初中九年级数学“一题一渔”之化动为静
人教版初三数学上册动点运动路径解析
• （ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过 的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）
题型展示
1）(南京2005）如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC中， ∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。半圆O以2cm/s的速度从左向右运动， 在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。 设运动时间为t (s)，当t=0s时，半圆O在⊿ABC的左侧，OC=8cm。 (1) 当t为何值时，⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？
• 4如图，把圆心角为30°，半径为6的扇形OAB 在直线l上向右作无滑动翻滚一周，则圆心O所经 过的路径长为
• 5如图，一根粗细均匀、长为2米的钢管AB，靠 在一面与水平地面垂直的墙上，此时钢管与水平 面所成的锐角为75°；当A点向下滑动到A′点时， 测得钢管与水平面所成的锐角为45°．在此过程 中，钢管的中点M所走的路径长是 _________ 米（结果用无理数表示）
•14等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一 点E，F，连接AF，BE相交于点P．
• （1）若AE=CF；
• ①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
• ②若AE=2，试求AP•AF的值；
• （2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P 经过的路径长．
• 7如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°， AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折 叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对 应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是
• 8．如图，在△ABC纸片中，∠B=30°， AB=AC=，点D在AB上运动，将纸片沿CD折 叠，得到点B的对应点B′（D在A点时，点D的 对应点是本身），则折叠过程对应点B′的路径 长是（ ）
最新中考数学综合专题训练【化归思想】精品专题解析.doc
中考数学综合专题训练【化归思想】精品专题解析Ⅰ、专题精讲：所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，嘉峪关，8 分）如图3－1－1，反比例函数y=－8x与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点． （1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+=点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．【例2】（2005，自贡，5分）解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0． 所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ．所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y的一元二次方程，问题就简单化了．【例3】（2005，达川模拟，6分）如图 3－1－2，梯形 ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O点，且AC⊥BD，AD=3,BC=5，求AC的长．解：过 D作DE⊥AC交BC的延长线于E，则得AD=CE、AC=DE．所以BE=BC+CE=8．因为 AC⊥BD，所以BD⊥DE．因为 AB=CD，所以AC＝BD．所以GD=DE．在Rt△BDE中，BD2＋DE2=BE2所以BD BE=4 2 ，即AC=4 2 .点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】（2005，新泰模拟，5分）已知△ABC的三边为a，b，c，且222++=++，a b c a b a c b c试判断△ABC的形状．解：因为222++=++，a b c ab ac bc所以222222222++=++，a b c ab ac bc即：222-+-+-=()()()0a b b c a c所以a=b，a=c， b=c所以△ABC为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】（2005，临沂，10分）△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若90∠=︒，如图l，根C据勾股定理，则222+=。
初中数学 之化动为静
如何才能在这些题目中找到解 题规律轻松突破困境呢？
我想：“化动为静、化不定为 固定”是同学们在以后专题学习中 应该重点培养的认知能力。
（2017 ·济南）如图1，矩形OABC的顶点 A，C的坐标分别为（4，0），（0，6）， 直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，
抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．
初中数学九年级(下) 化动为静解题策略
动点问题是中考压轴题中一类重要的 问题，同时也是难点问题。因为动点的不固 定性会产生不同的解题情境和答案（发散思 维或分类讨论），动点也会产生求运动轨迹 长度或运动过程中形成几何图形面积的最大 值、最小值问题等等。
动点问题是考察同学们对数学思想方法 的掌握程度和数学素养、能力高低的重要载 体材料。
（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式； （2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°， 求所有符合条件的点P的 坐标； （3）如图2，点E（0，4），连接AE， 将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2． ①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值； ②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．
化动为静、化不定为固定
动点——不确定性 静点——固定性 未知——方程性
同学们，通过对本题的分析我 们可以看出本解题的关键是灵活 运用所学知识解决问题，动点问 题是用静止的点来解决的。你掌 握了吗？
谢谢同学们的聆听， 祝同学们学习步。
再见！
中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)
点 的坐标
为 ．……
一次函数的解读式
为 ．
(3) 两点在直线 上， 的坐标分别是 ．
， ．
过点 作 ，垂足为点 ．
，
又 ， 点坐标为 ．
3．(1)解方程 ，得 ．
由m＜n，知m=1，n=5．
∴A(1，0)，B(0，5)．………………………1分
∴ 解之，得
所求抛物线的解读式为 ……3分
(2)由 得 故C的坐标为(-5，0)．………4分
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______
和位置关系为_____；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
4、（1）如图1所示，在四边形 中， = ， 与 相交于点 ， 分别是 的中点，联结 ，分别交 、 于点 ，试判断 的形状，并加以证明；
（2）如图2，在四边形 中，若 ， 分别是 的中点，联结FE并延长，分别与 的延长线交于点 ，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；
(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．
7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．
2024年湖北省武汉市武珞路中学中考五调数学试题(解析版)
九年级数学第五次调研测试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 2024的相反数是（ ）A. 2024 B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．根据相反数的定义即可求解．【详解】解：2024的相反数是,故选：B ．2. 下列四幅图案代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形及中心对称图形的定义，即可判断答案．【详解】A 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；B 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选D ．3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）A. 掷一枚硬币，正面朝上． B. 抛出的篮球会下落．C. 任意的三条线段可以组成三角形 D. 同位角相等【答案】B【解析】2024-1202412024-2024-【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分别分析得出答案．【详解】A 、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；B 、抛出的篮球会下落是必然事件，故此选项正确；C 、任意三条线段可以组成一个三角形是随机事件，故此选项错误；D 、同位角相等，属于随机事件，故此选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4. 如图，该几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：由题意知，其左视图如下：故选B ．【点睛】本题考查了简单组合体的左视图．解题的关键在于明确从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在的线是虚线．5. 计算的结果是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】()32a -6a -6a 5a -5a【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，根据幂的乘方和积的乘方，即可解答，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方法则．【详解】，故选：A ．6. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ）A. 70°B. 65°C. 60°D. 50°【答案】A 【解析】【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴，∵，∴，∴；故选A ．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．7. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）()()()333222361a a a a ⨯-=-⨯=-=-120DEF ∠=︒DE 50ABD ∠=︒ACB =∠50ABD EDC ∠=∠=︒DE AB ∥50ABD EDC ∠=∠=︒120DEF EDC DCE ∠=∠+∠=︒70DCE ∠=︒70ACB DCE ∠∠︒==A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．【详解】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A ，B ，C ，D ，画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A ）和《大学》（即C ）的可能结果有2种可能，∴P （抽取的两本恰好是《论语》和《大学》），故选：B ．【点睛】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．8. 在综合实践活动中，小华同学了解到裤子的尺寸（英寸）与腰围的长度（）对应关系如下表：尺码/英寸 (22)23242526腰围/cm…小华的腰围是，那么他所穿裤子的尺码是（ ）A. 28英寸 B. 29英寸C. 30英寸D. 31英寸【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．依题意可设腰围的长度为与裤子的尺寸之间存在一种换算关系为，然后代入进行求解即可．【详解】解：由题意可设腰围的长度为与裤子的尺寸之间存在一种换算关系为，，1816131221126==cm 601±62.51±651±67.51±701±80.5cm y x y kx b =+y x y kx b =+22602465k b k b +=⎧∴⎨+=⎩解得：，，当腰围为，即时，则有，．故选：C ．9. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案.【详解】解： ，点是这段弧所在圆的圆心，，，，，，.，，.设，则，在中，，，525k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩552y x ∴=+∴80.5cm 80.5y =5580.52x +=30.230x ∴=≈ AC O B AC OB AC ⊥D AC =150m BD = AC 300m π200m π150mπmAD OB AC ⊥ O AD CD ∴=OD OD = OA OC =ADO CDO ∴ ≌AOD COD ∠=∠∴AC = AD CD =AD CD ∴==OA OC OB x ===150DO x =-Rt ADO △()(222150x x =-+300m x ∴=，，.故选：B .【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所求弧长所对应的圆心角度数.10. 若一次函数和反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D 【解析】【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．根据题意画出函数图象，即可得出结论．【详解】解：根据题意画出函数图象，如图所示：由图得，当一次函数的图象在反比例函数的图象的下方时，则有：或，当一次函数的图象在反比例函数的图象的上方时，则有：或，当时，不等式的解集即为的解集为，当时，不等式的解集即为的解集为，∴不等式的解集为或，sin AD AOD AO ∴∠===60AOD ∴=︒∠120AOC ∴∠=︒ 120300200m 180180n R AC πππ⨯⨯∴===y kx b =+()0my m x=<()13,A y -()21,B y 20kx bx m +->1x >3x <-01x <<3x <-30x -<<1x >30x -<<01x <<y kx b =+()0my m x=<30x -<<1x >y kx b =+()0my m x=<3x <-01x <<0x >20kx bx m +->mkx b x +>01x <<0x <20kx bx m +->mkx b x+<30x -<<20kx bx m +->01x <<30x -<<故选：D ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11. 数用科学记数法表示是______．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中为整数，据此判断即可．【详解】解：．故答案为：．12. 写出一个图象只经过第二、四象限的函数表达式______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，要知道，对于反比例函数，①，反比例函数图象在一、三象限；②，反比例函数图象在第二、四象限内．位于二、四象限的反比例函数比例系数，据此写出一个函数解析式即可．【详解】解：∵反比例函数位于二、四象限，，解析式为：．故答案为：．13. 计算的结果是______．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，先把两个分式通分，然后把分子合并同类项， 再约分化简即可．186********.8610⨯10n a ⨯1||10a ≤<a n 10n a ⨯1||10,a n ≤<8186000000=1.8610⨯81.8610⨯1y x=-(0)ky k x=≠0k >0k <k 0<0k ∴<1y x =-1y x=-2231a b a b a b -+--2a b +2b a+【详解】解：，故答案为：．14. 如图所示是消防员救援时攀爬云梯的场景．已知，，，，点A 关于点C 的仰角为，则楼的高度为______．（结果保留整数．参考数据：，，）【答案】11【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．把所给线段整理到直角三角形中是解决本题的关键．延长交于点后，可得直角三角形和矩形，那么．易得，那么根据的正弦值可得的长，加上的长即为的高度．详解】解：∵，∴．∵，∴．∴，四边形是矩形．∵；【2231a b a b a b-+--()()()()3a b a ba b a b a b a b -+=++-+-()()22a b a b a b -=+-2a b=+2a b+，⊥⊥AE BE BC BE CD BE ∥10.4m AC = 1.26m BC =70︒AE m sin 700.94︒≈cos 700.34︒≈tan 70 2.75︒≈CD AE F ACF BCFE ∠=FE BC ACF ∠=70︒70︒AF F E AE ,⊥⊥AE BE BC BE 90∠=∠=︒CBE AEB CD BE ∥90CFE ∠=︒90AFC ∠=︒BCFE 1.26m BC =∴．由题意得：．，，．答：楼的高度约为．故答案为：11．15. 关于二次函数的四个结论：①对任意实数m ，都有与对应的函数值相等；②无论a 取何值，抛物线必过两个定点；③若抛物线与x 轴交于不同两点A 、B ，且，则或；④若，对应y 的整数值有4个，则或其中正确的结论是______（填写序号）【答案】①②④【解析】【分析】①先求二次函数对称轴，根据对称轴来判断与对应的两个点是关于直线对称，从而得出判断；②根据二次函数直接判断结论是错误的；③设，且，根据根与系数的关求出两根之和两根之积，从而表示长，再根据已知条件分两种情况分别讨论，最终得出或；④根据已知条件分两种情况分别讨论，当时，若随的增大而增大，得，再根据的整数值有4个，得；当1.26(m)==FE BC 70ACD ∠=︒10.4m =Q AC sin 10.40.949.776(m)∴=⋅∠≈⨯=AF AC ACD 9.776 1.2611.03611(m)∴=+=+=≈AE AF EF AE 11m ()2450y ax ax a =--≠12x m =+22x m=-6AB ≤0a <1a ≥34x ≤≤413a -<≤-413a ≤<12x m =+22x m =-2x =245y ax ax =--(,0),(,0)A n B p n p >AB 1a ≥a<00a >34,≤≤x y x 355a y --≤≤-y 413a ≤<a<0时，若随的增大而减小，方法和第一种情况类似，求出，从而得出最终结论．【详解】解：①二次函数对称轴为直线，，∴与关于直线对称，∴对任意实数，都有与对应的函数值相等，∴①正确；②∵对称轴为直线，与轴的交点为，∴抛物线也过点，∴无论取何值，抛物线一定过两个定点和，∴②正确；③∵若抛物线与轴交于不同两点，设，且，∵是方程的两个不同的根，∴，∴，∵，，当时，解不等式得，当时，解不等式得，综上所述：或，∵若抛物线与轴交于不同两点，∴，∴或，综上所述：或，34,≤≤x y x 413a -<≤-422ax a-=-=2222++-=Qm m2m +2m -2x =m 12x m =+22x m =-2x =y (0,5)-(4,5)-a (0,5)-(4,5)-x ,A B (,0),(,0)A n B p n p >,n p 2450ax ax --=54,+==-n p np aAB n p =-==6AB ≤201636a∴+≤0a >1a ≥a<01a ≤1a ≥a<0x 216200a a +>0a >54a <-1a ≥54a <-④∵当时，若随的增大而增大，当时，，当时，，，∵的整数值有4个，，，当时，若随的增大而减小，，∵的整数值有4个，，，综上所述：或，∴④正确．故答案为：①②④．【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、一元一次不等式组的整数解，掌握这几个知识点的综合应用，其中分情况讨论及二次函数的性质的应用是解题关键．16. 如图，为等腰底边上高，，，分别是线段上的动点，且，则取最小值时，其最小值为_______．【答案】的0a >34,≤≤x y x 3x =912535y a a a =--=--4x =161655y a a =--=-355a y ∴--≤≤-y 9358a ∴-<--≤-413a ∴≤<a<034,≤≤x y x 535y a ∴-≤≤--y 2351a ∴-≤--<-413a ∴-<≤-413a -<≤-413a ≤<AD ABC 6AB AC ==4BC =,E F ,AC AD AF CE =BE CF+【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理．作且使得，连接、、，先证，可以得到，再根据图形，可知的最小值就是线段的长，由勾股定理即可求得的长．【详解】解：作且使得，连接、、，∵，点为的中点，∴，，，，，，，又，在和中，，，，∵当点、、三点共线时，最小，此时最小值为,．AG AB ⊥4==AG CB BF FG BG ≌V V AGF CBE GF BE =BE CF +BG BG AG AB ⊥4==AG CB BF FG BG AB AC =D BC ,AD BC BAD CAD ⊥∠=∠90BAD ABD ∴∠+∠=︒BA AG ⊥ 90BAG ∴∠=︒90BAD GAF ∴∠+∠=︒GAF ABD ∴∠=∠GAF BCE ∴∠=∠,==Q AF CE AG CB AGF CBE △AF CE GAF BCEAG CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)∴≌AGF CBE V V GF BE ∴=FB FC = BE CF GF BF ∴+=+B F G GF BF +BG6,4AB AG CB === AG AB⊥BG ∴==故答案为：三、解答题（共8题，共72分）17. 求不等式组的负整数解；【答案】【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，进而可得不等式组的负整数解．【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∴该不等式组解集为，∴该不等式组的负整数解是．18. 如图，已知E 、F 分别是的边．上的点，且．（1）求证：；（2）若，且，直接判断四边形的形状是______________．【答案】（1）见详解（2）菱形【解析】【分析】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握①平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相，对角线互相平分，②菱形的判定定理：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形．（1）由平行四边形的性质可得，且，再由，可得，即可利用定理判定；（2）首先证明四边形是平行四边形，再根据，可得，由可得，再根据等角的余角相等可得，进而得到，由一组邻边相等的平行四边形是菱形证出结论．的342752x x x x ≤+⎧⎨+>-⎩2,1--342752x x x x ≤+⎧⎨+>-⎩①②2x ≥-3x <23x -≤<2,1--ABCD BC AD 、CE AF =ABE CDF △≌△BE AE =90BAC ∠=︒AECF AB C =,D AD BC =B D ∠=∠CE AF =BE DF =SAS ABE CDF △≌△AECF AE BE =ABE BAE ∠=∠90BAC ∠=︒90,90∠+∠=︒∠+∠=︒ABE ACE BAE EAC ACE EAC ∠=∠AE EC =【小问1详解】证明：连接，∵四边形平行四边形，，，，∵在和中，，∴．【小问2详解】四边形是菱形．证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∵，∴．∴，∴，∴平行四边形是菱形．∴四边形是菱形．19. 在“4·23世界读书日”，某学校开展“让阅读成为习惯”的读书活动，为了解学生的参与程度，从全校随机抽取200名学生进行问卷调查，获取了每人平均每天阅读时间t （单位：分钟），将收集的数据分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，绘制成如下不完整统计图表．是,,AE CF AC ABCD ,,∴==∠=∠AB CD AD BC B D CE AF = BE DF ∴=ABE CDF AB CD B D EB FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE CDF △≌△AECF ABCD AD BC ∥CE AF =AECF AE BE =ABE BAE ∠=∠90BAC ∠=︒90,90∠+∠=︒∠+∠=︒ABE ACE BAE EAC ACE EAC ∠=∠AE CE =AECF AECF平均每天阅读时间统计表等级人数（）5（）10（）a（）80（）b 请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）______，______；（2）这组数据的中位数所在的等级是______；（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”，若该校学生以2000人计算，估计可评为“阅读达人”的学生人数．【答案】（1）（2）等级（3）总人数为2000人时，可评为“阅读达人”的学生人数为人【解析】【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图样本估计总体的思想，中位数，熟练掌握统计图的意义，中位数的计算是解题的关键．（1）根据频数=样本容量×所占百分数，合理选择计算即可．（2）根据中位数的定义计算即可．（3）利用样本估计总体的思想计算即可．【小问1详解】解：级人数的占比为，，A 20t <B 2030t ≤<C 3040t ≤<D 4050t ≤<E 50t ≥=a b =40,65a b ==D 650C 20%20%20040a ∴=⨯=∴级人数为人，；【小问2详解】根据题意，中位数应是第100个、第101个数据的平均数，且第100个数据在等级，第101个数据在等级，它们的平均数也在等级，故答案为：等级．【小问3详解】∵统计表中平均每天阅读时间不低于50分钟的学生人数为65人，∴级的比例为：，当总人数为2000人时，可评为“阅读达人”的学生人数为：人．20. 如图，是的外接圆，是的直径，F 是延长线上一点，连接，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见详解 （2）【解析】【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；（2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案．【小问1详解】证明：连接，∵是的直径，∴，E 200510804065----=40,65a b ∴==D D D D E 6532.5%200=32.5%2000650⨯=O ABC AD O AD CD CF ，DCF CAD ∠=∠CF O 10AD =3cos 5B =FA 907OC OC FC ⊥3cos 5B =::3:4:5CD AC AD =OC AD O =90ACD ∠︒∴，又∵，∴，又∵．∴，即，∴是的切线；【小问2详解】解：∵，∴，在中，，，，，，，，设，则，又，即，解得(取正值)，．90ADC CAD ∠+∠=︒OC OD =ADC OCD ∠=∠DCF CAD ∠=∠90DCF OCD ∠+∠=︒OC FC ⊥FC O 3,cos 5B ADC B ∠=∠=3cos 5ADC ∠=Rt ACD 3cos ,105∠===Q CD ADC AD AD3cos 1065CD AD ADC ∴=⋅∠=⨯=8AC ∴==34CD AC ∴=,FCD FAC F F ∠=∠∠=∠ FCD FAC ∴△∽△34∴===CD FC FD AC FA FC 3FD x =4,310==+FC x AF x 2FC FD FA =⋅ 2(4)3(310)x x x =+307x =9037FD x ∴==21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A ，B ，C 三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（1）如图1，点D 在上，且为格点：①将线段绕点A 逆时针旋转，得到线段；②在上取点F ，使（2）如图2，点P 在上，过点P 作交于点M ；（3）如图3，点P 是下方网格内一点，将线段绕点C 顺时针旋转得到线段；【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解【解析】【分析】（1）①取格点，连接即可；②取中点，连接交 于点，点即为所求；（2）延长交格点与点，连接，取的中点，连接，交于点，连接交于点连接交于点，连接即为所求；（3）延长交格点与点，连接，取，连接交于点，连接交格子于点，连接，交于点，连接交于点，即为所求；【小问1详解】①将线段绕点A 逆时针旋转， 如图，即为所求．如图，点F 即为所求．理由：，是等腰三角形，是中点，79⨯BC AB 90︒AE AD 1tan 2ABF ∠=BC PM AC AB BC PC 2PCA ∠QC E AE AC H BH AD F F CA D DB DC E ,BE DP F CF BD G GP AB M MP CP D DB 4AE AB ==ED AC F BF G ，CG PG AC H DH CG Q CQ AB 90︒AE 5===AB BC Q ABC ∴ H AC BH AC∴⊥∴．【小问2详解】如图，即为所求．理由：，，，，根据作图可知是的中线，是的重心，∴是的中线，∴是的中点，∴是的中位线，∴．小问3详解】如图，延长交格点与点，连接，取，连接交于点，连接交格子于点，连接，交于点，连接交于点，则即为所求．理由：，，，，，，，，即；，【1122AH AC BH ===== 1tan 2∠==AH ABF BH PM ,1,∠=∠==BPH CPN BH CN BH CN ∥Q ∴∠=∠PBH PCN ≌∴BPH CPN V V BP CP ∴=,BE DP BCD △F ∴BCD △CG BCD △G DB GP BCD △GP DC ∥CP D DB 4AE AB ==ED AC F BF G ，CG PG AC H DH CG Q CQ 4,,==∠==AE AB BAF EAF AF AF Q ≌∴AFB AFE V V ,∴=∠=∠BF EF FBA FEA ,∴∠=∠∠=∠FBD FEG BFD EFG ≌∴BDF EGF V V ,∴=∠=∠DF GF DFC GFC DFC GFC ∴△≌△,∴=∠=∠CD CG DCF GCF 2∠=∠PCG PCA ≌∴DCH GCH V V，，．【点睛】本题是三角形综合题，考查作图-应用与设计作图，三角形中位线定理，重心，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，充分利用格点特征是解题的关键．22. 乒乓球被誉为中国国球。
初中九年级数学“一题一渔”之化动为静
动点问题的解决思路和方法——化动为静、化不定为固定同学们大家好：我们知道由动点问题是中考压轴题中一类重要的问题，动点问题可以产生答案不唯一存在（有时称为发散思维或分类讨论），也可以产生求最大值、最小值问题，还可以产生求运动轨迹的长度、面积的大小等等。
动点问题对我们大多数同学来说都比较怵头，是考察同学们对数学思想方法掌握程度和数学素养、能力高低的重要载体材料。
那么如何才能在这些题目中找到解题规律轻松突破困境呢，我想：“化动为静、化不定为固定”是同学们在专题学习中应该重点培养的的数学能力。
同学们，我们知道，动点问题的思路往往是由“动点”向“静点”的变化，动的问题产生的“存在性”问题，动的过程中有静的成分和时刻，“静点”其实就是“固定点”问题，唯一不确定的是“未知数”也就是“方程”的存在性问题。
同学们，我们就以2017年济南市中考第29题为例开启本节课的学习，同学们请看题。
（2017济南）．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD 交BC于点D，tan∠OAD＝2，抛物线M1：y＝ax2+bx（a≠0）过A，D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CP A＝90°时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．【分析】（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．在Rt△ADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．由∠CP A＝90°，可得PC2+P A2＝AC2，可得22+（m ﹣6）2+22+m2＝42+62，解方程即可；（3）①求出D′的坐标；②构建方程组，利用判别式△＞0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x＝m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断．【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．∵四边形CDHO是矩形，∴OC＝DH＝6，∵tan∠DAH＝＝2，∴AH＝3，∵OA＝4，∴CD＝OH＝1，∴D（1，6），把D（1，6），A（4，0）代入y＝ax2+bx中，则有，解得，∴抛物线M1的表达式为y＝﹣2x2+8x．（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．∵∠CP A＝90°，∴PC2+P A2＝AC2，∴22+（m﹣6）2+22+m2＝42+62，解得m＝3±，∴P（2，3+），P′（2，3﹣）．（还可以构造相似来解决问题：解法2：设P（2，m）．∵∠CPA＝90°△PCG∽△APF∴m-62= 2m化简得：m2-6m-4=0解得：m＝3±，∴P（2，3+），P′（2，3﹣）（3）①如图2中，易知直线AE的解析式为y＝﹣x+4，x＝1时，y＝3，∴D′（1，3），平移后的抛物线的解析式为y＝﹣2x2+8x﹣m，把点D′坐标代入可得3＝﹣2+8﹣m，∴m＝3．②由，消去y得到2x2﹣9x+4+m＝0，当抛物线与直线AE有两个交点时，△＞0，∴92﹣4×2×（4+m）＞0，∴m＜，当x＝m时，﹣m+4＝﹣2m2+8m﹣m，解得m＝2+或2﹣（舍弃），综上所述，当2+≤m＜时，抛物线M2与直线AE有两个交点．同学们，通过对本题的分析我们可以看出本解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，动点问题是用静止的方程来解决的。
化动为静 破解动态压轴题——从一道数学中考题谈动态压轴题的辅导策略
学会 把题 目暂时性 记人脑 海 ， 这样 可 以挖掘 出潜 在 条 件和 隐含 条件 ， 有助 于及 时整理 出解 题思 路． （） ３ 培养 学生细 致 准确 、 面 深 刻 地 了解 题 目 全 的习惯． 到 已知 条 件 和 目标 结 论 的桥 梁 ， 是 提 找 这 高 解题 准确 率和解 题速 度 的保证． 在 近几 年 的中 考压 轴 题 中 ， 般 有 ３个 小 题 ， 一 前一小题往往为后一小题作铺垫 ， 它们可能是递进 关 系 ， 一 小 题 的结 论 可 以 直 接 用 来 解 答 后 一 小 前 题 ； 可能是 并列 关 系 ， 一 小 题 为 后 一小 题 渗 透 也 前 了解 题 思 路 ３个 小 题 中 有 ２个 小 题 相 对 比较 简
单 ， 个小题难 度较大 ， １ 解题 时以简单 小题为突破 口， 易到 难 ， 从 逐个 击破 ， 立解题 信 心． 树
２ 善 于抓 住临界 处和 代表 性 图形 ， 动 为静 化
学 生 刚接触 动 态题 时 ， 觉 无 从 下 手 ， 师 在 感 教 教学时， 应先 培养 学 生 直 观 的感 性 意 识 ， 用 几 何 利 画板展 示整 个运 动 过 程 ， 然后 用 慢镜 头展 示 ， 动 化 为 静 ， 住 临界处 和 代 表 性 图形 ． 师 在黑 板 上 画 抓 教 图的 同时 ， 学 生 也 自己动 手 画 图进 行 研 究 ． １ 让 例 的第 （ ） 题 就 是 一个 临 界 处 问 题 ， 生 易 解 决 ； １小 学
灵 活应 用． 教师在 分 析 的过 程 中 ， 以把 基本 图形 可 从 复 杂 的图形 中分 离 出来 ， 进行 分 析 ， 再 经过 一 段 时 间的练 习可 以提高 学生 看 图及分 析 的能力．
初三数学二轮复习专题：变种不变--动中寓定,以定谋动
“变中不变”解题策略
通过对本题的研究，你认为“变中不变”有什么解题策略？
“变中不变”解题策略： ①设而不求，以代数变形求“定值”； ②运用转化方法，将变化图形的问题转化为不变图形的问 题。
例2
已知二次函数y=x2+mx－2m－4 证明：无论m取何值，该二次函数图像一定经过一 定点.
根据你已有的数学活动经验，你准备用什么方法 解决本题？
G
D
HC
P
E
F
A
B
“变中不变”解题策略
通过对本题的研究，你认为“变中不变”有什么 解题策略？
“变中不变”解题策略： ⑥演绎推理，在证明或计算中找“定关系”.
“变中不变”类题目 的解题策略
①设而不求，以代数变形求定值； ②运用转化方法，将变化图形的问题转化为不变 图形的问题； ③代数建模，在模型建构中找“定点”。此类问 题的一般方法：构造形如p·m+q(p、q为常数，m 为变量）的代数模型，代数式的值与m无关，令 p=0； ④代数消参，通过中间变量找“定线”； ⑤化形为数，数形转换间找“定点”； ⑥演绎推理，在证明或计算中找“定关系”.
“动”中寓“定” 以“定”谋“动”
济川中学 张杰 2020年6月2日
专题概述
“变中不变”是一种数学思想，也是一 种命题与解题方式。“变中不变”类试题 的命题策略是“以定谋动” ，从“定” 出发，向“动”发展，把静态问题动态化； 解题策略是“动”中寓“定”，在动态中 发现不变的元素。
课本中的“变中不变”
根据你已有的数学活动经验，你准备用什么方法 解决本题？
“变中不变”解题策略
通过对本题的研究，你认为“变中不变”有什 么解题策略？
“变中不变”解题策略： ④代数消参，通过中间变量找“定线”.
杨文弘[整理]图形运动变化之问题
A
D
A
A’
C
C’
P
B
C B
B’
评注：通过平移，利用相似和比例线段求解。 评注：通过平移，利用相似和比例线段求解。
热身训练
3、如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚 （顺时针方向）木板上点A位置变化为A A1 A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块 挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚A2位置时共走过的路径长为 ( C ) A 10cm B 4
例题讲析
例2：有一根直尺的短边长 ㎝，长边长 ㎝，还有一块锐角为 °的直角三角形纸板， ：有一根直尺的短边长2㎝ 长边长10㎝ 还有一块锐角为45°的直角三角形纸板， 它的斜边长12cm..如图 ，将直尺的短边 放置与直角三角形纸板的斜边 重合， 如图1，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边 重合， 放置与直角三角形纸板的斜边AB重合 它的斜边长 如图 且点D与点 重合.将直尺沿 方向平移(如图 与点A重合 将直尺沿AB方向平移 如图2)，设平移的长度为xcm(0≤x≤10)， 且点 与点 重合 将直尺沿 方向平移 如图 ，设平移的长度为 ， 直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分 的面积为S㎝ 图中阴影部分)的面积为 直尺和三角形纸板的重叠部分 图中阴影部分 的面积为 ㎝2. 2 (1)当x=0时(如图 ，S=_____________；当x = 10时，S =______________. 如图1)， 当 时 如图 ； 时 2 (2) 当0＜x≤4时(如图 ，求S关于 的函数关系式； 如图2)， 关于x的函数关系式 ＜ 时 如图 关于 的函数关系式； (3)当4＜x＜10时，求S关于 的函数关系式，并求出 的最大值 关于x的函数关系式 当 ＜ ＜ 时 关于 的函数关系式，并求出S的最大值 (同学可在图 、图4中画草图 同学可在图3、 中画草图 中画草图). 同学可在图
2020年江苏省宿迁市中考数学经典试题附解析
2020年江苏省宿迁市中考数学经典试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼和小鱼是位似图形（如图所示），则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点．（）A．（－2a，－2b）B．（－a，－2b）C．（－2b，－2a）D．（－2a，－b）2．下列命题中，是真命题的为（）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线垂直的四边形是菱形C．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形3．若—个矩形较短的边长为5，两条对角线所夹的锐角为60°，则这个矩形的面积是（）A．50 B．25 C．253D．253 24．如图的棋盘上，若“帅”位于点（1，-2）上，“马”位于点（3，0）上，则“炮”位于点（）A．（-1，1）B．（-1，2）C．（-2，1）D．（-2，2）5．下列函数中，是二次函数的是（）A．1yx=-B．y x=-C．1y x=-+D．21y x=-+6．从标有1，2，3，4的四张卡片中任取两张，卡片上的数字之和为奇数的概率是（）A．13B．12C．23D．347．下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．229m n -B ．2224p pq q -+C ．2244x xy y --+D ．29()6()1m n m n +-++ 8．如图，l0条20 cm 长的线条首尾粘合成一个纸圈，每个粘合部分的长度为1．5 cm ，则纸圈的周长是 （ ）A ．200 cmB ．198．5 cmC ．186．5 cmD ．185 cm9．如图所示扇形统计图中，有问题的是（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题10．如图，△ABC 中，∠A =60°，点 I 是内心，则∠BIC ．11． 掷一枚质地均匀的小正方体，它的六个面上分别标有数宇 1、2、3、4、5、6，则朝上一面的数字是小于 6 的概率是 ．12． 抛物线y ＝－5x 2+5x ＋m 的顶点在x 轴上,则m ＝___________.45- 13．如图：矩形纸片ABCD ，AB=2，点E 在BC 上，且AE=EC ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 ．14．若x=0是方程0823)2(22=-+++-m m x x m 的解，则m= .15．请写出一根2x =-，另一根满足11x -<<的一元二次方程 ．16．若一个正三角形的面积为3，则它的边长为 ．17．某市6月2日至8日的每日最高温度如图所示，则这组数据的中位数是 ， 众数是 ．18．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为 ．19． 如图，平面镜A 与B 之间夹角为110°，光线经平面镜A 反射到平面镜B 上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1的度数为 ． 20．等边三角形ABC 绕着它的中心，至少旋转 度才能与其本身重合．三、解答题21．为了解某城镇中学学做家务的时间，一综合实践活动小组对该班50•名学生进行了调查，根据调查所得的数据制成如右图的频数分布直方图．(1）补全该图，并写出相应的频数；(2）求第1组的频率；(3）求该班学生每周做家务时间的平均数；(4）你的做家务时间在哪一组内？请用一句话谈谈你的感受．22．在Rt △ABC ，∠C=Rt ∠，AB c =，BC a =，AC b =.(1)若1:2a c =，则:a b 的值为多少； (2)若:2:3a b =，25c =，则b 的值为多少？23．已知y+n 与x+m(m ，n 是常数)成正比例关系．(1)试判断y 是否是x 的一次函数，并说明理由；(2)若x=2，y=3；x=-2，y=1，求y 与x 之间的函数解析式．24．某班 34 个同学去春游，共收款 80 元，由小军去买点心，要求每人1 包．已知有 3元一包和 2 元一包两种点心，试问 3 元一包的点心最多能买几包？25． 如图，已知DE ∥ BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B =70°，∠ACB =50°，求 ∠EDC 和 ∠BDC 的度数.26．如图所示，CD 是△ABC 的高，∠BAE=25°，∠BCD=35°．求∠AEC 的度数．27．如图梯形的个数和周长的关系如下表所示梯形个数 1 2 3 4 …n 图形周长 5 8 11 …（1）请将表中的空白处填上适当的数或代数式；（2）若n=20时，求图形的周长28．计算：（1）222468a a a a -++- （2） 3(m －2n)－2(－2n+3m)112111211211229．一支考古队在某地挖掘出一枚正方体古代金属印章，其棱长为 4.5厘米，质量为1069克，则这枚印章每立方厘米约重多少克(结果精确到0.01克)？30．小惠的牡丹卡上还有余款 260 元，小惠想买一件衬衣和一件连衣裙，衬衣价格为 98 元/件，连衣裙价格为 180 元/件，小惠用牡丹卡购买这两件商品会透支吗？用有理数加法说明理由.【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．A2．D3．C4．C5．D6．C7．D8．D9．A二、填空题10．120°5612．13．414．－415．220x x+=（答案不唯一）16．2217．29，3018．70°，70°，40°或70°，55°，55°19．35°20．120三、解答题21．（1）图略，频数为14；（2）频率为0.52；（3）1.24；（4）略．22．）23．(1)是，理由略；(2)122y x=+24．12包25．∠EDC=25°，∠BDC=85°26．80°（1）14，3n+2；（2）6228．（1）244a a -；（2）-3m-2n 29．正方体的棱长为 4.5 厘米，所以其体积为34.5立方厘米.因印章的重量为1069克，因此这枚印章每立方厘米的重量约为31069 4.511.73÷≈（克) 30．会透支。
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动点问题是中考压轴题中一类重要的 问题，同时也是难点问题。因为动点的不固 定性会产生不同的解题情境和答案（发散思 维或分类讨论），动点也会产生求运动轨迹 长度或运动过程中形成几何图形面积的最大 值、最小值问题等等。
动点问题是考察同学们对数学思想方法 的掌握程度和数学素养、能力高低的重要载 体材料。
（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式； （2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°， 求所有符合条件的点P的 坐标； （3）如图2，点E（0，4），连接AE， 将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2． ①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值； ②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．
如何才能在这些题目中找到解 题规律轻松突破困境呢？
我想：“化动为静、化不定为 固定”是同学们在以后专题学习中 应该重点培养的认知能力。
（2017 ·济南）如图1，矩形OABC的顶点 A，C的坐标分别为（4，0），（0，6）， 直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，
抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．
化动为静、化不定为固定
动点——不确定性 静点——固定性 未知——方程性
ห้องสมุดไป่ตู้学们，通过对本题的分析我 们可以看出本解题的关键是灵活 运用所学知识解决问题，动点问 题是用静止的点来解决的。你掌 握了吗？
谢谢同学们的聆听， 祝同学们学习进步。
再见！