分方程
当 为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系,
所以可设 yx = x为方程(11)的解. 代如方程(11)得 x+2 + ax+1 + bx = 0,
2 + a + b = 0,
方程(12)称为齐次差分方程(11)的特征方程.
(12)
由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：
第八节 差分方程
一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
一、差分 微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储
蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这
种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例10 求差分方程 yx+2 + yx+1 2yx = 12x的通解.
解 对应的齐次方程的特征方程为
2 + 2 = 0.
方程的根为
1 = 2, 2 = 1,
y* C1 C2 (2) x . x
齐次方程的通解为
因为 a = 1, b = 2, 1+a+b = 0, 但 a+2 = 3 0,所以, 设
例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方
程. 差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则 称差分方程为n 阶差分方程.
定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒等, 则 称此函数为该差分方程的解. 例3 验证函数 yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的 解. 解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2, 所以yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解. 定义5 差分方程的解中含有任意常数, 且任意常数
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在本书中． 我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法．
二、 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt1 ayt f (t )，
(2)
的k个特解，则线性组合 y(t ) C1 y1(t ) C2 y2(t ) Ck yk (t )
也是该差分方程的解，其中 C1 ,C2 , ,Ck 为任意常数.
定理2 n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个 线性无关的特解．若
是方程
y1(t ), y2(t ), , yn(t )
yt (t 2 ) (t 1)2 t 2 2t 1,
2( yt ) 2(t 2 ) (yt ) (2t 1)
2(t 1) 1 (2t 1) 2,
3( yt ) (2 yt ) (2) 2 2 0. 例2 设 yt at (0 a 1), 求 ( yt ). 解 ( yt ) at1 at at (a 1).
它对应的齐次方程 ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
的通解与它自己本身的一个特解之和，即通解等于 Y C1 y1(t ) C2 y2(t ) Cn yn(t ) y*(t),
其中 y*(t) 是它自己本身的一个特解.
以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差 分方程的通解结构, 它们是求解线性差分方程非常 重要的基础知识．
否则称为非齐次的. 当 f (t) 0 时，与差分方程 (1)
对应的齐次差分方程为
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0.
(2)
定理1 设
y1(t ), y2(t ), , yk (t )
是n阶常系数齐次线性差分方程
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
3. 常系数线性差分方程及解的性质
定义4 形如
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f ( x)
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
a1 , a2 , , an 为常数，且 an 0, f (t )为已知函数.
当 f (t) 0时，差分方程(1)称为齐次的，
4 ( yt zt ) zt1yt ytzt yt1zt ztyt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
例1 求 (t 2 ),2(t 2 ), 3(t 2 ). 解 设 yt t2 , 则
例如，
yt2 2 yt1 yt 3t
是一个二阶差分方程， 可以化为
yt 2 yt1 yt2 3t2.
如果将原方程的左边写为
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为 2 yt 3t.
称 2 yt (yt ) yt1 yt ( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt2 2 yt1 yt
为函数 yt 的二阶差分. 同样，称 3 yt (2 yt )
为三阶差分.
依此类推，函数的 n 阶差分定义为：
且有
差分方程
一、差分方程的基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、差分方程的简单应用
一、 差分方程的基本概念 1. 差分的定义 定义1 设函数
yt f (t ), 我们称
t 0, 1, 2, , n, .
yt yt1 yt f (t 1) f (t )
为函数 yt 的一阶差分；
定义2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方 程就称为差分方程.
例如
F ( x, yt , yt1, , ytn ) 0,
G( x, yt , yt , , n yt ) 0. 差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之 差数称为差分方程的阶.
差分方程的不同形式之间可以相互转化.
又如： 可化为
yt2 2 yt1 yt 3t , yt 2 yt1 yt2 3t2 ,
2 yt 2 yt 3t.
定义3 如果一个函数代入差分方程后，方程两边 恒等，则称此函数为差分方程的解.
例： y 2t A 是差分方程 yt1 yt 2的解， 其中A为任意常数.
n yt (n1 yt )
n
n yt
C
i n
(
1)
i
yt ni
.
i0
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．
性质1 当 a,b,C 是常数， yt , zt 是函数时， 有以下结论成立：
1 (C) 0;
2 (Cyt ) C( yt );
3 (ayt bzt ) a( yt ) b(zt );
我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态， 对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为 初始条件.满足初始条件的解称之为特解. 如果差分 方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差 分方程的阶数，则称它为差分方程的通解.
例如，y 2t 1 是差分方程 yt1 yt 2的特解， y 2t A 是差分方程 yt1 yt 2的通解， 其中A为任意常数.
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
的n个线性无关的解，则方程 的通解为
Y C1 y1( ) C2 y2(t ) 其中 C1,C2 ,,Cn为任意常数．
Cn yn(t ),
定理3 n阶非齐次线性差分方程 ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f (t )
二、 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt1 ayt f (t )，
(2)
的k个特解，则线性组合 y(t ) C1 y1(t ) C2 y2(t ) Ck yk (t )
也是该差分方程的解，其中 C1 ,C2 , ,Ck 为任意常数.
定理2 n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个 线性无关的特解．若
是方程
y1(t ), y2(t ), , yn(t )
yt (t 2 ) (t 1)2 t 2 2t 1,
2( yt ) 2(t 2 ) (yt ) (2t 1)
2(t 1) 1 (2t 1) 2,
3( yt ) (2 yt ) (2) 2 2 0. 例2 设 yt at (0 a 1), 求 ( yt ). 解 ( yt ) at1 at at (a 1).
它对应的齐次方程 ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
的通解与它自己本身的一个特解之和，即通解等于 Y C1 y1(t ) C2 y2(t ) Cn yn(t ) y*(t),
其中 y*(t) 是它自己本身的一个特解.
以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差 分方程的通解结构, 它们是求解线性差分方程非常 重要的基础知识．
否则称为非齐次的. 当 f (t) 0 时，与差分方程 (1)
对应的齐次差分方程为
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0.
(2)
定理1 设
y1(t ), y2(t ), , yk (t )
是n阶常系数齐次线性差分方程
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
3. 常系数线性差分方程及解的性质
定义4 形如
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f ( x)
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
a1 , a2 , , an 为常数，且 an 0, f (t )为已知函数.
当 f (t) 0时，差分方程(1)称为齐次的，
4 ( yt zt ) zt1yt ytzt yt1zt ztyt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
例1 求 (t 2 ),2(t 2 ), 3(t 2 ). 解 设 yt t2 , 则
例如，
yt2 2 yt1 yt 3t
是一个二阶差分方程， 可以化为
yt 2 yt1 yt2 3t2.
如果将原方程的左边写为
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为 2 yt 3t.
称 2 yt (yt ) yt1 yt ( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt2 2 yt1 yt
为函数 yt 的二阶差分. 同样，称 3 yt (2 yt )
为三阶差分.
依此类推，函数的 n 阶差分定义为：
且有
差分方程
一、差分方程的基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、差分方程的简单应用
一、 差分方程的基本概念 1. 差分的定义 定义1 设函数
yt f (t ), 我们称
t 0, 1, 2, , n, .
yt yt1 yt f (t 1) f (t )
为函数 yt 的一阶差分；
定义2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方 程就称为差分方程.
例如
F ( x, yt , yt1, , ytn ) 0,
G( x, yt , yt , , n yt ) 0. 差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之 差数称为差分方程的阶.
差分方程的不同形式之间可以相互转化.
又如： 可化为
yt2 2 yt1 yt 3t , yt 2 yt1 yt2 3t2 ,
2 yt 2 yt 3t.
定义3 如果一个函数代入差分方程后，方程两边 恒等，则称此函数为差分方程的解.
例： y 2t A 是差分方程 yt1 yt 2的解， 其中A为任意常数.
n yt (n1 yt )
n
n yt
C
i n
(
1)
i
yt ni
.
i0
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．
性质1 当 a,b,C 是常数， yt , zt 是函数时， 有以下结论成立：
1 (C) 0;
2 (Cyt ) C( yt );
3 (ayt bzt ) a( yt ) b(zt );
我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态， 对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为 初始条件.满足初始条件的解称之为特解. 如果差分 方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差 分方程的阶数，则称它为差分方程的通解.
例如，y 2t 1 是差分方程 yt1 yt 2的特解， y 2t A 是差分方程 yt1 yt 2的通解， 其中A为任意常数.
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
的n个线性无关的解，则方程 的通解为
Y C1 y1( ) C2 y2(t ) 其中 C1,C2 ,,Cn为任意常数．
Cn yn(t ),
定理3 n阶非齐次线性差分方程 ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f (t )