人教版平行四边形单元期末复习测试题试题

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人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元期末复习专项训练学能测试试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元期末复习专项训练学能测试试卷一、选择题1．将个边长都为1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形对角线的交点，则2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )A ．B ．C ．D ．2．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A′处，当△A′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（）A ．2B ．233C ．2或233D ．2或4333．正方形ABCD ，正方形CEFG 如图放置，点B 、C 、E 在同一条直线上，点P 在BC 边上，PA ＝PF ，且∠APF ＝90°，连接AF 交CD 于点M ．有下列结论：①EC ＝BP ；②AP ＝AM ：③∠BAP ＝∠GFP ；④AB 2+CE 2＝12AF 2；⑤S 正方形ABCD +S 正方形CGFE ＝2S △APF ，其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④⑤D ．①③④⑤4．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点,E F 在正方形ABCD 内， ,EAB FDC ∆∆都是等边三角形，则EF 的长为（）A ．23-B ．232-C ．31-D ．3 5．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，且60ADC ∠=︒，12AB BC =，连接OE ．下列结论：①AE CE =；②ABCD S AB AC =⋅；③ABE AOE S S ∆∆=；④14OE BC =，成立的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PD ＝2，下列结论：①EB ⊥ED ；②∠AEB ＝135°；③S 正方形ABCD ＝5+22；④PB ＝2；其中正确结论的序号是（）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③7．如图，45A ABC C ∠=∠=∠=︒，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则下列结论：①EF BD ⊥，②12EF BD =，③ADC BEF BFE ∠=∠+∠，④AD DC =，其中正确有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE ⊥AB 于 E ，PF ⊥AC 于 F ，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（）A ．1B ．1.3C ．1.2D ．1.59．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AE AF =，AC 与EF 相交于点G ．下列结论：①AC 垂直平分EF ；②BE DF EF +=；③当15DAF ∠=︒时，AEF 为等边三角形；④当60EAF ∠=︒时，AEB AEF ∠=∠．其中正确的结论是（）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④10．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且12BD CD =．点E ，F 分别在边,AB AC 上，且90,EDF M ︒∠=为边EF 的中点，连接CM 交DF 于点N ．若//DF AB ，则CM 的长为( )A 233B 334C 536D 3二、填空题11．如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为．12．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上一点且CD=1，点P 是线段DB 上一动点，连接AP ，以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为_____．13．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．14．如图，正方形ABCD 中，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．15．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．16．在ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则DEF 的周长为______．17．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．18．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②S △ABG ＝32S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④AG+DF ＝FG ．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）19．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．20．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．三、解答题21．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积22．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．23．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．（1）求证：四边形ECFG 是菱形；（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？（3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长．24．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．25．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC 的顶点A （10，0）、C （2，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上由点B 向点C 运动．（1）求点B 的坐标；（2）若点P 运动速度为每秒2个单位长度，点P 运动的时间为t 秒，当四边形PCDA 是平行四边形时，求t 的值；（3）当△ODP 是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．26．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）27．如图①，已知正方形ABCD 的边长为3，点Q 是AD 边上的一个动点，点A 关于直线BQ 的对称点是点P ，连接QP 、DP 、CP 、BP ，设AQ =x ．（1）BP ＋DP 的最小值是_______，此时x 的值是_______；（2）如图②，若QP 的延长线交CD 边于点M ，并且∠CPD =90°．①求证：点M 是CD 的中点；②求x 的值．（3）若点Q 是射线AD 上的一个动点，请直接写出当△CDP 为等腰三角形时x 的值．28．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.29．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒32的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒332+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.30．（问题情境）在△ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE=CF．图① 图② 图③证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．（不要证明）（变式探究）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由.请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF 上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；（迁移拓展）在直角坐标系中.直线l1：y=443x-+与直线l2：y=2x+4相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点,若点P到直线l1的距离为1.求点P的坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．由此即可解答.【详解】由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即一个阴影部分的面积为如图，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，∴n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1），∴2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为×（2019-1）=．故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．2．C解析：C【解析】【分析】根据△A′DC为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A'D=A'C，②A'D=DC，③CA'=CD，分别求得AP的长，并判断是否符合题意．【详解】①如图，当A′D=A′C时，过A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF 垂直平分AB∴A'A=A'B由折叠得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP∴△ABA'是等边三角形∴∠ABP=30°∴AP=223333 AB==；②如图，当A'D=DC时，A'D=2由折叠得，A'B=AB=2∴A'B+A'D=2+2=4连接BD，则Rt△ABD中，BD=22222425AB AD+=+=∴A'B+A'D＜BD（不合题意）故这种情况不存在；③如图，当CD=CA'时，CA'=2由折叠得，A'B=AB=2∴A'B+A'C=2+2=4∴点A'落在BC上的中点处此时，∠ABP=12∠ABA'=45°∴AP=AB=2．综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为2．故选C.【点睛】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．3．D解析：D【分析】①由同角的余角相等可证出△EPF≌△BAP，由此即可得出EF=BP，再根据正方形的性质即可得出①成立；②没有满足证明AP=AM的条件；③根据平行线的性质可得出∠GFP=∠EPF，再由∠EPF=∠BAP即可得出③成立；④在Rt△ABP中，利用勾股定理即可得出④成立；⑤结合④即可得出⑤成立．综上即可得出结论．【详解】①∵∠EPF+∠APB=90°，∠APB+∠BAP=90°，∴∠EPF=∠BAP．在△EPF和△BAP中，有EPF BAPFEP PBA PA PF∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△EPF≌△BAP（AAS），∴EF=BP，∵四边形CEFG为正方形，∴EC=EF=BP，即①成立；②无法证出AP=AM；③∵FG∥EC，∴∠GFP=∠EPF，又∵∠EPF=∠BAP，∴∠BAP=∠GFP，即③成立；④由①可知EC=BP，在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2，∵PA=PF，且∠APF=90°，∴△APF为等腰直角三角形，∴AF2=AP2+EP2=2AP2，∴AB2+BP2=AB2+CE2=AP2=12AF2，即④成立；⑤由④可知：AB2+CE2=AP2，∴S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S△APF，即⑤成立．故成立的结论有①③④⑤．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是逐条分析五条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键．4．B解析：B【分析】连接,,,FA FB ED ED ，延长FE 交CD 于点G ，延长EF 交AB 于点H ，说明EF 是DFC ∠，AEB ∠的平分线，得出,EG FH 的长度，进而求出EF 的长度．【详解】解：连接,,,FA FB ED ED ，延长FE 交CD 于点G ，延长EF 交AB 于点H ， ∵ABE ∆是等边三角形，∴60EAB EBA ∠=∠=︒，∴30DAE CBE ∠=∠=︒，在DAE ∆和CBE ∆中，∵AD BC DAE CBE AE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DAE CBE ∆≅∆，∴ED EC =，在EDF ∆和ECF ∆中，∵FD FC EF EF ED EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴EDF ECF ∆≅∆，∴DFE CFE ∠=∠∴EF 是DFC ∠的平分线，∴FG 是等边DFC ∆的DFC ∠的平分线，∴FG DC ⊥，∴GE GF EF =-，同理可证：EH AB ⊥，FH EH EF =-,∵,EAB FDC ∆∆都是等边三角形，且边长都等于正方形的边长，∴GF EH =，∴GE FH =,∵FG DC ⊥,EH AB ⊥,∴,,,G E F H 四点共线，且GH AD =，∵正方形ABCD 的边长为2，DFC ∆是等边三角形，∴2DF =，∵FG 是等边DFC ∆的DFC ∠的平分线，∴FG 也是DC 边上的中线，即：1DG GC ==，∴在Rt DFG ∆中，由勾股定理得：222DF DG GF =+，即：2222=1GF +， ∴3GF =， ∴23FH =-，同理可得：23GE =-，∴()()222323232EF GE FH =--=----=-，故选：B ．【点睛】本题目主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定，利用,,,G E F H 四点共线是解决本题的关键．5．C解析：C【分析】由▱ABCD 中，∠ADC=60°，易得△ABE 是等边三角形，又由AB=12BC ，证得∠CAD=30°；继而证得AC ⊥AB ，AE=CE ，可判断①；由AC ⊥AB ，则②S ▱ABCD =AB •AC ；可得OE 是三角形的中位线，则OE=12AB ，则③2ABE AOE S S ∆∆=；证得④14OE BC =．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE 是等边三角形，∴AE=AB=BE ，∠BAE=60°，∵AB=12BC ， ∴AE=12BC ， ∴∠BAC=90°，∴∠ACE=∠CAE=30°，∴AE=CE ，故①正确；∵AC ⊥AB ，∴S ▱ABCD =AB •AC ，故②正确，∵点O 是AC 中点，点E 是BC 中点，∴OE=12AB ， ∴2ABE AOE S S ∆∆=，故③错误；∵OE 是中位线，∴OE=12AB=14BC ，故④正确． ∴正确的选项有①②④，共3个；故选：C.【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE 是等边三角形，OE 是△ABC 的中位线是关键．6．D解析：D【分析】先证明△APD ≌△AEB 得出BE ＝PD ，∠APD ＝∠AEB ，由等腰直角三角形的性质得出∠APE ＝∠AEP ＝45︒，得出∠APD ＝∠AEB ＝135︒，②正确；得出∠PEB ＝∠AEB ﹣∠AEP ＝90︒，EB ⊥ED ，①正确；作BF ⊥AE 交AE 延长线于点F ，证出EF ＝BF，得出AF ＝AE +EF ＝1，由勾股定理得出ABS 正方形ABCD ＝AB 2＝5+，③正确；EPAE，由勾股定理得出BP，④错误；即可得出结论．【详解】解：∵∠EAB +∠BAP ＝90︒，∠PAD +∠BAP ＝90︒，∴∠EAB ＝∠PAD ，在△APD 和△AEB 中，AP AE PAD EAB AD AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△AEB （SAS ），∴BE ＝PD ，∠APD ＝∠AEB ，∵AE ＝AP ，∠EAP ＝90︒，∴∠APE ＝∠AEP ＝45︒，∴∠APD ＝135︒，∴∠AEB ＝135︒，②正确；∴∠PEB ＝∠AEB ﹣∠AEP ＝135︒﹣45︒＝90︒，∴EB ⊥ED ，①正确；作BF ⊥AE 交AE 延长线于点F ，如图所示：∵∠AEB ＝135︒，∴∠EFB ＝45︒，∴EF ＝BF ，∵BE ＝PD ＝2，∴EF ＝BF ＝2， ∴AF ＝AE +EF ＝1+2，AB ＝22AF BF +＝22(12)(2)++＝522+，∴S 正方形ABCD ＝AB 2＝（522+）2＝5+22，③正确；EP ＝2AE ＝2，BP ＝22BE EP +＝222(2)+＝6，④错误；故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”可得//EF AC ，12EF AC =，再由45°角可证△ABQ 为等腰直角三角形，从而可得可得AQ BQ =，进而证明AQC BQDASA ≅△△（)，利用三角形的全等性质求解即可．【详解】解：如图所示：连接AC ，延长BD 交AC 于点M ，延长AD 交BC 于Q ，延长CD 交AB 于P ．45ABC C ∠=∠=︒，CP AB ∴⊥，45ABC BAD ∠=∠=︒，AQ BC ∴⊥，点D 为两条高的交点，BM ∴为AC 边上的高，即：BM AC ⊥，由中位线定理可得//EF AC ，12EF AC =， BD EF ∴⊥，故①正确；45DBQ DCA ∠+∠=︒，45DCA CAQ ∠+∠=︒，DBQ CAQ ∴∠=∠，BAD ABC ∠=∠，AQ BQ ∴=，90BQD AQC ∠=∠=︒，∴根据以上条件得AQC BQD ASA ≅△△（)，BD AC ∴=，12EF AC ∴=，故②正确； 45A ABC C ∠=∠=∠=︒，()18045DAC DCA BAD ABC BCD ∴∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒，180135()180ADC DAC DCA BEF BFE ABC ∴∠=︒-∠+∠=︒=∠+∠=︒-∠，故③ ADC BEF BFE ∠=∠+∠成立；无法证明AD CD =，故④错误．综上所述：正确的是①②③，故选C ．【点睛】本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．解题关键是证明AQC BQD ASA ≅△△（)．8．C解析：C【分析】首先证明四边形AEPF 为矩形，可得AM=12AP ，最后利用垂线段最短确定AP 的位置，利用面积相等求出AP 的长，即可得AM.【详解】在△ABC 中，因为AB 2+AC 2=BC 2，所以△ABC 为直角三角形，∠A=90°，又因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，故四边形AEPF 为矩形，因为M 为 EF 中点，所以M 也是 AP 中点，即AM=12AP ，故当AP ⊥BC 时，AP 有最小值，此时AM 最小，由1122ABC SAB AC BC AP =⨯⨯=⨯⨯，可得AP=125， AM=12AP=6 1.25= 故本题正确答案为C.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP ⊥BC 时AM 最小是解题关键.9．A解析：A【分析】①通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE=∠DAF ，BE=DF ，由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，②设BC=x ，CE=y ，由勾股定理就可以得出EF 与x 、y 的关系，表示出BE 与EF ，即可判断BE+DF 与EF 关系不确定；③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF 为等边三角形，④当∠EAF=60°时，可证明△AEF 是等边三角形，从而可得∠AEF=60°，而△CEF 是等腰直角三角形，得∠CEF=45°，从而可求出∠AEB=75°，进而可得结论．【详解】解：①四边形ABCD 是正方形，∴AB ═AD ，∠B=∠D=90°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AF AB AD ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF∵BC=CD ，∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．（故①正确）．②设BC=a，CE=y，∴BE+DF=2（a-y）EF=y，∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y=（）a时成立，（故②错误）．③当∠DAF=15°时，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠BAE=15°，∴∠EAF=90°-2×15°=60°，又∵AE=AF∴△AEF为等边三角形．（故③正确）．④当∠EAF=60°时，由①知AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60°,又△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF=45°∴∠AEB=180°-∠AEF-∠CEF=75°,∴∠AEB≠∠AEF，故④错误．综上所述，正确的有①③，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．10．C解析：C【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt BDE∆中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt CDN∆中求得CN，利用三角形中位线求得MN的长，最后根据线段和可得CM的长．【详解】解：等边三角形边长为2，12BD CD=，∴23BD=，43CD=，等边三角形ABC中，//DF AB，60FDC B∴∠=∠=︒，90EDF∠=︒，30BDE ∴∠=︒，DE BE ∴⊥， 1123BE BD ∴==，2222213()33DE BD BE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，如图，连接DM ，则Rt DEF ∆中，12DM EF FM ==，60FDC FCD ∠=∠=︒，CDF ∴∆是等边三角形，43CD CF ∴==， CM ∴垂直平分DF ，30DCN ∴∠=︒，Rt CDN ∴∆中，43DF =，32DN =，23CN =， ∵EM =FM ，DN =FN ， ∴132MN ED =， 23353CM CN MN ∴=+．故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．二、填空题11．5【详解】由于点B 与点D 关于AC 对称，所以如果连接DE ，交AC 于点P ，那PE+PB 的值最小．在Rt △CDE 中，由勾股定理先计算出DE 的长度，即为PE+PB 的最小值．连接DE ，交AC 于点P ，连接BD ．∵点B 与点D 关于AC 对称，∴DE 的长即为PE+PB 的最小值，∵AB=4，E 是BC 的中点，∴CE=2，在Rt△CDE中， DE=25．考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．12．22【解析】分析：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，易得四边形OECF为矩形，由△AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌△OPF，所以AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分∠ACP，从而可判断当P 从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，接着证明CE=12（AC+CP），然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．详解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，∵△AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP，∠AOP=90°，易得四边形OECF为矩形，∴∠EOF=90°，CE=CF，∴∠AOE=∠POF，∴△OAE≌△OPF，∴AE=PF，OE=OF，∴CO平分∠ACP，∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，∵AE=PF，即AC-CE=CF-CP，而CE=CF，∴CE=12（AC+CP），∴OC=2CE=22（AC+CP），当AC=2，CP=CD=1时，OC=22×（2+1）=322，当AC=2，CP=CB=5时，OC=2×（2+5）=72，∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长=722-322=22．故答案为22．点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．13．8【分析】通过作辅助线使得△CAO≌△GBO，证明△COG为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC的长．【详解】如图，延长CB到点G，使BG=AC．∵根据题意，四边形ABED为正方形，∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA为直角三角形，AB为斜边，∴∠2+∠3=90°∴∠1＝∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO＝∠GBO，在△CAO和△GBO中，CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩故△CAO ≌△GBO ，∴CO ＝GO=62，∠7=∠6，∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，∴三角形COG 为等腰直角三角形，∴CG=()()2222=6262=12CO GO ++， ∵CG=CB+BG ，∴CB=CG －BG=12－4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键． 14．42【分析】作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ．【详解】∵AE 是DAC ∠的角平分线，∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '由轴对称可以得到PQ P Q '=，∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4，∴4DP '=，由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=，在Rt DCP '中，2222443242DC DP P C ''=+=+==．故答案是：42．【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ +取最小值的状态，并将它转换成DP '去求解．15．25【分析】作BE ⊥AD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则四边形BEDF 是矩形，证明△ABE ≌△CBF （AAS ），得出BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，则四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，求出BE=10，即可求得BD 的长．【详解】解：作BE ⊥AD 交DA 延长线于E ，BF ⊥CD 于F ，如图所示：则∠BEA=∠BFC=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形BEDF 是矩形，∴∠EBF=90°，∵∠ABC=90°，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF ，在△ABE 和△CBF 中，BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CBF （AAS ），∴BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，∴四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，∴BE=DE ，BE 2=10 cm 2，∴10(cm)，∴25．故答案为：5【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．16．15.5【分析】先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得1 4.52EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得．【详解】由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒B BDE ∴∠=∠BE DE ∴=1112622DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ====⨯= 又,AE BE AF CF ==∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点EF ∴是ABC 的中位线119 4.522EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=故答案为：15.5．【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．17．663【分析】通过四边形ABCD 是矩形以及CE CB BE ==，得到△FEM 是等边三角形，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理得到KM ，NK ，KE 的值，进而得到NE 的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN ，BE 即可．【详解】解：如图，设NE 交AD 于点K ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC=90°，∴∠MFE=∠FCB ，∠FME=∠EBC∵CE CB BE ==，∴△BCE为等边三角形，∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，∵∠FEM=∠BEC，∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2，∵EN⊥BE，∴∠NEM=∠NEB=90°，∴∠NKA=∠MKE=30°，∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，∴在Rt△KME中，KE=2223KM EM-=，∴NE=NK+KE=6+23，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=30°，∴BN=2NE=12+43，∴BE=22663BN NE-=+，∴BC=BE=663，故答案为：663【点睛】本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．18．①②④．【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=12∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②④进行判断；接着证明△ABF∽△DFE，利用相似比得到43DE AFDF AB==，而623ABAG==，所以AB DEAG DF≠，所以△DEF与△ABG不相似，于是可对③进行判断.【详解】解：∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，∴∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，BF ＝BC ＝10，BH ＝BA ＝6，AG ＝GH ，∴∠EBG ＝∠EBF+∠FBG ＝12∠CBF+12∠ABF ＝12∠ABC ＝45°，所以①正确；在Rt △ABF 中，AF ＝22BF AB -＝22106-＝8，∴DF ＝AD ﹣AF ＝10﹣8＝2，设AG ＝x ，则GH ＝x ，GF ＝8﹣x ，HF ＝BF ﹣BH ＝10﹣6＝4，在Rt △GFH 中，∵GH 2+HF 2＝GF 2，∴x 2+42＝（8﹣x ）2，解得x ＝3，∴GF ＝5，∴AG+DF ＝FG ＝5，所以④正确；∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，∴∠BFE ＝∠C ＝90°，∴∠EFD +∠AFB ＝90°，而∠AFB +∠ABF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EFD ，∴△ABF ∽△DFE ，∴ABDF ＝AFDE ，∴DE DF ＝AF AB ＝86＝43，而ABAG ＝63＝2，∴AB AG ≠DEDF ，∴△DEF 与△ABG 不相似；所以③错误．∵S △ABG ＝12×6×3＝9，S △GHF ＝12×3×4＝6，∴S △ABG ＝32S △FGH ，所以②正确．故答案是：①②④．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．19．5【分析】先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC =即可．【详解】∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，∴四边形BCEF 是矩形，∵1PE =，∴3CE =，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．20．2或3.5【分析】分别从当Q 运动到E 和B 之间、当Q 运动到E 和C 之间去分析求解即可求得答案．【详解】如图，∵E 是BC 的中点，∴BE=CE= 12BC=9， ①当Q 运动到E 和B 之间，则得：3t ﹣9=5﹣t ，解得：t=3.5；②当Q 运动到E 和C 之间，则得：9﹣3t=5﹣t ，解得：t=2，∴当运动时间t 为2秒或3.5秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】“点睛”此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．解题时注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．三、解答题21．（1）见解析（2）10【分析】（1）先证明AFE DBE ∆≅∆，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元期末复习测试基础卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元期末复习测试基础卷一、解答题1．如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°．动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，分别取AF、CE的中点G、H．设运动的时间为ts （0＜t＜4）．（1）求证：AF∥CE；（2）当t为何值时，△ADF的面积为32cm2；（3）连接GE、FH．当t为何值时，四边形EHFG为菱形．2．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C 重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC=132，DB=5，则△ABC的面积为．（直接写出答案）3．正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点P是正方形ABCD对角线BD上的一个动点（点P不与点B，O，D重合），连接CP并延长，分别过点D，B向射线作垂线，垂足分别为点M，N．（1）补全图形，并求证：DM ＝CN ；（2）连接OM ，ON ，判断OMN 的形状并证明．4．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ．（1）操作发现：①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个三角形； ②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为．（2）深入探究：在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23． ①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．5．如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ．（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；（2）若∠DEF =90°，DE =8，EF =6，当AF 为时，四边形BCEF 是菱形．6．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ： ①若522CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =；（2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．7．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α． ①按要求补全图形；②∠EBF =______________（用含α的式子表示）； ③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明． 8．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．9．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，.提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点的两个特殊位置：①当点与点重合时，如图1所示，____________②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.10．在正方形AMFN 中，以AM 为BC 边上的高作等边三角形ABC ，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至点D ，D 点恰好落在NF 上，连接BD ，AC 与BD 交于点E ，连接CD ， (1)如图1，求证：△AMC ≌△AND ； (2)如图1，若3，求AE 的长；(3)如图2,将△CDF 绕点D 顺时针旋转α（090α<<）,点C,F 的对应点分别为1C 、1F ，连接1AF 、1BC ，点G 是1BC 的中点,连接AG ，试探索1AGAF 是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）见解析；（2）t＝2；（3）t＝1．【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，可求CF＝AE，可得结论；（2）由菱形的性质可求AD＝2cm，∠ADN＝60°，由直角三角形的性质可求AN＝3DN＝3cm，由三角形的面积公式可求解；（3）由菱形的性质可得EF⊥GH，可证四边形DFEM是矩形，可得DF＝ME，由直角三角形的性质可求AM＝1，即可求解．【详解】证明：（1）∵动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，∴DF＝BE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴CF＝AE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE；（2）如图1，过点A作AN⊥CD于N，∵在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°，∴AD＝2cm，∠ADN＝60°，∴∠NAD＝30°，∴DN＝12AD＝1cm，AN＝3DN＝3cm，∴S△ADF＝12×DF×AN＝12×12t×3＝32，∴t＝2；（3）如图2，连接GH，EF，过点D作DM⊥AB于M，∵四边形AECF是平行四边形，∴FA＝CE，∵点G是AF的中点，点H是CE的中点，∴FG＝CH，∴四边形FGHC是平行四边形，∴CF∥GH，∵四边形EHFG为菱形，∴EF⊥GH，∴EF⊥CD，∵AB∥CD，∴EF⊥AB，又∵DM⊥AB，∴四边形DFEM是矩形，∴DF＝ME，∵∠DAB＝60°，∴∠ADM＝30°，∴AM＝12AD＝1cm，∵AM+ME+BE＝AB，∴1+12t+12t＝2，∴t＝1．【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．2．（1）BC ⊥CF ，CF +CD =BC ；（2）CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ，证明详见解析；（3）494．【分析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ，从而证得CF =BD ，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD =CF ，即可得到CF ﹣CD =BC ；（3）先证明△BAD ≌△CAF ，进而得出△FCD 是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF 的长，再求出CD ，BC 即可解决问题．【详解】（1）如图1中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°， ∴∠ACB =∠ABC =45°， ∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°﹣∠DAC ，∠CAF =90°﹣∠DAC ， ∴∠BAD =∠CAF ， ∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）， ∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°， ∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ， ∵BD +CD =BC ， ∴CF +CD =BC ；故答案为：CF ⊥BC ，CF +CD =BC ．（2）结论：CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ．理由：如图2中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°， ∴∠ACB =∠ABC =45°， ∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°+∠DAC ，∠CAF =90°+∠DAC ， ∴∠BAD =∠CAF ， ∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）， ∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°， ∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ， ∴BC +CD =CF ， ∴CF ﹣CD =BC ；（3）如图3中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°， ∴∠ACB =∠ABC =45°， ∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°﹣∠BAF ，∠CAF =90°﹣∠BAF ， ∴∠BAD =∠CAF ， ∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）， ∴∠ACF =∠ABD ，BD =CF =5， ∵∠ABC =45°， ∴∠ABD =135°， ∴∠ACF =∠ABD =135°， ∴∠FCD =135°﹣45°=90°， ∴△FCD 是直角三角形． ∵OD =OF ， ∴DF =2OC =13，∴Rt △CDF 中，CD=12， ∴BC =DC ﹣BD =12﹣5=7， ∴AB =AC， ∴S △ABC 1492224=⨯=．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，判断出△BAD ≌△CAF 是解本题的关键． 3．（1）见解析；（2）MON 为等腰直角三角形，见解析【分析】（1）如图1，由正方形的性质得CB ＝CD ，∠BCD ＝90°，再证明∠BCN ＝∠CDM ，然后根据“AAS”证明△CDM ≌△CBN ，从而得到DM ＝CN ；（2）如图2，利用正方形的性质得OD ＝OC ，∠ODC ＝∠OCB ＝45°，∠DOC ＝90°，再利用∠BCN ＝∠CDM 得到∠OCN ＝∠ODM ，则根据“SAS”可判断△OCN ≌△ODM ，从而得到ON ＝OM ，∠CON ＝∠DOM ，所以∠MON ＝∠DOC ＝90°，于是可判断△MON 为等腰直角三角形．【详解】（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴CB ＝CD ，∠BCD ＝90°， ∵DM ⊥CP ，BN ⊥CP ， ∴∠DMC ＝90°，∠BNC ＝90°，∵∠CDM+∠DCM ＝90°，∠BCN+∠DCM ＝90°， ∴∠BCN ＝∠CDM ，在△CDM 和△CBN 中DMC CNB CD CBCDM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CDM ≌△CBN ， ∴DM ＝CN ；（2）解：△OMN 为等腰直角三角形．理由如下：如图2，∵四边形ABCD 为正方形，∴OD ＝OC ，∠ODC ＝∠OCB ＝45°，∠DOC ＝90°， ∵∠BCN ＝∠CDM ，∴∠BCN ﹣45°＝∠CDM ﹣45°，即∠OCN ＝∠ODM ，在△OCN 和△ODM 中CN DM OCN ODM OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OCN ≌△ODM ，∴ON ＝OM ，∠CON ＝∠DOM ， ∴∠MON ＝∠DOC ＝90°， ∴MON 为等腰直角三角形．【点睛】本题考查正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．也考查全等三角形的判定与性质． 4．（1）①等腰；②2BE =；（2）①2；②存在，3512【分析】（1）①由折叠的性质得EF＝BF，即可得出结论；②当折痕经过点A时，由折叠的性质得AF垂直平分BE，由线段垂直平分线的性质得AE＝BE，证出ABE是等腰直角三角形，即可得出BE AE；（2）①由等边三角形的性质得BF＝BE，∠EBF＝60°，则∠ABE＝30°，由直角三角形的性质得BE＝2AE，AB，则AE＝1，BE＝2，得BF＝2即可；②当点F在边BC上时，得S△BEF≤12S矩形ABCD，即当点F与点C重合时S△BEF最大，由折叠的性质得CE＝CB＝EF＝当点F在边CD上时，过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，则S△EKF＝1 2KF•AH≤12HF•AH＝12S矩形AHFD，S△BKF＝12KF•BH≤12HF•BH＝12S矩形BCFH，得S△BEF≤12S矩形ABCD ＝3，即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，此时，DF＝12CD＝2，点E与点A重合，由勾股定理求出EF即可．【详解】解：（1）①由折叠的性质得：EF＝BF，∴BEF是等腰三角形；故答案为：等腰；②当折痕经过点A时，由折叠的性质得：AF垂直平分BE，∴AE＝BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠A＝90°，∴ABE是等腰直角三角形，∴BE；故答案为：BE；（2）①当BEF是等边三角形时，BF＝BE，∠EBF＝60°，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，∵∠A＝90°，∴BE＝2AE，AB∴AE＝1，BE＝2，∴BF＝2；②存在，理由如下：∵矩形ABCD中，CD＝AB BC＝∴矩形ABCD的面积＝AB×BC6，第一种情况：当点F在边BC上时，如图1所示：此时可得：S△BEF≤12S矩形ABCD，即当点F与点C重合时S△BEF最大，此时S△BEF＝3，由折叠的性质得：CE＝CB＝23，即EF＝23；第二种情况：当点F在边CD上时，过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，如图2所示：∵S△EKF＝12KF•AH≤12HF•AH＝12S矩形AHFD，S△BKF＝12KF•BH≤12HF•BH＝12S矩形BCFH，∴S△BEF＝S△EKF+S△BKF≤12S矩形ABCD＝3，即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，此时，DF＝12CD＝32，点E与点A重合，BEF的面积为3，∴EF22AD DF＝512；综上所述，BEF的面积存在最大值，此时EF的长为351．【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，此题难度较大，掌握矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键．5．（1）详见解析；（2）145．【分析】（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易证得△ABC≌DEF（SAS），即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE ，交CF 与点G ，由三角形DEF 的面积求出EG 的长，根据勾股定理求出FG 的长，则可求出答案．【详解】（1）证明：∵AF =DC ，∴AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴BC =EF ，∠ACB =∠DFE ，∴BC ∥EF ，∴四边形BCEF 是平行四边形；（2）如图，连接BE ，交CF 于点G ，∵四边形BCEF 是平行四边形，∴当BE ⊥CF 时，四边形BCEF 是菱形，∵∠DEF =90°，DE =8，EF =6，∴DF 222286DE EF +=+10，∴S △DEF 1122EG DF EF DE =⋅=⋅， ∴EG 6824105⨯==， ∴FG =CG 22222418655EF EG ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， ∴AF =CD =DF ﹣2FG =10﹣365=145．故答案为：145．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．6．（1）①7；②证明见解析；（2）93，理由见解析【分析】（1）①如图1中，延长BC 交DE 的延长线于T ，过点T 作TH ⊥BD 于H ，设BD=2x ．证明△BDT 是等腰直角三角形，四边形ACTE 是矩形，进而利用勾股定理构建方程求解即可； ②如图2中，延长BC 交DE 的延长线于T ，连接TF ，进而利用全等三角形的性质证明△CEF 是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图3中，根据题意设∠EAD=x ，则∠BAC=2x ．证明△ABC 是等边三角形，再根据垂线段最短即可解决问题．【详解】解：（1）①如图1中，延长BC 交DE 的延长线于T ，过点T 作TH ⊥BD 于H ，设BD=2x ．∵∠ACB=90°，∠ACB+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∵CA=CB ，EA=ED ，∴∠B=∠D=45°，∴∠BTD=90°，∵∠TCA=∠CTE=∠TEA=90°，∴四边形ACTE 是矩形，∴22EC AT ==∵TH ⊥BD ，∴BH=HD=x ，∴TH=HB=HD=x ，∵AB=3，∴AH=x-3，在Rt △ATH 中，则有22252(()23x x =-+，解得：72x =或12-（不符合题意舍弃）， ∴BD=2x=7．②证明：如图2中，延长BC 交DE 的延长线于T ，连接TF ．∵∠B=∠D=45°，∴TB=TD，∵∠BTD=90°，BF=DF，∴TF⊥BD，∠FTE=∠BTF=45°，∴TF=BF，∠BFT=90°，∵四边形ACTE是矩形，∴TE=AC，∴AC=BC，∴BC=TE，∵∠B=∠FTE=45°，∴△FBC≌△FTE（SAS），∴FC=EF，∠BFC=∠TFE，∴∠CFE=∠BFT=90°，∴△CFE是等腰直角三角形，∴EC=2EF．（2）如图3中，设∠EAD=x，则∠BAC=2x．∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA=x，∴2x+∠AED=180°，∵∠ACB+∠AED=180°，∴∠ACB=2x，∵CB=CA，∴∠B=∠CAB=2x，∴∠C=∠B=∠CAB，∴△ABC 是等边三角形，∴∠CAB=60°，∠EAD=30°，当AD ⊥BC 时，△ADE 的面积最小，∵AB=BC=AC=3，∴AD =，∴S △ADE 的最小值1322416=⨯⨯=．【点睛】本题属于三角形综合题，考查等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．（1）①详见解析；②45°-α；③DF BF =+，详见解析；（2）DF BF =，或BF DF =，或BF DF +=【分析】（1）①由题意补全图形即可；②由正方形的性质得出1452DBE ABC ∠=∠=，由三角形的外角性质得出45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，由直角三角形的性质得出9045EBF BEF α∠=-∠=-即可；③在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，证明△CDM ≌△CBF ，得出CM=CF ， ∠DCM=∠BCF ，得出即可得出结论；（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，，理由同(1)③；②当点E 在线段BC 的延长线上时，，在BF_上截取BM=DF ，连接CM ．同(1)③得△CBM ≌△CDF 得出CM=CF ，∠BCM=∠DCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出，即可得出结论；③当点E 在线段CB 的延长线上时，，在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，同(1) ③得:ACDM ≌△CBF 得出CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出，即可得出结论．【详解】解：（1）①如图，②∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，1452DBE ABC ∠=∠=， ∴45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，∵BF ⊥DE,∴∠BFE=90°，∴9045EBF BEF α∠=-∠=-,故答案为：45°-α；③线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系是2DF BF CF =+．证明如下：在DF 上截取DM =BF ，连接CM ．如图2所示，∵ 正方形ABCD ，∴ BC =CD ，∠BDC =∠DBC =45°，∠BCD =90°∴∠CDM =∠CBF =45°-α，∴△CDM ≌△CBF （SAS ）．∴ DM =BF ， CM =CF ，∠DCM =∠BCF ．∴ ∠MCF =∠BCF+∠MCE=∠DCM+∠MCE=∠BCD =90°，∴ MF 2CF ． ∴2.DF DM MF BF CF =+=+（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，2CF ，理由同(1)③； ②当点E 在线段BC 的延长线上时，2CF ，理由如下：在BF 上截取BM=DF ，连接CM ，如图3所示，同(1) ③，得：△CBM ≌△CDF (SAS)，∴CM=CF ， ∠BCM=∠DCF ．∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD= ∠ BCD=90°，∴△CMF 是等腰直角三角形，∴2CF ，∴2CF ；③当点E 在线段CB 的延长线上时，2CF ；理由如下：在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，如图4所示，同（1）③得：△CDM ≌△CBF ，∴CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，∴∠MCF=∠DCF+ ∠MCD= ∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°，∴△CMF 是等腰直角三角形，∴MF=2CF , 即DM+DF=2CF ，∴BF+DF=2CF ;综上所述，当点E 在直线BC 上时，线段BF ，CF ，DF 之间的数导关系为：2DF BF CF =+，或2BF DF CF =+，或2BF DF CF +=．【点睛】此题是四边形的一道综合题，考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，注意解题中分情况讨论避免漏解．8．（1）见解析；（2）GE=BE+GD 成立，理由见解析；（3）685【分析】（1）利用已知条件，可证出△BCE ≌△DCF (SAS )，即可得到CE=CF ；（2）借助（1）的结论得出∠BCE =∠DCF ，再通过角的计算得出∠GCF =∠GCE ，由SAS 可得△ECG ≌△FCG ，则EG=GF ，从而得出GE=DF+GD=BE+GD ；（3）过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ，先证四边形ABCG 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，再设DE =x ，利用（1）、（2）的结论，在Rt △AED 中利用勾股定理构造方程即可求出DE ．【详解】（1）证明：如图①，在正方形ABCD 中，BC=CD ，∠B =∠ADC =90°，∴∠CDF=90°，即∠B =∠CDF =90°，在△BCE 和△DCF 中， BC DC B CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF (SAS )，∴CE=CF ；（2）解：如图①，GE=BE+GD 成立，理由如下：由（1）得△BCE ≌△DCF ，∴∠BCE=∠DCF ，∴∠ECD +∠ECB=∠ECD +∠FCD ，即∠ECF =∠BCD =90°，又∵∠GCE =45°，∴∠GCF =∠ECF −∠ECG =45°，则∠GCF=∠GCE ，在△GEC 和△GFC 中，CE CF GCE GCF GC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GEC ≌△GFC (SAS )，∴EG=GF ，∴GE=DF+GD=BE+GD ；（3）解：如图②，过C 作CG ⊥AD 于G ，∴∠CGA=90°，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，∴四边形ABCG为矩形，又∵AB=BC，∴四边形ABCG为正方形，∴AG=BC=AB=16，∵∠DCE=45°，由（1）和（2）的结论可得：ED=BE+DG，设DE=x，∵4BE＝，∴AE=12，DG=x−4，∴AD=AG−DG=20−x在Rt△AED中，由勾股定理得：DE2=AD2+AE2，即x2=(20−x)2+122解得：685=x，即685= DE．【点睛】本题是一道几何综合题，内容主要涉及全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题．9．（1）①45；②不变化；（2）成立；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）①②根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断；（2）画出图形即可判断，结论仍然成立；（3）如图2-1中或2-2中，作作EF⊥BC，EG⊥AB，证得∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.继而得∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.从而得出∠APE=∠EAP=45°.【详解】解（1）①当点P与点B重合时，如图1-1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠APE=45°②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论不发生变化；故答案为：45°，不变化.(2)（2）如图2-1，如图2-2中，结论仍然成立；故答案为：成立；(3)证明一：如图所示.过点作于点，于点.∵点在的垂直平分线上，∴.∵四边形为正方形，∴平分.∴.∴.∴.∵，∴.∴.∴.证明二：如图所示.过点作于点，延长交于点，连接. ∵点在的垂直平分线上， ∴. ∵四边形为正方形， ∴， ∴. ∴，. ∴. 又∵， ∴. 又∵， ∴. ∴.【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中垂线的性质等知识点10．（1）见解析；（2）AE ＝33）（3）12AG AF =. 【分析】（1）运用四边形AMFN 是正方形得到判断△AMC,△AND 是Rt △，进一步说明△ABC 是等边三角形，在结合旋转的性质，即可证明.（2）过E 作EG ⊥AB 于G,在BC 找一点H ，连接DH,使BH=HD ，设AG ＝x ，则AE=2x 3x ，得到△GBE 是等腰直角三角形和∠DHF=30°，再结合直角三角形的性质，判定Rt △AMC ≌Rt △AND ，最后通过计算求得AE 的长；（3）延长F 1G 到M,延长BA 交11F C 的延长线于N,使得1GM FG =，可得GMB ∆≌11GFC ∆，从而得到111BM FC DF == 1BMG GFN ∠=，可知BM ∥1F N , 再根据题意证明ABM ∆≌1ADF ∆，进一步说明1AMF ∆是等腰直角三角形，然后再使用勾股定理求解即可.【详解】（1）证明：∵四边形AMFN 是正方形，∴AM=AN ∠AMC=∠N=90°∴△AMC,△AND 是Rt △∵△ABC 是等边三角形∴AB=AC∵旋转后AB=AD∴AC=AD∴Rt △AMC ≌Rt △AND(HL)（2）过E 作EG ⊥AB 于G,在BC 找一点H ，连接DH,使BH=HD ，设AG ＝x则AE=2x 3x易得△GBE 是等腰直角三角形∴BG=EG 3x∴AB=BC=31)x易得∠DHF=30°∴HD=2DF=3，HF=3∴BF=BH+HF=233∵Rt △AMC ≌Rt △AND(HL)∴易得3∴BC=BF-CF=233333=+∴(31)33x =∴3x =∴AE ＝223x =（3）12AG AF =；理由：如图2中,延长F 1G 到M,延长BA 交11F C 的延长线于N,使得1GM FG =,则GMB ∆≌11GFC ∆,∴111BM FC DF == 1BMG GFN ∠=, ∴BM ∥1F N ,∴MBA N ∠=∠∵0190NAO OF D ∠=∠= 1AON DOF ∠=∠∴1N ADF ∠=∠∴1ABM ADF ∠=∠,∵AB AD =∴ABM ∆≌1ADF ∆（SAS ）∴1AM AF = 1MAB DAF ∠=∠∴0190MAF BAD ∠=∠=∴1AMF ∆是等腰直角三角形∴1AG MF ⊥ 1AG GF = ∴12AF ∴12AG AF =【点睛】本题考查正方形的性质、三角形全等、以及勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，但解答的关键是正确做出辅助线.。

人教版八年级下册数学第十八章平行四边形章末测试题

第十八章平行四边形章末测试题一、选择题1. 下面关于平行四边形的说法不正确的是（）A. 对边平行且相等B. 两组对角分别相等C. 对角线互相平分D. 每条对角线平分一组对角2. 如图，在▱ABCD中，EF过对角线的交点，若AB=4，BC=7，OE=3，则四边形EFDC的周长是（）A. 14B. 17C. 10D. 113. 已知在▱ABCD中，∠A+∠C=140°，则∠B的度数是（）A. 110°B. 120°C. 140°D. 160°4. 在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（）A. 1：2：3：4B. 1：2：1：2C. 2：2：1：1D. 1：2：2：15. 如图，已知▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列结论错误的是（）A. ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADCB. OA=OC，OB=ODC. AD∥BC，AB=CDD. AC=BD，AD=CD6. 如图，E是▱ABCD的一边AD上任意一点，若△EBC的面积为S1，▱ABCD的面积为S，则S与S1的大小关系是（）A. S1=SB. S1＜SC. S1＞SD. 无法确定7. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相较于点O，点E、F分别是线段AO、BO的中点，若EF=3，△COD的周长是18，则▱ABCD的两条对角线的和是（）A. 18B. 24C. 30D. 368. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC于BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A. AB=CD，AD=BCB. AB∥CD，AD=BCC. AB∥CD，AD∥BCD. OA=OC，OB=OD9. 分别过△ABC的3个顶点作对边的平行线，这些平行线相交，则可构成（）个平行四边形．A. 1B. 2C. 3D. 410. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A. 6种B. 5种C. 4种D. 3种二、填空题11. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于一点O，AB=11，△OCD的周长为27，则AC+BD= ______ ．12. 如图，过▱ABCD的顶点C作CE⊥AB，交BA的延长线于点E，若∠EAD=50°，则∠BCE 的度数为______ °．12题13题14题13. 如图，O为▱ABCD的对角线交点，E为AB的中点，DE交AC于点F，若S□ABCD=16，则S△DOE的值为______ ．14. 如图，▱ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，DE，若▱ABCD的面积为24，则△ADE的面积为______ ．15. 如图，平行四边形ABCD中，AD=5cm，AB⊥BD，点O是两条对角线的交点，OD=2，则AB= ______ cm．15题16题17题16. 如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F 点，CD∥AF，请你添加一个条件：______ ，使四边形ABCD是平行四边形．17. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动，若AB=7cm，CD=9cm，则______ 秒时四边形ADFE是平行四边形．18. 如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF=45°，则∠EDF的度数是______ 度．18题19. 如图，DE∥BC，AE=EC，延长DE到点F，使EF=DE，连接AF，FC，CD，则图中四边形ADCF是______ ．19题20题21题20. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=11，点P从点A出发，以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动，在运动期间，当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为______ 秒．11. 如图，在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，且∠A+∠B=136°，则∠ANM= ______22. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若DE=8，则BC的长是______ ．22题23. 如图，为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.4m，踏板DE长为1.2m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6m，现在从捣头点E着地的位置开始，让踏脚D着地，则捣头点E上升______ m．23题24题25题24. 如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF=1，则BD= ______ ．25. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm，D为BC的中点，若动点E 以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为______ 秒．三、解答题26. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N在对角线AC上，且AM=CN，求证：BM∥DN．27. 已知如图，在▱ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF 是否互相平分？说明理由．28. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD边的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F，求证：四边形ABDF是平行四边形．29. 已知，如图，DC∥AB，且DC=AB，E为AB的中点．（1）求证：△AED≌△EBC；（2）观察图形，在不添加辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形（直接写出结果，不要求证明）：______ ．30. 如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=56°，∠ADB=120°，求∠AFE的度数．31. 如图，△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点．（1）△ABC有______ 条中位线；（2）若△DEF的面积为4，则△ABC的面积是多少？32. 如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ABD、∠ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连结MN．求证：MN=（AB+BC+AC）。

初中数学八年级下册(人教版)期末单元训练：平行四边形

初中数学八年级下册（人教版）期末单元训练：平行四边形一、选择题（本大题共10道小题）1. 在平行四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是( )A.1:2:3:4B.3:4:4:3C.3:3:4:4D.3:4:3:42. 平行四边形的两邻角的角平分线相交所成的角为( )A.锐角B.直角C.钝角D.不能确定3. 平行四边形ABCD的对角线交于点O,有五个条件:①AC=BD,②∠ABC=90°,③AB=AC,④AB=BC,⑤AC⊥BD,则下列哪个组合可判定这个四边形是正方形( )A.①②B.①③C.①④D.④⑤4. 如图, ABCD中,AE平分∠DAB,∠B=100°,则∠DAE等于( )A.100°B.80°C.60°D.40°5. 如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=60°,AD=4,则AC的长是( )A.4B.8C.43D.836. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为( )A.6B.5C.4D.37. 在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=2,D、E、F分别为AB、BC、AC中点,连接DF、FE,则四边形DBEF的周长是( )A.5B.7C.9D.118. 如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE:EC=2:1,则线段CH的长是( )A.3B.4C.5D.69. 如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为( )A.1B.2C.3D.410. 如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A.4.8B.5C.6D.7.2二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图,在平行四边形ABCD中,∠A=58°,BC=1.5cm ,则∠B= ,AD= .12. 在△ABC中,∠C＝90°,AC＝5,BC＝3,则AB边上的中线CD＝______.13. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=10,则菱形ABCD的面积为.14. 已知菱形的一条对角线长为12,面积为30,则这个菱形的另一条对角线的长为 .15. 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,则四边形CODE的周长是.16. 如图,把矩形ABCD沿EF折叠,使点C落在点A处,点D落在点G处,若∠CFE=60o,且DE=1,则边BC的长为 .17. 如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP(P为AB的中点)所在的直线上的点C'处,得到经过点D的折痕DE.则∠DEC的大小为__________.18. 如图,依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形,再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形,按此方法继续下去,若第一个正方形的边长为1,则第n个正方形的面积是 .三、解答题（本大题共6道小题）19. 在四边形ABCD中,AB∥CD,∠A＝∠C,求证:四边形ABCD是平行四边形.20. 如图所示,在ABCD中,E,F在平行四边形的外部,且AE＝CF,BE＝DF,试指出AC和EF 的关系,并说明理由.21. 如图,在△ABC中,已知AB＝6,AC＝10,AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,点E为BC的中点,求DE的长．22. 如图,▱ABCD中,点E,F在直线AC上(点E在F左侧),BE∥DF.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;(2)若AB⊥AC,AB=4,BC=213,当四边形BEDF为矩形时,求线段AE的长.23. 如图,在▱ABCD中,点E为边CD上的一点,将△ADE沿AE折叠至△AGE处,AG与CE交于点F.若∠B=52°,∠DAE=20°,求∠FEG的大小.(平行四边形对角线互相平分的性质)24. 如图,已知四边形ABCD是平行四边形,并且∠A=∠D.(1)求证:四边形ABCD为矩形;(2)点E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠1=2∠2,若CE=4,CF=5,求DF的长.。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元期末复习同步练习试题

一、选择题1．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点(点P 不与点B 、D 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP ＝EF ；②AP ⊥EF ；③仅有当∠DAP ＝45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形；④∠PFE ＝∠BAP ：⑤22PD ＝EC ．其中有正确有( )个．A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，1BC =，3CE =，H 是AF 的中点，那么CH 的长是( )A ．2B ．52C ．332D ．53．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形连接AC 交EF 于G ，下列结论: ①BE ＝DF ，②∠DAF ＝15°，③AC ⊥EF ，④BE+DF ＝EF ，⑤EC ＝FG ；其中正确结论有( )个A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°，AB=AD=10cm ，BC=8cm ，点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线A-B-C-D 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动、已知动点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，点P ，Q 停止运动，设运动时间为t 秒，在这个运动过程中，若△BPQ 的面积为20cm 2 ，则满足条件的t 的值有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在长方形ABCD 中，AD=6，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF ＝CG ＝2，BE ＝DH ＝1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连结PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和为（）A ．5B ．6C ．7D ．8 6．如图，将一个矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，若3,9,AB BC ==则折痕EF 的长度为（）A ．3B ．23C ．10D ．310 7．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，分别以直角边AB 、斜边AC 为边，向外作等边ABD ∆和等边ACE ∆，F 为AC 的中点，DE 与AC 交于点O ，DF 与AB 交于点G ．给出如下结论：①四边形ADFE 为菱形；②DF AB ⊥；③14AO AE =；④4CE FG =；其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④8．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PD ＝2，下列结论：①EB ⊥ED ；②∠AEB ＝135°；③S 正方形ABCD ＝5+2；④PB ＝2；其中正确结论的序号是（）A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③9．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE BC⊥交对角线BD于E点，已知134A∠=︒，则BEC∠的大小为( )A．23︒B．28︒C．62︒D．67︒10．如图，ABCD中，点E是AD上一点，BE⊥AB，△ABE沿BE对折得到△BEG，过点D作DF∥EG交BC于点F，△DFC沿DF对折，点C恰好与点G重合，则ABAD的值为（）A．12B．3C．2D．3二、填空题11．如图，正方形ABCD中，DAC∠的平分线交DC于点E，若P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．12．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为_____．13．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④BC ﹣CF ＝2HE ；⑤AB ＝HF ，其中正确的有_____．14．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．15．如图，在正方形ABCD 中，AC=62，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．16．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.17．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．18．如图，矩形纸片ABCD ，AB =5，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP =OF ，则AF 的值为______．19．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，8BC AD ==．()1P为边BC上一点，将ABP沿直线AP翻折至AEP的位置(点B落在点E处)①如图1，当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE=______；②如图2，若点P为BC边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由；()2点Q为射线DC上的一个动点，将ADQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点'D处，则DQ=______；22．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C 重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC=132，DB=5，则△ABC的面积为．（直接写出答案）23．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．（1）求点B的坐标；（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．24．如图平行四边形ABCD，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝CF，EF与AC交于点O．（1）如图①．求证：OE＝OF；（2）如图②，将平行四边形ABCD（纸片沿直线EF折叠，点A落在A1处，点B落在点B1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CF OF ＝（直接填结果）．25．在平面直角坐标中，四边形OCNM 为矩形，如图1，M 点坐标为（m ，0），C 点坐标为（0，n ），已知m ，n 满足550n m -+-=．（1）求m ，n 的值；（2）①如图1，P ，Q 分别为OM ，MN 上一点，若∠PCQ ＝45°，求证：PQ ＝OP+NQ ； ②如图2，S ，G ，R ，H 分别为OC ，OM ，MN ，NC 上一点，SR ，HG 交于点D ．若∠SDG ＝135°，55HG =，则RS ＝______；（3）如图3，在矩形OABC 中，OA ＝5，OC ＝3，点F 在边BC 上且OF ＝OA ，连接AF ，动点P 在线段OF 是（动点P 与O ，F 不重合），动点Q 在线段OA 的延长线上，且AQ ＝FP ，连接PQ 交AF 于点N ，作PM ⊥AF 于M ．试问：当P ，Q 在移动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若不变求出线段MN 的长度；若变化，请说明理由．26．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．27．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.28．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒32的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒3322+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.29．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，点F 在AE 上，连接FB ，FD ，∠ABF=∠AFB ．（1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF ；（2）如图2，过点F 作垂线交AB 于G ，交DC 的延长线于H ，求证：DH=2 AG ；（3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC 的长．30．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=30 ，CD=10，F 是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A 向 D 运动，到D 点后停止运动；Q 沿着A B C D →→→ 路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D 点后停止运动．已知动点 P ，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t 秒，问：（1）经过几秒，以 A ，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P 为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】过P 作PG ⊥AB 于点G ，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP ≌△FPE 后即可证明①AP=EF ；④∠PFE=∠BAP ；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，求得DP=2EC ，得出⑤正确，即可得出结论．【详解】过P 作PG ⊥AB 于点G ，如图所示：∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，∴GP=EP ，在△GPB 中，∠GBP=45°，∴∠GPB=45°，∴GB=GP ，同理：PE=BE ，∵AB=BC=GF ，∴AG=AB-GB ，FP=GF-GP=AB-GB ，∴AG=PF ，在△AGP 和△FPE 中，90AG PF AGP FPE PG PE ⎧⎪⎨⎪∠∠⎩︒＝＝＝＝，∴△AGP ≌△FPE （SAS ），∴AP=EF ，①正确，∠PFE=∠GAP ，∴∠PFE=∠BAP ，④正确；延长AP 到EF 上于一点H ，∴∠PAG=∠PFH ，∵∠APG=∠FPH ，∴∠PHF=∠PGA=90°，∴AP⊥EF，②正确，∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45°，∴当∠PAD=45°或67.5°时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③正确．∵GF∥BC，∴∠DPF=∠DBC，又∵∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC，∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，∴DP=2EC，即22PD=EC，⑤正确．∴其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．2．D解析：D【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=2，CF=32，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，22AF=AC CF=25，∵H是AF的中点，∴CH=12AF=12×25=5.故选D．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．3．B解析：B【分析】根据已知条件易证△ABE ≌△ADF ，根据全等三角形的性质即可判定①②；由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，即可判定③；设EC=FC=x ，由勾股定理和三角函数计算后即可判定④⑤．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF 等边三角形，∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AF AB AD ⎧⎨⎩＝＝ , Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF （故①正确）．∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确），∵BC=CD ，∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．（故③正确）．设EC=FC=x ，由勾股定理，得:,2EF CG FG x ===, ∴EC ≠FG （⑤错误）在Rt △AEG 中，sin 60sin 602sin 60AG AE EF CG ︒︒︒===⨯=,AC ∴=,AB ∴=,3322x x x x BE x +-∴=-=, 32BE DF x x x ∴+=-≠，（故④错误），综上所述，正确的结论为①②③，共3个，故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题的关键．4．B解析：B【解析】【分析】过A 作AH ⊥DC ，由勾股定理求出DH 的长．然后分三种情况进行讨论：即①当点P 在线段AB 上，②当点P 在线段BC 上，③当点P 在线段CD 上，根据三种情况点的位置，可以确定t 的值．【详解】解：过A 作AH ⊥DC ，∴AH =BC =8cm ，DH =22AD AH - =10064-=6． i ）当P 在AB 上时，即1003t ≤≤时，如图，1110382022BPQ S BP BC t =⋅=-⨯=（），解得：53t =；ii ）当P 在BC 上时，即103＜t ≤6时，BP =3t -10，CQ =16-2t ，113101622022BPQ S BP CQ t t =⋅=-⨯-=（）（），化简得：3t 2-34t +100=0，△=-44＜0，∴方程无实数解．iii ）当P 在线段CD 上时，若点P 在线段CD 上，若点P 在Q 的右侧，即6≤t ≤345，则有PQ =34-5t ，13458202BPQ S t =-⨯=（），295t =＜6（舍去）；若点P在Q的左侧时，即3485t≤＜，则有PQ=5t-34，15348202BPQS t=-⨯=（）；t=7.8．综上所述：满足条件的t存在，其值分别为15 3t=，t2=7.8．故选B．【点睛】本题是平行四边形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行解答．5．C解析：C【分析】连接EG、FH，根据题意可知△AEF与△CGH全等，故EF=GH，同理EG=FH，再证四边形EGHF为平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和是平行四边形的面积一半，平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD的面积减去四周四个小的直角三角形的面积即可求得.【详解】连接EG、FH，如图所示，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，∴AE=AB-BE=4-1=3，CH=CD-DH=3，∴AE=CH,在△AEF和△CGH中，AE=CH,∠A=∠C=90°，AF=CG,∴△AEF≌△CGH，∴EF=GH,同理可得△BGE≌△DFH，∴EG=FH,∴四边形EGHF为平行四边形，∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，∴△PEF和△PGH的面积和=12⨯平行四边形EGHF的面积，求得平行四边形EGHF的面积=4⨯6--12⨯2⨯3-12⨯1⨯（6-2）-12⨯2⨯3-12⨯1⨯（6-2）=14，∴△PEF和△PGH的面积和=1142⨯=7.【点睛】此题主要考察矩形的综合利用.6．C解析：C【分析】设AE x =，根据勾股定理得到AE ，进而得出BE 的长，再证明5BF BE ==，根据EG AB =，求出GF 的长，最后在运用勾股定理即可得到EF ．【详解】解：过E 作EG BC ⊥于G ，设AE x =，则9DE BE x ==-，在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，2223(9)x x ∴+=-解得4x =，4AE ∴=，945BE DE ∴==-=，DEF BFE ∠=∠，DEF BEF ∠=∠，BFE BEF ∴∠=∠，5BF BE ∴==，1GF ∴=，Rt EFG ∴中，22223110EF EG GF =+=+=即EF 10，故选：C ．【点睛】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时注意方程思想的运用．7．D解析：D【分析】由题意得出条件证明△ABC≌△DAF,根据对应角相等可推出②正确;由F是AB中点根据边长转换可以推出④正确;先推出△ECF≌△DFA得出对应边相等推出ADFE为平行四边形且有组临边不等得出①错误;再由以上全等即可得出④正确.【详解】∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD=60°，AB=AD，∵∠BAC=30°，知∴∠FAD=∠ABC=90°，AC=2BC，∵F为AC的中点道，∴AC=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△DAF，∴FD=AC，∴∠ADF=∠BAC=30°，∴DF⊥AB，故②正确，∵EF⊥AC，∠ACB=90°，∴FG∥BC，∵F是AB的中点，∴GF=12 BC，∵BC=12AC，AC=CE，∴GF=14CE，故④说法正确；∵AE=CE，CF=AF，∴∠EFC=90°，∠CEF=30°，∵∠FAD=∠CAB+∠BAD=90°，∴∠EFC=∠DAF，∵DF⊥AB，∴∠ADF=30°，∴∠CEF=∠ADF，∴△ECF≌△DFA（AAS），∴AD=EF，∵FD=AC，∴四边形属ADFE为平行四边形，∵AD≠DF，∴四边形ADFE不是菱形；故①说法不正确；∴AO=12 AF，∴AO=12 AC，∵AE=AC，则AE=4AO，故③说法正确，故选D．【点睛】本体主要考查平行四边形的判定，等边三角形，三角形全等的判定，关键在于熟练掌握基础知识，根据图形结合知识点进行推导.8．D解析：D【分析】先证明△APD≌△AEB得出BE＝PD，∠APD＝∠AEB，由等腰直角三角形的性质得出∠APE ＝∠AEP＝45︒，得出∠APD＝∠AEB＝135︒，②正确；得出∠PEB＝∠AEB﹣∠AEP＝90︒，EB⊥ED，①正确；作BF⊥AE交AE延长线于点F，证出EF＝BF，得出AF＝AE+EF＝1，由勾股定理得出ABS正方形ABCD＝AB2＝5+，③正确；EPAE，由勾股定理得出BP，④错误；即可得出结论．【详解】解：∵∠EAB+∠BAP＝90︒，∠PAD+∠BAP＝90︒，∴∠EAB＝∠PAD，在△APD和△AEB中，AP AEPAD EAB AD AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD≌△AEB（SAS），∴BE＝PD，∠APD＝∠AEB，∵AE＝AP，∠EAP＝90︒，∴∠APE＝∠AEP＝45︒，∴∠APD＝135︒，∴∠AEB＝135︒，②正确；∴∠PEB＝∠AEB﹣∠AEP＝135︒﹣45︒＝90︒，∴EB⊥ED，①正确；作BF⊥AE交AE延长线于点F，如图所示：∵∠AEB＝135︒，∴∠EFB＝45︒，∴EF ＝BF ，∵BE ＝PD ＝2，∴EF ＝BF ＝2， ∴AF ＝AE +EF ＝1+2，AB ＝22AF BF +＝22(12)(2)++＝522+，∴S 正方形ABCD ＝AB 2＝（522+）2＝5+22，③正确；EP ＝2AE ＝2，BP ＝22BE EP +＝222(2)+＝6，④错误；故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．9．D解析：D【分析】先说明ABD=∠ADC=∠CBD ，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD 度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.【详解】解：∵菱形ABCD∴AB=AD∴∠ABD=∠ADC∴∠ABD=∠CBD又∵134A ∠=︒∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=12(180°-134°)=23° ∴BEC ∠=90°-23°=67°故答案为D.【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理. 10．B解析：B【分析】根据平行线的性质和轴对称的性质，利用SAS 证明BEG DEG ≅，进而得到ADG 90∠=︒，设AB=x ，则AG=2x ，CD=x ，，即可求解．【详解】解：在ABCD 中∵DF ∥EG∴∠DEG=∠DFB∵△ABE 沿BE 对折得到△BEG∴∠DEG =2∠A∵∠DFB =∠C +∠CDF∠A=∠C∴∠CDF=∠A∵△DFC 沿DF 对折∴∠BGE=∠DGEBG=DGEG=EG∴BEG DEG ≅∵BE⊥AB∴ADG 90∠=︒设AB=x ，则AG=2x ，CD=x ，=∴3AB AD == 故选：B ．【点睛】此题主要考查平行线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理，熟练运用平行线的性质和轴对称的性质证明BEG DEG ≅是解题关键．二、填空题11．【分析】作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ．【详解】∵AE 是DAC ∠的角平分线，∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '由轴对称可以得到PQ P Q '=，∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4，∴4DP '=，由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=，在Rt DCP '中，2222443242DC DP P C ''=+=+==．故答案是：42．【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ +取最小值的状态，并将它转换成DP '去求解．12．4【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF ＝AP ，则EF 的最小值即为AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角三角形ABC 斜边上的高．【详解】解：连接AP ，∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴AB 2+AC 2＝BC 2，即∠BAC ＝90°．又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ＝AP ，∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，设斜边上的高为h ，则S △ABC =1122BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，∴EF 的最小值为2.4，故答案为：2.4．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．13．①②③④【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE =∠DAE =45°，可得出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE 2=，从而得到AE =AD ，然后利用“角角边”证明△ABE 和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE =DH ，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE =∠AED =67.5°，根据平角等于180°求出∠CED =67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB =67.5°，∠DHO =∠ODH =22.5°，然后根据等角对等边可得OE =OD =OH ，判断出②正确；③求出∠EBH =∠OHD =22.5°，∠AEB =∠HDF =45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH =HF ，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF =HE ，然后根据HE =AE ﹣AH =BC ﹣CD ，BC ﹣CF =BC ﹣（CD ﹣DF ）=2HE ，判断出④正确；⑤判断出△ABH 不是等边三角形，从而得到AB ≠BH ，即AB ≠HF ，得到⑤错误．【详解】∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE 2=． ∵AD 2=，∴AE =AD ．在△ABE 和△AHD 中，∵90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE =DH ，∴AB =BE =AH =HD ，∴∠ADE =∠AED 12=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED =180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED =∠CED ，故①正确；∵∠AHB 12=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE =∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE =∠AED ，∴OE =OH ．∵∠DOH =90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH =67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH =∠ODH ，∴OH =OD ，∴OE =OD =OH ，故②正确；∵∠EBH =90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH =∠OHD ．在△BEH和△HDF中，∵EBH OHDBE DHAEB HDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD﹣DF，∴BC﹣CF=（CD+HE）﹣（CD﹣HE）=2HE，所以④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述：结论正确的是①②③④．故答案为①②③④．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．14．8或12【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，根据角平分线的性质得到DE=AD=5，CF=BC=5，即可求出答案.【详解】在ABCD中，AB∥CD，BC=AD=5，∴∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，∵BAD∠的平分线交CD于点E，∴∠BAE=∠DAE，∴∠DAE=∠DEA，∴DE=AD=5，同理：CF=BC=5，∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12，故答案为：8或12.【点睛】此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的等角对等边的判定，解题中注意分类思想的运用，避免漏解.15．【详解】解析：∵在正方形ABCD中，AC=∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°设EF与AD交点为O，O是AD的中点,∴AO=3以AD为对角线的所有▱AEDF中，当EF⊥AC时，EF最小，即△AOE是直角三角形，∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，OE=2，∴EF=2OE=16．6【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=12PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=12AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=12 PD，∵2PB+ PD=2（PB+12PD）=2(PB+PE)，∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=12AB=3，∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD 转化为三点共线的形式是解题的关键.17．1或7．【分析】存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等【详解】设点P 的运动时间为t 秒，当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，此时有ABP DCE ∆∆≌，∴BP CE =，即22t =，解得1t =；当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，∵4AB =，6AD =，∴6BC =，4CD =，∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，∴162AP t =-，此时有ABP CDE ∆∆≌，∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.故答案为：1或7．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可18．207【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由“AAS”可证△OEF ≌△OBP ，可得出OE=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=5-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=2+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得AF 的长．【详解】解：∵将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，∴DC =DE =5，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩, ∴△OEF ≌△OBP （AAS ），∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =5-x ，又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，∴AF =AB -BF =2+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，∴（2+x ）2+32=（5-x ）2，∴x =67∴AF =2+67=207故答案为：207 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．19．6.5或8或18【分析】根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点∴13BQ =∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形∴ 6.5AP BM ==②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置∴8AP =或18∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18．故答案是：6.5或8或18【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．202a3212a 【分析】（1）根据折叠的性质可得出，四边形AFED 为正方形，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，得出AB=AE ，继而可得解；（2）结合（1）可知，AE AM 2a ==，因为EC=3BM ，所以有1BM 2FM =，求出BM ，继而可得解．【详解】解：（1）由折叠的性质可得，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=， ∴AB=AE ，∵2AE 22a a == ∴AB 2a =．（2）结合（1）可知，AE AM 2a ==， ∴FM 2a a =-，∵EC=3BM ， ∴1BM 2FM = ∴2BM 2a a -= ∴2321AB 222a a a a --=+=．故答案为：2a ；321a -．【点睛】本题是一道关于折叠的综合题目，主要考查折叠的性质，弄清题意，结合图形找出线段间的数量关系是解题的关键．三、解答题21．（1）①6；②结论：//P EC A ；（2）为4和16．【分析】()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求.理由勾股定理可得DE ．②如图2中，结论：EC//PA.只要证明PA BE ⊥，EC BE ⊥即可解决问题． ()2分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求．在Rt ADE 中，90D ∠=，10AE AB ==，8AD =，22221086DE AE AD ∴-=-=，故答案为6．②如图2中，结论：//P EC A ．理由：由翻折不变性可知：AE AB =，PE PB =，PA ∴垂直平分线段BE ，即PA BE ⊥，PB PC PE ==，90BEC ∠∴=，EC BE ∴⊥，//EC PA ∴．()2①如图31-中，当点Q 在线段CD 上时，设DQ QD'x ==．在Rt AD'B 中，AD'AD 8==，AB 10=，AD'B 90∠=，22BD'AB AD'6∴=-=，在Rt BQC 中，222CQ BC BQ +=， 222(10x)8(x 6)∴-+=+，x 4∴=，DQ 4∴=．②如图32-中，当点Q 在线段DC 的延长线上时，DQ //AB ，DQA QAB ∠∠∴=，DQA AQB ∠∠=，QAB AQB ∠∠∴=，AB BQ 10∴==，在Rt BCQ 中，CQ BQ 6==，DQ DC CQ 16∴=+=，综上所述，满足条件的DQ 的值为4或16．故答案为4和16．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．22．（1）BC ⊥CF ，CF +CD =BC ；（2）CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ，证明详见解析；（3）494．【分析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ，从而证得CF =BD ，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD =CF ，即可得到CF ﹣CD =BC ；（3）先证明△BAD ≌△CAF ，进而得出△FCD 是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF 的长，再求出CD ，BC 即可解决问题．【详解】（1）如图1中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°﹣∠DAC ，∠CAF =90°﹣∠DAC ， ∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°，∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ， ∵BD +CD =BC ，∴CF +CD =BC ；故答案为：CF ⊥BC ，CF +CD =BC ．（2）结论：CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ．理由：如图2中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°+∠DAC ，∠CAF =90°+∠DAC ， ∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°，∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ，∴BC +CD =CF ，∴CF ﹣CD =BC ；（3）如图3中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°﹣∠BAF ，∠CAF =90°﹣∠BAF ，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴∠ACF =∠ABD ，BD =CF =5，∵∠ABC =45°，∴∠ABD =135°，∴∠ACF =∠ABD =135°，∴∠FCD =135°﹣45°=90°，∴△FCD 是直角三角形．∵OD =OF ，∴DF =2OC =13，∴Rt △CDF 中，CD 2222135DF CF -=-12，∴BC =DC ﹣BD =12﹣5=7，∴AB =AC =72， ∴S △ABC 17272492224=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，判断出△BAD ≌△CAF 是解本题的关键．23．（1）B （12，4）；（2）52t s =；（3）58,4,3,4,2,4,,42 【分析】（1）由四边形OABC 是平行四边形，得到OA BC =，//OA BC ，于是得到 10OA =，2OE AF ，可求出点B 的坐标；（2）根据四边形PCDA 是平行四边形，得到PC AD =，即1025t -=，解方程即可得到结论；（3）如图2，可分三种情况：①当5PD OD 时，②当5PO OD 时，③当 PD OP =时分别讨论计算即可．【详解】解：如图1，过C 作CE OA ⊥于E ，过B 作BF OA ⊥于 F ，四边形OABC 是平行四边形，OA BC ，//OA BC ，A ，C 的坐标分别为(10,0)， (2,4)， 10OA ∴=，2OEAF ， 10BC ∴=，(12,4)B ；（2）设点P 运动t 秒时，四边形PCDA 是平行四边形，由题意得：102PC t =-，点D 是OA 的中点，152OD BC AD OA ，四边形PCDA 是平行四边形，PC AD ，即1025t -=，。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元期末复习测试基础卷试卷

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元期末复习测试基础卷试卷一、选择题1．如图，菱形ABCD 的周长为24，对角线AC 、BD 交于点O ，∠DAB ＝60°，作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，则OH 的长为（）A ．2B ．3C ．23D ．432．如图，点O （0，0），B （0，1）是正方形OBB 1C 的两个顶点，以它的对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，再以正方形OB 2B 3C 2的对角线OB 3为一边作正方形OB 3B 4C 3，…，依次进行下去，则点B 6的坐标是（）A ．(42,0)B ．(42,0)-C ．(8,0)-D ．(0,8)-3．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB ＝4，BD ＝43，E 为AB 的中点，点P 为线段AC 上的动点，则EP+BP 的最小值为（）A ．4B ．25C ．27D ．84．如图，锐角△ABC 中，AD 是高，E,F 分别是AB,AC 中点,EF 交AD 于G,已知GF=1,AC= 6,△DEG 的周长为10，则△ABC 的周长为（）A．27-32B．28-32C．28-42D．29-525．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则下列线段的长等于BP EP最小值的是( )A．AB B．CE C．AC D．AF6．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是()A．4≥x＞2.4 B．4≥x≥2.4C．4＞x＞2.4 D．4＞x≥2.47．如图，平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，∠ADB=20°，∠ACB=50°，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F当点E从点A向点D移动过程中（点E与点A、点D不重合），四边形AFCE的形状变化依次是（）A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形8．如图，正方形ABCD（四边相等、四内角相等）中，AD＝5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝4，BE＝DF＝3，则EF的平方为（）A．2 B．125C．3 D．49．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝12AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个10．如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．2.8 B．22C．2.4 D．3.5二、填空题的平分线交DC于点E，若P，Q分别是AD和AE上11．如图，正方形ABCD中，DAC的动点，则DQ+PQ能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．12．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有_____．13．如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值是______14．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．15．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②S △ABG ＝32S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④AG+DF ＝FG ．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）16．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．18．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．19．如图所示，已知AB ＝ 6，点C ，D 在线段AB 上，AC ＝DB ＝ 1，P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是_________．20．如图，在平行四边形ABCD 中，53AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．三、解答题21．综合与探究如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题:（1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由．（2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥．22．如图，四边形OABC中，BC∥AO，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x 轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．（1）当t为何值时，四边形BNMP为平行四边形？（2）设四边形BNPA的面积为y，求y与t之间的函数关系式．（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C 重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =132，DB =5，则△ABC 的面积为．（直接写出答案） 24．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）25．已知，如图，在三角形ABC ∆中，20AB AC cm ==，BD AC ⊥于D ，且16BD cm =．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为4/cm s ；同时点P 由B 点出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ，过点P 的动直线//PQ AC ，交BC 于点Q ，连结PM ，设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：（1）线段AD =_________cm ；（2）求证：PB PQ =；（3）当t 为何值时，以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形？26．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O . （1）求证：EF DA ⊥.（2）若4,3BC AD ==EF 的长.27．探究：如图①，△ABC 是等边三角形，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、AN ，延长MC 交AN 于点P ．（1）求证：△ACN ≌△CBM ；（2）∠CPN = °；（给出求解过程）（3）应用：将图①的△ABC 分别改为正方形ABCD 和正五边形ABCDE ，如图②、③，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、DN ，延长MC 交DN 于点P ，则图②中∠CPN = °；（直接写出答案）（4）图③中∠CPN = °；（直接写出答案）（5）拓展：若将图①的△ABC 改为正n 边形，其它条件不变，则∠CPN = °（用含n 的代数式表示，直接写出答案）．28．如图，四边形ABCD 为正方形.在边AD 上取一点E ，连接BE ，使60AEB ∠=︒.（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ，则60AEB ∠=︒；（2）在前面的条件下，取BE 中点M ，过点M 的直线分别交边AB 、CD 于点P 、Q . ①当PQ BE ⊥时，求证：2BP AP =；②当PQ BE =时，延长BE ，CD 交于N 点，猜想NQ 与MQ 的数量关系，并说明理由.29．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .(1)求出直线BC的解析式；MN AB (2)若动点M从点C出发,沿线段CB以每分钟10个单位的速度运动,过M作//交y轴于N,连接AN.设运动时间为t分钟,当四边形ABMN为平行四边形时,求t的值. (3)P为直线BC上一点,在坐标平面内是否存在一点Q,使得以O、B、P、Q为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q的坐标；若不存在,请说明理由.∆是边长为3的等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与30．如图，ABC∆是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，交直线点B、C重合），ADEAC于点F，连接BE．（1）判断四边形BCFE的形状，并说明理由；（2）当DE AB⊥时，求四边形BCFE的周长；（3）四边形BCFE能否是菱形？若可为菱形，请求出BD的长，若不可能为菱形，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】由菱形四边形相等、OD=OB，且每边长为6，再有∠DAB＝60°，说明△DAB为等边三角形，由DH⊥AB，可得AH=HB（等腰三角形三线合一），可得OH就是AD的一半，即可完成解答。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元期末复习测试综合卷学能测试试卷

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元期末复习测试综合卷学能测试试卷一、选择题1．如图，正方形ABCD 的对角线相交于O 点，BE 平分∠ABO 交AO 于E 点，CF ⊥BE 于F 点，交BO 于G 点，连接EG 、OF ，下列四个结论：①CE=CB ；②AE=2OE ；③OF=12CG ,其中正确的结论只有( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 落在y 轴上，点C 落在x 轴上，随着顶点C 由原点O 向x 轴正半轴方向运动，顶点A 沿y 轴负半轴方向运动到终点O ，在运动过程中OD 的长度变化情况是（）A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小后增大D ．先增大后减少3．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=︒，28AD AB ==，点H 、G 分别是边AD 、BC 上的动点．连接AH 、HG ，点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF ．则EF 的最大值与最小值的差为（）A ．2B ．32-C 3D ．434．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 是对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，H 是CD 的中点，连接GH ，则GH 的最小值为（）A ．2B ．51-C ．2D ．422- 5．如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠CBF 为（）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°6．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 均在x 轴正半轴上，若已知正方形1111D C B A 的边长为1，1160B C O ︒∠=，且112233////B C B C B C ，则点3A 的坐标是( )A ．331(3,)++B ．333(3,)2++C ．331(3,)2++D ．333(3,)++ 7．如图的△ABC 中，AB>AC>BC,且D 为BC 上一点．现打算在AB 上找一点P ,在AC 上找一点Q,使得△APQ 与以P 、D 、Q 为顶点的三角形全等，以下是甲、乙两人的作法：甲：连接AD,作AD 的中垂线分别交AB 、AC 于P 点、Q 点，则P 、Q 两点即为所求；乙：过D 作与AC 平行的直线交AB 于P 点，过D 作与AB 平行的直线交AC 于Q 点，则P 、Q 两点即为所求；对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误乙正确8．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论：①△AED≌△DFB：②GC平分∠BGD；③S四边形BCDG＝34CG2；④∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P在边AD上从点A到点D运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F，已知AB=3，AD=4，随着点P的运动，关于PE+PF的值，下面说法正确的是（）A．先增大，后减小B．先减小，后增大C．始终等于2.4 D．始终等于3 10．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB延AE折叠刀AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下结论：①∠EAG=45°；②GC=CF；③FC∥AG；④S△GFC=14.4；其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD 边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E 在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩形EGFH；③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是__．12．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，点F 在平行四边形ABCD 的边上，若△AEF 为等腰三角形，则EF 的长为_____．13．如图，在等边ABC 和等边DEF 中，FD 在直线AC 上，33,BC DE ==连接,BD BE ，则BD BE +的最小值是______．14．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．15．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．16．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于点O ，在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB’C ，若四边形ABCD 的面积为24cm 2，则翻折后重叠部分（即S △ACE ) 的面积为________cm 2．17．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．18．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =，则DF =_________．19．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．20．在菱形ABCD中，M是AD的中点，AB＝4，N是对角线AC上一动点，△DMN 的周长最小是2+23，则BD的长为___________．三、解答题21．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF ，用等式表示线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系：．22．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时，四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．23．综合与探究（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由．（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果45GCE ∠=︒，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．24．如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ．（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；（2）若∠DEF =90°，DE =8，EF =6，当AF 为时，四边形BCEF 是菱形．25．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）26．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．（1）求证：BP ＝CQ ；（2）若BP ＝13PC ，求AN 的长；（3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC '的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．27．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．28．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，求证：DM =ME ，DM ⊥.ME简析：由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是三角形,进而得出结论.（2）如图2，在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .29．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形．①点A 与点______关于BC 互为顶针点；②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)思维探究②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．30．阅读下列材料，并解决问题：如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点D 为AC 边上的动点（不与A 、C 重合），以AD ，BD 为边构造ADBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC的值是多少．在解决这个问题时，小红画出了一个以AD ，BD 为边的ADBE （如图2），设平行四边形对角线的交点为O ，则有AO BO =．于是得出当OD AC ⊥时，OD 最短，此时DE 取最小值，得出DE 的最小值为6．参考小红的做法，解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当DE 的长度最小时，AD AC =_______；（2）如图3，延长DA 到点F ，使AF DA =．以DF ，DB 为边作FDBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据正方形对角性质可得∠CEB=∠CBE，CE=CB；根据等腰直角三角形性质，证△ECG≌△BCG，可得OE；根据直角三角形性质得OF=12BE=12CG.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABO=∠ACO=∠CBO=45°，AB=BC，OA=OB=OC，BD⊥AC，∵BE平分∠ABO，∴∠OBE=12∠ABO=22.5°，∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，在△BCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠CEB=∠CBE，∴CE=CB；故①正确；∵OA=OB，AE=BG，∴OE=OG，∵∠AOB=90°，∴△OEG是等腰直角三角形，∴OE，∵∠ECG=∠BCG，EC=BC，CG=CG，∴△ECG≌△BCG，∴BG=EG，∴OE；故②正确；∵∠AOB=90°，EF=BF，∵BE=CG，∴OF=12BE=12CG．故③正确．故正确的结论有①②③．故选A．【点睛】运用了正方形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．2．D解析：D【分析】根据运动开始，OD 是正方形的边长CD ，运动过程中B 与O 点重合时，OD 是对角线，在运动A 与O 点重合，OD 是边长AD ，可得答案．【详解】从C 离开O 点到B 到O 点，OD 由边长到对角线在增大，由B 离开O 点到A 到O 点，OD 由正方形的对角线减少到正方形的边长．故选D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，OD 由正方形的边长到正方形的对角线，再由正方形的对角线到正方形的边长．3．C解析：C【分析】如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ．首先证明∠ACD ＝90°，求出AC ，AN ，利用三角形中位线定理，可知EF ＝12AG ，求出AG 的最大值以及最小值即可解决问题．【详解】解：如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120°，28AD AB ==∴∠D ＝180°−∠BCD ＝60°，AB ＝CD ＝4，∵AM ＝DM ＝DC ＝4，∴△CDM 是等边三角形，∴∠DMC ＝∠MCD ＝60°，AM ＝MC ，∴∠MAC ＝∠MCA ＝30°，∴∠ACD ＝90°，∴AC ＝43在Rt △ACN 中，∵AC ＝3ACN ＝∠DAC ＝30°，∴AN ＝12AC ＝3∵AE ＝EH ，GF ＝FH ，∴EF ＝12AG ， ∵点G 在BC 上，∴AG 的最大值为AC 的长，最小值为AN 的长，∴AG的最大值为43，最小值为23，∴EF的最大值为23，最小值为3，∴EF的最大值与最小值的差为：3故选：C【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题．4．A解析：A【分析】取AD中点O，连接OE，得到△ODE≌△HDG，得到OE=HG,当OE⊥AC时，OE有最小值，此时△AOE是等腰直角三角形，OE=AE，再根据正方形及勾股定理求出OE，即可得到GH 的长．【详解】取AD中点O，连接OE，得到△ODE≌△HDG，得到OE=HG,当OE⊥AC时，OE有最小值，此时△AOE是等腰直角三角形，OE=AE，∵AD=AB=4,∴AO=12AB=2在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2+AE2=AO2=4,即2OE2=4解得OE=2∴GH的最小值为2故选A．【点睛】本题考查了正方形的性质,根据题意确定E点的位置是解题关键．5．A解析：A【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC，进而得出∠CBF．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，又∵△ADE 是等边三角形，∴AE=AD=DE ，∠DAE=60°，∴AB=AE ，∴∠ABE=∠AEB ，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=（180°-150°）÷2=15°，又∵∠BAC=45°，∴∠BFC=45°+15°=60°．∴∠BFA=180°-60°=120°，∴∠CBF=180°-∠BCA-∠BFC=180°-45°-60=75°，故选：A ．【点睛】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，解本题的关键是求出∠ABE=15°．6．C解析：C【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠B 3C 3O=∠B 2C 2O=∠B 1C 1O=60°，然后利用三角形全等可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2，E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4，解直角三角形求出OC 1、C 1E 、E 1E 2、E 2C 2、C 2E 3、E 3E 4、E 4C 3，再求出B 3C 3，过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ，过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，先求出A 3M ，再解直角三角形求出A 3N 、C 3N ，然后求出ON ，再根据点A 3在第一象限写出坐标即可．【详解】解∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，∴∠B 3C 3O =∠B 2C 2O =∠B 1C 1O =60°，∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，B 1C 1=C 1D 1，∠B 1C 1D 1=90°，∴∠C 1B 1O=∠D 1C 1E 1=30°，∴△C 1B 1O ≌△D 1C 1E 1；∴B 1O=C 1E 1，OC 1=D 1E 1，同理可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2；E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4；111122223111111222OC D E E E B E C E B C ∴======⨯=11111222C E D C ===2234342212E C E E B E E =====433416E C B E ===3343112263B C E C ∴==⨯= 过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ,过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，则332323333331133333A M A D D B C B C +=+=+=+= 33333331A N A M ++===3313313322C M A M ++=== 34313333123C N E M C M ⎛⎫+-∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭111122223343ON OC C E E E E C C E E E C N =++++++1313131313322262-=++++++= ∵点A 3在第一象限，∴点A 3的坐标是3313,26⎫⎪⎪⎭. 故选C.【点睛】本题考查正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，30°角的直角三角形.熟练掌握有30°角的直角三角形各边之间的数量关系是解决本题的关键.7．A解析：A【分析】如图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PD ，QA=QD ，则根据"SSS"可判断APQ ≌DPQ ，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ 为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA=DQ ，PD=AQ ，则根据"SSS"可判断△APQ ≌△DQP ,则可对乙进行判断.【详解】解：如图1，∵PQ垂直平分AD，∴PA= PD,，QA= QD，∵PQ= PQ，∴△APQ≌△DPQ (SSS)，所以甲正确；如图2，∵PD ∥AQ，DQ ∥AP，∴四边形APDQ为平行四达形，∴PA=DQ,，PD=AQ，∵PQ=QP，∴△APQ≌△DQP (SSS)，所以乙正确；故选：A.【点睛】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定.8．D解析：D【分析】①先证明△ABD为等边三角形,根据“SAS”证明△AED≌△DFB;②证明∠BGE＝60︒＝∠BCD,从而得点B、C、D、G四点共圆,因此∠BGC＝∠DGC＝60︒;③过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.证明△CBM≌△CDN,所以S四边形BCDG＝S四边形CMGN,易求后者的面积;④∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒,故为定值.【详解】解：①∵ABCD为菱形,∴AB＝AD,∵AB＝BD,∴△ABD为等边三角形,∴∠A＝∠BDF＝60︒又∵AE＝DF,AD＝BD,∴△AED≌△DFB（SAS ）,故本选项正确;②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒＝∠BCD,即∠BGD+∠BCD＝180︒,∴点B 、C 、D 、G 四点共圆,∴∠BGC＝∠BDC＝60︒,∠DGC＝∠DBC＝60︒,∴∠BGC＝∠DGC＝60︒,故本选项正确;③过点C 作CM⊥GB 于M,CN⊥GD 于N （如图）,则△CBM≌△CDN（AAS ）,∴S 四边形BCDG ＝S 四边形CMGNS 四边形CMGN ＝2S △CMG ,∵∠CGM＝60︒, ∴GM＝12CG,CM ＝32CG, ∴S 四边形CMGN ＝2S △CMG ＝2×12×12CG×3232, 故本选项正确;④∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒,为定值,故本选项正确;综上所述,正确的结论有①②③④,故选：D.【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握菱形的性质．9．C解析：C【分析】在矩形ABCD 中，由矩形边长，可得矩形面积是12，进而得134AOD ABCD S S ==矩形，由矩形对角线相等且互相平分得AO OC =，OB OD =，AC BD =，利用勾股定理可解得5AC =,则52OA OD ==，111()3222AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF =+=+=+==，即可求出PE+PF 的值．【详解】解：连接PO ，如下图：∵在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，∴12ABCD S AB BC ==矩形, AO OC =，OB OD =，AC BD =，225AC AB +BC ， ∴1112344AOD ABCD S S ==⨯=矩形, 52OA OD ==， 11115()()322222AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF PE PF =+=+=+=⨯+=，∴12 2.45PE PF +==；故选C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，利用等积法间接求三角形的高线长及用勾股定理求直角三角形的斜边；利用面积法求解，是本题的解题突破点． 10．C解析：C【分析】选项①正确．证明∠GAF=∠GAD ，∠EAB=∠EAF 即可．选项②错误．可以证明DG=GC=FG ，显然△GFC 不是等边三角形，可得结论．选项③正确．证明CF ⊥DF ，AG ⊥DF 即可．选项④正确．证明FG ：EG=3：5，求出△ECG 的面积即可．【详解】解：如图，连接DF ．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°，由折叠可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=4，∠BAE=∠EAF，∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF，∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），∴∠GAF=∠GAD，∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=12(∠BAF+∠DAF)=45°，故①正确，设GD=GF=x，在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2，∴(4+x)2=82+(12-x)2，∴x=6，∵CD=BC=BE+EC=12，∴DG=CG=6，∴FG=GC，易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，∵GF=GD=GC，∴∠DFC=90°，∴CF⊥DF，∵AD=AF，GD=GF，∴AG⊥DF，∴CF∥AG，故③正确，∵S△ECG=12×6×8=24，FG：FE=6：4=3：2，∴FG：EG=3：5，∴S△GFC=35×24=725=14.4，故④正确，故①③④正确，故选：C．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．二、填空题11．①③④【分析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG=OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，∴GH过点O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），∴HO＝GO，∴四边形EGFH是平行四边形，∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，∵点E是AB上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；若四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，∴∠BOG＝∠COF；在△BOG和△COF中，∵BOG COF BO COGBO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，同理可得：EO ＝OH ，∴GH ＝EF ；∴四边形EGFH 是正方形，∵点E 是AB 上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH ，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．12．33或3或57 【分析】△AEF 为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．【详解】解：当AE AF =时，如图，过点A 作AH EF ⊥于H ，E 是AB 的中点，132AE AB ∴==， =AE AF ，AH EF ⊥，120A ∠=︒，30AEF AFE ∴∠=∠=︒，FH EH =，1322AH AE ∴==，333EH AH =， 233EF EH ∴==当AF EF =时，如图2，过点A 作AN CD ⊥于N ，过点F 作FM AB ⊥于M ，图2在平行四边形ABCD 中，6AB =，4BC =，120A ∠=︒，4AD BC ∴==，60ADC ∠=︒，30DAN ∴∠=︒， 122DN AD ∴==，323AN DN ==， //AB CD ，AN CD ⊥，FM AB ⊥，23AN MF ∴==，AF EF =，FM AB ⊥，32AM ME ∴==， 22957124EF ME MF ∴=+=+=；当3AE EF ==时，如图3，图33EF ∴=，综上所述：EF 的长为33357．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．1337【分析】如图，延长CB 到T ，使得BT=DE ，连接DT ，作点B 关于直线AC 的对称点W ，连接TW ，DW ，过点W 作WK ⊥BC 交BC 的延长线于K ．证明BE=DT ，BD=DW ，把问题转化为求DT+DW 的最小值．【详解】解：如图，延长CB 到T ，使得BT=DE ，连接DT ，作点B 关于直线AC 的对称点W ，连接TW ，DW ，过点W 作WK ⊥BC 交BC 的延长线于K ．∵△ABC，△DEF都是等边三角形，BC=3DE=3，∴BC=AB=3，DE=1，∠ACB=∠EDF=60°，∴DE∥TC，∵DE=BT=1，∴四边形DEBT是平行四边形，∴BE=DT，∴BD+BE=BD+AD，∵B，W关于直线AC对称，∴CB=CW=3，∠ACW=∠ACB=60°，DB=DW，∴∠WCK=60°，∵WK⊥CK，∴∠K=90°，∠CWK=30°，∴CK=12CW=32，3332，∴TK=1+3+32=112，∴2222113322TK WK⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭37∴DB+BE=DB+DT=DW+DT≥TW，∴37∴BD+BE37，37．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．14．①②④【分析】①根据折叠得△ABE≌△AFE，证明△EFC是等腰三角形，得到∠EFC=∠ECF，根据∠BEF=∠EFC+∠FEC，得出∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF，即可证明AE∥FC，故①正确；②根据四边形ABCD是正方形，且△ABE≌△AFE，证明Rt△AFG≌Rt△ADG，得出∠FAG=∠GAD，根据∠BAF+∠FAD=90°，推出∠EAF+∠FAG=45°，可得∠EAG=45°，根据全等得：BE=FE ，DG=FG ，即可得BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③先求出S △ECG ，根据EF ：FG=2a ：3a =3：2，得出S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ，再根据S ABCD =a 2，得出S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误；④设正方形的边长为a ，根据勾股定理得2a ，设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ，EG=2a +x ，再根据勾股定理求出x ，即可得出结论，故④正确．【详解】解：①由折叠可得△ABE ≌△AFE ，∴∠BEA=∠AEF ，BE=EF ，∵E 是BC 中点，∴BE=CE=EF ，∴△EFC 是等腰三角形，∴∠EFC=∠ECF ，∵∠BEF=∠EFC+∠FEC ，∴∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，∴AE ∥FC ，故①正确；②∵四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，∴AB=AF=AD ，∠B=∠D=∠AFG ，∴△AFG 和△ADG 是直角三角形，∴在Rt △AFG 和Rt △ADG 中 AF AD AG AG ==⎧⎨⎩， ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG （HL ），∴∠FAG=∠GAD ，又∵∠BAF+∠FAD=90°，∴2∠EAF+2∠FAG=90°，即∠EAF+∠FAG=45°，∴∠EAG=45°，由全等得：BE=FE ，DG=FG ，∴BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③对于Rt △ECG ，S △ECG =12×EC ×CG=12×2a ×23a =216a ， ∵EF ：FG=2a ：3a =3：2，则S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ，又∵S ABCD =a 2，则S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误； ④设正方形的边长为a ， ∴AB=AD=AF=a ，BE=EF=2a =EC ，由勾股定理得=2，设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ， EG=2a +x ， ∴EG 2=EC 2+CG 2，即（2a +x ）2=（2a ）2+（a-x ）2，解得x=3a ，CG=23a ，即AD=3DG 成立，故④正确．【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．15．①②③④【分析】根据正方形的性质和SAS 可证明△ABG ≌△AEC ，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG 、CE 相交于点N ，AC 、BG 相交于点K ，如图1，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE ＝∠AGB ，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG ＝∠CAG ＝90°，于是可判断②；过点E 作EP ⊥HA 的延长线于P ，过点G 作GQ ⊥AM 于Q ，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS 即可证明△ABH ≌△EAP ，可得EP ＝AH ，同理可证GQ ＝AH ，从而得到EP ＝GQ ，再利用AAS 可证明△EPM ≌△GQM ，可得EM ＝GM ，从而可判断③，于是可得答案．【详解】解：在正方形ABDE 和ACFG 中，AB ＝AE ，AC ＝AG ，∠BAE ＝∠CAG ＝90°，∴∠BAE +∠BAC ＝∠CAG +∠BAC ，即∠CAE ＝∠BAG ，∴△ABG ≌△AEC （SAS ），∴BG ＝CE ，故①正确；设BG 、CE 相交于点N ，AC 、BG 相交于点K ，如图1，∵△ABG ≌△AEC ，∴∠ACE ＝∠AGB ，∵∠AKG ＝∠NKC ，∴∠CNG ＝∠CAG ＝90°，∴BG ⊥CE ，故②正确；过点E 作EP ⊥HA 的延长线于P ，过点G 作GQ ⊥AM 于Q ，如图2，∵AH ⊥BC ，∴∠ABH +∠BAH ＝90°，∵∠BAE ＝90°，∴∠EAP +∠BAH ＝90°，∴∠ABH ＝∠EAP ，即∠EAM ＝∠ABC ，故④正确；∵∠AHB =∠P =90°，AB =AE ，∴△ABH ≌△EAP （AAS ），∴EP ＝AH ，同理可得GQ ＝AH ，∴EP ＝GQ ，∵在△EPM 和△GQM 中，90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPM ≌△GQM （AAS ），∴EM ＝GM ，∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．16．6【分析】由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S△ABC=S△AB'C=12cm2，可证点B，点A，点B'三点共线，通过证明四边形ACDB'是平行四边形，可得B'E=CE，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，S△ABC=1242=12cm2，∵在同一平面内将△ABC沿AC翻折，得到△AB′C，∴∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S△ABC=S△AB'C=12cm2，∴∠BAB'=180°，∴点B，点A，点B'三点共线，∵AB∥CD，AB'∥CD，∴四边形ACDB'是平行四边形，∴B'E=CE，∴S△ACE=12S△AB'C=6cm2，故答案为：6．【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，证明点B，点A，点B'三点共线是本题的关键．17．②③【分析】根据菱形的性质可知AC⊥BD，所以在Rt△AFP中，AF一定大于AP，从而判断①；设∠BAE=x，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE，再根据菱形的邻角互补求出∠ABE，根据三角形内角和定理列出方程，求出x的值，求出∠BFE和∠BE的度数，从而判断②③．【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴在Rt△AFP中，AF一定大于AP，故①错误；∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，设∠BAE=x°，则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，∵AB=AE，∠BAE=x°，∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，解得：x=36，即∠BAE=36°，∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=∠CBD=12∠ABE=36°，∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，∴BE=BF=AF．故③正确∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°∴∠AFD=∠EAD∴AD=FD又∵AD=AB=AE∴AE=FD，故②正确∴正确的有②③故答案为：②③【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角．18．4【分析】证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．【详解】解：∵CF∥AB，∴∠ECF=∠EBD．∵E是BC中点，∴CE=BE．∵∠CEF=∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA）．∴CF=BD．∴四边形CDBF是平行四边形．作EM⊥DB于点M，∵四边形CDBF 是平行四边形，22BC =∴BE=122BC =，DF=2DE ，在Rt △EMB 中，EM 2+BM 2=BE 2且EM=BM∴EM=1，在Rt △EMD 中，∵∠EDM=30°，∴DE=2EM=2，∴DF=2DE=4．故答案为：4．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，19．（-2，0）【分析】先计算得到点D 的坐标，根据旋转的性质依次求出点D 旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．【详解】∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，∴对角线的交点D 的坐标是（2,2）， ∴22222OD =+=将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，旋转1次后坐标是（0，22），旋转2次后坐标是（-2,2），旋转3次后坐标是（-2，0），旋转4次后坐标是（-2，-2），旋转5次后坐标是（0，-22旋转6次后坐标是（2，-2），旋转7次后坐标是（2,0），旋转8次后坐标是（2,2）旋转9次后坐标是（0，22由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，∵201982523÷=，∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-22，0）故答案为：（-22，0）．【点睛】此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．20．4【分析】根据题意，当B 、N 、M 三点在同一条直线时，△DMN 的周长最小为：BM+DM=2+23，由DM=122AD =，则BM=23，利用勾股定理的逆定理，得到∠AMB=90°，则得到△ABD 为等边三角形，即可得到BD 的长度.【详解】解：如图：连接BD ，BM ，则AC 垂直平分BD ，则BN=DN ，当B 、N 、M 三点在同一条直线时，△DMN 的周长最小为：BM+DM=2+3 ∵AD=AB=4，M 是AD 的中点，∴AM=DM=122AD =， ∴BM=3∵2222223)16AM BM AB +=+==，∴△ABM 是直角三角形，即∠AMB=90°；∵BM 是△ABD 的中线，∴△ABD 是等边三角形，∴BD=AB=AD=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，以及三线合一定理.解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到△ABD 是等边三角形.三、解答题21．（1）DE 2CF ；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF ＋CF ＝2DF 或|AF －CF |2【分析】。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元期末复习测试综合卷检测

一、选择题1．如图，ABCD □中，4,60AB BC A ==∠=︒，连接BD ，将BCD 绕点B 旋转，当BD （即BD '）与AD 交于一点E ，BC （即BC '）与CD 交于一点F 时，给出以下结论：①AE DF =；②60BEF ∠=︒；③DEB DFB ∠=∠；④DEF 的周长的最小值是423+.其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④2．如图，在边长为5的正方形ABCD 中，以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 落在y 轴上，点C 落在x 轴上，随着顶点C 由原点O 向x 轴正半轴方向运动，顶点A 沿y 轴负半轴方向运动到终点O ，在运动过程中OD 的长度变化情况是（）A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小后增大D ．先增大后减少4．如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD ＝DE ，连结BE 分别交AC ，AD 于点F 、G ，连结OG ，则下列结论：①OG ＝12AB ；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S 四边形ODGF ＞S △ABF ；④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形．其中正确的是（）A．①④B．①③④C．①②③D．②③④5．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，过A点作AF⊥BF，垂足为F并延长交BC于点G，D为AB中点，连接DF延长交AC于点E。

若AB=12，BC=20，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．56．如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点F是边CD上一点，连接ED，EF，ED平分∠AEF，过点D作DG⊥EF于点M，交BC于点G，连接GE，GF，若FG∥DE，则ABAD的值是()A．32B．22C．2D．37．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（）A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.58．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论：①△AED≌△DFB：②GC平分∠BGD；③S四边形BCDG＝3CG2；④∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若60COB∠=，FO FC=，则下列结论：①FB OC ⊥，OM CM =；②EOB CMB ≅；③四边形EBFD 是菱形；④:3:2MB OE =．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，已知△ABC 的面积为12，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BF=4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．12．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．13．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为_____．14．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．15．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．16．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．17．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．18．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．三、解答题21．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=8cm ，AD=16cm ，BC=22cm ，∠ABC=90°．点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．（1）当t= 时，四边形ABQP 成为矩形？（2）当t= 时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？（3）四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．22．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC .（1）求证：AEF CGH ∆≅∆（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+23．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．（1）求证：GF GC =；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．24．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论；（3）若AB ＝1，BC 5BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．25．如图所示，四边形ABCD 是正方形， M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合)，另一直角边与CBM ∠的平分线BF 相交于点F ．(1)求证: ADE FEM ∠=∠;(2)如图(1)，当点E 在AB 边的中点位置时，猜想DE 与EF 的数量关系，并证明你的猜想;(3)如图(2)，当点E 在AB 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．26．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]① ②27．在平面直角坐标中，四边形OCNM 为矩形，如图1，M 点坐标为（m ，0），C 点坐标为（0，n ），已知m ，n 满足550n m -+-=．（1）求m ，n 的值；（2）①如图1，P ，Q 分别为OM ，MN 上一点，若∠PCQ ＝45°，求证：PQ ＝OP+NQ ； ②如图2，S ，G ，R ，H 分别为OC ，OM ，MN ，NC 上一点，SR ，HG 交于点D ．若∠SDG ＝135°，55HG 2=，则RS ＝______；（3）如图3，在矩形OABC 中，OA ＝5，OC ＝3，点F 在边BC 上且OF ＝OA ，连接AF ，动点P 在线段OF 是（动点P 与O ，F 不重合），动点Q 在线段OA 的延长线上，且AQ ＝FP ，连接PQ 交AF 于点N ，作PM ⊥AF 于M ．试问：当P ，Q 在移动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若不变求出线段MN 的长度；若变化，请说明理由．28．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．29．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，求证：DM =ME ，DM ⊥.ME简析：由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是三角形,进而得出结论.（2）如图2，在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；（3）当325t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据题意可证△ABE ≌△BDF ，可判断①②③，由△DEF 的周长=DE +DF +EF =AD +EF =4+EF ，则当EF 最小时△DEF 的周长最小，根据垂线段最短，可得BE ⊥AD 时，BE 最小，即EF 最小，即可求此时△BDE 周长最小值．【详解】解：∵AB =BC =CD =AD =4，∠A =∠C =60°∴△ABD ，△BCD 为等边三角形，∴∠A =∠BDC =60°，∵将△BCD 绕点B 旋转到△BC 'D '位置，∴∠ABD '=∠DBC '，且AB =BD ，∠A =∠DBC '，∴△ABE ≌△BFD ，∴AE =DF ，BE =BF ，∠AEB =∠BFD ，∴∠BED +∠BFD =180°，故①正确，③错误；∵∠ABD =60°，∠ABE =∠DBF ，∴∠EBF =60°，故②正确∵△DEF 的周长=DE +DF +EF =AD +EF =4+EF ，∴当EF最小时，∵△DEF的周长最小．∵∠EBF=60°，BE=BF，∴△BEF是等边三角形，∴EF=BE，∴当BE⊥AD时，BE长度最小，即EF长度最小，∵AB=4，∠A=60°，BE⊥AD，∴EB=∴△DEF的周长最小值为4+故④正确，综上所述：①②④说法正确，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，关键是灵活运用这些性质解决问题．2．C解析：C【分析】分别以3为底和以3为腰构造等腰三角形即可.注意等腰三角形的大小不同.【详解】①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可,此时三角形为腰为3的等腰三角形；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°，∵EF⊥AC∴△AEH与△AHF为等腰直角三角形∴EF=EH+FH=AH+AH=3.且故△AEF为底为3的等腰三角形；③以A为端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC 一个点，连接即可，此时三角形为腰为3的等腰三角形；④连接AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；理由如下：与②同理可证EF=3，且EC=FC，在△DEC和△DFC中，∵AC=AC,∠ACE=∠ACF，EC=FC∴△DEC≌△DFC∴AE=AF,故△AEF为底为3的等腰三角形.⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，三角形为底为3的等腰三角形．故满足条件的所有图形如图所示：故选C.【点睛】本题考查作图——应用与设计作图, 等腰三角形的性质与判定, 勾股定理, 正方形的性质. 明确等腰三角形的性质是解答本题的关键.3．D解析：D【分析】根据运动开始，OD是正方形的边长CD，运动过程中B与O点重合时，OD是对角线，在运动A与O点重合，OD是边长AD，可得答案．【详解】从C离开O点到B到O点，OD由边长到对角线在增大，由B离开O点到A到O点，OD由正方形的对角线减少到正方形的边长．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，OD由正方形的边长到正方形的对角线，再由正方形的对角线到正方形的边长．4．A解析：A【分析】由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG=12CD=12AB，①正确；先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，④正确；由菱形的性质得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS证明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正确；证出OG是△ABD的中位线，得出OG∥AB，OG=12AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF=S△ABF；③不正确；即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AB ∥CD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ，∴∠BAG ＝∠EDG ，△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ，∵CD ＝DE ，∴AB ＝DE ，在△ABG 和△DEG 中，BAG EDG AGB DGE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△DEG （AAS ），∴AG ＝DG ，∴OG 是△ACD 的中位线，∴OG ＝12CD ＝12AB ， ∴①正确；∵AB ∥CE ，AB ＝DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∵∠BCD ＝∠BAD ＝60°，∴△ABD 、△BCD 是等边三角形，∴AB ＝BD ＝AD ，∠ODC ＝60°，∴OD ＝AG ，四边形ABDE 是菱形，④正确；∴AD ⊥BE ，由菱形的性质得：△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，在△ABG 和△DCO 中，OD AG ODC BAG 60AB DC ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△DCO （SAS ），∴△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ≌△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，∴②不正确；∵OB ＝OD ，AG ＝DG ，∴OG 是△ABD 的中位线，∴OG ∥AB ，OG ＝12AB ， ∴△GOD ∽△ABD ，△ABF ∽△OGF ， ∴△GOD 的面积＝14△ABD 的面积，△ABF 的面积＝△OGF 的面积的4倍，AF ：OF ＝2：1，∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；③不正确；正确的是①④．故选A．【点睛】本题考查菱形的判定与性质, 全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，熟练掌握性质，能通过性质推理出图中线段、角之间的关系是解题关键.5．C解析：C【解析】【分析】由直角三角形的性质可求得DF=BD=12AB，由角平分线的定义可证得DE∥BC，利用三角形中位线定理可求得DE的长，则可求得EF的长．【详解】解:∵AF⊥BF，D为AB的中点，∴DF=DB=12AB=6，∴∠DBF=∠DFB，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠CBF，∴∠DFB=∠CBF，∴DE∥BC，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=12BC=10，∴EF=DE−DF=10−6=4，故选：C.【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理.根据直角三角形斜边上的中线是斜边是斜边的一半可得△DBF为等腰三角形，通过角平分线的性质和等角对等边可得DF//BC，即DE为△ABC的中位线，从而计算出DE，继而求出EF.6．C解析：C【分析】由题意得△AED≌△MED、△BEG≌△MEG、△MGF≌△CGF，设CG=x，用含x的式子表示AD =2x ，AB =，即可得出AB AD 2x==【详解】∵ED 平分∠AEF∴∠AED=∠DEM 在矩形ABCD 中，∠A=∠B=∠BCD=90°∵DG ⊥EF∴∠DME=∠EMG=∠GMF=90°∴∠A=∠DME=90°∵DE=DE∴△AED ≌△MED∴ME=AE∵点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点∴AE=BE∴ME=BE∵∠EMC=∠B=90°， EG=EG∴Rt △BEG ≌Rt △MEG∵AD ∥BC∴∠ADG=∠CGD∵ED ∥GF∴∠EDM=∠FGM∴∠ADE=∠CGF∴∠CGF=∠FGM∴△MGF ≌△CGF∴MG=CG=BG设CG=x∴BC=2x∴AD=DM=2x∴DG=3x根据勾股定理可得CD =∴AB =∴AB AD ==故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握和全等三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键．7．C解析：C 【分析】首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=12AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出AP的长，即可得AM.【详解】在△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，所以△ABC为直角三角形，∠A=90°，又因为PE⊥AB，PF⊥AC，故四边形AEPF为矩形，因为M 为 EF 中点，所以M 也是 AP中点，即AM=12 AP，故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，由1122ABCS AB AC BC AP=⨯⨯=⨯⨯，可得AP=125，AM=12AP=61.25=故本题正确答案为C.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键.8．D解析：D【分析】①先证明△ABD为等边三角形,根据“SAS”证明△AED≌△DFB;②证明∠BGE＝60︒＝∠BCD,从而得点B、C、D、G四点共圆,因此∠BGC＝∠DGC＝60︒;③过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.证明△CBM≌△CDN,所以S四边形BCDG＝S四边形CMGN,易求后者的面积;④∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒,故为定值.【详解】解：①∵ABCD为菱形,∴AB＝AD,∵AB＝BD,∴△ABD为等边三角形,∴∠A＝∠BDF＝60︒又∵AE＝DF,AD＝BD,∴△AED≌△DFB（SAS）,故本选项正确;②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒＝∠BCD,即∠BGD+∠B CD＝180︒,∴点B、C、D、G四点共圆,∴∠BGC＝∠BDC＝60︒,∠DGC＝∠DBC＝60︒,∴∠BGC＝∠DGC＝60︒,故本选项正确;③过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N（如图）,则△CBM≌△CDN（AAS）,∴S四边形BCDG＝S四边形CMGNS四边形CMGN＝2S△CM G,∵∠CGM＝60︒,∴GM＝12CG,CM＝32CG,∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2×12×12332,故本选项正确;④∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒,为定值,故本选项正确;综上所述,正确的结论有①②③④,故选：D.【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握菱形的性质．9．C解析：C【分析】①证明△OBC是等边三角形，即可得OB=BC，由FO=FC，即可得FB垂直平分OC，①正确；②由FB垂直平分OC，根据轴对称的性质可得△FCB≌△FOB，根据全等三角形的性质可得∠BCF=∠BOF=90°，再证明△FOC≌△EOA，所以FO=EO，即可得OB垂直平分EF，所以△OBF≌△OBE，即△EOB≌△FCB，②错误；③证明四边形DEBF是平行四边形，再由OB垂直平分EF，根据线段垂直平分线的性质可得BE=BF，即可得平行四边形DEBF为菱形，③正确；④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，在Rt△OBE中，可得OE=3，在Rt△OBM中，可得BM=32OB，即可得BM ：OE =3：2，④正确.【详解】①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，∴FB⊥OC，OM=CM；①正确；②∵FB垂直平分OC，根据轴对称的性质可得△FCB≌△FOB，∴∠BCF=∠BOF=90°，即OB⊥EF，∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，∴△FOC≌△EOA，∴FO=EO，∴OB垂直平分EF，∴△OBF≌△OBE，∴△EOB≌△FCB，②错误；③∵△FOC≌△EOA，∴FC=AE，∵矩形ABCD，∴CD=AB，CD∥AB，∴DF∥EB，DF=EB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵OB垂直平分EF，∴BE=BF，∴平行四边形DEBF为菱形；③正确；④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，在Rt△OBE中，3，在Rt△OBM中，BM=3 OB,∴BM ：OE =3OB：=3OB=3：2.④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选C.【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、菱形的判定及锐角三角函数，是一道综合性较强的题目，解决问题的关键是会综合运用所学的知识分析解决问题．10．C解析：C【分析】想办法证明S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题.【详解】连接AF、EC．∵BC＝4CF，S△ABC＝12，∴S△ACF＝13×12＝4，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB＝S△DEC，∴S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，∵EF∥AC，∴S△AEC＝S△ACF＝4，∴S阴＝4．故选C．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．二、填空题11．4:9【分析】设DP ＝DN ＝m ，则PN m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=12BC=32m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．【详解】根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN m ，∴m=MC ，，∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，∵四边形HMPN 是正方形，∴GF ⊥BC∵∠ACB ＝45︒，∴△FGC 是等腰直角三角形，∴FG=CF=12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98m 2， ∴12:S S =12m 2: 98m 2=4:9，故答案为4：9．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．12【分析】连结AC ，取OC 中点M ，连结 MB ，MG ，则MB ，MG 为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．【详解】连接AC ，交EF 于O ，∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∵AE＝CF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OA＝OC，∴O是正方形的中心，∵AB＝BC＝4，∴AC＝2OC＝2，取OC中点M，连结 MB，MG，过点M作MH⊥BC于H，∵MC＝12OC2，∴MH＝CH＝1，∴BH＝4−1＝3，由勾股定理可得MB223110在Rt△GOC中，M是OC的中点，则MG＝12OC2∵BG≥BM−MG102，当B，M，G三点共线时，BG102，102．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E，F运动到AD，BC的中点时，MG最小是解决本题的关键．13．4【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF＝AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．【详解】解：连接AP，∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ＝AP ，∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，设斜边上的高为h ，则S △ABC =1122BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，∴EF 的最小值为2.4，故答案为：2.4．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．14．②③【分析】根据菱形的性质可知AC ⊥BD ，所以在Rt △AFP 中，AF 一定大于AP ，从而判断①；设∠BAE=x ，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE ，再根据菱形的邻角互补求出∠ABE ，根据三角形内角和定理列出方程，求出x 的值，求出∠BFE 和∠BE 的度数，从而判断②③．【详解】解：在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴在Rt △AFP 中，AF 一定大于AP ，故①错误；∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，设∠BAE=x°，则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，∵AB=AE ，∠BAE=x°，∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，解得：x=36，即∠BAE=36°，∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=∠CBD=12∠ABE=36°，∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，∴BE=BF=AF．故③正确∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°∴∠AFD=∠EAD∴AD=FD又∵AD=AB=AE∴AE=FD，故②正确∴正确的有②③故答案为：②③【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角．15．16或10【分析】等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C时，作辅助线，构建平行四边形AGHD和直角三角形EGB'，计算EG和B'G的长，根据勾股定理可得B'D的长；【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=16，AD=BC=18．分两种情况讨论：（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形（2）如图3，当B'D=B'C时，过点B'作GH∥AD，分别交AB与CD于点G、H．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∠A=90°又GH ∥AD ，∴四边形AGHD 是平行四边形，又∠A=90°，∴四边形AGHD 是矩形，∴AG=DH ，∠GHD=90°，即B'H ⊥CD ，又B'D=B'C ，∴DH ＝HC ＝183CD =，AG=DH=8，∵AE=3，∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，EG=AG-AE=8-3=5，在Rt △EGB'中，由勾股定理得：GB′2213512，∴B'H=GH ×GB'=18-12=6，在Rt △B'HD 中，由勾股定理得：B′D 226810+=综上，DB'的长为16或10．故答案为： 16或10【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论． 16．1或7．【分析】存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等【详解】设点P 的运动时间为t 秒，当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，此时有ABP DCE ∆∆≌，∴BP CE =，即22t =，解得1t =；当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，∵4AB =，6AD =，∴6BC =，4CD =，∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，∴162AP t =-，此时有ABP CDE ∆∆≌，∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.故答案为：1或7．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可17．5【分析】先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC =即可．【详解】∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，∴四边形BCEF 是矩形，∵1PE =，∴3CE =，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．18．（-，0）【分析】先计算得到点D 的坐标，根据旋转的性质依次求出点D 旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．【详解】∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，∴对角线的交点D 的坐标是（2,2），∴OD ==将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，旋转1次后坐标是（0，），旋转2次后坐标是（-2,2），旋转3次后坐标是（-，0），旋转4次后坐标是（-2，-2），旋转5次后坐标是（0，-旋转6次后坐标是（2，-2），旋转7次后坐标是（,0），旋转8次后坐标是（2,2）旋转9次后坐标是（0，由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，∵201982523÷=，∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-，0）故答案为：（-0）．【点睛】此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．19．【分析】作AB 的中点E ，连接EM 、CE ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE 和EM 的长，然后确定CM 的范围．【详解】解：作AB 的中点M ，连接EM 、CM ．在Rt △ABC 中，AB 10，∵M 是直角△ABC 斜边AB 上的中点，∴CM＝12AB＝5．∵E是BD的中点，M是AB的中点，∴ME＝12AD＝2．∴5﹣2≤CE≤5+2，即3≤CE≤7．∴最大值为7，故答案为：7．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键．20．答案不唯一，例AC=BD 等【分析】连接AC、BD，先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的特点添加条件即可.【详解】连接AC，∵点E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=12 AC，同理HG∥AC，HG=12 AC,∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形，连接BD,同理EH=FG,EF∥FG，当AC=BD时，四边形EFGH是平行四边形，故答案为：答案不唯一，例AC=BD 等.【点睛】此题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定.三、解答题21．（1）112；（2）112或4；（3）四边形PBQD不能成为菱形【分析】（1）由∠B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形；（2）由（1）可求得点P、Q与点A、B为顶点的四边形为平行四边形；然后由当PD=CQ 时，CDPQ是平行四边形，求得t的值；（3）由PD∥BQ，当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形，先由PD=BQ求出运动时间t的值，再代入求BP，发现BP≠PD，判断此时四边形PBQD不能成为菱形；设Q点的速度改变为vcm/s时，四边形PBQD在时刻t为菱形，根据PD=BQ=BP列出关于v、t的方程组，解方程组即可求出点Q的速度．【详解】（1）如图1，∵∠B=90°，AP∥BQ，∴当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形，此时有t=22﹣3t，解得t=112．∴当t=112时，四边形ABQP成为矩形；故答案为112；（2）如图1，当t=112时，四边形ABQP成为矩形，如图2，当PD=CQ时，四边形CDPQ是平行四边形，则16﹣t=3t，解得：t=4，∴当t=112或4时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形；故答案为112或4；（3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD=BQ ，得16﹣t=22﹣3t ，解得：t=3，当t=3时，PD=BQ=13，BP=22AB AP + =228t +=2283+=73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为vcm/s 时，能够使四边形PBQD 在时刻ts 为菱形，由题意，得221622168t vtt t-=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得62t v =⎧⎨=⎩．故点Q 的速度为2cm/s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了矩形的判定、菱形的判定以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键．22．（1）证明见解析；（2）62BE =（3）证明见解析．【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质可证明∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，再证明四边形ACGE 是平行四边形即可证明AE=CG ，由此可利用“AAS”可证明全等；（2）证明△AEF ≌△DGF （AAS ）可得△DGF ≌△CGH ，所以可得12AEDG CG CD ，再结合等腰直角三角形的性质即可求得CD ，由此可得结论；（3）利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质结合勾股定理分别把22AC BD +和22AB BC +用2CD 表示即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，AD//BC ，∴∠E=∠EGD ，∠H=∠DFG ，∵∠CGH=∠EGD ，∠DFG=∠AFE ，∴∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，∵//EH AC ，AB//CD ，∴四边形ACGE 是平行四边形，∴AE=CG ，∴△AEF ≌△CGH （AAS ）；（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，AB=CD ，∴∠E=∠EGD ，∠D=∠EAF ，∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∴△AEF ≌△DGF （AAS ）；由（1）得△AEF ≌△CGH （AAS ）；∴△DGF ≌△CGH, ∴12AE DG CG CD , ∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，8AD =， ∴2422AB CD AD ,∴22AE =，∴62BE AB BE =+=；（3）如下图，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD=AB ，AD=BC ，AC=2OC ，BD=2OD ，∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，AC=CD ，∴222222244()AC BD AC OD AC OC CD ++++==。

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人教版平行四边形单元期末复习测试题试题一、选择题1．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①OG＝12AB；②图中与△EGD 全等的三角形共有5个；③以点A、B、D、E为项点的四边形是菱形；④ S四边形ODGF＝ S△ABF．其中正确的结论是（）A．①③B．①③④C．①②③D．②②④2．如图，在边长为5的正方形ABCD中，以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图所示，等边三角形ABC沿射线BC向右平移到DCE∆的位置，连接AD、BD，则下列结论：（1）AD BC=（2）BD与AC互相平分（3）四边形ACED是菱形（4）BD DE⊥，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合．已知AB=43，P、Q分别是AC、BC上的动点,当四边形DPBQ 为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是（）A．33B．3C．92D．95．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，,E F 分别是AB ，BC 的中点，将CDF 沿着DF 折叠得到DFC '△，若C '恰好落在EF 上，则菱形ABCD 的面积为（）A ．23B ．37C ．36D ．226．如图，在ABCD 中，已知6AB =，8AD =，60B ∠=︒，过BC 的中点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，与DC 的延长线相交于点H ，则DEF ∆的面积是（）A ．3B ．123C ．143D ．1837．如图，正方形纸片ABCD ，P 为正方形AD 边上的一点(不与点A ，点D 重合)．将正方形纸片折叠，使点B 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接,,BP BH BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：①BE PE =；②BP EF =；③PB 平分APG ∠；④PH AP HC =+；⑤MH MF =，其中正确结论的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．28．如图，正方形ABCD （四边相等、四内角相等）中，AD ＝5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE ＝FC ＝4，BE ＝DF ＝3，则EF 的平方为（）A ．2B ．125C ．3D ．49．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，D 是AB 上一动点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，连结EF ，则线段EF 的长的最小值是( )A ．2.5B ．2.4C ．2.2D ．2 10．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是（）A ．222-B ．222+C ．252-D ．22+二、填空题11．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．12．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为_____．13．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．14．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．15．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．16．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，点M 为线段AB 的中点．点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上运动，且DE ＝AB ＝10．以DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，则线段MG 长度的最大值为_____．17．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．19．如图，在平行四边形ABCD 中，53AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．22．在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，点P 是边AD 上一点，PF ⊥BD 于点F ，PA ＝PF ．（1）试判断四边形AGFP 的形状，并说明理由．（2）若AB ＝1，BC ＝2，求四边形AGFP 的周长．23．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（6，6），将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连结CH 、CG ．（1）求证：CG 平分∠DCB ；（2）在正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转的过程中，求线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；（3）连结BD 、DA 、AE 、EB ，在旋转的过程中，四边形AEBD 是否能在点G 满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．24．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．25．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠．（1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．26．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ：①若522CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =；（2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．27．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．28．在正方形AMFN 中，以AM 为BC 边上的高作等边三角形ABC ，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至点D ，D 点恰好落在NF 上，连接BD ，AC 与BD 交于点E ，连接CD ，(1)如图1，求证：△AMC ≌△AND ；(2)如图1，若DF=3，求AE 的长；(3)如图2,将△CDF 绕点D 顺时针旋转α（090α<<）,点C,F 的对应点分别为1C 、1F ，连接1AF 、1BC ，点G 是1BC 的中点,连接AG ，试探索1AG AF 是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.29．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =90°，AB =AD =10cm ，BC =8cm 。

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