四边形知识题型总结

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苏教二年级数学-四边形知识点及题型汇总

认识图形一、按要求分一分.1.把下面的图形分成三角形.2.把下面的图形分成两个四边形.3.把下面的图形分成一个三角形、一个四边形.二、在下面的点子图上画一个平行四边形和一个正方形.·········································································································1. 右图中有（）个三角形；有（）个平行四边形.2.下列图形中；是平行四边形的有(填序号）.（1）（2）（3（4）（5）（6）（7）3.按要求在每个图形上画一条线；把它分成两个指定的图形.（1）两个三角形（2）一个三角形和一个五边形（3）两个四边形4.想一想；填一填.摆一个三角形至少要用（）根小棒；摆一个四边形至少要用（）根小棒；摆二个三角形至少要用（）根小棒；摆二个四边形至少要用（）根小棒.5.数一数；下面的图形中有（）个四边形.6.剪一剪.（1）在一张正方形的纸片上剪去一个三角形；有（）种剪法.1、长方形的对边（），四个角都是（）。

四边形题型归纳

A B CD B ()E A BC DE F 2()1()F ED ABC AB CD EF四边形题型归纳题型一：翻折问题（特殊四边形的折叠问题）1、沿特殊四边形的对角线折叠【例1】如图，矩形纸片ABCD ，AB=2， ∠ADB=30°，沿对角线BD 折叠（使△ABD 和△EBD 落在同一平面内），则A 、E 两点间的距离为____________.2、沿特殊四边形的对称轴折叠【例2】如图，已知矩形ABCD 的边AB=2，AB≠BC ，矩形ABCD 的面积为S ，沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，则这个新矩形对角线长为__________.3.使特殊四边形的对角顶点重合折叠【例3】如图，梯形纸片ABCD ， ∠B=60°，AD ∥BC ，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕为AE ，则CE=___________.4.使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠【例4】如图，折叠矩形的一边CD ，使点C 落在AB 上的点F 处，已知AB=10cm ， BC=8cm ，则EC 的长为________.KE FGBDACPQABCDN MEE 'A 'ABC DD 'C 'A BCD E F 5.使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠【例5】如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，将梯形对折，使点D 、C 分别落在AB 上的D ′、C ′处，折痕为EF ，若CD=3cm ，EF=4cm ，则AD ′+BC ′=________cm.6.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(1)【例6】如图，已知EF 为正方形ABCD 的对称轴，将∠A 沿DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 上的G 点处，则∠DKG=_____.7.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(2)【例7】如图，有一块面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边的中点，将C 点折至MN 上，落在点P 的位置，折痕为BQ ，连结PQ.(1)求MP 的长度; ⑵求证：以PQ 为边长的正方形的面积等于13.8.两次不同方式的折叠【例8】如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后AB 与EB 在同一条直线上,则∠CBD 的度数为（）A.大于90°B.等于90°C.小于90°D.不能确定【变式1】在矩形ABCD中AB=4，BC=3，按下列要求折叠，试求出所要求结果（1）如图，把矩形ABCD沿着对角线BD折叠得△EBD，BE交CD于点F，求S△BFD；（2）如图，折叠矩形ABCD，使AD与对角线BD重合，求折痕DE的长；（3）如图，折叠矩形ABCD，使点D与点B重合，求折痕EF的长；（4）如图，E是AD上一点，把矩形ABCD沿着BE折叠，若点A恰好落在CD上的点F处，求AE的长。

中点四边形模型(4种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)

重难点专项突破：中点四边形模型（4种题型）【知识梳理】【考点剖析】题型一、利用中点求长度例1.如图，某花木场有一块四边形ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（）A．20米B．11米C．10米D．9米【答案】A【解析】∵E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 各边的中点，∴EF 、FG 、GH 、HE 分别为△ABC 、△BCD 、△CDA 、△ABD 的中位线， ∴EF ＝12AC ＝112（米），FG ＝12BD ＝92（米），HG ＝12AC ＝112（米）， HE ＝12BD ＝92（米），∴四边形EFGH 总长度＝EF +FG +GH +HE ＝20（米），故选：A ．【变式1】在四边形ABCD 中，8AC BD ==，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则22EG FH +的值为（）A ．18B ．36C ．48D ．64【答案】D【解析】连接EF 、FG 、GH 、EH ，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴11//,//,,22EF AC HG AC EF AC FG BD ==，∴//EF HG ，同理//EH FG ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AC BD =，∴EF FG =，∴平行四边形 EFGH 为菱形， ∴EG FH ⊥，2EG OG =，2FH OH =，()2222222221(2)(2)4448642EG FH OE OH OE OH EH BD ⎛⎫+=+=+==⨯== ⎪⎝⎭故选：D ．【变式2】如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，连结矩形各边中点E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为（）cm ．A ．20B ．C ．D ．25【答案】A 【解析】连接BD ，∵H 、G 是AD 与CD 的中点，∴HG 是△ACD 的中位线， ∴HG=12AC=5cm ，同理EF=5cm ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴根据矩形的对角线相等，即BD=AC=10cm ， ∵H 、E 是AD 与AB 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线， ∴EH=12BD=5cm ，同理FG=5cm ，∴四边形EFGH 的周长为20cm ．故选A ．【变式3】如图，点O 为四边形ABCD 内任意一点，E ，F ，G ，H 分别为OA ，OB ，OC ，OD 的中点，则四边形EFGH 的周长为（）A ．9B ．12C ．18D ．不能确定【答案】C【解析】∵E ，F 分别为OA ，OB 的中点，∴EF 是△AOB 的中位线，∴EF=12AB=3，同理可得：FG=12BC=5，HG=12DC=6，EH=12AD=4，∴四边形EFGH 的周长为=3+5+6+4=18，故选C ．题型二、利用中点求面积例2.如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，若△EFG 的面积为4，则四边形ABCD 的面积为（）A ．8B ．12C ．16D ．18【答案】C【解析】记△BEF ,△DGH ,△CFG ,△AEH 的面积分别为1234,,,S S S S ，四边形ABCD 的面积为S .连接AC .∵BF =CF ，BE =AE ，CG =DG ，AH =DH ，∴EF ∥AC ,1,2EF AC =GH ∥AC ,12GH AC =，∴EF ∥GH ，EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴S 平行四边形EFGH =2S △EFG =8，∵△BEF ∽△BAC ，∴11,4S S ABC =同理可得214S S ACD ，= ∴1211()44ABC ACD S S S S S +=+=，同法可得3414S S S +=，∴123412S S S S S ，+++= ∴S 四边形EFGH =12S ， ∴S =2S 四边形EFGH =16.故选C.【变式1】定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点作为和美四边形的中心．（1）写出一种你学过的和美四边形______；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是（） A ．矩形 B ，菱形 C ．正方形 D ．无法确定（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，连接OE OF OG 、、OH 、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若4,2,5AB BC CD ===,求AD 的长．【答案】（1）正方形；（2）A ；（3）S 1+S 3=S 2+S 4；（4 【解析】（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形，如图，四边形ACBD 中，对角线AB ⊥CD ，即为“和美四边形”，点E 、F 、G 、H 分别是AC 、AD 、BD 、BC 的中点， ∴EF ∥CD ∥HG ，且EF=HG=12CD ，EH ∥FG ∥AB ，且EH=FG=12AB ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AB ⊥CD ，∴EF ⊥EH ，∴平行四边形EFGH 是矩形；故选：A ．（3）连接AC 和BD ，由和美四边形的定义可知，AC ⊥BD ，则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，又E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴△AOE 的面积=△BOE 的面积，△BOF 的面积=△COF 的面积，△COG 的面积=△DOG 的面积，△DOH 的面积=△AOH 的面积，∴S 1+S 3=△AOE 的面积+△COF 的面积+△COG 的面积+△AOH 的面积=S 2+S 4；（4）如图，连接AC 、BD 交于点O ，则AC ⊥BD ， ∵在Rt △AOB 中，AO 2=AB 2-BO 2，Rt △DOC 中，DO 2=DC 2-CO 2，AB=4，BC=2，CD=5，∴可得AD 2=AO 2+DO 2=AB 2-BO 2+DC 2-CO 2=AB 2+DC 2-BC 2=42+52-22=37，即可得AD =．【变式2】如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，6BD =，E ，F ，G ，H 分别是四边的中点，则四边形EFGH 的面积为__________．【答案】12【解析】∵点E 、F 分别为边AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC ， ∵AC=8，∴EF=4，同理，HE ∥BD ，HE=1BD 32=， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∵EH ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EH ⊥AC ，∵EF ∥AC ，∴EF ⊥HE ，∴四边形EFGH 是矩形， ∴矩形EFGH 的面积=HE ×EF=12．故答案为：12．题型三、找规律问题例3.如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A 、1B 、1C 、1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ，再取各边中点2A 、2B 、2C 、2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ，……，依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为（）A ．162n−B ．182n − C ．412n −−D ．不确定【答案】B【解析】∵四边形A 1B 1C 1D 1的四个顶点A 1、B 1、C 1、D 1分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴A 1B 1∥AC ，A 1B 112=AC ，∴△BA 1B 1∽△BAC ．∴△BA 1B 1和△BAC 的面积比是相似比的平方，即14．即1114BA B S=S △ABC ，同理可证：1114DD C S =S △ADC ， 1114AD A S =S △ABD ，S △CB 1C 114=S △BDC ，∴111112A B C D S =四边形S 四边形ABCD ，同法可证2222111112A B C D A B C D S S =四边形四边形，又四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝4，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积是16．∴四边形A n B n ∁n D n 的面积116822n n −==．故选：B ．【变式1】如图1，1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC BD ⊥，6AC =，10BD =．（1）试判断四边形1111D C B A 的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取11A B ，11B C ，11C D ，11D A 的中点2A ，2B ，2C ，2D ，再依次取22A B ，22B C ，22C D ，22D A 的中点3A ，3B ，3C，3D ……以此类推，取11n n A B −−，11n n B C −−，11n n C D −−，11n n D A −−的中点n A ，n B ，n C ，n D ，根据信息填空：①四边形1111D C B A 的面积是__________； ②若四边形n n n n A B C D 的面积为1516，则n =________； ③试用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积___________．【答案】（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n − 【解析】（1）四边形1111D C B A 是矩形，证明：∵1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点， ∴11A B AC ，11C D AC ，∴1111A B C D ，同理可得1111A D B C ∥，∴四边形1111D C B A 是平行四边形，又∵AC BD ⊥，易得1111A B B C ⊥，∴四边形1111D C B A 是矩形；（2）①由题意可知：A 1B 1=12AC=3，A 1D 1=12BD=5，四边形1111D C B A 的面积=3×5=15；②由构图过程可得：A 2D 2=B 2C 2=12B 1D 1=12C 2D 2=B 2A 2=12A 1C 1=12可知四边形2222A B C D 为菱形，∴2222A B C D S =222212A C B D ⨯=111112A B B C ⨯=152；同理可求：3333A B C D S =154，4444A B C D S =158，…，n n n n A B C D S =1152n −，故当四边形n n n n A B C D 的面积为1516时，1152n −=1516，解得：n=5；③由②可知：用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积为1152n −.故答案为：（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n −题型四、中点综合问题例4.通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，已学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有密切的联系，最近方程家族的《一元二次方程》我们也学习了它的求解方法和应用。

初二数学平行四边形7大常见题型+知识点+误区

初二数学平行四边形7大常见题型+知识点+误区平行四边形是初二数学必考内容，甚至于中考卷里也时常出现它的身影，而且所占分值还不少。

为此，特意给大家整理了初二数学下册必考之【平行四边形】，7大常见题型+知识点+误区！平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

表示：平行四边形用符号“□”来表示。

平行四边形性质：平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分平行四边形的面积等于底和高的积，即S□ABCD=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。

平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积。

7大常见题型分析（1）利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长等例题1：如图，E、F在ABCD的对角线AC上，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=54°，求∠ADE的度数分析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此可以得到DE=AE=EF=CD，多条线段相等，可设最小的角为x，即设∠EAD=∠ADE=x，根据外角等于不相邻的内角和，得到∠DEC=∠DCE=2x，由平行四边形的性质得出∠DCE=∠BCD-∠BCA=54°-x，得出方程，解方程即可。

例题2：如图，已知四边形ABCD和四边形ADEF均为平行四边形，点B，C，F，E在同一直线上，AF交CD于O，若BC=10，AO=FO，求CE的长。

分析：根据平行四边形的性质得出AD=BC=EF，AD∥BE，从而得到∠DAO=∠CFO，再加上对顶角相等，可以得到△AOD≌△FOC，根据全等三角形的性质得到AD=CF，即AD=BC=EF=CF，从而得到线段CE的长度。

(完整版)四边形知识点总结(已整理)

四边形知识点总结6．等腰梯形的性质：因为ABCD 是等腰梯形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321）对角线相等（；）同一底上的底角相等（两底平行，两腰相等；）（等腰梯形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+++对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等）梯形（321⇒ABCD 是等腰梯形 7．三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. 注：被中位线分成的三角形的周长是原三角形的1/2 被中位线分成的三角形的面积是原三角形的1/48．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 注：梯形的面积等于中位线乘高.第二部分、常用的辅助线技巧1.平行四边形与特殊的平行四边形常见的辅助线：①.平行四边形:（1）连对角线或平移对角线（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 ②.菱形：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.注意：当菱形有一个内角为60°或有一条高垂直平分底边时连接对角线即可得到等边三角形。

③．矩形：计算题型（翻折问题），一般通过作辅助线（垂线等）构造直角三角形借助勾股定理解题证明题型（探究问题），一般连接对角线借助对角线相等来解决问题注意：当矩形的对角线与一边（或另一条对角线）的夹角为60°时，其对角线与边长围成的三角形是等边三角形。

④．正方形：连接对角线 2．梯形中常见的辅助线：①．延长两腰交于一点（使梯形问题转化为三角形问题。

若是等腰梯形则得到等腰三角形。

）②．平移一腰（使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。

）③．作高（使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。

）④.平移一条对角线(得到平行四边形ACED ，使CE=AD ，BE 等于上、下底的和，S 梯形ABCD =S DBE ）⑤.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。

（可得△ADE ≌△FCE ，所以使S 梯形ABCD =S △ABF .）。

(完整版)八年级下四边形知识点经典题型要点总结

朔州市文曲星教育文化培训中心中考四边形与三角形复习要求是，能运用这些图形进行镶嵌，你必须会计算特殊的初中数学四边形，能根据图形的条件把四边形面积等分。

能够对初中数学特殊四边形的判定方法与联系深刻理解。

掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和常用判别方法，特别是梯形添加辅助线的常用方法．掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用。

会画出四边形全等变换后的图形，会结合相关的知识解题．结合几何中的其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力·（一）、平行四边形的定义、性质及判定．1：两组对边平行的四边形是平行四边形．2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4·对称性：平行四边形是中心对称图形．（二）、矩形的定义、性质及判定．1-定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2·性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3.判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形：(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形．4·对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形．（三）、菱形的定义、性质及判定．1·定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(1)菱形的四条边都相等；。

(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形．(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：s 菱=争6(n、6 分别为对角线长)．3．判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．4．对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形．（四）、正方形定义、性质及判定．'1．定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；(4)正方形的对角线与边的夹角是45。

平行四边形知识点归纳和题型归类

平行四边形知识点归纳和题型归类平行四边形知识点归纳和题型归类要点梳理】要点一、平行四边形1.定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.性质：（1）对边相等；（2）同位角相等；（3）相邻角互补；（4）是中心对称图形。

3.面积：S = 底 ×高。

4.判定：边：（1）有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）对边相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

角：（4）有一组对边平行，且同位角相等的四边形是平行四边形。

对角线：有一组对边相等，且互相平分的四边形是平行四边形。

要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等。

要点二、矩形1.定义：有四个角都是直角的平行四边形叫做矩形。

2.性质：（1）对边相等；（2）相邻角互补；（3）对角线相等；（4）是中心对称图形，也是轴对称图形。

3.面积：S = 长 ×宽。

4.判定：有四个角都是直角的平行四边形是矩形。

要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。

要点三、菱形1.定义：有四个边都相等的平行四边形叫做菱形。

2.性质：（1）对边相等；（2）相邻角互补；（3）对角线相等；（4）是中心对称图形，也是轴对称图形。

3.面积：S = 对角线之积的一半。

4.判定：有一组对边平行且相等的四边形是菱形。

要点四、正方形1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的平行四边形叫做正方形。

2.性质：（1）对边相等；（2）相邻角互补；（3）对角线相等；（4）是中心对称图形，也是轴对称图形；（5）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

3.面积：S = 边长的平方，也可以用对角线的平方的一半求解。

4.判定：（1）有一组对边平行且相等的菱形是正方形；（2）有四个角都是直角的矩形是正方形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（4）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。

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为四边形两组对边平行一个内角R t∠一个内角为Rt∠, 一组邻边相等一组邻边相等一组对边平行且另一组对边不平行一个内角为Rt∠一组邻边相等四边形知识与题型总结一.本章知识要求和结构1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的内在关系.（1）演变关系图：（2）从属关系（依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表一种图形）2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算.名称平行四边形矩形菱形正方形定义的四边形是平行四边形的平行四边形是矩形的平行四边形是菱形的平行四边形是正方形性质边角对角线判定边角对角线面积周长图2FE D CBA 图1FED CBA3. （1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积.如图1， ABCD S=BC·AE=CD·BF（2）同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2，ABCD S=BCFES4.三角形中位线定理定义: 叫做三角形中位线（与中线的区分）; 定理: 作用:可以证明两条直线平行;线段的相等或倍分.拓展:三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的和 ; （4）直角三角形的性质定理: 直角三角形斜边上的中线60︒60︒A DCB FE30︒60︒60︒5.正方形：（1）对角线：若正方形的边长为a，则对角线的长为2a;正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等（3）面积：正方形的面积等于边长的平方; 等于两条对角线的乘积的一半.周长相等的四边形中，正方形的面积最大.6. ※梯形的中位线（1）定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线（2）梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半. （3）梯形的面积S=12×（上底+下底）×高=中位线×高7.几种特殊四边形的对角线①矩形对角线交角为60︒(120︒)时,可得：等边三角形和含30︒角直角三角形（①图）②菱形有一个角为60︒时, 可得：③正方形中可得：含30︒角的四个全等直角三角形四大四小等腰直角三角形（②图）（③图）④对角线互相垂直的梯形, ⑤对角线互相垂直的等腰梯形平移腰可得：双垂图可得：等腰直角三角形（④图）（⑤图）CFBE D A CBEA FD 8. 中点四边形: （顶点为各边的中点，需讨论对角线&中位线） (1) 顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形是_______________ (2) 顺次连结对角线相等的四边形的各边中点, 构成的四边形是__________ (3) 顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是_______ (4) 顺次连结平行四边形各边中点构成的四边形是_________ 顺次连结矩形各边中点构成的四边形是_________ 顺次连结菱形各边中点构成的四边形是_________ 顺次连结直角梯形各边中点构成的四边形是__________ 顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是__________二．典型题型归纳（一）概念题1．ABCD 中，∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段，则ABCD 的周长为． 2．在ABCD 中，∠C=60º,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F ．（1）则∠EDF= ；（2）如图，若AE=4，CF=7，则ABCD 周长= ; (3) 若AE=3，CF=7，请作出对应图形，并求ABCD 周长． 3．(1)在平行四边形ABCD 中，若∠C=∠B+∠D ，则∠A= . (2)已知在ABCD ,∠A 比∠B 小20º，则∠C 的度数是． (3)在ABCD 中，周长为100cm ，AB-BC=20cm ，则AB= , BC= . （4）在A B C D 中，周长为30cm ，且AB ：BC=3：2，则AB= cm. （5）（2007河北省）如图，若□ABCD 与□EBCF 关于BC 所在直线对称，∠ABE ＝90°，则∠F ＝ °．4．（2007福建福州）下列命题中，错误的是（）A ．矩形的对角线互相平分且相等B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．等腰梯形的两条对角线相等D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等AB C D 5.（2007浙江义乌）在下列命题中，正确的是（）A ．一组对边平行的四边形是平行四边形B ．有一个角是直角的四边形是矩形C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 6.（2007甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得四边形一定是 ( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形 7.（2007四川眉山）下列命题中的假命题是( ) A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B ．一组邻边相等的矩形是正方形C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 8.（2007四川成都）下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 9.（2007浙江嘉兴）如图，在菱形ABCD 中，不一定成立的（）Ａ．ABCD Ｂ．AC ⊥BD Ｃ．等边△ABD Ｄ．∠CAB ＝∠CAD（二）图形的性质和判定方法10．如图，已知四边形ABCD 是正方形，分别过A 、C 两点作1//2，作BM ⊥2于M ，DN ⊥2于N ，直线MB 、ND 分别交1、2于Q 、P ，试判断四边形PQMN 的形状．11．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为正方形边上的点，而且AE=BF=CG=DH ，求证：四边形EFGH 为正方形．l 2l 1QB A M N D CPE H G FD C B A12．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 边上一点， AE=AB ，AB=2AD ，求∠EBC 的度数（三）转化的思想——将梯形问题通过化归、分割、拼接转化成三角形和平行四边形问题. 如图所示：13．填空（1）等腰梯形上底长为3cm ，腰长为4cm ，其中锐角等于60º，则下底长是．（2）等腰梯形一个底角是60º，它的上、下底分别是8和18，则这梯形的腰长是，高是，面积是．（3）在直角梯形中，垂直于底的腰长5cm ，上底长3cm ，另一腰与下底的夹角为30º，则另一腰长为，下底长为．（4）等腰梯形两对角线互相垂直，一条对角线长为6，则高为，面积为．（5）已知在梯形ABCD 中，AD//BC ，若两底AD 、BC 的长分别为2、8，两条对角线BD=6，AC=8，则梯形的面积为．ECD AB（四）推理论证的进一步巩固14．（2007恩施自治州）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,E 、F 是直线AC 上的两点，并且AE=CF,求证：四边形BFDE 是平行四边形.15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是直线AB 、CD 的中点，AF 、DE 相交于点G ，CE 、BF 交于点H ．求证：四边形GEHF 是平行四边形.16．平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、AD 上，且AF=CE ，,求证：四边形AECF 是平行四边形.17．求证：正方形的两条对角线将之分成四个全等的等腰直角三角形．H GF A DBCEFA DB C EG E D H C FB 黄蓝紫橙红绿 A18．已知点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，（1）若BE=CF ，如图13(1)．求证：AE=BF 并且AE ⊥BF ；（2）若E 、F 分别是BC 、EF 的中点，如图13(2)，求证：GD=AD ．19．（2007浙江金华）国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥，那么下列说法中错误的是（） A ．红花、绿花种植面积一定相等 B ．紫花、橙花种植面积一定相等C ．红花、蓝花种植面积一定相等D ．蓝花、黄花种植面积一定相等20.（06盐城）已知ABCD 的面积为4，对角线交于O ，则S △AOB = ．GF E DC B A A B C DE F GE FAB C21.若A,B,C 三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个22.平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线a 的取值范围是（）A.4<a <16B.4<a <26C. 12<a <20D.8<a <3223.平行四边形中一边长为10cm ，那么两条对角线的长度可以是（） A ．4cm 和6cm B ．6cm 和8cm C ．8cm 和12cm D ．20cm 和30cm24.（07北京市23）如图，已知ABC △．(1)请你在BC 边上分别取两点D E ，（BC 的中点除外），连结AD AE ，，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；(2)请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB AC AD AE +>+．25．如图已知ABC △，过顶点A 作∠B 、∠C 的平分线的垂线，AD ⊥BD 于D ，AE ⊥CE 于E ．求证：ED//BC ．26．如图，已知BD 、CE 是⊿ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．AB C求证：（1）EM=DM；（2）MN⊥DE．27．（1）如图27(1)，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．①若∠EAF=45º．求证：EF=BE+DF．②若⊿AEF绕A点旋转，保持∠EAF=45º，问⊿CEF的周长是否随⊿AEF位置的变化而变化？（2）如图27(2)，已知正方形ABCD的边长为1，BC、CD上各有一点E、F，如果⊿CEF的周长为2．求∠EAF的度数．（3）如图27(3)，已知正方形ABCD，F为BC中点E为CD边上一点，且满足∠BAF=∠FAE ．FED CBA图27(1)FED CB A图27（2）yx A 1O A B C 求证：AE=BC+CE ．（五）知识的联系与综合28．已知ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标为(-2,3),(-5,-4),(1,-4)，则D 点坐标为 29. 如图，已知ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为(-2,3)，则点C 的坐标为（）A 、(-3,2)B 、(-2,-3)C 、(3,-2)D 、(2,-3)第32题图 30．如图，两平面镜αβ、的夹角为θ，入射光线AO 平行于β入射到α，两次反射后的光线O`B 平行于α，则角θ等于．31．已知矩形的对角线长为13，周长为34，则这个矩形的面积为． 32.（05,潍坊）如图,在直角坐标系中,将长方形OABC 沿OB 对折,使点A 落在A 1处,已知OA=3,A B=1,则点A 1的坐标是（） A.（33,22） B.（3,32） C.（33,22） D.（13,22）（六）面积的问题：各种四边形面积的求法和等积变换O DCB A yx 第29题图 θBA OO 'βα第30题图第35题图 K N M Q P D C B A 33．如图，E 为ABCD 边CD 上一点，ABCD 的面积为S ，则△ABE 的面积为（） A 、S B 、12S C 、13S D 、14S34．如图，在ABCD 中，AD ⊥BD ，∠A=12∠ABC ，如果AD=2，那么ABCD 的周长是，面积是． 35．如图，在矩形ABCD 中，过BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 和PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1 S 2 (填“>”、“=”或“<”)36．如图，在ABCD 中，点P 在BC 上，PQ ∥BD 交CD 与Q ，则图中和△ABP 面积相等的三角形有个，它们分别是: ． 37．如图，E 是平行四边形ABCD 的边AB 延长线上一点，DE 交BC 于F ．求证：ABF EFC S S ∆∆=38．如图，点E 、F 分别在ABCD 的边DC 、CB 上，且AE=AF ，DG ⊥AF ，BH ⊥AE ，G 、H 是垂足．求证：DG=BH ． EDCBA 第33题图CDBA第34题图Q PD C B A 第36题图EBFCDA 第37题图 FGHE C BD A第38题图第39题图 2第39题图1（七）运动变换的思想在本章中的应用．39．（希望杯第9届初二第二试）已知ABCD 的周长为52，自顶点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，E 、F 为垂足，若DE=5，DF=8，求BE+BF 的值．40．在矩形ABCD 中，AB=3,AD=4,P 是AD 边上的动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF= ．41．（1）如图41(1)(2)，已知⊿ABD,⊿BCE,⊿ACF 是等边三角形，求证：四边形ADEF 是平行四边形. DAFE第40题图O F EP D C B A 第40题图O F EP D CB AEF CB A D图42（4）图41（3） D AB CFE(2)如图41(3)，已知⊿ABC,以AB 、AC 为边分别作等边三角形⊿ABD,⊿ACF ，再以AD 、AF 为邻边作平行四边形ADEF ，求证：三角形BCE 是等边三角形.（3）如图41(4)，已知⊿ABD,⊿BCE 是等边三角形，A,F 是CE ，EB 上一点，且CA=EB ，求证：四边形ADFC 是平行四边形.42、（2007浙江台州）把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．图41（2） D A B CFE43、（2007江苏扬州）如图，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转n 后得到正方形AEFG ，边EF 与CD 交于点O ．（1）以图中已标字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且互相垂直．．．．．．．，并说明这两条线段互相垂直的理由；（2）若正方形的边长为2cm ，重叠部分（四边形AEOD ）的面积为243cm 3，求旋转的角度n ．44．（2007甘肃陇南）四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．（1）求证：AE =CG ；DC ABGHFE 第42题图DC ABGHF E第42题图第44题图G DOC F EBA第43题图NMA B CDEF（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．45．（2007淄博）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明．46.（05，青岛）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点. ⑴求证：△ABM ≌△DCM;⑵四边形MENF 是什么图形？请证明你的结论； ⑶若四边形MENF 是正方形，则梯形的高与底边 BC 有何数量关系？并请说明理由.47．（2007四川资阳）如图47(1)，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一A B C DM N E 第45题图第47题图2第47题图1点(不与A 、C 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F . (1) 求证：BP =DP ；(2) 如图47(2)，若四边形PECF 绕点C 旋转，在旋转过程中是否总有BP =DP ？若是，请证明之；若不是，请举出反例； (3) 试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在旋转的过程中长度始终相等，并证明之.（八）函数的思想在本章中的运用OA ''B ''C ''D ''E ''F ''G 'T 'TOOyxxy(1)(2)(3)GA 'B 'C 'D 'E 'F E BA CD 48、（2007南充改编）等腰梯形ABCD 中，AB ＝15，AD ＝20，∠C ＝30º． M 、N 同时以相同速度分别从点A 、点D 开始在AB 、AD （包括端点）上运动．（1）设ND 为x ，用x 表示出点N 到AB 的距离，并写出x 的取值范围．（2）设t=10-x ,用t 表示△AMN 的面积．（3）求△AMN 的面积的最大值，并判断取最大值时△AMN 的形状．49．（2006泰州）将一矩形纸片OABC 放在直角坐标系中，O 为原点， C 在x 轴上，OA=6，OC=10.（1）如图1，在OA 上取一点E ，将△EOC 沿EC 折叠，使O 点落在AB 边上的D 点，求E 点的坐标；（2）如图2，在OA ′、OC ′边上选取适当的点E ′、F ，将△E ′OF 沿E ′F 折叠，使O 点落在A ′B ′ 边上的D ′点，过D ′作D 'G//A ′O 交E ′F 于T 点，交OC ′于G 点，求证：TG=A ′E ′.（3）在（2）的条件下，设T （x ，y ），探求：y 与x 之间的函数关系式.并指出变量x 的取值范围.（4）如图3，如果将矩形OABC 变为平行四边形OA ＂B ＂C ＂，使OC ＂=10， OC ＂边上的高等于6，其他条件均不变，探求：这时T （x ，y ）的坐标y 与 x 之间是否仍然满足（3）中所得的函数关系，若满足，请证明之；若不满足，写出你认为正确的函数关系式.A D CB M ND C B M N A P第50题图2()1()F ED ABC ABCDEFG FE C ()DCBA 50.（08通州22改编）如图，在ABCD 中，AB=8 cm ，AD=6 cm ，∠DAB=60°，点M 是边AD 上一点，且DM=2 cm ，点E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，EM 、CD 的延长线交于G ，GF 交AD 于O ，设AE=CF=x ， ⑴试用含x 的代数式表示△CGF 的面积； ⑵当GF ⊥AD 时，求AE 的值.（九）翻折问题（特殊四边形的折叠问题）51.沿特殊四边形的对角线折叠（06.浙江嘉兴）如图，矩形纸片ABCD ，AB=2， ∠ADB=30°，沿对角线BD 折叠（使△ABD 和△EBD 落在同一平面内），则A 、E 两点间的距离为____________.第51题图第52题图ABC DE F D 'C 'A BCD E F A B CD B ()E52.沿特殊四边形的对称轴折叠如图，已知矩形ABCD 的边AB=2，AB ≠BC ，矩形ABCD 的面积为S ，沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，则这个新矩形对角线长为__________.53.使特殊四边形的对角顶点重合折叠（05，山东威海）如图，梯形纸片ABCD ， ∠B=60°，AD ∥BC ，AB=AD=2， BC=6，将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕为AE ，则CE=___________.第53题图第54题图第55题图54.使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠如图，折叠矩形的一边CD ，使点C 落在AB 上的点F 处，已知AB=10cm ， BC=8cm ，则EC 的长为________.55.使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠（崇文）如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，将梯形对折，使点D 、C 分别落在AB 上的D ′、C ′处，折痕为EF ，若CD=3cm ，EF=4cm ，则AD ′+BC ′=________cm.KEFGBD A CP QA BCD N M56.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(1)如图，已知EF 为正方形ABCD 的对称轴，将∠A 沿DK 折叠，使它的顶点A落在EF 上的G 点处，则∠DKG=_____.第56题图第57题图57.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(2)如图，有一块面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边的中点，将C 点折至MN 上，落在点P 的位置，折痕为BQ ，连结PQ. (1)求MP 的长度; ⑵求证：以PQ 为边长的正方形的面积等于13.EE 'A 'A BCD58.两次不同方式的折叠（06.淄博市）如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后AB 与EB 在同一条直线上, 则∠CBD 的度数为（）A.大于90°B.等于90°C.小于90°D.不能确定 59.三次不同方式的折叠（03，山西）如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下: 第一步:先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图①;第二步:再把B 点叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为B ′，得Rt △AB ′E ，如图②;第三步:沿EB ′线折叠得折痕EF ，如图④. 利用展开图③探究: ⑴△AEF 是什么三角形?证明你的结论;⑵ 对于任意的矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形? 并证明之.(4)(3)(2)P B '⑴AB 'C DEB 'E AB C DN M N C C AB ADN EFD ENFQ PCBAD图2图1ABCD（十）动手操作实践60.（2007湖南怀化）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请画出所有可能四边形并写出的它的名称61.（05枣庄,9分）如图1,四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥DC,由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形. （1）求出梯形ABCD 四个内角的度数;（2）试探究梯形ABCD 四条边之间存在的等量关系,并证明之; （3）现有图1 中的等腰梯形若干个,利用它们你能拼出一个菱形吗?62.（06.宁波）如图,剪四刀把等腰直角三角形分成五块,请用这五块拼成一个平行四边形或梯形（请按1：1的比例画出所拼的图形）第62题图第63题图（十一）动点问题63.如图所示,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B 以2cm/s的速度移动, 点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t表示运动的时间（0≤t≤6）,那么:（1）当t为何值时,△QAP为等腰三角形?（2）求四边形QAPC的面积;提出一个与计算结果有关的结论.yxO (A)B CD64.如图，矩形ABCD 的边AC 在x 轴上，点A 在原点，AB=3，AD=5.若矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向运动，同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A-B-C-D 的路线运动，当P 点运动到D 点时停止运动，矩形ABCD 也停止运动.（1）求P 点从A 点运动到D 点所需的时间；（2）设P 点运动时间为t （秒）；①当t=5时，求出点P 的坐标；②若△OAP 的面积为S ，试求S 与t 之间的函数关系式. （并写出相应的自变量t 的取值范围）.(1)(2)(3)FE CBACBACBA（十二）开放探究65.（2005 资阳）如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图1矩形ABEF 即为△ABC 的“友好矩形”.显然，当△ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形′只有一个. (1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”. (2)如图2，若△ABC 为直角三角形，且∠C=90°，在图2中画出△ABC 的所有“友好矩形” ，并比较这些矩形面积的大小.(3)若△ABC 是锐角三角形，且BC>AC>AB ，在图3中画出△ABC 的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并证明之.。