高考数学(艺术生百日冲刺)专题01集合与常用逻辑测试题
专题1集合与常用逻辑测试题
命题报告：
1.高频考点：集合的运算以及集合的关系，集合新定义问题以及集合与其他知识的交汇，逻辑用语重点考查四种命题的关系，充要条件的判断以及全称命题存在命题等知识。
2.考情分析：高考主要以选择题填空题形式出现，考查集合的运算以及充要条件和其它知识的交汇，题目一般属于容易题。
3.重点推荐：9题，创新题，注意灵活利用所给新定义进行求解。
一．选择题（共12小题，每一题5分）
1．集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的真子集的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】：B={（1，1），（1，2），（2，1）}；
-=：．故选：C．
∴B的真子集个数为3217
2已知集合M=，则M∩N=（ ）
A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|1≤x＜6}C．{x|﹣3≤x＜6}D．{x|﹣2≤x≤6}
【答案】：B
【解析】y=x2﹣2x﹣2的对称轴为x=1；∴y=x2﹣2x﹣2在x∈（2，4）上单调递增；∴﹣2＜y＜6；∴M={y|﹣2＜y＜6}，N={x|x≥1}；∴M∩N={x|1≤x＜6}．故选：B．
3已知集合A={x|ax﹣6=0}，B={x∈N|1≤log2x＜2}，且A∪B=B，则实数a的所有值构成的集合是（ ）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{0，2，3}
【答案】：D
【解析】B={x∈N|2≤x＜4}={2，3}；∵A∪B=B；∴A?B；∴①若A=?，则a=0；
②若A≠?，则；∴，或；∴a=3，或2；∴实数a所有值构成的集合为{0，2，3}．故选：D．
4（2018秋?重庆期中）已知命题p：?x∈R，x2﹣x+1＞0，命题q：若a＜b，则＞，下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∨（￢q）
【答案】：D
【解析】命题p：?x∈R，x2﹣x+1＞0，∵x2﹣x+1=+＞0恒成立，∴p是真命题；命题q：若a＜b，则＞，当a＜0＜b时，不满足＞，q是假命题；∴￢q是真命题，￢q是假命题，则（￢p）∨（￢q）是真命题，D正确．故选：D．
5. （2018 ?朝阳区期末）在△ABC中，“∠A=∠B“是“acosA=bcosB”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】：A
6. （2018?抚州期末）下列有关命题的说法错误的有（ ）个
①若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
②命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0
③对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0则：￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0
A．0B．1C．2D．3
【答案】：B
【解析】①若p∧q为假命题，则p、q均为假命题，不正确，因为两个命题中，由一个是假命题，则p∧q 为假命题，所以说法错误．
②命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0，满足逆否命题的定义，正确；
③对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0则：￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，符号命题的否定形式，正确；所以说法错误的是1个．
故选：B．
7（2018?金安区校级模拟）若A={x∈Z|2≤22﹣x＜8}，B={x∈R|log2x＜1}，则A∩（?R B）中的元素有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】：B
【解析】A={x∈Z|2≤22﹣x＜8}={x∈Z|1≤2﹣x＜3}={x∈Z|﹣1＜x≤1}={0，1}，
B={x∈R|log2x＜1}={x∈R|0＜x＜2}，则?R B={x∈R|x≤0或x≥2}，
∴A∩（?R B）={0}，其中元素有1个．故选：B．
8（2018?大观区校级模拟）已知全集U=R，集合，N={x|x2﹣2|x|≤0}，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．[﹣2，1）B．[﹣2，1]C．[﹣2，0）∪（1，2]D．[﹣2，0]∪[1，2]
【答案】：B
【解析】∵全集U=R，集合={x|x＞1}，
N={x|x2﹣2|x|≤0}={x|或}={x|﹣2≤x≤2}，
∴C U M={x|x≤1}，∴图中阴影部分所表示的集合为N∩（C U M）={x|﹣2≤x≤1}=[﹣2，1]．
故选：B．
9.设集合S n={1，2，3，…，n}，X?S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X的容量是奇（偶）数，则称X为S n的奇（偶）子集，若n=3，则S n的所有偶子集的容量之和为（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】：D
【解析】由题意可知：当n=3时，S3={1，2，3}，
所以所有的偶子集为：?、{2}、{1，2}、{2，3}、{1，2，3}．
所以S3的所有偶子集的容量之和为0+2+2+6+6=16．
故选：D．
10. （2018?商丘三模）下列有四种说法：
①命题：“?x∈R，x2﹣3x+1＞0”的否定是“?x∈R，x2﹣3x+1＜0”；
②已知p，q为两个命题，若（￢p）∧（￢q）为假命题，则p∨q为真命题；
③命题“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题；
④数列{a n}为等差数列，则“m+n=p+q，m，n，p，q为正整数”是“a m+a n=a p+a q”的充要条件．
其中正确的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】：C
11.（2018?嘉兴模拟）已知函数f（x）=x2+ax+b，集合A={x|f（x）≤0}，集合，若A=B≠?，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．[﹣1，5]C．D．[﹣1，3]
【思路分析】由题意可得b=，集合B可化为（x2+ax+）（x2+ax+a+）≤0，运用判别式法，解不等式即可得到所求范围．
【答案】：A
【解析】设集合A={x∈R|f（x）≤0}={x|x2+ax+b≤0}，
由f（f（x））≤，即（x2+ax+b）2+a（x2+ax+b）+b﹣≤0，②
A=B≠?，可得b=，且②为（x2+ax+）（x2+ax+a+）≤0，
可得a2﹣4×≥0且a2﹣4（a+）≤0，即为，解得≤a≤5，故选：A．
12.( 2018?漳州二模）“a≤0”是“关于x的方程ax+axcosx﹣sinx=0与方程sinx=0在[﹣3π，3π]上根的个数相等”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[答案]：A
【解析】∵方程sinx=0在[﹣3π，3π]上根有7个，则方程ax+axcosx﹣sinx=0也应该有7个根，由方程
ax+axcosx﹣sinx=0得ax（1+cosx）﹣sinx=0，即ax?2cos2﹣2sin cos=2cos（axcos﹣sin）=0，则cos=0或axcos﹣sin=0，则x除了﹣3π，﹣π，π，3π还有三个根，由axcos﹣sin=0，得axcos=sin，即ax=tan，由图象知a≤0时满足条件，且a＞0时，有部分a是满足条件的，故“a≤0”是“关于x的方程ax+axcosx﹣sinx=0与方程sinx=0在[﹣3π，3π]上根的个数相等”的充分不必要条件，故选：A．
（2）设命题p：“函数y=2f（x）﹣t在（﹣∞，2）上有零点”，命题q：“函数g（x）=x2+t|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增”；若命题“p∨q”为真命题，求实数t的取值范围．
【思路分析】（1）方程f（x）=2x有两等根，通过△=0，解得b；求出函数图象的对称轴．求解a，然后求解函数的解析式．
（2）求出两个命题是真命题时，t的范围，利用p∨q真，转化求解即可．
【解析】：（1）∵方程f（x）=2x有两等根，即ax2+（b﹣2）x=0有两等根，
∴△=（b﹣2）2=0，解得b=2；
∵f（x﹣1）=f（3﹣x），得，
∴x=1是函数图象的对称轴．
而此函数图象的对称轴是直线，∴，∴a=﹣1，
故f（x）=﹣x2+2x……………………………………………（6分）
（2），
p真则0＜t≤2；
；
若q真，则，
∴﹣4≤t≤0；
若p∨q真，则﹣4≤t≤2．……………………………………………（12分）
21. （2018春?江阴市校级期中）已知集合A={x|≤0}，B={x|x2﹣（m﹣1）x+m﹣2≤0}．
（1）若A∪[a，b]=[﹣1，4]，求实数a，b满足的条件；
（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．
【思路分析】本题涉及知识点：分式不等式和含参的一元二次不等式的解法，集合的并集运算．
22. （2018?南京期末）已知命题p：指数函数f（x）=（a﹣1）x在定义域上单调递减，命题q：函数g （x）=lg（ax2﹣2x+）的定义域为R．
（1）若q是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．
【思路分析】（1）若命题q是真命题，即函数g（x）=lg（ax2﹣2x+）的定义域为R，对a分类讨论求解；（2）求出p为真命题的a的范围，再由“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题，可得p与q一真一假，然后利用交、并、补集的混合运算求解．
【解析】：（1）若命题q是真命题，则有：
①当a=0时，定义域为（﹣∞，0），不合题意．
②当a≠0时，由已知可得，解得：a＞，
故所求实数a的取值范围为（，+∞）；…………6分
（2）若命题p为真命题，则0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2，
由“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题，可得p与q一真一假．
若p为真q为假，则，得到1＜a≤，
若p为假q为真，则，得到a≥2．
综上所述，a的取值范围是1＜a≤或a≥2．………………12分