2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.5 椭圆课件 理
【解析】 由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a， |BF1|＋|BF2|＝2a， 又∵△AF1B 的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4 3， 3 ∴a＝ 3。又 e＝ ，∴c＝1。∴b2＝a2－c2＝2。 3 x 2 y2 ∴椭圆的方程为 ＋ ＝1，故选 A。 3 2 【答案】 A
两式相加得|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝16， 即△AF1B 周长为 16，又因为在△AF1B 中，有两边之和是 10，所以 第三边和长度为 16－10＝6。选 A。 答案 A
x2 2 (2)已知椭圆 ＋y ＝1 ， F1， F2 为其两焦点， P 为椭圆上任一点，则 4 |PF1|· |PF2|的最大值为( A．6 C．及应用
x 2 y2 【例 1】 (1)设 F1，F2 分别是椭圆 ＋ ＝1 的左、右焦点，P 为椭圆 25 16 上一点， M 是线段 F1P 的中点， |OM|＝3， 则 P 点到椭圆左焦点的距离为( A．4 C．2 B．3 D．5 )
【解析】 由题意知，在△PF1F2 中， 1 |OM|＝ |PF2|＝3， 2 ∴|PF2|＝6。∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4。 【答案】 A
解析
) B．4 D．8
设 |PF1| ＝ m ， |PF2| ＝ n ， 则 m ＋ n ＝ 2a ＝ 4 ， |PF|· |PF2| ＝
m＋n2 ＝4(当且仅当 m＝n＝2 时，取等号)。 mn≤ 2
答案 B
考点二
椭圆的标准方程
x2 y2 【例 2】 (1)已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F1，F2， 3 离心率为 3 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若△AF1B 的周长为 4 3， 则 C 的方程为( x2 y2 A. 3 ＋ 2 ＝1 x2 y2 C.12＋ 8 ＝1 ) x2 2 B. 3 ＋y ＝1 x2 y2 D.12＋ 4 ＝1
(2)已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切， 和圆 C2 相外切， 则动圆圆心 M 的轨迹方程为( x2 y2 A. － ＝1 64 48 x2 y2 C. － ＝1 48 64 x2 y2 B. ＋ ＝1 48 64 x2 y2 D. ＋ ＝1 64 48 )
x2 y2 (2)已知 F1，F2 是椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆 C a b → ⊥PF → 。若△PF F 的面积为 9，则 b＝________ 3 上的一点，且PF 。 1 2 1 2
→ → 【解析】 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1⊥PF2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2。 ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|· |PF2|＝4c2。 ∴2|PF1|· |PF2|＝4a2－4c2＝4b2。 ∴|PF1|· |PF2|＝2b2， 1 1 ∴S△PF1F2＝2|PF1|· |PF2|＝2×2b2＝b2＝9。 ∴b＝3。
x2 y2 变式训练 1 (1)(2016· 丽水模拟)已知 F1， F2 是椭圆 ＋ ＝1 的两焦点， 16 9 过点 F2 的直线交椭圆于 A，B 两点，在△AF1B 中，若有两边之和是 10，则 第三边的长度为( A．6 C．4
解析
) B．5 D．3
|AF1|＋|AF2|＝8， 由椭圆定义知， |BF1|＋|BF2|＝8，
考点三
椭圆的几何性质
x2 y2 【例 3】 (1)(2015· 广东卷)已知椭圆 ＋ 2＝1(m>0)的左焦点为 F1(－ 25 m 4,0)，则 m＝( A．2 C．4
【解析】
) B．3 D．9
由已知 a2 ＝ 25 ， b2 ＝ m2 ， c＝ 4 ，又由 a2 ＝ b2 ＋ c2 ，可得
m2＝9。因为m>0，所以m＝3。 【答案】 B
基 础 自 测
[判一判] (1)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是 椭圆。( × ) 解析 错误。动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点 P的轨迹是线段AB而非椭圆。 (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为 椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)。( √ ) 解析 正确。根据椭圆定义可知， |PF1|＋ |PF2|＝ 2a ， |F1F2|＝ 2c，所
第八章 平面解析几何
第五节
椭圆
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲
1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世
界和解决实际问题中的作用； 2. 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及 简单几何性质；3.了解圆锥曲线的简单应用；4.理解数形结合的思想。
J 基础知识
x2 y2 解 由于焦点的位置不确定，∴设所求的椭圆方程为 2＋ 2＝1(a>b>0) a b y2 x2 或a2＋b2＝1(a>b>0)，
2a＝5＋3， 由已知条件得 2 2 2 2c ＝5 －3 ，
解得 a＝4，c＝2，∴b2＝12。 x2 y 2 y2 x2 故椭圆的标准方程为16＋12＝1 或16＋12＝1。
解析
) B．2 6 D．4 3
依题意得|AC|＝5，所以椭圆的焦距为 2c＝|AB|＝4，长轴长
2a＝|AC|＋|BC|＝8，所以短轴长为 2b＝2 a2－c2＝2 16－4＝4 3。 答案 D
x 2 y2 5．椭圆 2＋ ＝1(a 为定值，且 a> 5)的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆 a 5 2 3 相交于点 A， B， △FAB 的周长的最大值是 12， 则该椭圆的离心率是________ 。
【规律方法】
(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求
椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值
和离心率等。
(2) 利 用 定 义 和 余 弦 定 理 可 求 得 |PF1|·|PF2| ， 再 结 合 |PF1|2 ＋ |PF2|2 ＝ (|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|进行转化，可求焦点三角形的周长和面积。
自主学习
知 识 梳 理
1．椭圆的定义
(1)我们把平面内到两个定点F1、F2的距离之 和 等于常数(大于|F1F2|)
的点的集合叫作椭圆。这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1， F2间的距离叫作椭圆的 焦距 。 (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a， c为常数： ①若 a>c ，则集合P为椭圆； ②若 a＝c ，则集合P为线段； ③若 a<c ，则集合P为空集。
y2 x2 ＋ ＝1(a>b>0) a2 b2 －b≤x≤b －a≤y≤a A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
2a
；
短轴 B1B2 的长为 2b
2c |F1F2|＝_____
c (0,1) e＝ ∈______ a
a2－b2 c2＝_______
以△PF1F2的周长为2a＋2c。
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越“圆”。( × ) 解析 错误。根据椭圆离心率的意义可知，椭圆的离心率e越大，椭圆 )
就越“扁”而非“圆”。
(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。( √ 解析 正确。根据椭圆的性质可知，椭圆既是轴对称图形，又是中心
对称图形。
x2 y2 1 (2)如图，焦点在 x 轴上的椭圆 4 ＋b2＝1 的离心率 e＝2，F，A 分别是 → → 椭圆的一个焦点和顶点， P 是椭圆上任意一点，则 PF · PA 的取值范围是
[练一练] x2 y2 1． 设 P 是椭圆 ＋ ＝1 上的点， 若 F1，F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1| 4 9 ＋|PF2|等于( A．4 C．6 ) B．8 D．18
解析 依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6。
答案 C
x2 y2 2．方程 ＋ ＝1 表示椭圆，则 m 的范围是( 5－m m＋3 A．(－3,5) C．(－3,1)∪(1,5) B．(－5,3) D．(－5,1)∪(1,3)
解析 如图所示， 设椭圆右焦点为 F1， 直线 AB 与 x 轴交于点 H， 则|AF| ＝2a－|AF1|，△ABF 的周长为 2|AF|＋2|AH|＝2(2a－|AF1|＋|AH|)，
∵△AF1H 为直角三角形， ∴|AF1|＞|AH|，仅当|AF1|＝|AH|，即 F1 与 H 重合时，△AFB 的周长最 大，即最大周长为 2(|AF|＋|AF1|)＝4a＝12，∴a＝3。而 b＝ 5，∴c＝2， c 2 离心率 e＝a＝3。
－ 32 22 25 22 － 32 椭圆过点(2，－ 3)，∴t1＝ 4 ＋ 3 ＝2，或 t2＝ 4 ＋ 3 ＝12。 x2 y2 y2 x 2 故所求椭圆的标准方程为 8 ＋ 6 ＝1 或25＋25＝1。 3 4
(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为
5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；
)
5－m>0， 解析 由方程表示椭圆知m＋3>0， 5－m≠m＋3， 解得－3<m<5 且 m≠1。 答案 C
1 3．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 ，则 C 2 的方程是( ) x2 y2 B. ＋ ＝1 4 3 x2 y2 D. 4 ＋ 3 ＝1 x2 y2 A. ＋ ＝1 3 4 x2 y2 C. 4 ＋ 2 ＝1
【解析】 设圆 M 的半径为 r， 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16， ∴M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8， x2 y 2 故所求的轨迹方程为 ＋ ＝1。 64 48 【答案】 D
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2017届高考数学一轮复习课件：第8章 平面解析几何8-5
第二十五页，编辑于星期六：一点 二十一分。
【跟踪训练】 3．已知椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)与双曲线mx22－yn22＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若 c 是 a、m 的等比中项，n2 是 2m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离心率是( )
3 A. 3
1 C.4
2 B. 2
1 D.2
解析 在双曲线中 m2＋n2＝c2，又 2n2＝2m2＋c2，解得 m＝2c，又 c2＝am，解得 c＝2m，a＝4m，故椭
第十八页，编辑于星期六：一点 二十一分。
小题快做 1.思考辨析 (1)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成△PF1F2 的周长为 2a＋2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的 半焦距)．( √ ) (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越“圆”．( × )
第十九页，编辑于星期六：一点 二十一分。
考点多维探究
第四页，编辑于星期六：一点 二十一分。
考点 1 椭圆的定义与标准方程
回扣教材 1.椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点 F1，F2 的距离的_和____等于_常 __数 ___ (大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这 两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做_焦__距__．_ (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝__2_a___，且 2a__>____|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中 a>c>0，且 a，c 为常 数． 注意：当 2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
第十三页，编辑于星期六：一点 二十一分。
【跟踪训练】 3．已知椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)与双曲线mx22－yn22＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若 c 是 a、m 的等比中项，n2 是 2m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离心率是( )
3 A. 3
1 C.4
2 B. 2
1 D.2
解析 在双曲线中 m2＋n2＝c2，又 2n2＝2m2＋c2，解得 m＝2c，又 c2＝am，解得 c＝2m，a＝4m，故椭
第十八页，编辑于星期六：一点 二十一分。
小题快做 1.思考辨析 (1)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成△PF1F2 的周长为 2a＋2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的 半焦距)．( √ ) (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越“圆”．( × )
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考点多维探究
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考点 1 椭圆的定义与标准方程
回扣教材 1.椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点 F1，F2 的距离的_和____等于_常 __数 ___ (大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这 两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做_焦__距__．_ (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝__2_a___，且 2a__>____|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中 a>c>0，且 a，c 为常 数． 注意：当 2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
第十三页，编辑于星期六：一点 二十一分。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆课件理北师大版
3．椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1 的焦距为 4，则 m＝_________． 解析：当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－(m－2)＝4，所以 m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m)＝4，所以 m＝8．所以m＝4或8． 答案：4或8
3．椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1 的焦距为 4，则 m＝_________． 解析：当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－(m－2)＝4，所以 m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m)＝4，所以 m＝8．所以m＝4或8． 答案：4或8
题型一 椭圆的定义与标准方程 1．已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦
点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是( C )
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
解析：由椭圆的方程得 a＝ 3．设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定 义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC 的周长为|BA|＋|BC|＋|CA| ＝ |BA|＋ |BF|＋ |CF|＋ |CA|＝ (|BA|＋ |BF|)＋ (|CF|＋ |CA|)＝ 2a＋ 2a＝ 4a＝ 4 3．
第八章 平面解析几何 第五节 椭圆
命题义、标准方程、本节主要考查考生的
几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考的 数学运算、直观想象
命题热点，直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、 核心素养及考生对数
三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现， 形结合思想、转化与
1．设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于
点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( D )
8.5-椭圆课件-广东省高职高考数学第一轮复习第八章平面解析几何
故长轴长为 2a＝10，短半轴长为 b＝3，焦距为 2c＝8，离心率为 e＝ac ＝45，焦点坐标为(±c，0)＝(±4，0)，顶点坐标为(±a，0)＝(±5，0)，(0， ±b)＝(0，±3)． 【答案】 10，3，8，45，(±4，0)，(±5，0)，(0，±3)．
【融会贯通】 已知椭圆方程 25x2＋16y2＝400，则长半轴长为___5___， 3
|x|≤b，|y|≤a
顶点
焦点 焦距 轴长
A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0) F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝2c 长轴长2a；短轴长2b
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点(也称为椭圆的 对称性
＝12，a＝6，又 c＝4，∴b2＝a2－c2＝20，故椭圆的标准方程是3y62 ＋2x02
＝1，故选 B.
(2)设椭圆1x62＋y92＝1 的两个焦点为 F1、F2，点 P 是椭圆上任意一点， |PF1|＋|PF2|＝____8__，则△ PF1F2 的周长为_____8_＋__2__7______． 【解析】 a＝4，b＝3，c＝ 16－9＝ 7，|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，△PF1F2 的周长为 2a＋2c＝8＋2 7.
例3 在平面直角坐标系中，已知动点 P 到两定点 F1(－1，0)和 F2(1，0)的距离之和为 2 2，过点 F1 作直线与 P 的轨迹交于 A、B 两 点．
(1)求动点 P 的轨迹方程；(2)求△ABF2 的周长． 【分析】 本题考查椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.
【解】 (1)由题意知 M 的轨迹应为椭圆且 c＝1，|PF1|＋|PF2|＝2a＝ 2 2，所以 a＝ 2， 所以 b＝ a2－c2＝1， 故椭圆的方程为x22＋y2＝1； (2)由题意得△ABF2 的周长 C＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋ |BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝2 2＋2 2＝4 2.
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆课件文
交椭圆 C 于 A，B 两点，且△ C 的方程为_1x_62＋__y8_2＝__1_或__x8_2＋__1y_62_＝_1．
在未明确焦点的具体位置时，应分情况
讨论．
解析 由椭圆的定义及△ABF2 的周长知 4a＝16，则 a
＝4，又ac＝ 22，所以 c＝ 22a＝2 2，所以 b2＝a2－c2＝16 －8＝8.当焦点在 x 轴上时，椭圆 C 的方程为1x62 ＋y82＝1；当 焦点在 y 轴上时，椭圆 C 的方程为1y62 ＋x82＝1.综上可知，椭 圆 C 的方程为1x62 ＋y82＝1 或x82＋1y62 ＝1.
典例2
(2017·江西模拟)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)，F1，
F2 为椭圆的左、右焦点，且焦距为 2 3，O 为坐标原点，点
P 为椭圆上一点，|OP|＝ 42a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比
数列，求椭圆的方程．
用待定系数法，根据已知列出方程组．
解 设 P(x，y)，则|OP|2＝x2＋y2＝a82， 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋ |PF2|2＝4a2， 又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列， ∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2， |PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2， ∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，整理得 x2＋y2＋ 5c2＝2a2，
(1)利用向量数量积得到目标函数，利用 二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明．
解 (1)设 P(x，y)，∴F1(－ 3，0)，F2( 3，0)， 则P→F1·P→F2＝(－ 3－x，－y)·( 3－x，－y)＝x2＋y2－3 ＝34x2－2， ∵x2∈[0,4]，∴34x2－2∈[－2,1]． ∴P→F1·P→F2的最大值为 1，最小值为－2.
2017高考理科数学(新课标)一轮复习课件：第8章 平面解析几何 第5讲
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 十一分。
(1)已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的一个焦点是圆 x2 ＋y2－6x＋8＝0 的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为
(D) A．(－3，0)
B．(－4，0)
C．(－10，0)
D．(－5，0)
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 十一分。
(2)(2015·高考福建卷)已知椭圆 E：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的右 焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x－4y＝0 交椭 圆 E 于 A，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4，点 M 到直线 l 的距离
C.x2＋y2＝1 或x2＋y2＝1
5
45
D．以上答案都不对
第八页，编辑于星期六：二十二点 十一分。
解析：直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知 当焦点在 x 轴上时，c＝2，b＝1， 所以 a2＝5，所求椭圆的标准方程为x2＋y2＝1.
5 当焦点在 y 轴上时，b＝2，c＝1， 所以 a2＝5，所求椭圆的标准方程为y2＋x2＝1.故选 C.
第八章 平面解析几何
第5讲 椭 圆
第一页，编辑于星期六：二十二点 十一分。
1．椭圆的定义 条件
平面内的动点M与平面内的两 个定点F1，F2
|MF1|＋|MF2|＝2a
2a＞|F1F2|
结论1 M点 的 轨迹 为 椭圆
结论2 __F_1、__F_2__ 为椭圆的焦点
__|F__1F_2_| __ 为椭圆的焦距
(2)设 P 点坐标为(x0，y0)．由题意知 a＝2， 因为 e＝c＝1，所以 c＝1，b2＝a2－c2＝3.
a2 故所求椭圆方程为x2＋ y2＝ 1.
(1)已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的一个焦点是圆 x2 ＋y2－6x＋8＝0 的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为
(D) A．(－3，0)
B．(－4，0)
C．(－10，0)
D．(－5，0)
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 十一分。
(2)(2015·高考福建卷)已知椭圆 E：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的右 焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x－4y＝0 交椭 圆 E 于 A，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4，点 M 到直线 l 的距离
C.x2＋y2＝1 或x2＋y2＝1
5
45
D．以上答案都不对
第八页，编辑于星期六：二十二点 十一分。
解析：直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知 当焦点在 x 轴上时，c＝2，b＝1， 所以 a2＝5，所求椭圆的标准方程为x2＋y2＝1.
5 当焦点在 y 轴上时，b＝2，c＝1， 所以 a2＝5，所求椭圆的标准方程为y2＋x2＝1.故选 C.
第八章 平面解析几何
第5讲 椭 圆
第一页，编辑于星期六：二十二点 十一分。
1．椭圆的定义 条件
平面内的动点M与平面内的两 个定点F1，F2
|MF1|＋|MF2|＝2a
2a＞|F1F2|
结论1 M点 的 轨迹 为 椭圆
结论2 __F_1、__F_2__ 为椭圆的焦点
__|F__1F_2_| __ 为椭圆的焦距
(2)设 P 点坐标为(x0，y0)．由题意知 a＝2， 因为 e＝c＝1，所以 c＝1，b2＝a2－c2＝3.
a2 故所求椭圆方程为x2＋ y2＝ 1.
高考数学(理)一轮复习课件：第8章 平面解析几何8-5
栏目 导引
第十二章
选考部分
2 2 x y 1 ＋ ＝1． 2．[教材改编]已知椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率为 ，则椭圆的标准方程为________ 4 3 2
x2 y2 解析 设椭圆标准方程为 2＋ 2＝1， a b
c＝1 a＝ 2 a 2 由已知可得c＝1， ⇒b＝ 3 2 2 2 c＝1 a ＝b ＋c
2 2 2 a ＝ b ＋ c 椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中 a 为斜边长，_______________.
栏目 导引
第十二章
选考部分
小题快做 1.思考辨析 (1)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( √ ) (2)平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (3)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 是 m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ )
选考部分
典例1
x2 y2 (1)[2013· 课标全国卷Ⅰ]已知椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 a b ) x2 y2 B. ＋ ＝1 36 27 x2 y2 D. ＋ ＝1 18 9
E 于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为( x2 y2 A. ＋ ＝1 45 36 x2 y2 C. ＋ ＝1 27 18
焦距． 两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做______ 2a ，且 2a______|F > (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝______ 1F2|}，|F1F2|＝2c，其中 a>c>0，且 a，c 为常
数． 注意：当 2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.5 椭圆课件
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1， 所以 y＝±1，把 y＝±1 代入x52＋y42＝1，得 x＝± 215，又 x>0，所以 x＝ 215，
∴P 点坐标为
215，1或
215，－1.
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解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一 椭圆的定义及标准方程
命题点1 椭圆定义的应用
例1 如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上
一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD
与OM交于点P，则点P的轨迹是( A )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
解析 由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为( A )
A.x32＋y22＝1
B.x32＋y2＝1
C.1x22 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy82＝1
D.1x22 ＋y42＝1
解析 ∵△AF1B 的周长为 4 3，∴4a＝4 3，
∴a＝ ∴b＝
3a，2－∵c2离＝心2率，为∴3椭3，圆∴Cc的＝方1，程为x32＋y22＝1.
答案
(5)ay22＋bx22＝1 (a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( × ) (6)ax22＋by22＝1 (a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相等.( √ )
答案
2
考点自测
C
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解析答案
B
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∴P 点坐标为
215，1或
215，－1.
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题型分类 深度剖析
题型一 椭圆的定义及标准方程
命题点1 椭圆定义的应用
例1 如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上
一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD
与OM交于点P，则点P的轨迹是( A )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
解析 由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为( A )
A.x32＋y22＝1
B.x32＋y2＝1
C.1x22 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy82＝1
D.1x22 ＋y42＝1
解析 ∵△AF1B 的周长为 4 3，∴4a＝4 3，
∴a＝ ∴b＝
3a，2－∵c2离＝心2率，为∴3椭3，圆∴Cc的＝方1，程为x32＋y22＝1.
答案
(5)ay22＋bx22＝1 (a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( × ) (6)ax22＋by22＝1 (a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相等.( √ )
答案
2
考点自测
C
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解析答案
B
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2017版高考一轮总复习数学课件：第8章 第5节 椭 圆
又 F1 是线段 AM 的中点，
∴PF1 为△MAN 的中位线，|AN|＝2|PF1|. 同理|BN|＝2|PF2|，又因为点 P 在椭圆 C：x92＋y42＝1 上，
由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×3＝6， 因此|AN|＋|BN|＝2(|PF1|＋|PF2|)＝12.
第四页，编辑于星期六：三点 三十分。
A.0，
23
B.0，34
C.
23，1
D.34，1
第十四页，编辑于星期六：三点 三十分。
解析：左焦点 F0，连接 F0A，F0B，则四边形 AFBF0 为平行四边 形．
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2. 设 M(0，b)，则45b≥45，∴1≤b<2.
离心率 e＝ac＝ ac22＝
(2)已知 F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂 直于 x 轴的直线交 C 于 A，B 两点，且|AB|＝3，则 C 的方程为________．
第八页，编辑于星期六：三点 三十分。
解析：(1)由定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，且P→F1⊥P→F2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1||PF2|＝2b2. ∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝9，因此 b＝3.
第二十三页，编辑于星期六：三点 三十分。
a2－a2 b2＝
4－4b2∈0， 23.
答案：A
第十五页，编辑于星期六：三点 三十分。
(2015·陕西卷)已知椭圆 E：xa22＋by22＝1(a>b>0)的半焦距 为 c，原点 O 到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为12c.
「精品」高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.5椭圆课件文-精品资料
(2)椭圆
x2 4
＋y2＝1的左
、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂
7
直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝_2___.
解析 a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝ 3，不妨
设P在x轴上方，则F1(－ 3 ，0)，设P(－ 3 ，m)(m>0)，则
－ 4
32
＋m2＝1，解得m＝
30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝
3
.所以e＝
2c 2a
＝
|F1F2| |PF1|＋|PF2|
＝
3 3.
(2)已知椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过
原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10， |BF|＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为____57____．
考点2 椭圆的标准方程和几何性质
[必会结论]
椭圆的常用性质
(1)设椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x
＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，
|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角
三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋c2.
【变式训练2】
(1)[
2017·锦州模拟]设椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥
F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(
)
高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第5节 椭圆课件 理 新人教版
椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是
()
A．8
B．2 2
C．10
D．4 2
解析：由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4 2 ，∴
|PF1|·|PF2|≤
|PF1|＋|PF2|
2
2＝8(当且仅当|PF1|＝|PF2|时
取等号)．
答案：A
(3)当 P 为短轴端点时，θ 最大．
(4)S△PF1F2
1．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其
轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹．
2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方
程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．
3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2 a2＋Fra biblioteky2 b2
＝1(a＞b＞0)上点的坐标
为P(x，y)时，|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中
特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
解析
1．(2016·北京东城期末)过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直
线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2
构成的△ABF2的周长为
()
A．2
B．4
C．8
D．2 2
解析
，则实数k的取值
是
()
A．290
B．356
C．290或552
D．290或356
解析：当 k＞4 时，有 e＝ 1－4k＝23，解得 k＝356；
当 0＜k＜4 时，有 e＝ k 的值为290或356.
1－k4＝23，解得 k＝290.故实数 答案：D
3．(教材习题改编)焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准 方程为________________． 答案：2x52＋y92＝1或x92＋2y52 ＝1