山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学(文)试题(解析版)

山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学(理)试题(含精品解析)

山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学试题(理科)说明：本试卷满分150分，分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至第5页。

试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第I卷(共60分)一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项符合题意)1.已知集合中的元素个数是A. 2B. 3C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】先写出，再看的个数.【详解】由题得=，故A∪B的元素的个数为6，故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2.已知向量A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得故答案为：D【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.3.设满足约束条件则的最大值是A. B. 0 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的点B时，目标函数取得最大值，由解得B（2，0），目标函数的最大值为2-0=2,故答案为：C【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．4.已知等比数列中，A. B. ±4 C. 4 D. 16【答案】A【解析】【分析】由题得，解之即得解.【详解】由题得因为等比数列的奇数项同号，所以，故答案为：A【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，本题要注意检验.5.“”是“指数函数单调递减”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先化简“指数函数单调递减”得，再利用充要条件的定义判断得解.【详解】因为“指数函数单调递减”，所以，所以“”是“指数函数单调递减”的必要非充分条件.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查指数函数的单调性的运用，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：①若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.6.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量服从正态分布，则，A. 4.56％B. 13．59％C. 27.18％D. 31.74％【答案】B【解析】【分析】由题意,利用正态分布的对称性，即可得出结论．【详解】由题意P（﹣4＜ξ＜4）=0.6826，P（﹣8＜ξ＜8）=0.9544，可得P（4＜ξ＜8）=（0.9544﹣0.6826）= 0.1359．故答案为：B【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．7.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股股勾朱实黄实弦实，化简，得勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A. 866B. 500C. 300D. 134【答案】D【解析】由题意，大正方形的边长为2，中间小正形的边长为，则所求黄色图形内的图钉数大约为，故选D.8.函数的部分图象为（）【答案】A【解析】试题分析：因,故当时,,函数单调递增; 当时,,函数单调递减; 当时,,函数单调递增.故应选A.考点：导数与函数单调性的关系．9.展开式的系数为A. B. C. 15 D. 45【答案】B【解析】【分析】先化简=，再利用二项式定理的通项分析得解.【详解】由题得=，设对于二项式，设其通项为，令6-r-3k=2,所以r+3k=4,r,k∈,方程的解为r=1,k=1或者r=4,k=0.所以展开式的系数为.故答案为：B【点睛】本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式中的系数的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.10.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=.故答案为：C【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移个单位后得到函数的的图像，若函数在区间上均单调递增，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a的范围．【详解】将函数f（x）=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos的图象；然后向右平移个单位后得到函数g（x）=cos=cos（﹣）的图象，若函数g（x）在区间与[2aπ，4π]上均单调递增，则0﹣=﹣，﹣≤0，且﹣≥2kπ﹣π，﹣≤2kπ，k∈Z．解得≤a≤，故答案为：B【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．12.已知均为单位向量，满足，设，则的最小值为：A. B. 0 C. D. 1【答案】C【解析】【分析】由题意可设C（cos θ，sin θ），设A（，），B（1，0），由条件求得x，y，再由两角和的正弦公式、正弦函数的最值，可得最小值．【详解】由||=1可设C（cos θ，sin θ），又•=，所以cos∠BOA=,所以∠BOA=.因为||=||=1，可设A（，），B（1，0），=x+y，所以所以,因为,所以（1）因为，所以，（2）由（1）（2）得所以当x+y最小值为.故答案为：C【点睛】本题考查平面向量的基本定理和向量数量积的坐标表示，两角和的正弦公式、正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题．第II卷(非选择题，共90分)二、填空题(本题包括4小题，共20分)13.已知函数_________【答案】【解析】【分析】先求f(-1),再求的值.【详解】由题得f(-1)=所以=故答案为：-2【点睛】本题主要考查函数求值，考查对数函数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.14.设为正实数，且的最小值为_________【答案】【解析】【分析】由题得=,再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得=,当且仅当时取等.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.函数的最大值为________【答案】【解析】【分析】先化简，再利用基本不等式求的最大值，即得f(x)的最大值.【详解】由题得，所以所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.16.下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字2019在表中出现的次数为________【答案】【解析】【分析】利用观察法及定义可知第1行数组成的数列A1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，进一步分析得知第j列数组成的数列A1j（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，同时分别求出通项公式，从而得知结果．【详解】第i行第j列的数记为A ij．那么每一组i与j的解就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j=2+（j﹣1）×1=j+1，所以第j列数组成的数列A1j（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以A ij=j+1+（i﹣1）×j=ij+1．令A ij=ij+1=2019，即ij=2018=1×2018=2018×1=2×1009=1009×2故表中2019共出现4次．故答案为：4【点睛】此题考查行列模型的等差数列的求法，解答的关键是分析出A ij=j+1+（i﹣1）×j=ij+1.三．解答题(本题包括6小题，共70分)17.已知在递增的等差数列的等比中项(I)求数列的通项公式；(II)若，为数列的前n项和，求．【答案】(I)(II)【解析】【分析】(I)根据已知求出的通项公式.(II)由题意可知，再利用裂项相消法求和得解.【详解】(I)设公差为,因为，所以，解得所以.(II)由题意可知：所以.【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.在中，A,B,C所对的边分别为，满足．(I)求角A的大小；(Ⅱ)若，D为BC的中点，且的值．【答案】(I);(II).【解析】【分析】(I)得，求出 . (Ⅱ)由题意可知，化简得，再结合余弦定理求出，再利用正弦定理求出的值．【详解】(I)，所以，所以因为，所以，所以(Ⅱ)由题意可知：所以所以又因为，所以，因为，所以由正弦定理可得，所以【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19.某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z与x有很强的线性相关关系，请求出z与x的线性回归方程(回归系数精确到0.01)；(II)求y关于x的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．参考公式：参考数据：【答案】(I)z与x的线性回归方程是(II)当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【解析】【分析】(I)利用最小二乘法求出z与x的线性回归方程. (II)先求出y关于x的回归方程是, 令x＝10，预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价.【详解】(I)由题意，知，，又,所以，所以，所以z与x的线性回归方程是；(II)因为,所以y关于x的回归方程是,令x＝10，得=,因为ln 1.03≈0.03，所以，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20.已知数列(I)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前n项和【答案】(I).【解析】【分析】(I)利用项和公式求数列的通项公式. (Ⅱ)利用错位相减法求数列的前n项和【详解】(I)由题意可知：当时，，又因为，所以，又因为当，，所以所以等比数列，且（2）所以【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21.依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示．(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I级灾害的概率；(Ⅱ)黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.【答案】(I)，因此企业应选方案二．【解析】【分析】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，分别求出它们发生的概率，记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，分别求出它们发生的概率，再利用求解.（II）以企业利润为随机变量，分别计算出三种方案的利润，再选择.【详解】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为：，．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，所以．记“该黄河在8月份发生1级灾害”为事件．则．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为．（II）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为：，由（I）知．的分布列为则该企业在8月份的利润期望（万元）．选择方案二，则（万元）的取值为：，由（I）知，，的分布列为：则该企业在8月份的平均利润期望（万元）选择方案三，则该企业在8月份的利润为：（万元）由于，因此企业应选方案二．【点睛】本题主要考查概率的计算，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22.已知(e为自然对数的底数，e=2.71828……)，函数图象关于直线对称，函数的最小值为m．(I)求曲线的切线方程；(Ⅱ)求证：；(III)求函数的最小值．【答案】(I)(Ⅱ)见解析(III)【解析】【分析】(I)由题意可知,再利用导数的几何意义求切线方程. (Ⅱ)令，求出函数的最小值，再根据得到 . (III)先利用导数求得，再证明，所以.【详解】(I)由题意可知，所以，所以切线方程为，(Ⅱ)令，因为，，又因为在上单增所以存在唯一的，使得，即，当，所以单减，同理在单增，所以，因为，所以所以因为，所以(III)因为,，所以因为，所以存在唯一的，使得，即在单减，在单增所以因为所以，所以令，所以因为所以由，可得，所以所以，，所以，即，所以【点睛】本题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.。

【100所名校】山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学(理)试卷

2019届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学（理）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题1．已知集合，，，，，，，，则中的元素个数是A ．2B ．3C ．6D ．82．已知向量，若，则A ．B ．C ．D ．23．设满足约束条件，则的最大值是A ．B ．0C ．2D ．34．已知等比数列中，则 A ． B ．±4 C ．4 D ．16 5．“ ”是“指数函数在单调递减”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量服从正态分布，则，， A ．4.56％ B ．13．59％ C ．27.18％ D ．31.74％ 7．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股(+股-勾2)4=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为 A ．866 B ．500 C ．300 D ．134 8．函数21x y e x =-的部分图象为 9．展开式的系数为 A ． B ． C ．15 D ．45 10．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当且时称为“凹数”，若，，，，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是 A ． B ． C ． D ．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号11．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移个单位后得到函数的的图像，若函数在区间与上均单调递增，则实数a的取值范围为A．B．C．D．12．已知均为单位向量，满足，设，则的最小值为：A．B．0 C．D．1二、填空题13．已知函数则_________14．设为正实数，且，则的最小值为_________15．函数的最大值为________16．下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字2019在表中出现的次数为________三、解答题17．已知在递增的等差数列中是和的等比中项(I)求数列的通项公式；(II)若，为数列的前n项和，求．18．在中，A,B,C所对的边分别为，满足．(I)求角A的大小；(Ⅱ)若，D为BC的中点，且求的值．19．某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z与x有很强的线性相关关系，请求出z与x的线性回归方程(回归系数精确到0.01)；(II)求y关于x的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．参考公式：参考数据：20．已知数列的前项和为(I)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前n项和21．依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示．(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I级灾害的概率；(Ⅱ)黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.22．已知(e为自然对数的底数，e=2.71828……)，函数与图象关于直线对称，函数的最小值为m．(I)求曲线在点，的切线方程；(Ⅱ)求证：；(III)求函数的最小值．2数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先写出，再看的个数.【详解】由题得=，，，，，故A∪B的元素的个数为6，故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2．D【解析】【分析】由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得故答案为：D【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 3．C【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的点B时，目标函数取得最大值，由解得B（2，0），目标函数的最大值为2-0=2,故答案为：C【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．4．A【解析】【分析】由题得，解之即得解.【详解】由题得因为等比数列的奇数项同号，所以，故答案为：A【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，本题要注意检验.5．B【解析】【分析】先化简“指数函数在单调递减”得，再利用充要条件的定义判断得解.【详解】因为“指数函数在单调递减”，所以），所以“”是“指数函数在单调递减”的必要非充分条件.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查指数函数的单调性的运用，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题、和集合、的对应关系. 成立，成立；最后利用下面的结论判断：①若 ,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；②若 ,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.6．B【解析】【分析】由题意,利用正态分布的对称性，即可得出结论．【详解】由题意P （﹣4＜ξ＜4）=0.6826，P （﹣8＜ξ＜8）=0.9544，可得P （4＜ξ＜8）= （0.9544﹣0.6826）= 0.1359．故答案为：B【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．7．D【解析】由题意，大正方形的边长为21，则所求黄色图形内的图钉数大约为21000134⨯≈⎝⎭，故选D.8．A【解析】试题分析：因,故当时,,函数21x y e x =-单调递增; 当时,,函数21x y e x =-单调递减; 当时,,函数21x y e x =-单调递增.故应选A.考点：导数与函数单调性的关系．9．B【解析】【分析】先化简 =，再利用二项式定理的通项分析得解.【详解】由题得=，设对于二项式，设其通项为，令6-r-3k=2,所以r+3k=4,r,k ∈ ,方程的解为r=1,k=1或者r=4,k=0. 所以展开式的系数为 . 故答案为：B 【点睛】本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式中的系数的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 10．C 【解析】【分析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数. 再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P= .故答案为：C 【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 11．B 【解析】【分析】利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律求得g （x ）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a 的范围．【详解】将函数f （x ）=cosx 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos 的图象；然后向右平移个单位后得到函数g（x）=cos=cos（﹣）的图象，若函数g（x）在区间，与[2aπ，4π]上均单调递增，则0﹣=﹣，﹣≤0，且﹣≥2kπ﹣π，﹣≤2kπ，k∈Z．解得≤a≤，故答案为：B【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．12．C【解析】【分析】由题意可设C（cos θ，sin θ），设A（，），B（1，0），由条件求得x，y，再由两角和的正弦公式、正弦函数的最值，可得最小值．【详解】由||=1可设C（cos θ，sin θ），又•=，所以cos∠BOA=,所以∠BOA=.因为||=||=1，可设A（，），B（1，0），=x+y，所以所以,因为,所以（1）因为，所以，（2）由（1）（2）得所以当时，x+y最小值为=.故答案为：C【点睛】本题考查平面向量的基本定理和向量数量积的坐标表示，两角和的正弦公式、正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题．13．【解析】【分析】先求f(-1),再求的值.【详解】由题得f(-1)=-=所以=故答案为：-2【点睛】本题主要考查函数求值，考查对数函数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.14．【解析】【分析】由题得=,再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得=,当且仅当即时取等.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15．【解析】【分析】先化简，再利用基本不等式求的最大值，即得f(x)的最大值.【详解】由题得，所以所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.16．【解析】【分析】利用观察法及定义可知第1行数组成的数列A1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，进一步分析得知第j列数组成的数列A1j（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，同时分别求出通项公式，从而得知结果．【详解】第i行第j列的数记为A ij．那么每一组i与j的解就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j=2+（j﹣1）×1=j+1，所以第j列数组成的数列A1j（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以A ij=j+1+（i﹣1）×j=ij+1．令A ij=ij+1=2019，即ij=2018=1×2018=2018×1=2×1009=1009×2故表中2019共出现4次．故答案为：4【点睛】此题考查行列模型的等差数列的求法，解答的关键是分析出A ij=j+1+（i﹣1）×j=ij+1.17．(I)(II)【解析】【分析】(I)根据已知求出，再写出数列的通项公式. (II) 由题意可知，再利用裂项相消法求和得解.【详解】(I)设公差为,因为，所以，解得或舍，所以.(II)由题意可知：所以.【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18．(I);(II).【解析】【分析】(I)化简得，求出. (Ⅱ)由题意可知，化简得，再结合余弦定理求出，再利用正弦定理求出的值．【详解】(I)，所以，所以因为，所以，所以(Ⅱ)由题意可知：所以所以，又因为，所以，因为，所以由正弦定理可得，所以【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19．(I)z与x的线性回归方程是(II)当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【解析】【分析】(I)利用最小二乘法求出z与x的线性回归方程. (II)先求出y关于x的回归方程是, 令x＝10，预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价.【详解】(I)由题意，知，，又,所以，所以，所以z与x的线性回归方程是；(II)因为,所以y关于x的回归方程是,令x＝10，得=,因为ln 1.03≈0.03，所以，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20．(I).【解析】【分析】(I)利用项和公式求数列的通项公式. (Ⅱ)利用错位相减法求数列的前n项和【详解】(I)由题意可知：当时，，又因为，所以，又因为当，，所以所以等比数列，且（2）所以【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21．(I)，因此企业应选方案二．【解析】【分析】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，分别求出它们发生的概率，记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，分别求出它们发生的概率，再利用求解. （II）以企业利润为随机变量，分别计算出三种方案的利润，再选择.【详解】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为：，．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，所以．记“该黄河在8月份发生1级灾害”为事件．则．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为．（II）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为：，由（I）知．的分布列为则该企业在8月份的利润期望（万元）．选择方案二，则（万元）的取值为：，由（I）知，，的分布列为：则该企业在8月份的平均利润期望（万元）选择方案三，则该企业在8月份的利润为：（万元）由于，因此企业应选方案二．【点睛】本题主要考查概率的计算，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22．(I)(Ⅱ)见解析(III)【解析】【分析】(I)由题意可知,再利用导数的几何意义求切线方程. (Ⅱ) 令，求出函数的最小值，再根据得到. (III)先利用导数求得，再证明，所以.【详解】(I)由题意可知，所以，所以切线方程为，(Ⅱ)令，因为，，又因为在上单增所以存在唯一的，使得，即，当，所以单减，同理在单增，所以，因为，所以所以因为，所以(III)因为,，所以因为，所以存在唯一的，使得，即因为所以，所以令则，所以因为所以由，可得，所以所以，，所以，即，所以【点睛】本题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.。

山东省淄博实验中学2019届高三第二学期第一次(4月)教学诊断考试数学(文)试题(含解析)

淄博实验中学高三年级第二学期第一次诊断考试试题数学（人文）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设,a R i ∈为虚数单位.若复数2(1)z a a i =-++是纯虚数，则复数32a ii--在复面上对应的点的坐标为（）A.18(,)55-B.74(,)55-- C. 47(,)55- D. 74(,)55- 2.已知集合2222{|log (34)},{|320,(0)}A x y x x B x x mx m m ==--=-+<>,若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（）A. (4,)+∞B.[4,)+∞C. (2,)+∞D.[2,)+∞ 3.如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A. A >1000和n=n +1B. A >1000和n=n +2C. A ≤1000和n=n +1D. A ≤1000和n=n +24.已知函数1312, 22()2, 2,,02x x x f x a x a R a x +-⎧+≤⎪⎪=⎨⎪->∈≠⎪-⎩，若6(((3)))5f f f =-，则a 为（）A. 1B.C.D. 5．函数（且）的图象可能为（）6．我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）（第6题图）（第11题图）A. 483π-B.8π-C. 283π-D. 42π- 7.直线20x y -=与y 轴的交点为P ,点P 把圆22(1)36x y ++=的直径分为两段，则较长的一段与较短的一段的比值等于 ( )A. 2B. 3C. 4D. 58．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，向量m =(a ＋c ，a －b )，n =(b ，a －c )，若//m n ，则∠C =( )A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π9. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()121n n S S n N ++=-∈，则10a =（）A.128B.256C.512D.1024 10.已知锐角α满足3cos()65πα+=，则sin(2)3πα+=（） ()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭x ππ-≤≤0x≠A.1225B. 1225±C.2425D. 2425±11.已知O 为坐标原点，双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若右支上有点M 满足221||||,cos 3OM OF MOF =∠=，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D. 12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，且满足112325n na a n n +=+--，已知*,n m N ∈，n m >，则n m S S -的最小值为（）A ．494-B ．498- C.14- D ．28- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为时, ()22log log 2a b ⋅取得最大值.14. 若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是_______.15.已知平面,αβ，直线,m n .给出下列命题：① 若//,//,//m n m n αβ，则//αβ； ② 若//,//,//m n αβαβ，则//m n ； ③ 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥； ④ 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥. 其中是真命题的是．（填写所有真命题的序号）．16．若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投（）请用最小二乘法求出关于的回归直线方程；如果年该公司计划对生产环节的改进的投资金额是8万元，估计该公司在该年的年利润增长是多少？（结果保留2位小数）（II ）现从2012—2018年这7年中抽取2年进行调查，记λ=年利润增长－投资金额，求这两年都是λ>2（万元）的概率。

山东省实验中学高三数学第二次诊断性考试试卷理(含解析)(1)(最新整理)

种，第二类，凹数中有两个不同的数,将小的放在中间即可，共有
种
方法，所以共有凹数 8+6=14 个，
可得 y=cos 的图象；
然后向右平移个单位后得到函数 g（x）=cos =cos（ ﹣ ）的图象，
若函数 g（x）在区间
与［2aπ，4π]上均单调递增,
则 0﹣ =﹣ ， ﹣ ≤0，且 ﹣ ≥2kπ﹣π, ﹣ ≤2kπ,k∈Z．
2 弦 2 ．设勾股形中勾股比为1: 3 ,若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉(大小忽略不
计），则落在黄色图形内的图钉数大约为
密
考场号
不
订
准考证号
装
只
卷
一、单选题 1．已知集合 A．2 B．3
C．6
D．8
2．已知向量
A．
B．
C． D．2
中的元素个数是
3．设满足约束条件
A．
B．0 C．2
则 D．3
10．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当
时
称为“凹数"，若
，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数"的概
率是
1
姓名
此
班级
山东省实验中学 2019 届高三数学第二次诊断性考试试卷理（含解析）(1)
A． B． 11．将函数
C．
D．
图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变），
2
山东省实验中学 2019 届高三数学第二次诊断性考试试卷理（含解析）(1)
(I）以此频率作为概率，试估计黄河济南段在 8 月份发生 I 级灾害的概率； (Ⅱ)黄河济南段某企业，在 3 月份,若没受 1、2 级灾害影响，利润为 500 万元；若受 1 级灾害影响，则亏损 100 万元；若受 2 级灾害影响则亏损 1000 万元．现此企业有如下三种应对方案：

2019届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学试题(理)

山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学试题(理科)2018．11说明：本试卷满分150分，分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷为第1页至第3页，第II 卷为第3页至第5页。

试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第I 卷(共60分)一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项．．．．．．符合题意)1．已知集合{}{}12342468A B A B ==⋃，，，，，，，，则中的元素个数是A ．2B ．3C ．6D ．82．已知向量()()1,2,,1a b m a b m =-=⊥=，若，则A.2-B ．12-C ．12D ．23．设,x y 满足约束条件326000x y x z x y y +-≤⎧⎪≥=-⎨⎪≥⎩，则的最大值是A ．3-B ．0C ．2D ．34．已知等比数列{}n a 中，3752,8,a a a =-=-=则A.4-B ．±4C ．4D ．165．“1a >”是“指数函数()()32xf x a =-在R 单调递减”的A.充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布()20,4N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<≤+=，())2295.44%P μσξμσ-<≤+=，A ．4.56％B.13．59％C ．27.18％D ．31.74％7．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+(股－勾)=4×朱实十黄实=弦实=弦2，化简得：勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷l 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为A ．866B.500C ．300D ．1348.函数21x y e x =-的部分图象为9．6211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式2x 的系数为A ．45-B ．15-C ．15D ．4510．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是,,a b c ，当且仅当a b c b >>且时称为“凹数”，若{},,1234a b c ∈，，，，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A.13B ．532C.732D ．7121l.将函数()cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移6π个单位后得到函数()g x 的的图像，若函数()g x 在区间[]0,2,49a a πππ⎡⎤⎢⎣⎦与上均单调递增，则买效a 的取值范围为A ．13,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．133,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．73,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知,,OA OB OC均为单位向量，满足1,0,02OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅≥⋅≥ ，设OC xOA yOB =+，则x y +的最小值为：A.3-B.0C.3D.1第II 卷(非选择题，共90分)二、填空题(本题包括4小题，共20分)13．已知函数()()()3log ,,19,0x x x f x f f x >0⎧=-=⎨≤⎩则_________14．设,x y 为正实数，且211x y x y+=+，则的最小值为_________15．函数()()sin1cos 2xf x x =+的最大值为________16.右表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字2019在表中出现的次数为________三．解答题(本题包括6小题，共70分)17．(本小题10分)已知在递增的等差数列{}1319,2,n a a a a a =中是和的等比中项(I)求数列{}n a 的通项公式；(II)若()11n nb n a =+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ．18．在ABC ∆中，A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，满足()2sin 32AB C +=．(I)求角A 的大小；(Ⅱ)若a b c =>，D 为BC的中点，且sin AD C =求的值．19.(本小题12分)某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x 与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z 与x 有很强的线性相关关系，请求出z 与x 的线性回归方程(回归系数 ,ba 精确到0.01)；(II)求y 关于x 的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．参考公式：()()()112211,n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybay bx x x xnx====---===---∑∑∑∑ 参考数据：6662111187.4,47.64,139,ln1.030.03,ln1.020.02.i ii i i i i i x yx z x ======≈≈∑∑∑20．(本小题12分)已知数列{}11,2,2n n n na n S a a S +==+的前项和为(I)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设()31n nb n a =-，求数列{}n b 的前n 项和nT21．(本小题12分)依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示．(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I 级灾害的概率；(Ⅱ)黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.22．(本小题12分)已知()xf x e =(e 为自然对数的底数，e=2.71828……)，函数()()yg x y f x ==与图象关于直线y x =对称，函数()()f x g x -的最小值为m ．(I)求曲线()()212y g x =+在点，的切线方程；(Ⅱ)求证：522m <<；(III)求函数()()()F x f x m g x =--的最小值．山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学答案(理科)2018．11一.选择题CDCAB BDABC BC 二．填空题13.2-14.223+15.93416.4三．解答题17.解：（1）设公差为d因为9123a a a =，所以)82(2)22(2d d +=+，解得2=d ………………..2分所以na n 2=…………………5分（2）由题意可知：111(21)1(21+-=+=n n n n b n …………………8分所以=n S )1(2111...3121211(21+=+-++-+-n n n n …………………10分18.解：（1）2sin 332)sin(2A C B =+，所以2sin 332sin 2A A =，所以32tan =A因为),0(π∈A ，所以32π=A ，所以32π=A …………………5分（2）由题意可知：ADC ADB ∠-=∠cos cos 所以372373723722b c -+-=-+所以2022=+c b 又因为A bc b c a cos 2222-+=，所以8=bc 因为c b >，所以2,4==c b …………………10分由正弦定理可得ca sin sin =，所以1421sin =C …………………12分19.解：(1)由题意，知x －＝16×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，……………1分z －＝16×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，……………………2分又∑6i ＝1x i z i ＝47.64，∑6i ＝1x 2i ＝139所以b ^＝47.64－6×4.5×2139－6×4.52＝－6.3617.5≈－0.363，………………………6分所以a ^＝z －－b ^x －＝2＋0.363×4.5＝3.63，……………………7分所以z 与x 的线性回归方程是z ^＝－0.36x ＋3.63；………………….8分（2）因为z ＝ln y ，所以y 关于x 的回归方程是y ^＝e －0.36x ＋3.63……………………….10分令x ＝10，得y ^＝e －0.36×10＋3.63＝e 0.03，因为ln 1.03≈0.03，所以y ^＝1.03，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．………………….12分20.解：（1）由题意可知：当2≥n 时，12-+=n n S a ，又因为n n S a +=+21，所以n n a a 21=+，…………………2分又因为当1=n，42=a ，所以122a a =………………….3分所以{}n a 等比数列，且nn a 2=…………………5分（2）nn n T 2)13( (25222)-++⋅+⋅=1322)13(...25222+-++⋅+⋅=n n n T 1322)13(23...23234+--⋅++⋅+⋅+=-n n n n T 112)13(212134+-----+=n n n 12)127(1--+=n n 所以12)712(1--=-n n n T …………………12分21．（I ）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件1A ，“水位在40米至50米之间”为事件2A ，“水位大于50米”为事件3A ，它们发生的概率分别为：()()()()120.020.050.0650.65,0.040.0250.30P A P A =++⨯==+⨯=，()30.0150.05P A =⨯=．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件1B ，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件3B ，所以()()()1230.1,0.2,0.6P B P B P B ===．记“该黄河在8月份发生1级灾害”为事件B ．则()()()()()()()()()()112233112233P B P A B P A B P A B P A P B P A P B P A P B =++=++0.650.100.300.200.050.600.155=⨯+⨯+⨯=．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155．………………………………4分（II ）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润1X （万元）的取值为：500,100,1000--，由（I ）知()()115000.650.90.300.750.0500.81,1000.155,P X P X ==⨯+⨯+⨯==-=()110000.6500.300.050.050.400.035P X =-=⨯+⨯+⨯=．1X 的分布列为………………7分则该企业在8月份的利润期望()()()15000.811000.15510000.035354.5E X =⨯+-⨯+-⨯=（万元）．选择方案二，则2X （万元）的取值为：460,1040-，由（I ）知，()()224600.810.1550.965,10400.035P X P X ==+==-=，2X 的分布列为：X 2460－1040P0．9650．035…………………………9分则该企业在8月份的平均利润期望()()24600.96510400.035407.5E X =⨯+-⨯=（万元）…………………………10分选择方案三，则该企业在8月份的利润为：()3500100400E X =-=（万元）………………………11分X 1500－100－1000P0．810．1550．035由于()()()231E X E X E X >>，因此企业应选方案二．…………………12分22.解（1）由题意可知xx g ln )(=xy 1/=，所以1=k ，所以切线方程为1+=x y …………………….2分（2）令xe x g xf x h xln )()()(-=-=x e x h x 1)(/-=，因为01)1(/>-=e h ，0221(/<-=e h ，又因为)(/x h 在+R 上单增所以存在唯一的)1,21(0∈x ，使得0)(0/=x h ，即010x e x =，……………..3分当0)(),,0(/0<∈x h x x ，所以)(x h 单减，同理)(x h 在),(0+∞x 单增，所以00ln )(0x e x h m x -==，…………….4分因为01x ex =，所以00ln x x =-所以0001ln 0x x x em x +=-=因为)1,21(0∈x ，所以252<<m ……………..6分（3）因为x e x F mx ln )(-=-,，所以xe x F m x 1)(/-=-因为,011)(/>-=mm F 01)1(1/<-=-m e F ，所以存在唯一的),1(1m x ∈，使得0)(1/=x F ，即111x e m x =-)(x F 在()1,0x 单减，在()+∞,1x 单增所以00111111min 111ln )()(1x x x x m x x x e x F x F m x --+=-+=-==-……………..8分因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===-000111101x m x e x ex m x 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=001001ln 1ln xx x x x x ，所以1011ln x x x x -=……………..10分令0110,x t x t x x ==则，所以00011ln x tx t x t -=-=因为1ln 1-≤≤-t t tt （要证）所以1110-≤-≤-t x t t t 由110-≤-t x t ，可得011)(1(0≥+-x t ，所以1≥t 所以010≤-x t，01≥-t t ，所以1=t ，即110=x x ，…………….11分所以0)(min =x F ……………..12分。

山东实验中学2019年高三第二次重点-数学(文)

山东实验中学2019年高三第二次重点-数学（文）山东省实验中学 2018届高三第二次模拟考试数学试题〔文科〕本卷须知本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕，两卷合计150分，考试时间为120分钟。

选择题答案填涂在答题卡上;填空题、解答题答在答题纸上、第一卷〔选择题60分〕【一】选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、 1、集合}5,3,1{=A ，集合},,2{b a B =，假设B A {1,3}=，那么b a +的值是10.A 9.B 7.C 4.D2、复数i i(113-为虚数单位〕的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是.A (1,1).B (1,1)-.C (1,1)-.D (1,1)--3、“22a b >”是“22log log a b >”的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件4、直线m l ,与平面γβα,,，满足γβ =l ，α//l ，α⊂m ，γ⊥m ，那么必有.A γα⊥且m l ⊥.B γα⊥且β//m .C β//m 且m l ⊥.D βα//且γα⊥5、在等比数列{}n a 中，5113133,4,a a a a ⋅=+=那么155a a =A 、3B 、13C 、3或13D 、3-或13-6、某几何体的三视图如下图、那么该几何体的体积是A、332B、34C、38D、47、以点)2,2(-为圆心并且与圆014222=+-++yxyx相外切的圆的方程是A、9)2()2(22=++-yx B、9)2()2(22=+++yxC、16)2()2(22=-+-yx D、16)2()2(22=++-yx8、yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+--≥+-≤2211yxyxx，那么22yx+的最小值为A、5B、552C、1D、259、函数|sintan|sintan xxxxy--+=在区间⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ内的图像是A、B、C、D、10、P是ABC∆内的一点，1()3AP AB AC=+，那么ABC∆的面积与ABP∆的面积之比为A、3B、6C、2D、2311、在区间]5,1[和]4,2[分别取一个数,记为a b,,那么方程12222=+byax表示焦点在x轴上且离心率小于2的椭圆的概率为A、12B、3132C、1732D、153212、函数2()f x x bx a=-+的图象如下图，那么函数()ln()g x x f x'=+的零点所在的区间是〔〕结束A、11(,42B、1(,1)2C、)2,1(D、(2,3)第II卷〔非选择题90分〕【二】填空题：本大题共4个小题，每题4分，共16分、将答案填在题中横线上、13、)(xf是奇函数,,2)1(,4)()(=+=gxfxg那么)1(-f的值是、14、阅读右图程序框图、假设输入5n=，那么输出k的值为___________、15、在ABC∆中，假设1=b,3=c,32π=∠C,那么=∆ABCS_______________、16、设xxf cos)(1=，定义)(1xfn+为)(xfn的导数，即)(')(1xfxfnn=+，n∈*N，假设ABC∆的内角A满足31)()()(201321=+++AfAfAf ，那么A2sin的值是、【三】解答题：本大题共6个小题,共74分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、17、〔本小题总分值12分〕函数2()sin cos2f x x x xωωω=⋅+-0>ω〕，直线1xx=，2xx=是)(xfy=图象的任意两条对称轴，且||21xx-的最小值为4π、〔1〕求()f x的表达式；〔2〕将函数()f x的图象向右平移8π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x=的图象，假设关于x的方程()0g x k+=，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k的取值范围、18、〔本小题总分值12分〕2013年“五一”期间，高速公路车辆较多。

山东省实验中学2022-2023学年高三第二次诊断考试数学试题(解析版)

9.下列数列是单调递增数列的有（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用验证各选项即可.
【详解】因为
选项A：，所以，不是单调递增数列；
选项B：，所以是单调递增数列；
选项C：，所以，不是单调递增数列；
选项D：，所以是单调递增数列；
故选：BD
10.已知函数，下列选项中正确的是（）
【点睛】解决极值点问题，通常求导转化为导数根的问题，结合韦达定理可将双变量问题转化为单变量问题；而恒成立问题，通常采用参变分离，转化为函数最值问题，利用导数加以解决.
二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
山东省实验中学2023届高三第二次诊断考试
数学试题2022．11
注意事项：
1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码．
2．本试卷满分150分，分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至第4页．
3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】，，，计算，计算模长得到答案。
【详解】，故，，
故，，，
，
故选：B
7.已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用辅助角公式得到，设，将问题转化为在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，再结合图象进行求解.

2019届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学(理)试题及答案

山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学试题(理科)说明：本试卷满分150分，分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷为第1页至第3页，第II 卷为第3页至第5页。

试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第I 卷(共60分)一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项．．．．．．符合题意) 1．已知集合{}{}12342468A B A B ==⋃，，，，，，，，则中的元素个数是A ．2B ．3C ．6D ．82．已知向量()()1,2,,1a b m a b m =-=⊥=，若，则 A. 2-B ．12-C ．12D ．23．设,x y 满足约束条件326000x y x z x y y +-≤⎧⎪≥=-⎨⎪≥⎩，则的最大值是 A ．3-B ．0C ．2D ．34．已知等比数列{}n a 中，3752,8,a a a =-=-=则 A. 4-B ．±4C ．4D ．165．“1a >”是“指数函数()()32xf x a =-在R 单调递减”的 A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布()20,4N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<≤+=，())2295.44%P μσξμσ-<≤+=，A ．4.56％B.13．59％C ．27.18％D ．31.74％7．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+(股－勾)= 4×朱实十黄实=弦实=弦2，化简得：勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为若向弦图内随机抛掷l 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为 A ．866B.500C ．300D ．1348.函数21x y e x =-的部分图象为9．6211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式2x 的系数为A ．45-B ．15-C ．15D ．4510．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是,,a b c ，当且仅当a b c b >>且时称为“凹数”，若{},,1234a b c ∈，，，，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A. 13B ．532C.732D ．7121l.将函数()cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移6π个单位后得到函数()g x 的的图像，若函数()g x 在区间[]0,2,49a a πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与上均单调递增，则买效a 的取值范围为 A ．13,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．133,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．7,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．73,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知,,OA OB OC 均为单位向量，满足1,0,02OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅≥⋅≥，设OC xOA yOB =+，则x y +的最小值为：A. 3-B.0C.3D.1第II 卷(非选择题，共90分)二、填空题(本题包括4小题，共20分)13．已知函数()()()3log ,,19,0x x x f x f f x >0⎧=-=⎨≤⎩则_________14．设,x y 为正实数，且211x y x y+=+，则的最小值为_________ 15．函数()()sin1cos 2xf x x =+的最大值为________ 16.右表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字2019在表中出现的次数为________三．解答题(本题包括6小题，共70分) 17．(本小题10分)已知在递增的等差数列{}1319,2,n a a a a a =中是和的等比中项 (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)若()11n nb n a =+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ．18．在ABC ∆中，A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，满足()2sin 32AB C +=． (I)求角A 的大小；(Ⅱ)若a b c =>，D 为BC的中点，且sin AD C 求的值．19.(本小题12分)某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x 与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z 与x 有很强的线性相关关系，请求出z 与x 的线性回归方程(回归系数,b a 精确到0.01)； (II)求y 关于x 的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．参考公式：()()()1122211,n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb a y bx x x xnx====---===---∑∑∑∑参考数据：6662111187.4,47.64,139,ln1.030.03,ln1.020.02.i ii i i i i i x yx z x ======≈≈∑∑∑20．(本小题12分)已知数列{}11,2,2n n n n a n S a a S +==+的前项和为 (I)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设()31n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T21．(本小题12分)依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示．(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I 级灾害的概率；(Ⅱ)黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.22．(本小题12分)已知()xf x e =(e 为自然对数的底数，e=2.71828……)，函数()()yg x y f x ==与图象关于直线y x =对称，函数()()f x g x -的最小值为m ． (I)求曲线()()212y g x =+在点，的切线方程； (Ⅱ)求证：522m <<； (III)求函数()()()F x f x m g x =--的最小值．山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学答案 (理科)选择题CDCAB BDABC BC 二．填空题13. 2- 14. 223+ 15. 934 16. 4 三．解答题17.解：（1）设公差为d因为9123a a a =，所以)82(2)22(2d d +=+，解得2=d ………………..2分所以n a n 2= …………………5分（2）由题意可知：)111(21)1(21+-=+=n n n n b n …………………8分所以=n S )1(2)111...3121211(21+=+-++-+-n n n n …………………10分 18.解：（1）2sin 332)sin(2A C B =+，所以2sin 332sin 2AA =，所以32tan =A因为),0(π∈A ，所以32π=A ，所以32π=A …………………5分（2）由题意可知：ADC ADB ∠-=∠cos cos 所以372373723722b c -+-=-+所以2022=+c b 又因为A bc b c a cos 2222-+=，所以8=bc因为c b >，所以2,4==c b …………………10分由正弦定理可得C c A a sin sin =，所以1421sin =C …………………12分19. 解：(1)由题意，知x －＝16×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，……………1分z －＝16×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，……………………2分又∑6i ＝1x i z i ＝47.64，∑6i ＝1x 2i ＝139 所以b ^＝47.64－6×4.5×2139－6×4.52＝－6.3617.5≈－0.363，………………………6分所以a ^＝z －－b ^x －＝2＋0.363×4.5＝3.63，……………………7分所以z 与x 的线性回归方程是z ^＝－0.36x ＋3.63；………………….8分（2）因为z ＝ln y ，所以y 关于x 的回归方程是y ^＝e －0.36x ＋3.63……………………….10分令x ＝10，得y ^＝e －0.36×10＋3.63＝e 0.03，因为ln 1.03≈0.03，所以y ^＝1.03，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．………………….12分20.解：（1）由题意可知：当2≥n 时，12-+=n n S a ，又因为n n S a +=+21，所以n n a a 21=+，…………………2分又因为当1=n ，42=a ，所以122a a = ………………….3分所以{}na 等比数列，且n na2= …………………5分（2）nn n T 2)13( (25222)-++⋅+⋅= 1322)13(...25222+-++⋅+⋅=n n n T1322)13(23...23234+--⋅++⋅+⋅+=-n n n n T 112)13(212134+-----+=n n n 12)127(1--+=n n所以12)712(1--=-n nn T …………………12分21．（I ）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件1A ，“水位在40米至50米之间”为事件2A ，“水位大于50米”为事件3A ，它们发生的概率分别为：()()()()120.020.050.0650.65,0.040.0250.30P A P A =++⨯==+⨯=，()30.0150.05P A =⨯=．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件1B ，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件3B ，所以()()()1230.1,0.2,0.6P B P B P B ===．记“该黄河在8月份发生1级灾害”为事件B ．则()()()()()()()()()()112233112233P B P AB P A B P A B P A P B P A P B P A P B =++=++0.650.100.300.200.050.600.155=⨯+⨯+⨯=．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155．………………………………4分（II ）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润1X （万元）的取值为：500,100,1000--，由（I ）知()()115000.650.90.300.750.0500.81,1000.155,P X P X ==⨯+⨯+⨯==-= ()110000.6500.300.050.050.400.035P X =-=⨯+⨯+⨯=． 1X 的分布列为………………7分则该企业在8月份的利润期望()()()15000.811000.15510000.035354.5E X =⨯+-⨯+-⨯=（万元）．选择方案二，则2X （万元）的取值为：460,1040-，由（I ）知，()()224600.810.1550.965,10400.035P X P X ==+==-=， 2X 的分布列为：…………………………9分则该企业在8月份的平均利润期望()()24600.96510400.035407.5E X =⨯+-⨯=（万元） …………………………10分选择方案三，则该企业在8月份的利润为：()3500100400E X =-=（万元） ………………………11分由于()()()231E X E X E X >>，因此企业应选方案二． ……………… …12分22.解（1）由题意可知x x g ln )(=xy 1/=，所以1=k ，所以切线方程为1+=x y …………………….2分（2）令x e x g x f x h xln )()()(-=-=x e x h x 1)(/-=，因为01)1(/>-=e h ，02)21(/<-=e h ，又因为)(/x h 在+R 上单增所以存在唯一的)1,21(0∈x ，使得0)(0/=x h ，即10x e x =，……………..3分当0)(),,0(/0<∈x h x x ，所以)(x h 单减，同理)(x h 在),(0+∞x 单增，所以00ln )(0x e x h m x -==， …………….4分因为01x ex =，所以00ln x x =- 所以0001ln 0x x x em x +=-=因为)1,21(0∈x ，所以252<<m ……………..6分（3）因为x ex F mx ln )(-=-,，所以xe x F m x 1)(/-=- 因为,011)(/>-=mm F 01)1(1/<-=-m e F ，所以存在唯一的),1(1m x ∈，使得 0)(1/=x F ，即111x e m x =- )(x F 在()1,0x 单减，在()+∞,1x 单增所以00111111min 111ln )()(1x x x x m x x x e x F x F mx --+=-+=-==-……………..8分因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===-000111101x x m x e x ex m x 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=001001ln 1ln xx x x x x ，所以10011ln x x x x -=……………..10分令0110,x t x t x x ==则，所以00011ln x t x t x t -=-= 因为1ln 1-≤≤-t t tt （要证）所以1110-≤-≤-t x t t t 由110-≤-t x t ，可得0)11)(1(0≥+-x t ，所以1≥t 所以010≤-x t，01≥-t t ，所以1=t ，即110=x x ， …………….11分所以0)(min =x F ……………..12分2019届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学（理）试题解析一、单选题1．已知集合中的元素个数是A．2 B．3 C．6 D．8【答案】C【解析】先写出，再看的个数.【详解】由题得=，故A∪B的元素的个数为6，故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2．已知向量A．B．C．D．2【答案】D【解析】由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得故答案为：D【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 3．设满足约束条件的最大值是A．B．0 C．2 D．3【答案】C【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的点B时，目标函数取得最大值，由解得B（2，0），目标函数的最大值为2-0=2,故答案为：C【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．4．已知等比数列中，A．B．±4 C．4 D．16【答案】A【解析】由题得，解之即得解.【详解】由题得因为等比数列的奇数项同号，所以，故答案为：A【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，本题要注意检验.5．“”是“指数函数单调递减”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先化简“指数函数单调递减”得，再利用充要条件的定义判断得解.【详解】因为“指数函数单调递减”，所以，所以“”是“指数函数单调递减”的必要非充分条件.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查指数函数的单调性的运用，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：①若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.6．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量服从正态分布，则，A．4.56％B．13．59％C．27.18％D．31.74％【答案】B【解析】由题意P（﹣4＜ξ＜4）=0.6826，P（﹣8＜ξ＜8）=0.9544，可得P（4＜ξ＜8）=（0.9544﹣0.6826），即可得出结论．【详解】由题意P （﹣4＜ξ＜4）=0.6826，P （﹣8＜ξ＜8）=0.9544，可得P （4＜ξ＜8）=（0.9544 ﹣0.6826）= 0.1359．故答案为：B 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．7．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股(+股-勾2)4=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A ． 866B ． 500C ． 300D ． 134 【答案】D【解析】由题意，大正方形的边长为21，则所求黄色图形内的图钉数大约为21000134⨯≈⎝⎭，故选D.8．函数21x y e x =-的部分图象为（）【答案】A【解析】试题分析：因,故当时,,函数21x y e x =-单调递增; 当时,,函数21x y e x =-单调递减; 当时,,函数21x y e x =-单调递增.故应选A.【考点】导数与函数单调性的关系．9．展开式的系数为A ．B ．C ． 15D ． 45【答案】B【解析】先化简=，再利用二项式定理的通项分析得解.【详解】由题得=，设对于二项式，设其通项为，令6-r-3k=2,所以r+3k=4,r,k∈,方程的解为r=1,k=1或者r=4,k=0.所以展开式的系数为.故答案为：B【点睛】本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式中的系数的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.10．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A．B．C．D．【答案】C【解析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=.故答案为：C【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移个单位后得到函数的的图像，若函数在区间上均单调递增，则实数a的取值范围为A．B．C．D．【答案】B【解析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a的范围．【详解】将函数f（x）=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos的图象；然后向右平移个单位后得到函数g（x）=cos=cos（﹣）的图象，若函数g（x）在区间与[2aπ，4π]上均单调递增，则0﹣=﹣，﹣≤0，且﹣≥2kπ﹣π，﹣≤2kπ，k∈Z．解得≤a≤，故答案为：B【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．12．已知均为单位向量，满足，设，则的最小值为：A．B．0 C．D．1【答案】C【解析】由题意可设C（cos θ，sin θ），设A（，），B（1，0），由条件求得x，y，再由两角和的正弦公式、正弦函数的最值，可得最小值．【详解】由||=1可设C（cos θ，sin θ），又•=，所以cos∠BOA=,所以∠BOA=.因为||=||=1，可设A（，），B（1，0），=x+y，所以所以,因为,所以（1）因为，所以，（2）由（1）（2）得所以当x+y最小值为.故答案为：C【点睛】本题考查平面向量的基本定理和向量数量积的坐标表示，两角和的正弦公式、正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13．已知函数_________【答案】【解析】先求f(-1),再求的值.【详解】由题得f(-1)=所以=故答案为：-2【点睛】本题主要考查函数求值，考查对数函数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.14．设为正实数，且的最小值为_________【答案】【解析】由题得=,再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得=,当且仅当时取等.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15．函数的最大值为________【答案】【解析】先化简，再利用基本不等式求的最大值，即得f(x)的最大值.【详解】由题得，所以所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.16．下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字2019在表中出现的次数为________【答案】【解析】利用观察法及定义可知第1行数组成的数列A（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差1j数列，进一步分析得知第j列数组成的数列A（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等1j差数列，同时分别求出通项公式，从而从而得知结果．【详解】．那么每一组i与j的解就是表中一个数．第i行第j列的数记为Aij因为第一行数组成的数列A（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，1j所以A=2+（j﹣1）×1=j+1，1j所以第j列数组成的数列A（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，1j所以A=j+1+（i﹣1）×j=ij+1．ij令A=ij+1=2019，ij即ij=2018=1×2018=2018×1=2×1009=1009×2故表中2019共出现4次．故答案为：4【点睛】此题考查行列模型的等差数列的求法，解答的关键是分析出A=j+1+（i﹣1）×j=ij+1.ij三、解答题17．已知在递增的等差数列的等比中项(I)求数列的通项公式；(II)若，为数列的前n项和，求．【答案】（1）（2）【解析】(I)根据已知求出的通项公式. (II)由题意可知，再利用裂项相消法求和得解.【详解】(I)设公差为,因为，所以，解得所以.(II)由题意可知：所以.【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18．在中，A,B,C所对的边分别为，满足．(I)求角A的大小；(Ⅱ)若，D为BC的中点，且的值．【答案】（1）（2）【解析】(I)得，求出 . (Ⅱ)由题意可知，化简得，再结合余弦定理求出，再利用正弦定理求出的值．【详解】(I)，所以，所以因为，所以，所以(Ⅱ)由题意可知：所以所以又因为，所以，因为，所以由正弦定理可得，所以【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19．某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z与x有很强的线性相关关系，请求出z与x的线性回归方程(回归系数精确到0.01)；(II)求y关于x的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．参考公式：参考数据：【答案】（1）z与x的线性回归方程是（2）当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【解析】(I)利用最小二乘法求出z与x的线性回归方程. (II)先求出y关于x的回归方程是, 令x＝10，预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价.【详解】(I)由题意，知，，又,所以，所以，所以z与x的线性回归方程是；(II)因为,所以y关于x的回归方程是,令x＝10，得=,因为ln 1.03≈0.03，所以，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20．已知数列(I)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前n项和【答案】（1）（2）【解析】(I)利用项和公式求数列的通项公式. (Ⅱ)利用错位相减法求数列的前n项和【详解】(I)由题意可知：当时，，又因为，所以，又因为当，，所以所以等比数列，且（2）所以【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21．依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示．(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I级灾害的概率；(Ⅱ)黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.【答案】（1）（2），因此企业应选方案二．【解析】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，分别求出它们发生的概率，记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，分别求出它们发生的概率，再利用求解.（II）以企业利润为随机变量，分别计算出三种方案的利润，再选择.【详解】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为：，．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，所以．记“该黄河在8月份发生1级灾害”为事件．则．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为．（II）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为：，由（I）知．的分布列为则该企业在8月份的利润期望（万元）．选择方案二，则（万元）的取值为：，由（I）知，，的分布列为：则该企业在8月份的平均利润期望（万元）选择方案三，则该企业在8月份的利润为：（万元）由于，因此企业应选方案二．【点睛】本题主要考查概率的计算，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22．已知(e为自然对数的底数，e=2.71828……)，函数图象关于直线对称，函数的最小值为m．(I)求曲线的切线方程；(Ⅱ)求证：；(III)求函数的最小值．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】(I)由题意可知,再利用导数的几何意义求切线方程. (Ⅱ)令，求出函数的最小值，再根据得到 . (III)先利用导数求得，再证明，所以.【详解】(I)由题意可知，所以，所以切线方程为，(Ⅱ)令，因为，，又因为在上单增所以存在唯一的，使得，即，当，所以单减，同理在单增，所以，因为，所以所以因为，所以(III)因为,，所以因为，所以存在唯一的，使得，即在单减，在单增所以因为所以，所以令，所以因为所以由，可得，所以所以，，所以，即，所以。

山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学试题(理)含答案

- 1 - 山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试
数学试题(理科)
2018．11
说明：本试卷满分150分，分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷为第1
页至第3页，第II 卷为第3页至第5页。

试题答案请用
2B 铅笔或0.5mm 签字笔涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第I 卷(共60分)
一、选择题(本题包括12小题，每小题
5分，共60分。

每小题只有一个选项．．．．．．符合题意) 1．已知集合
12342468A B A B ，，，，，，，，则中的元素个数是A ．2
B ．3
C ．6
D ．8 2．已知向量
1,2,,1a b m a b m ，若，则A. 2B ．1
2
C ．12
D ．2 3．设,x y 满足约束条件
326000x y
x
z x y y ，则的最大值是A ．3B ．0 C ．2 D ．3
4．已知等比数列
n a 中，3752,8,a a a 则A. 4B ．±4 C ．4 D ．16
5．“1a ”是“指数函数32x f x a 在R 单调递减”的
A.充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件6．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布20,4N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是
(附：随机变量服从正态分布2,N ，则68.26%P ，2295.44%P ，
A ．4.56％ B.13．59％C ．27.18％
D ．31.74％。

高三★2019届山东省实验中学高三第二次诊断性考试数学试题(理)(word版)含答案

山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学试题(理科)2018．11说明：本试卷满分150分，分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷为第1页至第3页，第II 卷为第3页至第5页。

试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第I 卷(共60分)一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项．．．．．．符合题意) 1．已知集合{}{}12342468A B A B ==⋃，，，，，，，，则中的元素个数是A ．2B ．3C ．6D ．82．已知向量()()1,2,,1a b m a b m =-=⊥=，若，则 A. 2-B ．12-C ．12D ．23．设,x y 满足约束条件326000x y x z x y y +-≤⎧⎪≥=-⎨⎪≥⎩，则的最大值是 A ．3-B ．0C ．2D ．34．已知等比数列{}n a 中，3752,8,a a a =-=-=则 A. 4-B ．±4C ．4D ．165．“1a >”是“指数函数()()32xf x a =-在R 单调递减”的 A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布()20,4N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<≤+=，())2295.44%P μσξμσ-<≤+=，A ．4.56％B.13．59％C ．27.18％D ．31.74％7．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+(股－勾)= 4×朱实十黄实=弦实=弦2，化简得：勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷l 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为 A ．866B.500C ．300D ．1348.函数21x y e x =-的部分图象为9．6211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式2x 的系数为A ．45-B ．15-C ．15D ．4510．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是,,a b c ，当且仅当a b c b >>且时称为“凹数”，若{},,1234a b c ∈，，，，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A.13B ．532C.732D ．7121l.将函数()cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移6π个单位后得到函数()g x 的的图像，若函数()g x 在区间[]0,2,49a a πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与上均单调递增，则买效a 的取值范围为 A ．13,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．133,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．73,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知,,OA OB OC 均为单位向量，满足1,0,02OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅≥⋅≥，设O C x O A y =+，则x y +的最小值为：A.B.0D.1第II 卷(非选择题，共90分)二、填空题(本题包括4小题，共20分) 13．已知函数()()()3log ,,19,0xx x f x f f x >0⎧=-=⎨≤⎩则_________14．设,x y 为正实数，且211x y x y+=+，则的最小值为_________ 15．函数()()sin1cos 2xf x x =+的最大值为________ 16.右表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字2019在表中出现的次数为________三．解答题(本题包括6小题，共70分) 17．(本小题10分)已知在递增的等差数列{}1319,2,n a a a a a =中是和的等比中项 (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)若()11n nb n a =+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ．18．在ABC ∆中，A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，满足()2sin sin32AB C +=． (I)求角A 的大小；(Ⅱ)若a b c =>，D 为BC的中点，且sin AD C =求的值．19.(本小题12分)某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x 与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z 与x 有很强的线性相关关系，请求出z 与x 的线性回归方程(回归系数,b a 精确到0.01)；(II)求y 关于x 的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．参考公式：()()()1122211,n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb a y bx x x xnx====---===---∑∑∑∑参考数据：6662111187.4,47.64,139,ln1.030.03,ln1.020.02.i ii i i i i i x yx z x ======≈≈∑∑∑20．(本小题12分)已知数列{}11,2,2n n n n a n S a a S +==+的前项和为 (I)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设()31n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T21．(本小题12分)依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示．(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I 级灾害的概率；(Ⅱ)黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.22．(本小题12分)已知()xf x e =(e 为自然对数的底数，e=2.71828……)，函数()()yg x y f x ==与图象关于直线y x =对称，函数()()f x g x -的最小值为m ． (I)求曲线()()212y g x =+在点，的切线方程； (Ⅱ)求证：522m <<； (III)求函数()()()F x f x m g x =--的最小值．山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学答案 (理科) 2018．11一. 选择题 CDCAB BDABC BC 二．填空题13. 2- 14. 223+ 15. 934 16. 4 三．解答题17.解：（1）设公差为d因为9123a a a =，所以)82(2)22(2d d +=+，解得2=d ………………..2分所以n a n 2= …………………5分（2）由题意可知：)111(21)1(21+-=+=n n n n b n …………………8分所以=n S )1(2)111...3121211(21+=+-++-+-n n n n …………………10分 18.解：（1）2sin 332)sin(2A C B =+，所以2sin 332sin 2AA =，所以32tan =A因为),0(π∈A ，所以32π=A ，所以32π=A …………………5分（2）由题意可知：ADC ADB ∠-=∠cos cos 所以372373723722b c -+-=-+所以2022=+c b又因为A bc b c a cos 2222-+=，所以8=bc因为c b >，所以2,4==c b …………………10分由正弦定理可得C c A a sin sin =，所以1421sin =C …………………12分 19. 解：(1)由题意，知x －＝16×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，……………1分z －＝16×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，……………………2分又∑6i ＝1x i z i ＝47.64，∑6i ＝1x 2i ＝139所以b ^＝47.64－6×4.5×2139－6×4.52＝－6.3617.5≈－0.363，………………………6分所以a ^＝z －－b ^x －＝2＋0.363×4.5＝3.63，……………………7分所以z 与x 的线性回归方程是z ^＝－0.36x ＋3.63；………………….8分（2）因为z ＝ln y ，所以y 关于x 的回归方程是y ^＝e －0.36x ＋3.63……………………….10分令x ＝10，得y ^＝e －0.36×10＋3.63＝e 0.03，因为ln 1.03≈0.03，所以y ^＝1.03，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．………………….12分20.解：（1）由题意可知：当2≥n 时，12-+=n n S a ，又因为n n S a +=+21，所以n n a a 21=+，…………………2分又因为当1=n ，42=a ，所以122a a = ………………….3分所以{}na 等比数列，且n na2= …………………5分（2）nn n T 2)13( (25222)-++⋅+⋅= 1322)13(...25222+-++⋅+⋅=n n n T1322)13(23...23234+--⋅++⋅+⋅+=-n n n n T 112)13(212134+-----+=n n n 12)127(1--+=n n所以12)712(1--=-n nn T …………………12分21．（I ）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件1A ，“水位在40米至50米之间”为事件2A ，“水位大于50米”为事件3A ，它们发生的概率分别为：()()()()120.020.050.0650.65,0.040.0250.30P A P A =++⨯==+⨯=，()30.0150.05P A =⨯=．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件1B ，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件3B ，所以()()()1230.1,0.2,0.6P B P B P B ===．记“该黄河在8月份发生1级灾害”为事件B ．则()()()()()()()()()()112233112233P B P AB P A B P A B P A P B P A P B P A P B =++=++0.650.100.300.200.050.600.155=⨯+⨯+⨯=．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155．………………………………4分（II ）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润1X （万元）的取值为：500,100,1000--，由（I ）知()()115000.650.90.300.750.0500.81,1000.155,P X P X ==⨯+⨯+⨯==-= ()110000.6500.300.050.050.400.035P X =-=⨯+⨯+⨯=． 1X 的分布列为………………7分则该企业在8月份的利润期望()()()15000.811000.15510000.035354.5E X =⨯+-⨯+-⨯=（万元）．选择方案二，则2X （万元）的取值为：460,1040-，由（I ）知，()()224600.810.1550.965,10400.035P X P X ==+==-=， 2X 的分布列为：…………………………9分则该企业在8月份的平均利润期望()()24600.96510400.035407.5E X =⨯+-⨯=（万元） …………………………10分选择方案三，则该企业在8月份的利润为：()3500100400E X =-=（万元） ………………………11分由于()()()231E X E X E X >>，因此企业应选方案二． ……………… …12分22.解（1）由题意可知x x g ln )(=xy 1/=，所以1=k ，所以切线方程为1+=x y …………………….2分（2）令x e x g x f x h xln )()()(-=-=x e x h x 1)(/-=，因为01)1(/>-=e h ，02)21(/<-=e h ，又因为)(/x h 在+R 上单增所以存在唯一的)1,21(0∈x ，使得0)(0/=x h ，即10x e x =，……………..3分当0)(),,0(/0<∈x h x x ，所以)(x h 单减，同理)(x h 在),(0+∞x 单增，所以00ln )(0x e x h m x -==， …………….4分因为01x ex =，所以00ln x x =- 所以0001ln 0x x x em x +=-=因为)1,21(0∈x ，所以252<<m ……………..6分（3）因为x ex F mx ln )(-=-,，所以xe x F m x 1)(/-=- 因为,011)(/>-=mm F 01)1(1/<-=-m e F ，所以存在唯一的),1(1m x ∈，使得 0)(1/=x F ，即111x e m x =- )(x F 在()1,0x 单减，在()+∞,1x 单增所以00111111min 111ln )()(1x x x x m x x x e x F x F mx --+=-+=-==-……………..8分因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===-000111101x x m x e x ex m x 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=001001ln 1ln xx x x x x ，所以10011ln x x x x -= ……………..10分令0110,x t x t x x ==则，所以00011ln x t x t x t -=-= 因为1ln 1-≤≤-t t tt （要证）所以1110-≤-≤-t x t t t 由110-≤-t x t ，可得0)11)(1(0≥+-x t ，所以1≥t所以010≤-x t，01≥-t t ，所以1=t ，即110=x x ， …………….11分所以0)(min =x F ……………..12分。