33二阶系统的时域分析PPT课件
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3.3 二阶系统的时域分析
ζ π π 1 2π 1 tp = = = Td = ωd 2 ωd 2 ωn 1 ζ 2
= tan( β + Kπ ) ω d t p + β = β + π
13
(3) 最大超调量σp%
ζ = 0 σ p % = 100 % ζ = 0.4 σ p % = 25.4%
最大超调量在峰值时间发生,故 ζ = 0 .8 σ p % = 1 . 5 % 1 ζω n t p h(t p ) = 1 e sin(ω d t p + β ) ζ =1 σ p% = 0 1ζ 2
18
�
1ζ 2
决定整个响应过程的衰减快慢. 无阻尼二阶系统: ζ =0 单位阶跃响应
h(t ) = 1 cos ω nt (t ≥ 0)
无阻尼二阶系统的单位阶跃响应围绕1的等幅振荡. 此时二阶系统不能完成控制任务.
7
三,临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应
临界阻尼二阶系统有两个相等实根
s1, 2 = ζω n ± ω n ζ 2 1 = ω n
ωn2 ωn2 1 1 C ( s) = 2 = 2 s + 2ζω n s + ω n s ( s + 1 / T1 )( s + 1 / T2 ) s
e t / T1 e t / T2 + 过阻尼响应 h(t ) = 1 + T2 / T1 1 T1 / T2 1 (t ≥ 0 )
过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超 调单调上升过程.
R C R 实际阻尼系数 ζ= = = 2 L Rc 临界阻尼系数
2
故ζ 称为相对阻尼系数或阻尼比.
一,二阶系统的数学模型
R(s)
33二阶系统的时域分析PPT课件
求导可知，c(t)输出为一条单调上升的曲线。n 1,2,3时：
3 2 n 1
L[F(sa)]eatf(t)
一定时，随 n 的增大，系统的响应速度变快。
5) 1 (过阻尼)
c ( t ) 1 1
(s)1 G G (s()s)s22 n 2nsn 2
形式
结构图
G(s)
（ s s
n2 2n）
R(s) -
2 n
C(s)
s(s 2 n )
：阻尼系数
n ：自然频率(无阻尼振荡频率)
❖ 开环传函模拟电路
R1
R(s)
R1
比例 环节
R2
R3 + +
G(s) n2 s(s 2n)
积分 环节
惯性 环节
-1<ξ<0
振荡发散
❖
1时
(s)
s2
n2 2nsn2
,取 n
1
,阶跃响应为：
ξ = -1
c(t)输出为一单调发散形式的曲线。
❖ 1
C (s ) R (s ) (s ) 1 ss 2 2n 2 n sn 2 a s s b p 1 s c p 2
p 1 ( 2 1 )n p 2 ( 2 1 )n
由留数公式：
a[C(s)s]s01
C C(ss)1ss(ss2p12)n2(sn2nsp2) n2
1
b[C (s)(sp 1)]sp 1221(21)
c[C (s)(sp2)]sp222 1(1 2 1)
C(s)a b c s sp1 sp2
1
1
12
2 1(
21) 2
2 1(
2 1)
s s( 21)n s( 21)n
3 2 n 1
L[F(sa)]eatf(t)
一定时，随 n 的增大，系统的响应速度变快。
5) 1 (过阻尼)
c ( t ) 1 1
(s)1 G G (s()s)s22 n 2nsn 2
形式
结构图
G(s)
（ s s
n2 2n）
R(s) -
2 n
C(s)
s(s 2 n )
：阻尼系数
n ：自然频率(无阻尼振荡频率)
❖ 开环传函模拟电路
R1
R(s)
R1
比例 环节
R2
R3 + +
G(s) n2 s(s 2n)
积分 环节
惯性 环节
-1<ξ<0
振荡发散
❖
1时
(s)
s2
n2 2nsn2
,取 n
1
,阶跃响应为：
ξ = -1
c(t)输出为一单调发散形式的曲线。
❖ 1
C (s ) R (s ) (s ) 1 ss 2 2n 2 n sn 2 a s s b p 1 s c p 2
p 1 ( 2 1 )n p 2 ( 2 1 )n
由留数公式：
a[C(s)s]s01
C C(ss)1ss(ss2p12)n2(sn2nsp2) n2
1
b[C (s)(sp 1)]sp 1221(21)
c[C (s)(sp2)]sp222 1(1 2 1)
C(s)a b c s sp1 sp2
1
1
12
2 1(
21) 2
2 1(
2 1)
s s( 21)n s( 21)n
自动控制原理 3-3二阶系统的时域分析
(a)根分布
(b)单位阶跃响应
图3-12 临界阻尼情况(z ＝1)
3. ＞１，称为过阻尼情况 当阻尼比 ＞１时，系统有两个不相等的实数根：
s1,2 ( 2 1)n 对于单位阶跃输入，C(s)为
(3.27)
C(s) 1 [2 2 1(
2 1)]1 [2 2 1(
2 1)]1
% e 12 100%
e 或 %
tg
100%
取5%
ln
1 2
h(t) 由包络线求调节时间ts
取2%
ln 1 2
0.05 2.997
0.05 3.913
0.1 0.2 0.3
3.001 3.016 3.043
ts
31.5 n
，取5% e 1
n t
12
ts
4.5 n
，取2%
0.1 0.2 0.3
2%， 0.78； 5%， 0.7
当０＜ ＜0.9时，则
ts
3
n
3T
(按到达稳态值的95%~105%计)
或
ts
4
n
4T
(按到达稳态值的98%~102%计)
(3.40)
由此可见, n大，ts就小，当n一定，则ts与成反比，这与tp， tr与的关系正好相反。
根据以上分析，如何选取和n来满足系统设计要求，总结几点
令 dh(t) ab(c a) eat ab(a b) ebt 0
dt c(b a)
c(a b)
j
ca
分子正分母负，t<0，
ln 得：t c b
-c -b -a 0
零
无解！
ab
j
点
分子出错，无解！ j
第三章2 线性系统的时域分析方法(33)PPT课件
0 虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡，无阻尼
左 半 平 面 ξ>0
ξ= 0 jω
右 半 平 面 ξ<0
0< ξ< 1
jω n
ξ=1 两个相等根
ω d= ω n
单位阶跃 响应=0
ξ>1
jω n S1,2 nn 21
两个不等根
自动控制原理
图 3 - 9 二武汉阶 理系工统大学极自点动化分 学布院
n
d n 12
自动控制原理
武汉理工大学自动化学院
d n 12 称为阻尼自振频率
由极限求得 0 1 1 1 2 2n
将它们代入式（3-6）并将式中的第二项分成两项得
C (s) 1 s (s s n ) 2 n d 2 (s n ) n 2 d 2
因为
£ -1[(ssn )2 n d2]en tco ds t
3.3 二阶系统的时域分析
二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的 控制系统。
3.3.1 二阶系统的数学模型 随动系统A Servo System（位置控制系统）如图36所示。其任务是控制有黏性摩擦和转动惯量的负载， 使负载位置与输入手柄位置协调。
自动控制原理
武汉理工大学自动化学院
自动控制原理
自动控制原理
武汉理工大学自动化学院
1
1
e
2
n tsindt(
)
t0
1
自动控制原理
武汉理工大学自动化学院
（2）临界阻尼 （ 1 ）的情况
当 时 ，1 系统具有两个相等的负实数极点，
，
如图S31-,211所示n。此时有
C(s)ss n 2n2 s0s 1n(s 2n)2 （3－7）
自动控制原理3.3~3.4 二阶系统时域分析
闭环特征方程： D( s ) s 2 2 s 2 0 n n 闭环特征根： s1, 2 n n
2
1
二、二阶系统单位阶跃响应
单位阶跃输入r(t)=1(t)时，其二阶系统的输出的拉氏变换为
2 2 n n 1 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 s 2 n s n s s( s s1 )(s s2 )
e
(ζ ζ 2 1 ) n t
ζ 2 1 ) n t
c(t ) 1
1
2 ζ 2 1 (ζ ζ 2 1) 1 (ζ e 2 ζ 2 1 (ζ ζ 2 1)
e
(ζ ζ 2 1 ) n t
ζ 2 1 ) n t
c(t)
1
0 t
单调上升过程
2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 c(t) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
=0
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
1
2
3
4
5
• 在0<<1, 越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长； • =0.7，调节时间短，而超调量%<5%，平稳性也好，故称 ζ=0.7为最佳阻尼比。工程希望=0.4～0.8为宜； •在≥1 , 越大，系统响应速度慢，调节时间ts也长。
例题：设角度随动系统如图所示，T=0.1为伺服电机时间常数， 若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间ts≤1s，问K应 取多大？此时上升时间等于多少？
Θi(s)
_
K s(Ts 1)
Θo(s)
解：闭环传递函数为
K K K /T s (Ts 1) (s) 2 2 K Ts s K s s / T K / T 1 s (Ts 1)
3-3二阶系统的时域分析
输出为衰减振荡形 式(欠阻尼响应) ；
1：
s1, 2 n ；
c(t ) n te
2 t
C(t) t
；
输出为无振荡衰减形式(临界阻尼响应) ；
1 ： T11 n n 2 1 s1 ，T21 n n 2 1 s2 ； n t / T t / T
2
s ( s 2 n )
； ( s)
a2 s a1s a2
2
；
典型二阶系统有两个参数。系统有两个极点：
1
极点在S平面上的位置不同(值，见图3-9) ，系统 的性质不同，对输入信号的响应过程不同。
0
0
0
s1, 2 jd
(a ) 1 0
s1, 2 n 1
2
s1, 2 jd
(c) 0 1
(b) 1
0
0
0
s1, 2 jn
(d ) 0
s1, 2 n
(e) 1
s1, 2 n 1
2
(f ) 1
n
衰减系数， d n
1
2
(阻尼)振荡频率
图3-9 二阶系统的闭环极点分布
☆二阶系统的单位脉冲响应：
0：
s1, 2 jn ；
c(t ) n sin( nt ) ；
输出为等幅振荡形式(无阻尼响应) ；
0 1 ：s1, 2 jd ；c(t )
n
1
2
e
t
sin( d t ) ；
n
d
e
sin( d t 2 ) ；
3二阶系统的时域分析
式中： n 称为二阶系统的无阻尼振荡频率或自然振荡频率，单位是 rad/s，T 1 n称为二阶系统的时间常数， 称为阻尼比，一般无量纲。
U 0 ( s) 1 LC 1 其传递函数为 G(s) 2 2 U r (s) Lcs Rcs 1 s ( R C )s 1 LC
e nt 1 2
sin( d t )
由此可见误差的响应函数也是一个指数衰减的振荡响应形式。
（2）无阻尼（ 0 ）二阶系统单位阶跃响应
s 特征根： 1, 2 jn
c 单位阶跃响应： (t ) 1 cosn t (t 0)
分析结论：无阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线呈等幅振荡形式，其 振荡频率为 n ，幅值为1。 误差响应函数： e(t ) r (t ) c(t ) cosn t (t 0) 可见误差响应函数也是等幅振荡 形式，系统得不到稳态误差。
c (t )
1
0
t
四、欠阻尼二阶系统性能指标
c(t ) 1 ent 1 2 sin( 1 2 nt ) 式中， tg 1 1 2
（1）上升时间 t r ：根据定义，当 t
t r 时，c(t)=1。
c(tr ) 1
entr 1 2
0
n e
整理得：
n t p 2
1
n
[sin( d t ) d cos( d t )] 0
1 2
[ sin(d t p ) 1 2 cos(d t p )] 0 [cos sin(d t p ) sin cos(d t p )] 0
100%
从上式可知超调量 M p % 仅与阻尼比 有关，而与自然振荡频率无关。 结论：阻尼比 越小，则超调量越大；阻尼比 越大，则超调量越小。
二阶系统的时域分析.ppt
d ds
[C
(s
)(
s
n
)
2
]s
n
1
2 [C(s) (s n )2 ]sn n
C(t) 1 ent ntent 1 ent (1 nt) (t 0)
j [s]
s1s2
n o
1
C(t) 1
1 是输出响应的单调和振荡过程的分界，通
常称为临界阻尼状态。
o
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
况，故称为阻尼系数。
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
10
3.二阶系统的性能指标(1)－上升时间
根据定义，当 t tr时，c(tr ) 1。 令 c(t) 1 et sin (dt+ ) =1
sin
c(t) 1 et sin (dt+ ) , t 0 sin
e t sin (d t+ ) 0 sin
T1 T2
n
T2
1
n
h(t)= 1 -(1临+ω界n阻t)尼0je-ωnt
0＜0＜ξ＜ξ＜1 1 S1,2= -ξ ωn ±jj ωn√1-ξξ2 ＝0
jj 0
0
0
e - h(t)=
ξ＝1 0 1
2020/3/2√91-ξ2
-ξωSnt欠1s,2i阻n=(尼ω±d3t-j3+二ωβ阶n)系统的时域分析
为阻尼振荡圆频率。
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
1 2 是振荡频率。称 d
5
2.二阶系统的单位阶跃响应(4)-过阻尼
极点：s1,2 n n 2 1
阶跃响应：c(t) 1
n
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开环传递函数为:
G(s)
s2
n2 2ns
闭环传递函数为: (s)1 G G (s()s)s22n 2 nsn 2
(s)称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数， n 称为无阻
尼振荡频率或自然频率。
20.11.2020
3
二、二阶系统的单位阶跃响应
特征方程为： s22 nsn 20
特征根为：s1,2nn 21，注意：当 不同时，特征根
o 1,欠阻尼 s1,2 njn 12
一对共轭复根(左 半平面）
衰减振荡
1，临界阻尼 s1,2 n(重根 ) 一对负实重根 单调上升
1，过阻尼 s1,2 nn 21 两个互异负实根 单调上升
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8
❖二阶系统在各种不同 情况下的闭环极点分布见P95 图3-9
Im [s]
s1
n 1 2
小写 ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω
中文名 纽
克西 欧米克隆
派 柔 西格玛 陶 玉普西隆 弗爱 凯 普赛 奥米伽
20.11.2020
2
这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。
一、二阶系统的数学模型 下图所示为稳定的二阶系统的典型结构图。
R(s) -
2 n
C(s)
s(s 2 n )
nt
8 10 12
可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有
衰减的正弦运动，当 1 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。
可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。
20பைடு நூலகம்11.2020
10
三、典型二阶系统的动态过程分析
（一）衰减振荡瞬态过程 (01)：欠阻尼
s1,2 njn 12
（闭环极点）有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同，有振 荡和非振荡两大类情况。
⒈ 当时 0 ，特征方程有一对共轭的虚根，两极点位于S平
面的虚轴上，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等 幅振荡。图3-9(d)
⒉ 当时 0 1，特征方程有一对实部为负的共轭复根，两
个极点位于S平面左半平面,称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为 衰减的振荡过程。图3-9(c)
解得：
tr
1
d
tg1(
12
)
20.11.2020
11
tr
1
d
tg1(
12
)
s1,2 njn 12
tg ()n1 n21 2
tg1( 12)
tr
d
jn
n
12 jd
n
n
jn 12
称为阻尼角，这是由于 cos 。
可见，当阻尼比一定时，系统的响应速度与自然频率成正 比；而当阻尼频率一定时，阻尼比越小，上升时间越短。
sin(
12
12nt)]
1
ent
12
sin(dt),
t0
d 称为阻尼振荡频率
20.11.2020
7
上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和 过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应 如下表所示：
阻尼系数
特征根
极点位置 单位阶跃响应
0,无阻尼 s1,2 jn 一对共轭虚根 等幅周期振荡
延迟时间见P97
20.11.2020
12
⒉ 峰值时间 t p ：当t t p 时， c(tp) 0
e nt
c(t)1
s
12
i nd(t),
t0
其中
tg1 1 2
c (t) 1 n e 2 n tp sid n tp () e 1 n t2 p d co d tp s () 0
3-3 二阶系统的时域分析
20.11.2020
1
希腊字母中英对照一览表
大写 A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ
小写 α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ
中文名 阿尔法
贝塔 伽玛 德尔塔 伊普西隆 泽塔 伊塔 西塔 约塔 卡帕 兰姆达 米欧
大写 Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
6
闭环传递函数为: (s)1 G G (s()s)s22n 2 nsn 2
➢当 0 1的欠阻尼时， 极点为： s1,2 njn 12
阶跃响应为： C(s)1ss22n 2nsn2 1ss2s22nsnn2
根据表2-3
1ss2s2nsnn2
s22
n nsn2
c(t)1ent[cos(
12nt)
以上 01 属于振荡情况
20.11.2020
4
s1,2nn 21
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，两个极点位于S平
面负实轴上,系统时间响应无振荡,称为临界阻尼系统，系统的阶 跃响应为非振荡过程。图3-9(e)
⒋ 当 1时，特征方程有一对不等的实根，两个极点位于S平
面负实轴上,系统时间响应无振荡,称为过阻尼系统，系统的阶跃 响应为非振荡过程。图3-9(f)
c (t) 1 e n t (cd o t s1 2sid n t), t 0
⒈ 上升时间 t r ：根据定义，当 t tr时，c(tr)1。
c ( tr) 1 e n t r(cd o tr s1 2sid n tr) 1
cosdtr 1 2si ndtr0
tgdtr
1 2
n 0 Re
Im [s]
s1 s2 0 Re
Im [s]
s2 s1 0 Re
(a) 0 1
(b) 1
(c) 1
Im [s]
s1
0 Re s2
(d) 0
20.11.2020
9
C (t)
2
1 .8
1 .6
1 .4
1 .2
1
0 .8
0 .6 0 .4 0 .2
0 0
246
以上 1 属于非振荡情况
20.11.2020
5
s1,2nn 21
当 0 ，二阶系统具有两个正实部的特征根，又分为两种情况：
5）如果特征根中有虚部，则输出是发散的振荡曲线，如图(a)； 6）如果特征根中无虚部，则输出是发散的单调曲线，如图(b)
0 的情况一般不会出现，故这种情况不讨论。
20.11.2020
n s id tn p ( ) d c o d tp s ) (0
整理得：t
g (dtp)d n
12 t
g
dtpn,(n0,1 ,2,...)
20.11.2020
13
dtpn,(n0,1 ,2,...)
由于t
p
出现在第一次峰值时间，取n=1，有：tp
n
12 d
可见峰值时间与闭环极点的虚部数值成正比，阻尼比 一定时，闭环极点离负实轴距离越远，系统的峰值时间越 短。这也是因为当闭环极点离负实轴距离越远时，特征根S 中虚部的成分就越多，越容易产生振荡，响应上升越快， 系统的峰值时间越短。