多元函数微分法及其应用完整教学课件

则称 D 是连通的 ;
D
• 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;
• 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如，在平面上
(x, y) x y 0
开区域
(x, y) 1 x2 y2 4
(x, y) x y 0
闭区域
(x, y) 1 x2 y2 4
y
y
y
O
x
y
O 1 2x
O
边界上的点都是聚点也都属于集合．
例如 {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0)既是边界点也是聚点但不属于集合
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
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• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若点集 E E , 则称 E 为闭集；
• 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U (P0 , ) P | PP0 | , P Rn
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
二 、二元函数的定义
设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D，变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称z是变量 x, y的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）。
说明：
n维空间的记号为 Rn;
n维空间中两点间距离公式
设两点为 P( x1, x2 ,, xn ), Q( y1, y2 ,, yn ), | PQ | ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3 时，便为数轴、平面、
空间两点间的距离．
多元函数微分法及其应用 完整教学课件
一、 区域
1. 邻域 点集
例如,在平面上,
PP0 δ 称为点 P0 的 邻域.
U ( P0 , δ ) (x, y)
在空间中,
U ( P0 , ) (x, y, z )
(圆邻域)
(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0).
点 P0 的去心邻域记为
x
z a2 x2 y2.
三、多元函数的极限
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 )是其聚点，如果对于任意给定的正
数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x, y) A | 成立，则称 A 为函数
为二元函数的图形.
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例 描绘下列函数的图形 (1) z=x2 y2 (2) z2 x2 y2
例如, z sin xy 图形如右图.
例如, x2 y2 z2 a2
z
左图球面.
D {(x, y) x2 y2 a2}.
o
y
单值分支: z a2 x2 y2
称P 是E 的聚点.
聚点可以属于E , 也可以不属于E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为E 的导集 .
若点 ，则称
的x0某一个邻域内除点 为点x0集E的孤立点。
外x其0 余各点都不属于E
内点一定是聚点；
边界点可能是聚点；（孤立点是边界点，但不
是聚点）
例如 {( x, y) | x2 y2 1}
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
（6） 二元函数 z f ( x, y)的图形
设函数z f ( x, y)的定义域为 D，对于任意 取定的 P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以 x为横坐标、 y 为纵坐 标、z为竖坐标在空间就确定一点 M( x, y, z)， 当 x,y 取遍 D上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
z f ( x, y)当 x x0， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0
点集D称为函数的定义域，x, y称为自变量，z称为 因变量，数集{z z f (x, y), (x, y) D}称为值域。
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
0 PP0 δ
在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.
。P0
平面上的方邻域为
U (P0,δ ) (x, y)
2. 区域
(1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P :
PE
• 若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
x
O 1 2x
整个平面 是最大的开域 ,
y
也是最大的闭域 ;
点集 (x, y) x 1是开集， 1O 1 x
但非区域 .
• 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 界域 .
（4）n维空间
设 n为取定的一个自然数，我们称 n元数组 ( x1 , x2 ,, xn )的全体为 n维空间，而每个 n元 数组( x1 , x2 ,, xn )称为n维空间中的一个点， 数 xi称为该点的第 i 个坐标.
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则