现代控制理论_东北大学_第八章_状态估计(卡尔曼滤波)
卡尔曼滤波_卡尔曼算法
卡尔曼滤波_卡尔曼算法1.引言1.1 概述卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的技术，通过融合传感器测量值和系统模型的预测值，提供对系统状态的最优估计。
它的应用十分广泛，特别在导航、图像处理、机器人技术等领域中发挥着重要作用。
在现实世界中，我们往往面临着各种噪声和不确定性，这些因素会影响我们对系统状态的准确估计。
卡尔曼滤波通过动态调整系统状态的估计值，可以有效地抑制这些干扰，提供更加精确的系统状态估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统模型的预测和传感器测量值之间的线性组合，来计算系统状态的最优估计。
通过动态地更新状态估计值，卡尔曼滤波可以在对系统状态的准确估计和对传感器测量值的实时响应之间进行平衡。
卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：预测和更新。
在预测步骤中，通过系统模型和上一时刻的状态估计值，预测当前时刻的系统状态。
在更新步骤中，将传感器测量值与预测值进行比较，然后根据测量误差和系统不确定性的权重，计算系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波具有很多优点，例如它对传感器噪声和系统模型误差具有鲁棒性，可以提供较为稳定的估计结果。
此外，卡尔曼滤波还可以有效地处理缺失数据和不完全的测量信息，具有较高的自适应性和实时性。
尽管卡尔曼滤波在理论上具有较好的性能，但实际应用中还需考虑诸如系统模型的准确性、测量噪声的特性等因素。
因此，在具体应用中需要根据实际情况进行算法参数的调整和优化，以提高估计的准确性和可靠性。
通过深入理解卡尔曼滤波的原理和应用，我们可以更好地应对复杂环境下的估计问题，从而在实际工程中取得更好的效果。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和算法步骤，以及其在不同领域的应用案例。
希望通过本文的阅读，读者们可以对卡尔曼滤波有一个全面的了解，并能够在实际工程中灵活运用。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将围绕卡尔曼滤波和卡尔曼算法展开论述。
首先，我们会在引言部分对卡尔曼滤波和卡尔曼算法进行简要概述，介绍其基本原理和应用领域。
状态估计的基本原理
状态估计的基本原理状态估计是指通过测量和观测数据，对系统的状态进行估计和预测的过程。
它是控制系统中的一个重要环节，可以提高系统的鲁棒性和可靠性，使得系统能够更好地适应外部环境的变化。
在状态估计中，最常用的方法是卡尔曼滤波器。
卡尔曼滤波器是一种基于贝叶斯理论的线性最优滤波器，它能够根据已知信息和测量数据来估计未知变量的状态，并且具有递归更新、低复杂度等优点。
卡尔曼滤波器主要包括两个步骤：预测和更新。
在预测步骤中，根据上一时刻的状态估计和控制输入（如果有），预测当前时刻的状态值以及其误差协方差矩阵。
在更新步骤中，根据当前时刻的观测数据和预测值之间的误差，修正当前时刻的状态估计值以及其误差协方差矩阵。
卡尔曼滤波器需要确定两个关键矩阵：状态转移矩阵和观测矩阵。
状态转移矩阵描述了系统状态的演化规律，它是一个n×n 的矩阵，其中n 表示状态变量的个数。
观测矩阵描述了测量数据与状态变量之间的关系，它是一个m×n 的矩阵，其中 m 表示观测变量的个数。
卡尔曼滤波器还需要确定两个关键参数：过程噪声协方差和观测噪声协方差。
过程噪声协方差描述了系统在演化过程中的不确定性，它是一个n×n 的对称正定矩阵。
观测噪声协方差描述了测量数据的不确定性，它是一个m×m 的对称正定矩阵。
卡尔曼滤波器可以应用于各种控制系统中，如导航、机器人、飞行控制等领域。
在实际应用中，为了提高滤波器的鲁棒性和可靠性，还需要进行模型校正、异常检测等处理。
总之，状态估计是一种重要的控制技术，在实际应用中具有广泛的应用前景。
通过采用合适的算法和参数设置，可以实现对系统状态的准确估计和预测，从而提高系统的性能和稳定性。
状态估计的常用算法
状态估计的常用算法状态估计的常用算法状态估计是现代控制理论中重要的一环，其主要作用是通过测量数据对被控系统当前状态进行估计，便于进行后续控制处理。
实际上，在现代自动控制系统中，状态估计算法的应用范围非常广泛，包括物流自动化、车辆防控、机器人控制、航空航天系统等许多领域。
本文将针对状态估计的常用算法进行详细的介绍。
1.卡尔曼滤波卡尔曼滤波是状态估计的基本算法之一，其主要思想是基于时间序列的分析和预测。
卡尔曼滤波算法主要分为预测和更新两个过程，其中预测过程通过系统模型对下一个时间段的状态进行预测，而更新过程则通过测量量和预测量之间的差异进行状态估计的更新。
常见的卡尔曼滤波包括线性卡尔曼滤波、扩展卡尔曼滤波、粒子滤波等。
2.无迹卡尔曼滤波无迹卡尔曼滤波是卡尔曼滤波的一种改进算法，主要在卡尔曼滤波的过程中对协方差矩阵进行变换，避免出现协方差矩阵为负等问题。
与卡尔曼滤波相比，无迹卡尔曼滤波更加稳定，具有更好的适用性和精度。
3.扩展卡尔曼滤波扩展卡尔曼滤波是针对非线性系统而提出的一种卡尔曼滤波改进算法，它通过对非线性系统进行线性化，进而应用卡尔曼滤波的方法进行状态估计处理，其优点是能够在非线性系统中实现高精度的状态估计。
4.粒子滤波粒子滤波是一种全局搜索算法，它通过粒子集合对系统状态进行估计。
粒子滤波的主要特点是可以处理非线性、非高斯等复杂的状态估计问题。
与传统的基于概率密度的算法不同，粒子滤波是基于样本的方法，因此能够更好地适应复杂的状态估计。
5.互模糊滤波互模糊滤波是一种基于模糊集合理论的滤波算法，它通过融合多个传感器的信息，对系统的状态进行估计。
与传统的滤波算法相比，互模糊滤波在处理不确定性和噪声时更加有效，能够实现高精度的状态估计。
总的来说，状态估计算法在自动控制系统中发挥着重要的作用，实现高精度的状态估计将有助于提高自动化系统的控制性能和运行效率。
因此，在实际应用中，需要根据具体的应用场景来选择适合的状态估计算法，以实现最优的控制效果。
卡尔曼滤波器的状态方程和测量方程
卡尔曼滤波器的状态方程和测量方程
卡尔曼滤波器的状态方程和测量方程如下：
状态方程：X(k)=AX(k-1)+Bu(k-1)+W(k-1)。
其中，X(k)表示k时刻的状态向量，A是状态转移矩阵，u(k-1)是k-1时刻的控制输入向量，B是控制输入矩阵，W(k-1)是k-1时刻的噪声向量。
测量方程：Z(k)=HX(k)+V(k)。
其中，Z(k)表示k时刻的测量向量，H是测量矩阵，V(k)是k时刻的测量噪声向量。
卡尔曼滤波器的目的是通过综合测量值和预测值得到一个最优值，它采用分配权重的方式来综合结果。
具体来说，它通过状态方程来预测下一个结果，然后通过测量方程来矫正预测结果，从而得到最优值。
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波是一种用于状态估计的强大工具，它在许多现代科
学和工程领域中都得到了广泛的应用。
这种滤波器能够从一系列不
完全、噪声干扰的测量中，估计出系统的真实状态。
它的应用范围
包括但不限于航空航天、导航、无人机、自动控制系统和金融领域。
卡尔曼滤波的核心思想是通过将先验信息（系统的动态模型）
和测量信息（传感器测量）进行融合，来估计系统的真实状态。
它
能够有效地处理测量噪声和模型不确定性，并且能够提供对系统状
态的最优估计。
卡尔曼滤波的工作原理是通过不断地更新系统状态的估计值，
以使其与实际状态尽可能接近。
它通过两个主要步骤实现这一目标，预测和更新。
在预测步骤中，根据系统的动态模型和先验信息，估
计系统的下一个状态。
在更新步骤中，根据测量信息，修正先前的
状态估计，以获得最优的系统状态估计。
卡尔曼滤波的优势在于它能够在计算复杂度相对较低的情况下，提供对系统状态的最优估计。
它还能够有效地处理非线性系统，并
且能够适应不同类型的测量噪声。
总的来说，卡尔曼滤波是一种强大的状态估计工具，它在许多现代应用中都发挥着重要作用。
通过将先验信息和测量信息进行融合，它能够提供对系统状态的最优估计，为科学和工程领域的研究和应用提供了重要的支持。
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器（Kalman Filter）的五个公式如下：
1. 预测状态：
x̂_k = F_k * x̂_k-1 + B_k * u_k
其中，x̂_k为当前时刻k的状态估计值，F_k为状态转移矩阵，x̂_k-1为上一时刻k-1的状态估计值，B_k为外部输入矩阵，u_k为外部输入。
2. 预测误差协方差：
P_k = F_k * P_k-1 * F_k^T + Q_k
其中，P_k为当前时刻k的状态估计误差协方差矩阵，P_k-1为上一时刻k-1的状态估计误差协方差矩阵，Q_k为系统过程噪声的协方差矩阵。
3. 计算卡尔曼增益：
K_k = P_k * H_k^T * (H_k * P_k * H_k^T + R_k)^-1
其中，K_k为当前时刻k的卡尔曼增益矩阵，H_k为观测矩阵，R_k为观测噪声的协方差矩阵。
4. 更新状态估计值：
x̂_k = x̂_k + K_k * (z_k - H_k * x̂_k)
其中，z_k为当前时刻k的观测值。
5. 更新状态估计误差协方差：
P_k = (I - K_k * H_k) * P_k
其中，I为单位矩阵。
控制系统状态估计
控制系统状态估计控制系统状态估计在现代工程和科学领域中扮演着至关重要的角色。
状态估计是指在缺乏完整信息的情况下，通过利用系统的测量和模型，对系统的状态进行预测和估计。
本文将介绍控制系统状态估计的基本原理和常用方法。
一、状态估计的基本原理在控制系统中，状态通常表示系统在某一时刻的内部特性或状态量。
然而，由于系统内部状态无法直接测量，我们需要通过测量系统的输出和利用系统动力学模型来进行状态估计。
状态估计的基本原理可以概括为以下几点：1. 状态空间模型：控制系统的状态通常由一组状态变量和输入变量构成的状态空间模型描述。
通过建立系统的状态方程和输出方程，可以描述系统的动态行为和状态演化规律。
2. 观测方程：观测方程用来描述系统的输出与状态之间的关系。
通过观测方程，我们可以利用系统的输出来估计系统的状态。
3. 测量噪声：在实际应用中，测量结果常常受到噪声的影响，因此我们需要考虑测量噪声对状态估计的影响。
常用的方法包括卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波等。
二、常用的状态估计方法根据系统的特点和需求不同，我们可以选择不同的状态估计方法。
下面将介绍两种常用的状态估计方法：卡尔曼滤波和粒子滤波。
1. 卡尔曼滤波卡尔曼滤波是一种线性高斯滤波方法，广泛应用于估计连续状态变量的问题。
卡尔曼滤波器通过将先验估计与测量融合，生成最优估计。
它的主要步骤包括：预测、更新、修正。
卡尔曼滤波器能够在有噪声和不确定性的情况下，准确地估计系统的状态。
2. 粒子滤波粒子滤波是一种非线性非高斯滤波方法，适用于非线性系统和非高斯噪声的情况。
粒子滤波通过利用一组粒子来表示系统的概率分布，通过重采样和权重更新来实现状态估计。
粒子滤波器能够灵活地适应各种非线性系统和不确定性情况，但计算复杂度较高。
三、应用领域和挑战控制系统状态估计广泛应用于自动驾驶、航空航天、机器人、通信等领域。
通过对系统状态的准确估计，我们能够设计出更优秀的控制算法，并提高系统的性能和可靠性。
经典卡尔曼滤波算法公式
经典卡尔曼滤波算法公式
卡尔曼滤波算法是一种基于状态估计的控制算法，经常应用于机器人控制、航空导航、车辆导航等领域。
下面是经典的卡尔曼滤波算法公式：
1. 状态预测方程：
x(k|k-1) = Fx(k-1|k-1) + Bu(k)
其中，x(k|k-1)表示第k步的状态预测值，F表示状态转移矩阵，B表示输入矩阵，u(k)表示第k步的控制输入。
2. 误差预测方程：
P(k|k-1) = FP(k-1|k-1)F' + Q
其中，P(k|k-1)表示第k步的估计误差，Q表示系统噪声协方差矩阵。
3. 状态更新方程：
K(k) = P(k|k-1)H'/(HP(k|k-1)H' + R)
x(k|k) = x(k|k-1) + K(k)(z(k) - Hx(k|k-1))
P(k|k) = (I - K(k)H)P(k|k-1)
其中，K(k)表示卡尔曼增益，z(k)表示测量值，H表示测量矩阵，R表示测量噪声协方差矩阵。
以上就是经典的卡尔曼滤波算法公式，可以在实际应用中根据具体情况进行调整和优化。
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随机差分方程模型
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n)
b0u (k ) b1u(k 1) bmu(k m) (k ) c1 (k 1) c p (k p)
2005-11-5
第八章 状态估计
2005-11-5
% % EXX
第八章 状态估计
ˆ (Z ) 等于 X 的条件 定理8.2.1X 的最小方差估计 X ˆ (Z ) E( X / Z ) 条件均值为 X
证:
% % 使 EXX 最小，等价于使
ˆ ( z)) p( x / z)dx ˆ ( z)) ( X X (X X
第八章 状态估计
第八章 状态估计（卡尔曼滤波）
8.1 系统的描述 8.2 最小方差估计 8.3 线性最小方差估计
8.4 最小二乘估计
8.5 投影定理 8.6 卡尔曼滤波-状态估计
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第八章 状态估计
8.1 系统的描述
8.1.1状态空间模型
随机状态空间模型描述：
X k k ,k 1 X k 1 Bk 1Uk 1 k 1Wk 1
估计误差的方差为
ˆ )2 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 5 E( X X V 10 3 10 3 10 4 10 4 10 3 10 3 24
2005-11-5
第八章 状态估计 表8-2
z x -1 -1 0 0 1 1 2
1/10 2/10
0
1
ˆ E( X / Z ) 解: X V
1/10 3/10
1/10 2/10
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第八章 状态估计
1 3 , z 1 3 , z0 4 5 3, z 1
1 1
DX cov( X , Z )( DZ )1 cov(Z , X )
在右边加减 cov( X , Z )( DZ )1 cov(Z , X ) 后配方，得
E X a BZ X a BZ bb B cov( X , Z )(DZ ) DZ B cov( X , Z )(DZ )
2 2 2 2 2 2
2005-11-5
第八章 状态估计
例8.2.3 设Z HX V，其中 V R m 为测量噪声，
V : N (0, R) ；X Rn，X : N ( , P) ； X 、 V 互相独
立， H R mn 。试求 X 的最小方差估计. 解: 由已知可求出
cov( X , Z ) PH cov (Z , X )
合概率密度或条件概率密度 P( X / Z ) ，在工程上 常常难以实现。
ˆ ( Z ) a BZ 称为 x 的线性估计，其中 8.3.1 X 为 n m 常阵，Z 为m维观测向量。 为常量，
定义8.3.2 使误差方差阵
% X X ˆ (Z ) X X ˆ (Z ) DX
% % 阵 EXX 最小
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第八章 状态估计
ˆ (Z ) ˆ (Z ) X X E X X MV MV
例8.2.1 设被估计量 x 和观测量 z 的联合分布 如表8-1所示， 试求 x 的最小方差估计。 表8-1 x z -1 1 -3 1/4 0 -2 1/4 0 2 0 1/4 3 0 1/4
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第八章 状态估计
ˆ ( Z ) a BZ 称为线性最小方差 最小的线性估计 X ˆ (Z ) 估计 ，记为 X L
令 则 于是有
b aEx BEZ
a b EX BEZ
ˆ ˆ E X X (Z ) X X (Z ) E X a BZ X a BZ ＝ E X EX b B[Z EZ ] X EX b B[Z EZ ]
1 1
DX cov( X , Z )( DZ )1 cov(Z , X )
最小,必须令 b 0 ，B cov( X , Z )( DZ )1 要方差 DX 由此推得：
ˆ (Z ) EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ ) X L
L
2005-11-5
第八章 状态估计 例8.3.1 设被估计量 X和 Z观测量的联合分布如表 8-1，试求 X 的线性最小方估计
解: 根据表中数据可以求出：
1 1 EX (2 3 2 3) 0 EZ (1 1 1 1) 0 4 4 1 13 DX [22 32 (2) 2 (3) 2 ] 4 2 1 2 2 DZ [1 1 (1) 2 (1) 2 ] 1 4 5 cov( X , Z ) [1 2 1 3 (1)(2) (1)(3)] Z 2
(1)线性
ˆ a BZ X L
ˆ E[ EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ )] EX (2)无偏性 EX L
(3)正交性
ˆ )Z Biblioteka 0 E( X X Lˆ )( BZ ) 0 由于 E ( X X L ˆ )(Z EZ ) 所以 E( X X
D( X
z )g ( z )dz
2005-11-5
第八章 状态估计
ˆ E( X / Z ) 解 X V
5 , 当 z -1 时 2 5 , 当 z 1时 2
例8.2.2
已知被估计量 x 和观测量 z 的联合分布
如表8-2所示,试求 x的最小方差估计和线性最小 方差估计。
2 2 3 1 2 2 1 DZ (1) 1 5 10 10 10 10
1 17 2 7 1 3 2 13 3 cov( X , Z ) (1) (1) 10 10 10 10 10 10 10 10 5
10 10 10 10 10 1 2 1 2 EZ (1) 1 0 10 10 10 10
2 2 2 2 2 2
1 17 2 7 1 7 3 3 1 3 2 173 81 DX 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 100
2005-11-5
第八章 状态估计
X 的线性最小方差估计为
ˆ (Z ) EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ ) X L
3 10 , z 1 7 7 Z , z0 10 10 17 10 , z 1
估计误差为方差
进而求得
ˆ (Z ) EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ ) 0 5 1 Z 5 Z X L 2 2
2005-11-5
第八章 状态估计
ˆ (Z ) 例8.3.2 已知 X 和 Z的联合分布如表8-2,试求 X L
解： EX 1 (1) 3 1 1 1 2 2 7
＝ DX bb BD(Z ) B cov( X , Z ) B B cov(Z , X )
2005-11-5
第八章 状态估计
E X a BZ X a BZ bb B cov( X , Z )(DZ ) DZ B cov( X , Z )(DZ )
81 3 21 1 ˆ D[ X X L ( Z )] DX cov( X , Z )( DZ ) cov( Z , X ) 100 5 100
2005-11-5
第八章 状态估计 小于前面最小方差估计时的误差方差
5 ˆ D( X X V ) 24
线性最小方差估计的统计性质为：
% % ˆ (Z )) ( X X ˆ (Z )) EXX E( X X
ˆ ( z)) ( x, z)dxdz ˆ ( z ))( X X (X X
[
ˆ ( z)) p( x / z)dx] g ( z)dz ˆ ( z )) ( X X (X X
ˆ ˆ [ X ( z ) E ( X z )] [ X ( z ) E ( X z )]
[ X E( X
z)][ X E ( X z )] p( X z )dx D( X z )
ˆ ( z) E( X z) X ˆ (Z ) 时，方差 可知，当且仅当 X MV
8.2 最小方差估计
% % 最小的估计 定义8.2.1 使误差方差阵 EXX
ˆ (Z ) X v
ˆ (Z ) 是一个随机向量。 X 叫 X 最小方差估计，
设 X 的概率密度为 f ( x)，Z的概率密度为 g ( z)，
二者的联合概率密度为 ( x, z ),则在Z=z 条件
X 的条件概率密度为 p x z ( x, z ) / g ( z ) 下， ˆ (Z )的误差方阵为 X
最小。注意到
ˆ ( z ))( X X ˆ ( z)) p( x / z)dx ( X X
ˆ ( z )] p( x / z )dx ˆ ( z )] [ X E ( X z ) E ( X z ) X [ X E ( X z ) E ( X z ) X