群的基本概念
代数学中的群、环和域的基本概念
在代数学中，群、环和域是几个基本的概念。
它们是数学中用于研究代数结构和操作规律的工具。
群、环和域分别是从不同角度对代数系统进行定义和研究的。
本文将重点介绍群、环和域的基本概念。
首先我们来谈谈群的定义。
在代数学中，一个群是一个集合G与一个二元运算（通常是乘法），满足以下四个条件：封闭性、结合律、存在幺元和存在逆元。
封闭性指的是对于任意的a和b属于G，a b仍然属于G。
结合律是指对于任意的a、b和c属于G，(a b)c = a(b c)。
存在幺元指的是存在一个元素e属于G，使得对于任意的a属于G，a e = e a = a。
存在逆元指的是对于G中的任意元素a，存在一个元素b使得a b = b a = e，其中e是G中的幺元。
通过这些性质，我们可以描述群的基本性质和操作规律。
接下来我们来讨论环的概念。
一个环是一个集合R与两个二元运算+和（通常是加法和乘法），满足以下八个条件：R关于+构成一个阿贝尔群、乘法满足结合律、分配律和乘法有单位元。
阿贝尔群指的是R关于+满足群的四个条件：封闭性、结合律、存在零元和存在逆元。
结合律和分配律即与群相同。
乘法有单位元指的是存在一个元素1属于R，对于任意的a属于R，a1 = 1*a = a。
通过环的性质，我们可以研究乘法在环上的特性和规律。
最后我们来研究域的概念。
一个域是一个集合F与两个二元运算+和（通常是加法和乘法），满足以下九个条件：F关于+构成一个阿贝尔群、F关于构成一个阿贝尔群（去除零元）、乘法满足结合律和分配律。
阿贝尔群和分配律与之前的定义相同，乘法的结合律和分配律也与环相同。
但与环不同的是，域中乘法还需要去除零元，即不存在一个元素0使得0a = a0 = 0。
通过域的性质，我们可以进行更为深入的代数研究。
无论是群、环还是域，它们都是代数学研究中的基础概念。
通过对群、环和域的研究，我们可以分析和证明各种代数结构的特性和规律。
这些概念及其性质构成了代数学中的基本框架，并为更复杂和抽象的数学理论提供了基础。
群与环的基本概念与性质
群与环的基本概念与性质群与环是数学中重要的代数结构，它们具有丰富的性质和应用。
本文将介绍群与环的基本概念，并探讨它们的性质。
一、群的基本概念与性质群是一种包含了代数运算的集合，它满足以下几个条件：1. 封闭性：对于群中的任意两个元素，它们的运算结果仍然在群中。
2. 结合律：群中的代数运算满足结合律，即对于群元素a、b和c，(a•b)•c = a•(b•c)。
3. 单位元：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，对于群中的任意元素a，a•e = e•a = a。
4. 逆元：对于群中的任意元素a，存在一个元素b，使得a•b = b•a = e，其中e为单位元。
元素b称为元素a的逆元。
群的性质还包括以下几个重要的特点：1. 唯一性：群中的单位元是唯一的，对于任意元素a，它的逆元也是唯一的。
2. 消去律：对于群中的任意三个元素a、b和c，如果a•b = a•c，那么b = c。
类似地，如果b•a = c•a，那么b = c。
3. 关于单位元的运算规则：对于群中的任意元素a，a•e = e•a = a。
4. 子群：如果一个集合在同一运算下构成一个群，并且它是原群的子集，则称这个集合为原群的子群。
二、环的基本概念与性质环是一种包含了两种代数运算的集合，它满足以下几个条件：1. 封闭性：对于环中的任意两个元素，它们的加法和乘法结果仍然在环中。
2. 加法结合律和乘法结合律：环中的加法和乘法满足结合律，即对于环元素a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)，(a*b)*c = a*(b*c)。
3. 加法单位元：环中存在一个特殊的元素0，称为加法单位元，对于环中的任意元素a，a+0 = 0+a = a。
4. 加法逆元：对于环中的任意元素a，存在一个元素-b，使得a+b = b+a = 0。
元素-b称为元素a的加法逆元。
5. 乘法单位元：环中存在一个特殊的元素1，称为乘法单位元，对于环中的任意元素a，a\*1 = 1\*a = a。
群论的基本概念与应用
群论的基本概念与应用在现代数学中，群论是一门重要的研究对象。
它是数学中的一个分支领域，研究代数结构的深刻性质，以及在物理、化学、计算机科学等领域的应用。
本文将针对群论的基本概念和应用进行探讨。
一、群的定义和基本概念群是一种代数结构，具有以下特性：1. 封闭性：对于群中的任意两个元素，其运算结果仍然属于该群。
2. 结合性：群运算是一个可结合的运算。
3. 单位元素：群中存在一个单独的元素，对于该群中的任意元素，它与单位元素的运算结果等于其本身。
4. 逆元素：群中的每个元素都有一个逆元素，在该元素与其逆元素运算后等于单位元素。
5. 可交换性：在群运算中，交换任意两个元素的位置不会影响整个运算的结果。
此外，群还有两个重要的概念：群的阶和子群。
群的阶是指群中元素的个数，记为|G|。
对于一个有限群G，其阶等于元素个数。
而对于无限群G，其阶可以用“无穷大”来表示。
子群指一个群G的子集，它包含G中的所有单位元素和逆元素，并且对于G中的任意两个元素之间的运算，在该子群中仍然成立。
二、常见的群类型常见的群类型包括置换群、加法群和乘法群。
置换群是由一组置换组成的群，其中每个置换都是将集合中的元素重新排列的函数。
这种群在密码学、组合学和物理学中都有应用。
加法群是指一个按照加法运算组成的群，例如整数集上的加法和向量空间的加法。
这种群在物理、化学和工程学中得到广泛应用。
乘法群是指一个按照乘法运算组成的群，例如复数集合上的乘法和单位圆上的乘法。
这种群在数论、几何学和代数学的许多领域中都有应用。
三、群论在数论中的应用群论在数论中的应用非常广泛。
其中一项重要的应用是解决费马大定理（Fermat's last theorem）。
费马大定理是由法国数学家皮埃尔·费马于17世纪提出的。
它的表述是：当n大于2时，关于x、y和z的方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
这个问题一直是数学家们的难题，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）通过运用群论的方法，完美地解决了费马大定理。
群的基本概念和性质
群的基本概念和性质数学中的一个重要结构是群，它是一种代数结构，可以用来描述对象之间的对称性和变换，以及它们之间的关系。
群是数学家们在研究几何、物理、化学等领域中发现的一种普遍存在的数学结构，具有广泛的应用价值。
一、群的定义群是一个集合G和一种操作“*”的代数结构，满足以下四个条件：1.封闭性：对于任意a和b属于G，a*b也属于G。
2.结合性：对于任意a、b和c属于G，(a*b)*c=a*(b*c)。
3.单位元：存在一个元素e属于G，满足对于任意a属于G，a*e=e*a=a。
4.逆元：对于任意a属于G，存在一个元素b属于G，满足a*b=b*a=e。
如果一个集合和它上面的运算满足以上四个条件，那么它就是一个群。
二、群的例子1.整数群整数集合Z构成了一个群，加法作为群操作符号。
整数集满足封闭性、结合性、单位元是0，逆元是-a。
2.置换群置换是一种把集合映射到自身的变换。
所有置换组成的集合构成了一个群，置换的乘法作为群的操作符号。
置换群的中心思想是通过变换得到更多结构的信息。
三、群的性质1.唯一性：给定一个群，它必须具有惟一的操作和单位元。
2.同态性：两个群h和g之间的函数f如若满足：（1） f(a* b)= f(a)* f(b)，(2)对于所有的a∈g, f(a)∈h,那f就是从h到g群的同态。
3.子群：一个群的子集，如果它自己也构成了一个群，那么它就是一个子群。
4.阶：一个群G的阶是指它包含的元素数量。
5.交换性：如果一个群的元素满足交换律，它就是一个交换群，也称为abelian群。
四、群的应用群的应用领域非常广泛，包括几何、物理、化学、密码学等。
在几何学中，群用于描述对象的对称性和变换，例如对称群是描述几何体对称性的群。
在物理学中，群被用于描述物理现象的对称性和变换，例如它可以用于描述粒子对称性和电磁场的对称性。
在化学中，群被用于描述分子的对称性。
在密码学中，群被用于构建公钥密码体制。
总的来说，群是一种非常有用的数学结构，它在科学、工程、计算机科学等领域都有着广泛而重要的应用。
抽象代数群的定义课件
群的量子表示
量子表示的定义
将群中的元素映射到量子态，形 成一个量子群。量子表示是群表 示的一种形式，可以用于研究群 的量子性质和结构。
量子表示的优点
19世纪中叶，数学家开始系统地研究群论，并发现了群的许多重要性质和定理。
20世纪初，群论得到了进一步的发展和应用，特别是在物理、化学和计算机科学等 领域。
现代群论已经发展成为一个非常广泛的数学领域，包括了许多分支和应用，如有限 群、无限群、李群、拓扑群等。
群论的现代研究
现代群论的研究涉及到许多领域，如 几何学、代数学、物理学和计算机科 学等。
运算结果仍属于这个集合。
群的基本性 质
群是一个封闭的代数结构，即其二元 运算满足封闭性。
群中存在一个特殊的元素，通常记为 $e$或$I$，称为单位元，满足对于任 意群元素$a$，有$e cdot a = a cdot e = a$。
群中的运算满足结合律，即对于任意 三个群元素$a, b, c$，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
量子表示可以描述更复杂的量子 现象和量子系统，能够更好地揭 示群的本质和内在规律。此外， 量子表示还可以通过计算机编程 实现，方便进行大规模的计算和 研究。
量子表示的应用
量子表示在量子计算、量子信息、 量子物理等领域都有广泛的应用。 例如，在量子计算中，各种量子 算法可以用量子态来表示，而在 量子通信中，各种量子态也可以 用量子态来表示。
现代群论的研究还涉及到许多实际应 用，如密码学、计算机图形学和量子 计算等。
群论的基本概念和运算
群论的基本概念和运算群论是数学中的一个重要分支，研究的是集合上的一种代数结构，称为群。
群具有丰富的数学性质和广泛的应用，是现代数学中不可或缺的基础工具。
本文将介绍群论的基本概念和运算。
一、群的定义和基本性质群是一个非空集合G，配上一种二元运算"·"，如果满足下列四个条件：1.封闭性：对于任意的a，b∈G，a·b也属于G。
2.结合律：对于任意的a，b，c∈G，有(a·b)·c = a·(b·c)。
3.单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a·e = e·a = a。
4.逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a'∈G，使得a·a' = a'·a = e。
群的基本性质如下：1.单位元唯一性：群中的单位元只有一个。
2.逆元唯一性：群中的元素的逆元唯一。
3.消去律：若a·b = a·c，则b = c；若b·a = c·a，则b = c。
二、群的示例下面以一些常见的群为例介绍群的概念。
1.整数加法群（Z，+）：整数集合配上加法运算构成一个群。
单位元为0，每个元素的逆元为其相反数。
2.整数乘法群（Z*，×）：整数集合去掉0后，配上乘法运算构成一个群。
单位元为1，每个非零整数的逆元为其倒数。
3.矩阵群（GL(n，R)）：n阶实数矩阵集合中，可逆矩阵配上矩阵乘法运算构成一个群。
单位元为单位矩阵，每个可逆矩阵的逆矩阵存在且唯一。
4.置换群（Sn）：由n个元素的全排列组成的集合，配上排列的乘法运算构成一个群。
单位元为恒等排列，每个排列的逆排列存在且唯一。
三、群的运算群的运算包括闭包性、结合律、单位元和逆元。
群运算的一些性质如下：1.闭包性：群的运算必须满足封闭性，即群中的任意两个元素的运算结果仍然属于群。
2.结合律：群的运算必须满足结合律，即对于群中的任意三个元素a，b，c，有(a·b)·c = a·(b·c)。
群的基本概念ppt课件
S3 置换群表：
S3
E (132) (123) (23) (13) (12)
E E (132) (123) (23) (13) (12)
(132) (132) (123) E (12) (23) (13)
(123) (123) E (132) (13) (12) (23)
Eˆ ECˆ31
Cˆ32
Aˆˆvv((12)) ˆv(3)
同构与同态在构造群表和群的特征标表中作用很大。
2.4 群的直积：直积群
2.4.1 子群 若一个群 H 的群元素皆包含于另一个群 G 之中，就称群 H 是群 G 的子群。 或者说，群 H 的阶为 h，群 G 的阶为 g，且 h ≤ g，H ∈ G。就称群 H 是群 G 的子群。 因为有相同的乘法关系，子群 H 与群 G 有相同的单位元素。
例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。
C 6:
E ˆ C ˆ6 2(C ˆ3 1) C ˆ6 3(C ˆ2 1) C ˆ6 5
C ˆ6 4(C ˆ3 2) C ˆ6 1
C 6 C 3 C 2
例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。
Eˆ
C2v Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆ XZ
ˆYZ
Eˆ Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆ XZ ˆYZ
Cˆ 2 (Z) Cˆ 2 (Z)
Eˆ
ˆYZ
ˆ XZ
ˆ XZ
ˆ XZ
ˆYZ
Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆYZ
ˆYZ
ˆ XZ
Cˆ 2 (Z) Eˆ
例 2-5 S3 置换群
S3 置换群是三个数码 1，2，3 的所有可能的置换，共有 6 个群 元素：
群的基本概念
例 1-2 实数乘法群 除 0 以外的全体实数的集合对数的乘法构成群；（1）任意两实数之
积仍为实数，（2）数的乘法服从结合律，（3）恒等元为 1，（4） 逆元为其倒数。
A、B 为群 G 中的元素，如果：
AB = C 则 C 也是群 G 中的一个元素。
(2) 结合律 群元素相乘满足乘法结合律，如： ABC = ( AB )C =A( BC )
(3) 恒等元素
群中有且仅有一个恒等元素 E，且有：
EX = XE = X
其中 X 为群中的任何元素。
(4) 逆元素
群中任一元素 X 都有一个逆元素 X-1 ，且逆元素 X-1 也
1 2 3 132 3 1 2 1 2 3 23 1 3 2
群元素相乘相当于进行一次置换后，再进行一次置换。
置换群的群元素相乘彼此不对易，作用的先后次序是重要的： 先右边，再左边（action in turn !）。如
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1213 2 1 3 3 2 1 3 1 2 132 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1312 3 2 1 2 1 3 2 3 1 123
( 3) v ( 3) v (2) v (1 ) v 1 3 2 3
E
2.3 同构与同态
两个群，如果其群元素数目相同（同阶群），而且乘法关系相同
（有相同的乘法表），则称这两个群同构，即有相同的结构。 如 例 2-1 中的 C2 群、Ci 群、Cs 群三个群同构。 如 C3v 群与 S3 群同构。此外，还有 Cnv 群与 Dn 群同构，O 群与 Td 群同构。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1
3, 单位元（不变元素）E,
EA = AE = A
4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E ,
单位元 E 的逆元仍为E,
证：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1 =E ） （2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ） 由（1）和（2） E = E-1
年迈的泊松感到难于理解
• 由于论文中出现了“置换群”等崭新的数 学概念和方法，泊松感到难于理解。几个 月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一 份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没 有时间了。
• 在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级 革命活动，被学校开除了。
伽罗瓦预感到死亡即将来临
• 1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被 捕入狱，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832 年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得 以出狱。
他盯上了著名的世界数学难题
• 不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公 式问题。
• 16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人， 发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没 两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求 根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就 可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程 的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也 找不出一个这样的求根公式。
群论
（Group Theory）
群（Group）的概念开始于19世纪初叶。群论 （Group Theory）的早期发展归功于著名的数学家高斯 （Gauss）、柯西（Cauchy）、阿贝尔（Abel）、哈密 顿（Hamilton）、伽罗瓦（Galois）等。但是直到1925年 出现了量子力学之后，才发现它在物理学中许多应用。贝 特（Bethe）和维格纳（Wigner）等人很快认识到群论在 物理学中的应用，把这一新的工具用于计算原子结构和光 谱。利用群论方法，可以直接对体系的许多性质作出定性 的了解，可以简化复杂的计算，也可以预言物理过程的发 展趋向。目前在物理学和物理化学的许多分支中，群论已 经成为不可缺少的工具。
⑤晶体平移对称性（平移晶格常数 的整数倍） Bloch定理 ⑥全同粒子交换对称性 玻色子，费米子 ⑦标度变换对称性 临界现象，非线性物理，生命起源……
对称群理论在先进（陶瓷）材料中的应用
今天，群论经常应用于物理领域。我们经常
用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出
在某种变化下的某些变化量的性质。它也跟物理 方程联系在一起。
• 这个因决斗而死去的青年，就是近代数学的奠基 人之一、历史上最年轻的著名数学家伽罗瓦。
• 1811年10月25日，伽罗瓦出生在法国巴黎附近的 一个小镇上。
更加不幸的法国数学家伽罗瓦
• 伽罗瓦（1811.10.25—1832.5.30） 浪漫的法国人一直为他们早逝的、划时代的、
人类有史以来最聪明的、思想最深刻的、最倒霉的 数学家感到自责。……他留下了100页数学文稿， 被发展成一门艰深、应用广泛的学科----抽象代数 或称群论。
伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并
用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而 且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪 念他，人们称之为伽罗瓦理论。
正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学 的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数
学研究工作提供了新的数学工具—群论。它对数
学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数 学发展现代阶段的开始。
另外，晶体学中早期的关于晶体的各种
结构的问题中，也是靠群论中的费得洛夫群的 研究给出了答案。群论指出，空间中互不相同 的晶体结构只有确定的230种。（230个空间群）
通过对这些具有一定力学性能、物理性能的材料 的微观本质的分析，可以反过来利用对称群分析看看 可以通过哪些方式（如掺杂等）来改变晶体的晶格以 获得性能更佳、物理效应更显著的晶体。
• 他自信找到了彻底解决的方法，便将自己的观点写成 论文，寄给法国巴黎科学院。
• 负责审查伽罗瓦论文的是柯西和泊松，他们都是当时 世界上第一流的数学家。柯西不相信一个中学生能够 解决这样著名的难题，顺手把论文扔在一边，不久就 丢失了；
• 两年后，伽罗瓦再次将论文送交巴黎科学院。这次， 负责审查伽罗瓦论文的是傅立叶。不巧，也就是在这 一年，这位年迈的著名数学家去世了。伽罗瓦的论文 再一次给丢失了。
不幸的挪威数学家阿贝尔
• 阿贝尔简介：
• （阿贝尔：Abel,1802—1829）任何一部数 学家词典中的第一人，是十九世纪最伟大 的数学家之一，是挪威空前绝后的最伟大 的学者。……后人整理他的遗著花了150年。
代数学发展过程中：
• 三百多年弄不清楚的问题：五次及五次以上的 方程的公式解
• 法国数学家拉各朗日称这一问题是在“向人类 的智慧挑战”。
对称性
对称性分析
晶体结构
相似的物理性能
（压电、铁电、热释电、光学性能等）
改变晶体的结构
提高材料的性能
（压电、铁电、热释电、光学性能等）
参考书：
1、《群论及其在固体物理中的应用》 （徐婉棠、喀兴林编著，高教出版社）
2、《群论及其在物理学中的应用》 （谢希德、蒋平、陆奋 著）科学出版社
3、《物理学中的群论 》 （马中骐 编著，科学出版社）
2、交换群（阿贝尔群）： 群乘与群元的顺序无关 AB = BA
五、 群的实例（群元和群乘）
1, 数群: 以数为群元，以数学运算为群乘，构成数群
例(1)：全部正负整数 ( 包括 0 ) 的集合，群乘为加法 E = 0， A = n, A -1= -n 这是离散的无限群、交换群
他考进了巴黎高等师范学校
• 伽罗瓦的论文一再被丢失的情况，使他很气愤。 • 这时，他已考进了巴黎高等师范学校；并得知了
阿贝尔去世的消息，同时又发现，阿贝尔的许多 结论，他已经在被丢失的论文中提出过。 • 在1831年，伽罗瓦向巴黎科学院送交了第三篇论 文，题目是《关于用根式解方程的可解性条件》。 这一次，著名数学家泊松仔细审查了伽罗瓦的论 文。
• 1770年拉格朗日分析了二次、三次、四次方程 根式解的结构之后，提出了方程的预解式概念， 并且还看出预解式和方程的各个根在排列置换 下的形式不变性有关，这时他认识到求解一般 五次方程的代数方法可能不存在。
• 挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论，给出了高 于四次的一般代数方程不存在代数解的证明。
• 阿贝尔率先解决了这个引人瞩目的难题。可是， 由于阿贝尔生前只是个默默无闻的“小人物”， 他的发明创造竞没有引起数学界的重视。
第一章 群的基本知识
§1.1 群
一、 群的定义:
有限或无限个元素（数学对象）或操作的集合{A, B, C,
D …}，其中有一个与次序有关的运算方法（群乘），具备下
列条件, 则构成群（G）。集合中的元素（A, B, C, D …）称为
群元 。
1, 封闭性,
AB = C （AA=D）
2, 结合律, A(BC) = (AB)C
群论历史
群论源于十九世纪初，起源于对代数方程的研究，它是 人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。群理论被ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ认为 十九世纪最杰出的数学成就之一。
群论是法国传奇式人物伽罗瓦（ Galois，1811~1832年） 的发明。他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方 程问题。柯西（Augustin-Louis Cauchy,1789~1857年)， 阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802~1829年）等人也对群论 的建立做了很多贡献。
群论与对称性 群论是研究系统对称性质的数学工具。
物理学中的对称性和守恒定律
物理学中的许多规律常常具有一些对称性质，从一种对称 性质就可以推导出一种守恒定律：
①空间坐标平移不变性（系统拉氏函数L不变）
动量守恒
②L在空间转动下对称 角动量守恒 ③L在时间平移下对称 能量守恒
④空间反演（ r r）对称 宇称守恒
时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许 多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、 代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而 起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、 代数群、算术群等，并在结晶学、理论物理、量子化学以 至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。
• 伽罗瓦恢复自由不到一个月，爱上了一个舞女，并 因此被迫与一个军官决斗。
• 决斗前夕,伽罗瓦预感到死亡即将来临，他匆忙将 数学研究心得扼要地写在一张字条上，并附以自己 的论文手稿，请他的朋友交给当时的大数学家们。
他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，为一
个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，
• 在失望、劳累、贫困的打击下，阿贝尔不满27岁 就离开了人间，使他未能彻底解决这个难题。比 如说：为什么有的特殊高次方程能用根式解呢?如 何精确地判断这些方程呢？
• 他死后第二天，伦敦大学校长的特使，手持校长 的邀请函来到挪威师范学院寻找阿贝尔
殒落的新星
• 1832年5月30日清晨，法国巴黎郊外进行了—场决 斗。枪声响后，一个青年摇摇晃晃地倒下了。第 二天一早，他就匆匆离开了人间，死时还不到21 岁。死前这个青年沉痛地说： “请原谅我不是 为国牺牲。我是为一些微不足道的事而死的。”