梯度下降法
梯度下降法原理
梯度下降法原理
梯度下降法是一种优化算法，主要用于寻找函数的最小值。
它的基本原理是通过不断迭代更新参数，从而逐步接近函数的最小值点。
1. 初始化参数：选择一个初始点作为起始点，即确定函数的初始参数。
2. 计算梯度：在当前参数点处，计算函数的梯度。
梯度是函数在某一点的偏导数，表示函数在该点上升最快的方向。
3. 更新参数：根据梯度的信息，更新参数点。
具体更新方法有多种，最常见的是通过参数点减去学习率乘以梯度的方法进行更新。
4. 判断收敛：判断当前参数点是否满足收敛条件。
可以通过设定一个阈值，当参数的变化小于阈值时停止迭代。
5. 迭代更新：如果参数点不满足收敛条件，则返回步骤2，继续进行梯度的计算和参数的更新，直到满足收敛条件为止。
通过以上步骤，梯度下降法不断迭代更新参数，直到找到函数的最小值点。
需要注意的是，梯度下降法只能保证找到局部最小值，并不一定能找到全局最小值。
此外，学习率是一个重要的超参数，过大或过小的学习率都会影响梯度下降法的性能，因此需要合理选择学习率。
《梯度下降法》课件
随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）
总结词
计算量最小，收敛速度最快，适用于小数据集
详细描述
由于每次迭代只使用一个样本计算梯度，计算量最小，因 此随机梯度下降法的收敛速度最快。
详细描述
停止条件
迭代更新会一直进行直到满足某个停止条件，如达到预设的最大迭代次数、达到预设的精度要求或者梯度值足够 小等。
03
梯度下降法的分类
批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）
总结词
计算量大，收敛速度慢，适用于大数据集
详细描述
由于每次迭代都需要使用整个数据集，计算量大，导致收 敛速度较慢。
发展方向：
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结合其他优化算法： 研究如何将梯度下降法与其他优化 算法（如牛顿法、拟牛顿法等）结合，以提高搜索效率。
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自适应学习率： 研究如何设计自适应学习率策略，以更 好地处理不同阶段的优化问题。
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挑战：
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高维优化： 在高维参数空间中，梯度下降法可能会遇到 维度诅咒问题，需要研究有效的降维或正则化策略。
利用前一次的梯度方向来指导当前步的搜索方向 ，加速收敛并减少震荡。
公式表达
v = μ * v - lr * gradient
参数解释
v是动量，μ是动量系数，lr是学习率，gradient是 当前点的梯度。
Adagrad、RMSprop和Adam优化算法
Adagrad
针对不同参数自适应调整学习率，对稀疏数据有较好 的效果。
梯度下降法（例题待完成）
梯度下降法（例题待完成）梯度下降法：梯度：在微积分中，对多元函数的参数求∂偏导数，把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。
⽐如函1.梯度：数f( x, y ), 分别对x ,y求偏导数，求得的梯度向量就是(∂f/∂x, ∂f/∂y)T,简称grad f( x, y )或者▽f( x, y )。
对于在点(x0,y0)的具体梯度向量就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T或者▽f(x0,y0)，如果是3个参数的向量梯度，就是(∂f/∂x, ∂f/∂y，∂f/∂z)T,以此类推。
这个梯度向量的意义从⼏何意义上讲，就是函数变化增加最快的地⽅。
具体来说，对于函数f ( x, y ),在点(x0,y0)沿着梯度向量的⽅向就是f( x, y )增加最快的地⽅。
或者说，沿着梯度向量的⽅向，更加容易找到函数的最⼤值。
反过来说，沿着梯度向量相反的⽅向，也就是 -(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T的⽅向，梯度减少最快，也就是更加容易找到函数的最⼩值。
2.梯度算法原理：3.例题：求f(x1,x2)=(1-x1)^2+100*(x2-x1^2)^2的最⼩值。
（暂时还不会做）参考算法1（别的题⽬的）：%求解的初值的函数值Max x = x;maxfx = feval_r(f,x);dist = dist0;%迭代计算求最优解for k = 1: MaxIterg = feval_r(grad,x); %求梯度g = grm(g); %求在x处的梯度⽅向x=x-dist*g;%求新的x0fx = feval_r(f,x);%求新的fx0if fxmaxx=x;maxfx=fx;endendendJoshua Black 2017/09/22 10:09:19clc;clear;f1=inline('x(1)^2+4*x(2)^2','x');%⽬标函数grad=inline('[2*x(1),8*x(2)]','x');%⽬标函数的梯度函数x0=[1 1];%x0为搜索初始值MaxIter=100;%MaxIter为最⼤迭代次数dist0=0.1;%dist0为初始步长[xo,fo]=Opt_Steepest(f1,grad,x0,dist0,MaxIter);%xo为最优值点，fo为函数在点xo处的函数值disp(xo);disp(fo);参考算法2（俱乐部部长分享的c++语句）：。
梯度下降优化算法
梯度下降优化算法综述,梯度下降法梯度下降法是什么？梯度下降法（英语：Gradientdescent）是一个一阶最优化算法，通常也称为最陡下降法。
要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。
如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值点；这个过程则被称为梯度上升法。
梯度下降一般归功于柯西，他在1847年首次提出它。
Hadamard在1907年独立提出了类似的方法。
HaskellCurry在1944年首先研究了它对非线性优化问题的收敛性，随着该方法在接下来的几十年中得到越来越多的研究和使用，通常也称为最速下降。
梯度下降适用于任意维数的空间，甚至是无限维的空间。
在后一种情况下，搜索空间通常是一个函数空间，并且计算要最小化的函数的Fréchet导数以确定下降方向。
梯度下降适用于任意数量的维度（至少是有限数量）可以看作是柯西-施瓦茨不等式的结果。
那篇文章证明了任意维度的两个向量的内（点）积的大小在它们共线时最大化。
在梯度下降的情况下，当自变量调整的向量与偏导数的梯度向量成正比时。
修改为了打破梯度下降的锯齿形模式，动量或重球方法使用动量项，类似于重球在被最小化的函数值的表面上滑动，或牛顿动力学中的质量运动在保守力场中通过粘性介质。
具有动量的梯度下降记住每次迭代时的解更新，并将下一次更新确定为梯度和前一次更新的线性组合。
对于无约束二次极小化，重球法的理论收敛速度界与最优共轭梯度法的理论收敛速度界渐近相同。
该技术用于随机梯度下降，并作为用于训练人工神经网络的反向传播算法的扩展。
梯度下降算法是指什么神经网络梯度下降法是什么?梯度下降法是一个最优化算法，通常也称为最速下降法。
最速下降法是求解无约束优化问题最简单和最古老的方法之一，虽然现已不具有实用性，但是许多有效算法都是以它为基础进行改进和修正而得到的。
最速下降法是用负梯度方向为搜索方向的，最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。
梯度下降法的原理和应用
梯度下降法的原理和应用概述梯度下降法是一种在机器学习和优化算法中常用的迭代优化方法。
它通过迭代地调整模型参数的方式来最小化损失函数。
本文将介绍梯度下降法的基本原理和应用。
原理梯度下降法的原理可以用以下步骤进行描述：1.初始化模型参数：首先，我们需要对模型的参数进行初始化。
常见的初始化方式包括随机初始化和零初始化。
2.计算损失函数的梯度：接下来，我们需要计算损失函数对于模型参数的梯度。
梯度是损失函数在每个参数上的变化率，它告诉我们应该朝着哪个方向调整参数的值以减小损失函数的值。
3.更新模型参数：根据梯度的信息，我们可以更新模型的参数。
通常，我们会采用学习率（learning rate）这个超参数来控制每次参数更新的步伐大小。
4.重复步骤2和3：持续迭代以上步骤，直到损失函数收敛或达到预设的停止条件。
应用梯度下降法可以应用于很多机器学习和优化问题中。
下面列举了几个常见的应用场景：•线性回归：梯度下降法可以用来拟合线性回归模型，通过最小化残差平方和来找到最佳的回归系数。
•逻辑回归：梯度下降法可以用来拟合逻辑回归模型，通过最小化交叉熵损失函数来找到最佳的分类边界。
•神经网络：梯度下降法是训练神经网络的关键步骤。
通过计算损失函数对于每个参数的梯度，我们可以使用梯度下降法来更新神经网络的权重和偏置。
•支持向量机：梯度下降法可以用来求解支持向量机的对偶问题，通过最小化目标函数来找到最佳的分类超平面。
•深度学习：梯度下降法是训练深度神经网络的主要优化算法。
通过反向传播算法计算网络参数的梯度，并使用梯度下降法来更新参数，可以让深度神经网络逐渐逼近最优解。
虽然梯度下降法在许多情况下都能产生良好的结果，但也存在一些问题：•学习率选择问题：学习率过大可能导致参数更新过大，无法达到最优解；学习率过小可能导致收敛速度过慢。
•局部最优问题：在目标函数存在多个局部最优解的情况下，梯度下降法可能陷入局部最优解而无法达到全局最优解。
梯度下降法例题
梯度下降法例题
【最新版】
目录
1.梯度下降法简介
2.梯度下降法的原理
3.梯度下降法的例题演示
4.梯度下降法的应用领域
正文
1.梯度下降法简介
梯度下降法是一种在数学优化问题中广泛应用的迭代算法，主要用于求解无约束的最小化问题。
通过沿着负梯度方向迭代更新参数，直至收敛到最小值。
2.梯度下降法的原理
梯度下降法的原理基于偏导数的概念。
假设我们要求解一个关于参数x 的函数 f(x) 的最小值，首先对函数 f(x) 关于 x 求偏导数，得到梯度方向。
然后沿着梯度方向更新参数 x，使得函数值逐步减小，直至收敛到最小值。
3.梯度下降法的例题演示
假设有一个简单的线性函数 y = 2x + 3，现在要求解该函数在 x=1 处的最小值。
首先，对函数 y = 2x + 3 关于 x 求偏导数，得到梯度 dy/dx = 2。
然后，选取一个初始的参数 x0=1，并沿着梯度方向更新参数 x，即 x = x - (dy/dx) * (x - x0)，迭代过程中，函数值逐步减小。
当迭代到某一步，梯度为 0 时，说明已经到达最小值，此时的 x 值
即为所求的最小值。
4.梯度下降法的应用领域
梯度下降法在许多领域都有广泛的应用，例如机器学习、深度学习、经济学、物理学等。
在这些领域中，梯度下降法被用于求解优化问题，例如参数估计、模型训练等。
总之，梯度下降法是一种求解最优化问题的有效方法，通过沿着负梯度方向迭代更新参数，可以逐步收敛到最小值。
梯度下降法
Q q0
*
q1
q2
q3
T
（二）参数定义、坐标系定义 如果不存在误差那么 a=Q ⊕G ⊕Q* h=Q ⊕H⊕Q* 实际上是不相等的。 H是参考坐标系下地磁场 G是参考坐标系下重力加速动 参考坐标系：X轴对应北；Y轴对应西；Z轴对应天 机体坐标系：初始与参考坐标同向 T 则： G 0 0 1
为地磁场与测量的磁场的偏差
2、由于相减的向量是单位向量，∆很小时，|∆|就相
当于角度。
ax 2(q1q3 q0 q2 ) ax 2(q q q q ) a a R * G a a 2 3 0 1 y y 2 2 2 2 a q q q q 1 2 3 az z 0
4hy H z q3 4hz H x q0 4hz H z q2
f 4ax q1 4a y q2 4az q3 4hx H x q3 4hx H z q1 4hy H x q0 q3
4hy H z q2 4hz H x q1 4hz H z q3
有了梯度，剩下的就是确定步长r 确定步长是梯度下降法的核心。步长未必是一成不变
如何计算模型参数的估计值（梯度下降法）
如何计算模型参数的估计值（梯度下降法）1. 梯度下降法 1.1 梯度下降法的算法思路 算法⽬的：找到（损失）函数的最⼩值以及相应的参数值。
从⽽找到最⼩的损失函数。
梯度下降法：通过模拟⼩球滚动的⽅法来得到函数的最⼩值点。
⼩球会根据函数形状找到⼀个下降⽅向不停的滚动，它的⾼度⼀直是下降的。
随着时间的推移，⼩球会滚到底，从⽽找到最⼩值点。
但是梯度下降法不能保证到达最⼩值点，也有可能到达鞍点（这⼀点的梯度为0）或者极⼩值点。
1.2 梯度下降法的数学细节（泰勒级数） 损失函数等于每⼀点的损失之和，就如之前所将的线性回归和逻辑回归（交叉熵）。
损失函数在模型训练的时候， Yi 和 Xi 都是给定的，所以损失函数是⼀个以模型参数β为变量的函数。
我们要找的也是模型参数β的估计值。
在此基础上，进⼀步假设损失函数对于模型参数都是可微的。
在现实⽣活中，有的时候有的模型对于模型参数不是可微的。
但是我们总可以通过⼀些数学上的近似⽅法，使其变成模型参数是可微的。
这样才能在数学上⽐较好处理。
泰勒展开式描述了函数在某⼀点的值跟它附近的值之间的关系。
具体来说，我们想计算函数在β1到βn的值。
那么可以在附近找⼀点a1 到an，所以β1 到βn这⼀点的损失函数的值就约等于a1 到 an这⼀点的值再加上损失函数的梯度（⼀阶偏导）乘以两点之间的距离。
公式中的损失函数的梯度（⼀阶偏导）可以展开为每⼀点的⼀阶偏导的和再乘 1/n 。
从这⾥可以看出计算量是很⼤的，⾄少要做 n 次加法才能得到这个值。
所以后⾯才会引⼊随机梯度下降法来简化计算。
举⼀个具体的例⼦来推导梯度下降法。
假设⼀个线性回归模型，它的损失函数为 ⾸先随机选取损失函数上的点作为起点（a0, b0），希望看（a0, b0）的附近，我们如何能找到⼀个点，这个点相对于（a0, b0）来说是它的函数值下降的。
假设我们找到的点是（a1, b1），这两个函数值相减就是ΔL 。
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上例中，利用SGD求得
随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次， 如果样本量很大的情况（例如几十万），那么 可能只用其中几万条或者几千条的样本，就已 经将参数迭代到最优解。
对比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到 十几万训练样本，一次迭代不可能最优，如果 迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。 SGD的问题是噪音较BGD要多，使得SGD并不 是每次迭代都向着整体最优化方向。
下文将以线性回归算法为例来对三种梯度下 降法进行比较
2. 先导知识
一元线性回归(拟合曲线)
假设这里存在m=6组数据(x, y)
从图上可以看出，大致数据的大致走势是 可以用线性模型y=kx+b来表示的，为此我 们建立一维线性回归模型。
假设一维线性模型表达式如下：
其中：
hƟ(x)是假设函数，即要拟合的函数 θ为待求解参数，即要迭代求解的值， θ求解 出来了那最终要拟合的函数hƟ(x)就确定了。
上例中，利用BGD求得
由更新公式可知，批量梯度下降得到的是一 个全局最优解，每一次的参数更新都用到了 所有的训练数据，如果训练数据非常多的话， 执行效率较低。
批量梯度下降法的收敛图（迭代的次数相对 较少）：
4. 随机梯度下降法SGD
由于批梯度下降每更新一个参数的时候， 要用到所有样本，所以训练速度会随着样 本数量的增加而变得非常缓慢。 随机梯度下降正是为了解决这个办法而提 出的。它是利用单个样本的损失函数对θ求 偏导得到对应的梯度，来更新θ。
方法 BGD 优点 缺点 最小化所有训练样本的损失 如果样本值很大的话，更新 函数，使得最终求解的是全 速度会很慢。 局的最优解
SGD
MBGD
最小化每个样本的损失函数， 训练数据的噪声较多，导致 大大加快更新速度，最终的 不是每次迭代得到的损失函 结果在全局最优解附近。 数都向着全局最优方向。 训练速度快，参数准确性高 不同的问题需要设置不同的 小批量值。
参考文献
https:///p/25765735
/lilyth_lilyth/article/deta ils/8973972
/other/504873.h tm
3. 批量梯度下降法BGD
更新算法的目的：误差函数尽可能小，即 求解参数使误差函数尽可能小。
主要思想：
首先，随机初始化参数；
然后，不断反复的更新参数使得误差函数减小， 直到满足要求时停止。
梯度下降算法，利用初始化的参数θ 并且反 复更新参数θ ：
α 代表学习率，表示每次向着函数J最陡峭 的方向迈步的大小（步长？）
随机梯度下降收敛图（SGD迭代的次数较多， 在解空间的搜索过程看起来很盲目。但是 大体上是往着最优值方向移动。）
练速度慢，以及SGD的 准确性低的问题，提出MBGD
它是利用部分样本的损失函数对θ求偏导得 到对应的梯度，来更新θ。
6. 总结
（1）将J(θ )对θ 求偏导，得到每个θ 对应的的 梯度
当m=1时，即只有一个样本数据（x, y），J 对第j个参数θ j的偏导数是：
对所有m个样本数据，上述损失函数的偏导 （累和）为：
（2）由于是要最小化风险函数，所以按每个 参数θ 的梯度负方向，来更新每个θ j( j=0, 1, 2, …, n)
梯度下降法
阿育王 2017.6.13
1. 引言
梯度下降（GD）是最小化风险函数、损失 函数的一种常用方法。
在应用机器学习算法时，通常采用梯度下 降法来对采用的算法进行训练。
梯度下降法包含三种不同形式： 批量梯度下降BGD（Batch Gradient Descent ） 随机梯度下降SGD（Stochastic Gradient Descent ） 小批量梯度下降法MBGD (Mini-Batch Gradient Descent )
n表示输入特征数，为方便计算，所有的样本 都加入了x0=1这个特征，所以维数为n+1维。
对应的损失/误差函数，即估计值与真实值之 间的差距，这里用2-范数表示为：
其中：
m是训练集的样本个数
1/2是为了后面求导计算方便
一个二维参数（ θ 0 ， θ 1 ）组对应能量函数 （描述整个系统的优化程度，随着网络的变化 而减小，最终网络稳定时能量达到最小）的可 视化图