高二数学选修2-2第二章推理与证明

(2) 6 + 7 >2 2 + 5 。
15、设 a，b，x，y∈R，且
16、若 a,b,c 均为实数，且
,
,
,
求证：a，b，c 中至少有一个大于 0。
17、数学归纳法证明：
能被
整除,
.
18、观察以下各等式：
① tan100 tan 200 tan 200 tan 600 tan 600 tan100 1 ② tan 50 tan100 tan100 tan 750 tan 750 tan 50 1
1 4
， 1 1 1 1 ≥ 4 3 5
1 1 1 1 ，…，由此猜测第 n 个不等式为
3 2 4 6
．（ nN*）
1 (1 1 1 … 1 ) ≥ 1 (1 1 1 … 1 )
n1 3 5
2n 1 n 2 4 6
2n
7. 在 RtABC 中 ， 若 C 90 0 , AC b, BC a, 则 三 角 形 ABC 的 外 接 圆 半 径
16、可以用综合法与分析法---略
17、可以用反证法---略
18、（1）可以用数学归纳法---略
（2）当 n k 1时，左边 (1 1 1 ) ( 1 1 ) k
2
2k 1 2k
2k1 1
（ 1 1 1 ） k 2k 1 k 1=右边，命题正确
2k 2k
2k
(A)假设三内角都不大于 60 度； (C) 假设三内角至多有一个大于 60 度；
(B) 假设三内角都大于 60 度； (D) 假设三内角至多有两个大于 60 度。
5、在十进制中 2004 4100 0101 0102 2103 ，那么在 5 进制中数码 2004 折合成
十进制为 （ ）
B. 254 C. 602
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等
式的特例，则推广的不等式可以是 a mn bmn a mbn a nbm a, b 0, a b, m, n 0
6. 观 察 下 列 不 等 式 ：
1 2
1 ≥
1 1 12
，
1 1 3
1 3
≥
1 1 2 2
17、用数学归纳法证明：
（Ⅰ） 12 22
n2
n(n 1) ；
13 35
(2n 1)(2n 1) 2(2n 1)
20、已知数列{an}满足 Sn＋an＝2n＋1, (1) 写出 a1, a2, a3,并推测 an 的表达式； (2) 用数学归纳法证明所得的结论。（12 分）
第四十一中学高二数学选修 2-2《推理与证明测试题》答案
cos 2 cos 2 1。若把它推广到空间长方体中，试写出相应的命题形式：_____________ （长方体 ABCD A1B1C1D1 中，对角线 A1C 与棱 A1A 、A1B1 、A1D1 所成的角分别为 、 、 ，则 cos2 cos2 cos2 1 ， sin2 sin2 sin2 2 。或是：长方体 ABCD A1B1C1D1 中，对角线 A1C 与 平 面 A1B 、A1C1 、A1D 所 成 的 角 分 别 为 、 、 ， 则 cos2 cos2 cos2 2 ， sin2 sin2 sin2 1 。或是：长方体 A1C 中，对角面 A1ACC1 与平面 A1ABB1 、A1ADD1所成的 二面角分别为 、 ，则 cos2 cos2 1 。）
一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分. DCABB CABBB
二、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分. 11、14
12、
13
、
14、 5 ；
三、解答题：本大题共 6 题，共 58 分。 15、证明：（1） ∵ a2 b2 2ab ,
a2 3 2 3a ,
2
2
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：
sin 2 sin 2 ( 60 ) sin 2 ( 120 ) 3 2
5.考察下列一组不等式： 23 53 22 5 2 52 ,
24 54 23 5 2 53, 24 54 23 5 2 53, 25 55 23 52 22 53 , .
（2）三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方；
（3）斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于 1.
11．通过圆与球的类比，由“半径为 R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值
为 2R2 ．”猜想关于球的相应命题为
．（半径为 R 的球的内接六面体中以正方体的体积
为最大，最大值为 8 3 R3 ） 9
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对你的结论进行证明。
19、 已知数列 an 的前 n 项和为 S n ，且 a1 1, Sn n2an (n N ) ，
（1）试计算 S1, S2 , S3, S4 ，并猜想 S n 的表达式;
(2) 证明你的猜想，并求出 an 的表达式。
9.若 AB 是过二次曲线中心的任一条弦，M 是二次曲线上异于 A、B 的任一点，且 AM、BM 均与
坐标轴不平行，则对于椭圆 x2 a2
y2 b2
1有 K AM
K BM
b2 a2
。类似地，对于双曲线 x2 a2
y2 b2
1有
b2
K AM K BM =
a2
10.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥 的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照 直角三角形以下性质：（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；（2）两条直角边边长的平方 和等于斜边边长的平方；（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于 1．写出直角三棱 锥相应性质（至少一条）：_____________． 答案：(1) 斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一；
“ n k到n k 1”时，左边应增添的式子是
（）
A． 2k 1
B． 2(2k 1)
9、已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明
C． 2k 1 k 1
D． 2k 2 k 1
1 1 1 1 1 2( 1 1 1 ) 时，若已假设 n k(k 2 为偶
234
n 1 n 2 n 4
2k
2k 项
19、可以用数学归纳法---略
20、解：
(1) a1＝ 3 , a2＝ 7 , a3＝ 15 ,
2
4
8
猜测
an＝2－
1 2n
(2) ①由（1）已得当 n＝1 时，命题成立；
②假设 n＝k 时,命题成立，即
ak＝2－
1 2k
,
当 n＝k＋1 时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,
且 a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak
∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2ak＋1＝2＋2－
1 2k
,
ak＋1＝2－
1 2k 1
,
即当 n＝k＋1 时,命题成立.
根据①②得 n∈N+
,
an＝2－
1 2n
都成立
例 2.设在 R 上定义的函数 f (x) ，对任意实数 x 都 有 f (x 2) f (x 1) f (x), 且f (1) lg 3 lg 2, f (2) lg 3 lg 5 ，试求归纳出 f (2001)
b2 3 2 3b ; 将此三式相加得 2 (a2 b2 3) 2ab 2 3a 2 3b , ∴ a2 b2 3 ab 3(a b) .
（2）要证原不等式成立，
只需证（ 6 + 7 ） 2 >（2 2 + 5 ） 2 ， 即证 2 42 2 40成立. 现已知当 n 7 时该命题不成立，那么可推得
A．当 n=6 时该命题不成立
B．当 n=6 时该命题成立
C．当 n=8 时该命题不成立
D．当 n=8 时该命题成立
（）
8、用数学归纳法证明“ (n 1)(n 2)(n n) 2n 1 2 (2n 1) ”（ n N ）时，从
r a 2 b 2 ，把此结论类比到空间，写出类似的结论 2
。（取空间三条侧棱互
相 垂 直 的 四 面 体 ， 三 条 侧 棱 长 分 别 为 a, b, c ， 则 此 三 棱 锥 外 接 球 的 半 径 是
r a 2 b 2 c 2 。） 2
8.已知命题：平面上一矩形 ABCD的对角线 AC 与边 AB 和 AD 所成角分别为 、 ，则
）.
A.“若 a3 b3 ,则 a b ”类推出“若 a 0 b 0,则 a b ”
B.“若 (a b)c ac bc ”类推出“ (a b)c ac bc ”
C.“若 (a b)c ac bc ” 类推出“ a b a b （c≠0）” c cc
D.“（ab）n anbn ” 类推出“（a b）n an bn ”
_________________________.
13、设平面内有ｎ条直线 (n 3) ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一
点．若用 f (n) 表示这ｎ条直线交点的个数，则 f (4) =
；
当ｎ＞４时， f (n) ＝
（用含 n 的数学表达式表示）。
14、求证：(1) a2 b2 3 ab 3(a b) ;
D. 2004
6、利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1= 1 a n2 ， (a≠1，n∈N)”时，在验证 n=1 1 a
成立时，左边应该是 （ ）
(A)1
(B)1＋a
(C)1＋a＋a2
(D)1＋a＋a2＋a3
7、某个命题与正整数 n 有关，如果当 n k(k N ) 时命题成立，那么可推得当 n k 1时