动力学平均场理论的发展及其应用
动力学平均场理论的发展及其应用
Issue-1: 关联效应的动量 k 依赖 动量空间各项异性的起源：正方晶格对称性
Kotliar 2006
低维电子系统
CDMFT、DCA、DGA， dual fermion DMFT Rubtsov 2008 DMFT+FRG Taranto 2015
DFG Forschergruppe 1346 Dynamical Mean-Field Approach with Predictive Power for Strongly Correlated Materials 15-19 September 2014, Forschungszentrum Jülich
压缩率κ、磁化率χ、比热 可以由微分得到。
CV
电子密度n 能量E
光电导
热电势Q
热力学巨势Ω
DMFT 的扩展
团簇DMFT —— D=∞ D=2, 1
晶格模型 有效团簇模型 部分 k-分辩的自能
求解团簇模型，自洽计算
开放边界条件
Cellular DMFT
G. Kotliar, et al, PRL 87, 186401 (2001).
团簇
周期边界条件 Dynamical Cluster Approximation
M. H. Hettler et al, PRB 58, 7475 (1998).
LDA ＋ DMFT —— 实际材料的电子结构
给定晶体的电子哈密顿量
LDA Hamiltonian
K. Held, Adv. Phys. 56, 829 (2007).
格点 Hamiltonian 等效外场（环境） 杂质格点： 通过自洽 方程间接 耦合
动力学的历史与发展
动力学的历史与发展在我们生活的这个世界中，从微观粒子的运动到宏观天体的运行，从简单的机械装置到复杂的生物系统，一切物体的运动都遵循着一定的规律。
而研究这些运动规律的学科，就是动力学。
动力学作为物理学的一个重要分支，其历史源远流长，并且在不断的发展和完善中，为人类认识世界和改造世界提供了强大的理论支持。
早在古希腊时期，哲学家们就开始对物体的运动进行思考和探讨。
亚里士多德是其中的代表人物之一，他提出了一些关于物体运动的观点，例如物体下落的速度与其重量成正比。
然而，这些观点在后来被证明是错误的。
直到 17 世纪，意大利科学家伽利略通过一系列的实验和观察，对亚里士多德的观点提出了质疑。
他发现，在没有空气阻力的情况下，物体下落的速度与重量无关。
伽利略的工作为动力学的发展奠定了重要的基础。
而真正将动力学推向一个新高度的是英国科学家牛顿。
牛顿在其巨著《自然哲学的数学原理》中，提出了著名的牛顿运动定律。
第一定律指出，任何物体都要保持匀速直线运动或静止的状态，直到外力迫使它改变运动状态为止；第二定律表明，物体的加速度与作用在它上面的力成正比，与物体的质量成反比；第三定律则阐述了作用力与反作用力大小相等、方向相反。
牛顿运动定律的提出，使得人们能够精确地描述和预测物体的运动，成为了动力学发展的里程碑。
在牛顿之后，动力学在各个领域得到了广泛的应用和发展。
在天文学领域，科学家们利用动力学原理来研究天体的运动。
例如，通过对行星运动的观测和分析，人们发现了海王星的存在。
在工程领域，动力学的知识被用于设计各种机械和结构，以确保其稳定性和可靠性。
19 世纪，热力学和电磁学的发展也为动力学带来了新的视角。
热力学中的能量守恒定律与动力学中的机械能守恒定律相互补充，使得人们对能量的转化和守恒有了更全面的认识。
而麦克斯韦方程组的建立，则将电磁现象与动力学联系起来，为研究带电粒子的运动提供了理论基础。
进入 20 世纪，相对论和量子力学的出现给动力学带来了革命性的变革。
dmft方法 -回复
dmft方法-回复DMFT方法，全称为Dynamical Mean-Field Theory（动力平均场理论），是一种用于研究强关联电子系统的计算方法。
DMFT方法的提出与发展，为理解和解析复杂材料的物理性质提供了强有力的工具。
本文将一步一步回答有关DMFT方法的问题，详细介绍其原理、应用和发展。
一、什么是动力平均场理论（DMFT）？动力平均场理论是一种用于研究强关联系统的计算方法，它将原本复杂的电子系统转化为一个等效的单个电子在平均场下运动的问题。
该理论通过将决定电子系统行为的动力学效应纳入到平均场近似中，从而能较好地描述强关联电子体系中的物理现象。
二、DMFT方法的原理是什么？1. 平均场近似：DMFT方法的核心思想是将电子系统的相互作用效应平均对待，将其视为一个等效的平均场作用，因此DMFT方法着重研究无穷维强关联系统。
平均场近似的优势在于简化了计算，并能较好地描述电子系统的平均行为。
2. 动力学效应的引入：在传统的平均场理论中，电子系统被认为是静态的，忽略了时间演化的影响。
而DMFT方法通过引入动力学效应，将系统的非平衡、动态行为考虑在内。
这种引入动力学效应的方法是通过解决与一个介质相互作用的单个格林函数的方程来实现的。
3. 图像创建：DMFT方法将原子物理问题视为晶格中某个特定原子与其余部分的相互作用问题。
在这个基础上，构建了在图像中生成原子耦合格林函数的表达式，并通过动力学平均场近似来简化这些表达式。
三、DMFT方法的应用有哪些？DMFT方法的应用范围涵盖了许多强关联电子系统、包括金属-绝缘体转变、磁性、超导、电荷密度波等性质。
以下是该方法在几个具体领域的应用示例：1. 金属-绝缘体转变：DMFT方法可以用来研究金属-绝缘体转变，通过计算格林函数和自能来描述电子的强关联效应。
这有助于理解金属和绝缘体的不同电子行为和导电性质。
2. 磁性：DMFT方法对磁性现象的研究也取得了重要进展。
例如，通过考虑自旋自洽近似和Hubbard模型，可以揭示出某些金属中的磁性行为。
动力学平均场
动力学平均场动力学平均场是一种用于描述大规模复杂系统行为的理论方法。
它基于统计物理学中的平均场理论，将系统中的每个个体视为相互作用的单元，并假设每个个体的行为仅受到平均场的影响。
通过对整个系统进行平均处理，动力学平均场可以有效地描述系统的宏观行为。
在动力学平均场中，个体之间的相互作用被视为平均场的外部影响。
这些相互作用可以是物理上的相互作用，也可以是信息传递或认知影响等非物理因素。
通过对这些相互作用进行平均处理，可以得到系统的平均行为，并预测系统的动力学演化。
动力学平均场的应用非常广泛，涵盖了许多不同领域。
在生物学中，动力学平均场可以用于研究群体行为、神经网络和生物化学反应等。
在社会科学中，动力学平均场可以用于研究群体行为、市场竞争和社会网络等。
在物理学和化学中，动力学平均场可以用于研究相变、化学反应和自组织等。
动力学平均场的基本思想是将系统分解为许多个体，并假设每个个体的行为仅受到平均场的影响。
具体而言，动力学平均场将系统的状态表示为每个个体的状态的集合，并假设每个个体的状态变化仅依赖于平均场和个体自身的状态。
通过对每个个体的状态进行平均处理，可以得到系统的平均状态，并预测系统的演化。
动力学平均场的关键是建立个体之间的相互作用和个体自身的状态变化之间的关系。
这可以通过数学模型和计算方法来实现。
常用的动力学平均场模型包括Ising模型、Hopfield模型和Kuramoto模型等。
这些模型可以描述不同类型的相互作用和状态变化，并通过数值模拟和解析方法进行分析和预测。
动力学平均场的优点在于它可以有效地描述大规模复杂系统的行为。
由于平均场的影响，系统的行为可以由每个个体的状态和平均场的状态来表示，而不需要考虑个体之间的具体相互作用。
这使得动力学平均场可以简化系统的描述和分析，提供系统行为的整体性和一般性。
然而，动力学平均场也有一些局限性。
首先，它基于对系统的平均处理，可能会忽略个体之间的具体相互作用和异质性。
动力学的起源与发展
动力学的起源与发展动力学（Dynamics）是物理学中研究物体运动规律的学科，主要关注物体运动的原因、力的作用和影响以及其它相关的物理现象。
动力学的研究意义重大，不仅为解析力学、天体力学等物理学分支提供了基础理论，也为工程学、生物学以及其他领域的研究提供了重要参考。
一、动力学的起源动力学的起源可以追溯到古希腊时期。
古希腊的哲学家和科学家们开始关注物体运动的原因，并试图提出一种适用于所有物体运动的理论。
阿基米德、亚里士多德等古希腊学者在动力学的发展中做出了重要贡献。
古代中国的科学家也对动力学问题产生了浓厚的兴趣。
他们将力学与天文学相结合，研究了天体运动规律，并提出了一系列关于物体运动的理论。
这些理论在古代中国的科学发展中起到了积极的推动作用。
二、动力学的发展1. 牛顿力学的奠基17世纪末，英国科学家艾萨克·牛顿提出了著名的力学定律，奠定了现代动力学的基础。
通过提出质点力学、运动规律以及万有引力定律，牛顿开创了一个崭新的研究领域，解释了地球上物体运动的规律，并推广到天体运动的研究中去。
2. 拉格朗日力学的建立18世纪，法国物理学家约瑟夫·拉格朗日为了改进牛顿的力学理论，提出了拉格朗日力学。
拉格朗日力学从广义上看待物体运动，引入了广义坐标和拉格朗日方程，使得力学理论更加完善和深入。
这一理论为后续的动力学研究奠定了基础。
3. 哈密顿力学的发展19世纪，爱尔兰数学家威廉·哈密顿为了解决一些拉格朗日力学无法处理的问题，提出了哈密顿力学。
哈密顿力学通过引入广义动量和哈密顿正则方程来描述系统的运动规律，为动力学的深入研究提供了新的数学工具。
4. 现代动力学的发展随着科学技术的不断进步，动力学的研究领域也在不断扩大。
现代动力学包括流体力学、非线性动力学、混沌动力学等多个分支领域。
这些分支学科进一步拓展了动力学的应用范围，并在物理学、工程学以及生命科学等领域中发挥了重要作用。
结语动力学的起源与发展是科学文明进步的见证。
平均场理论
相对论重离子碰撞过程：
thanks
参与强作用的介子和重子统称强子，所以描 述相对论性原子核多体问题的理论框架应当 是 量子强子动力学 (QHD-QuantumHadron Dynamics)。QHD 比较成熟而常用的理论是 Walecka 模型。当前在Walecka 模型的框架内， 已建立起相对论性的原子核的平均场理论。 在这个理论中， 核子按照包含自洽平均场的 Dirac 方程运动，此时的平均场是由介子场产 生的，而产生介子场的源又是核子的各种密 度和流。 这样，核子与介子场就成为一个耦 合的自洽系统。
7、原子核的平均场理论：原子核的壳层 结构
A. 原子核中核子的独立粒子运动与幻数的存 在： 在量子核子动力学（ QND）的理论框架 内， 原子核是由质子、中子组成的费米子多 体系统，质子和中子统称核子；质子之间存 在着长程的库仓斥力，核子之间存在着短程 的核力。核力是强相互作用，总体表现为很 强的吸引力，但在极小距离也表现出斥力。
而且粒子之间的运动互相影响、相互关联这 也是所有多体体系的共同特点。（如前所述， 如果粒子之间没有相互作用、 没有关联， 相 应的问题总可以转化为单体问题来处理）。 现如今，非相对论量子多体理论的任务是求 解多体体系的薛定谔方程，通过研究多体系 统的物理，计算多体体系的各种物理性质。
3、平均场 的 本理论的基本思想 首先，平均场方法是最常见也最实用的 处理量子多体问题的手段。 其次，我们以多电子体系为例，用一个 （单体）有效场来代替电子所受到的其他电 的库仑相 作用子的库仑相互作用。这个有效 场包含了所有其他电子对该电子的相互作用。 利用有效场取代电子之间的库仑相互作用之 后，每一个电子在一个有效场中运动，电子 与电子之间的运动是独立的(除了需要考虑 泡利不相容原理)， 原来的多体问题就能转 化为单体问题。
dmft方法 -回复
dmft方法-回复什么是DMFT方法？DMFT方法（Dynamical Mean-Field Theory，动力平均场理论）是一种用于描述复杂物质中电子行为的理论框架。
它是从数学物理学中的自由能最小化原理出发，通过将复杂系统简化为单个相互作用的动力学平均场来研究系统的行为。
首先，DMFT方法基于动力学平均场近似，它假设整个多体系统中的每个格点上的行为可以通过单个局部格点上的行为来近似。
所谓的“动力学平均场”是指系统的时间演化是通过自旋和轨道的动力学方程描述的。
这个近似对于自旋和轨道的强局域约束下的系统非常有效，而在远离局域约束的系统中则并不适用。
其次，DMFT方法将原来的复杂多体问题转化为一个仅包含一个相互作用的自由态问题。
这是通过切断多体自能的虚线图来实现的。
自能是描述相互作用系统中电子行为的关键量，通过将自能近似为局域的函数来简化计算。
这里的关键是写出自能的表达式，必须包含所有以相互作用开头和结尾的图的贡献，同时将这些贡献在几何平均的自洽步骤中合并。
进一步，DMFT方法使用Green函数形式描述电子行为。
Green函数是描述系统中电子的传播和相互作用的重要工具。
通过计算格点上的Green函数，可以获得系统的电子束缚态和自能等重要信息。
DMFT将整个多体问题转化为求解一个由格点Green函数组成的动力学问题，通过解决这个动力学问题可以得到系统的电子行为。
最后，DMFT方法通常与其他理论和实验方法相结合，以完整地描述系统的行为。
例如，它常与输运理论和密度泛净汇方法（DFT）结合使用，以研究电子输运性质和材料的电子结构。
同时，通过与角分辨光电子能谱（ARPES）等实验方法的对比，可以验证DMFT方法的有效性。
总的来说，DMFT方法是一种基于动力学平均场理论的方法，通过将复杂多体问题转化为一个仅包含一个相互作用的自由态问题来研究材料中的电子行为。
它在研究复杂材料的电子结构和输运性质方面具有重要的应用价值。
动力学平均场理论及其应用
动力学平均场理论及其应用中国人民大学物理系2012.04.18,北京理工大学提纲1、动力学平均场理论（DMFT）介绍2、DMFT理论框架3、DMFT的扩展4、DMFT的应用（总结）原始格点Hamiltonian原始格点Hamiltonian（2）DMFT 的推导方法（e ）动力学CPA（1）的特点∞=D （a ）要得到U ＝0 的正确结果，必须对hopping 做变化：动力学平均场理论的推导（历史）（b ）在此极限下，Gutzwiller 变分可以精确计算[ Vollhardt ，Metzner 1989 ]（c ）自能成为空间局域的)( )(n ij n ij i i ωδωΣ=Σ[ Mueller －Hartman 1989 ]（a ）微扰理论[ Metzner, Mueller －Hartman, Brandt, Mielsch 1989 ]（c ）Cavity 方法[ Georges, Kotliar 1996 ]（d ）自能泛函变分理论[ Potthoff 2003 ][ Kakehashi 1992]（b ）“Weiss 场”＋杂质模型[ Georges, Kotliar 1992]（1）小（a）U＝0严格解（εD∫+∞)(（3）中间U 区域最困难的区域：Hartree-Fock vs Heitler-LondonGutzwiller Appr. vs Hubbard-I、-II、-III Appr.U-exapansion vs t-expansionDMFT 可以给出统一的描述。
Hubbard -III 近似J. Hubbard, Proc. Roy. Soc.A 281, 401 (1964).☯W. F. Brinkman et al .,PRB 2, 4302 (1970).∑∑++−=n n U c c t HDMFT（IPT）DMFT（NRG）☯A. Georges et al., Rev. Mod. Phys, 68, 13 (1996).随U 和空穴浓度的变化DMFT（ED）Gutzwiller近似DMFT（ED）（Ns＝6）DMFT（NRG）☯N. H. Tong et al., PRB 64, 235109 (2001).☯R. Bulla et al., PRB 64, 045103 (2001).作用量形式[]局域态密度−=1)(ερσ可以由微分得到。
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t- expansion
Insulator
Eint / Ekin
历史上的尝试：Edwards, dynamical CPA, ……
DMFT 理论框架
在空间维数 D＝∞ 极限下，空间涨落消失，而局域量子涨
落仍然存在：
。( Metzner & Vollhardt )
D＝∞时，自能成为局域量，与空间坐标无关。
1. 动力学平均场理论（DMFT）的发展
强关联电子材料
V2O3 —— 金属-绝缘体相变，反铁磁 La1-xCaxMnO3 —— 巨磁电阻效应，反铁磁，轨道有序 Fe, Co, Ni —— 巡游铁磁性 La2-xCaxCuO4 —— 高温超导， 反铁磁 ……
理论描述的困难：电子关联对基态有定性的修正， 基态不能用单个Slater行列式描述， 不能用微扰来处理。
近年来 DMFT 的发展方向
精确 计算 平均场
非均匀体系，无序 real space DMFT
Byczuk 2005
远离平衡态 nonequi DMFT
Freericks 2006
相互作用玻色子系统 bosonic DMFT
Byczuk 2008
DMFT 1989
材料的模拟 LDA+DMFT GW+DMFT
构造LDA＋DMFT的Hamiltonian
U —— 轨道内部Coulomb排斥
V —— 不同轨道之间Coulomb排斥 J —— Hund’s 交换作用 —— 配对跃迁项 —— Double Counting 修正
DMFT 的应用
巡游铁磁性
D. Vollhardt et al., Advances in Solid State Physics 38, 383 (1999).
团簇
周期边界条件 Dynamical Cluster Approximation
M. H. Hettler et al, PRB 58, 7475 (1998).
LDA ＋ DMFT —— 实际材料的电子结构
给定晶体的电子哈密顿量
LDA Hamiltonian
K. Held, Adv. Phys. 56, 829 (2007).
动力学平均场理论的发展及其应用
同宁华 中国人民大学物理系 2015. 12. 08, 中国科学院物理所
提 纲
1、动力学平均场理论（DMFT）的发展
DMFT 的基本理论
DMFT 的扩展理论 杂质/团簇模型 求解器
—— 与量子多体计算方法的结合
2、动力学平均场理论的应用
二维 Hubbard 模型掺杂导致的赝能隙和非费米液体
压缩率κ、磁化率χ、比热 可以由微分得到。
CV
电子密度n 能量E
光电导
热电势Q热力学来自势ΩDMFT 的扩展团簇DMFT —— D=∞ D=2, 1
晶格模型 有效团簇模型 部分 k-分辩的自能
求解团簇模型，自洽计算
开放边界条件
Cellular DMFT
G. Kotliar, et al, PRL 87, 186401 (2001).
例： Mott 金属－绝缘体相变
实验：
Hubbard-III 近似
Gutzwiller 近似
D. B. McWhan et al, PRB 7, 1920 (1973).
理论：Hubbard模型（半满、顺磁）
W. F. Brinkman et al., PRB 2, 4302 (1970). J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. A 281, 401 (1964).
格点 Hamiltonian 等效外场（环境） 杂质格点： 通过自洽 方程间接 耦合
自洽计算
H中局域项
自洽求解 DMFT 方程
动力学平均场理论结果
态密度随U 演化
DMFT（IPT）
A. Georges et al., Rev. Mod. Phys, 68, 13 (1996).
计算物理量
局域态密度
高温超导（Cu基，Fe基）
Th. Maier et al., PRL 85, 1524 (2000). H. Park et al., PRL 107, 137007 (2011).
Mott 相变
A. Georges et al., Rev. Mod. Phys. 68, 13 (1996).
理论上最困难的区域：动能 ~ 相互作用能
molecular orbital
H2 crossover
Heitler-London
H H
Gutzwiller Appr.
Fermi liquid
phase transition
Hubbard-III Appr.
Insulator
U- expansion
可以极大地简化计算。
D＝∞时，格点模型可以映射到等效量子杂质模型（Kotliar）
A. Georges et al, Rev. Mod. Phys, 68, 13 (1996). W. Metzner et al, Phys. Rev. Lett. 62, 324 (1989).
D＝∞的 Hubbard 模型：动力学平均场
Kotliar 2006
低维电子系统
CDMFT、DCA、DGA， dual fermion DMFT Rubtsov 2008 DMFT+FRG Taranto 2015
DFG Forschergruppe 1346 Dynamical Mean-Field Approach with Predictive Power for Strongly Correlated Materials 15-19 September 2014, Forschungszentrum Jülich
量子化学
N. Lin et al., PRL 106, 096402 (2011).
超冷原子
D. Cocks et al., PRL 109, 205303（2012）.
关联拓扑绝缘体
X. Deng et al., PRL 111, 176404 (2013)
idea of imbedding
巨磁电阻锰氧化物
A. J. Millis et al., PRL 77, 175 (1996).
重费米子体系
Q. Si et al., Nature 413, 804 (2001).
LDA + DMFT 计算
H. Held et al., Int. J. Mod. Phys. B 15, 2611 (2001).