历年试题数学分析

河南大学2002年硕士研究生招生入学考试数学分析

一、计算下列各题（每题5分，共50分）：

1、22111

22

2lim 111

333

n

x n →∞++++++L L ; 2

、2arcsin 2a x y a

= ()0a >,求y '; 3、()1ln ln ln x dx x ??

+

????

?; 4、20

sin x e xdx π

?;

5

、计算广义积分2

1

?; 6、求幂级数()1

35

n

n

n x n ∞

=-?∑的收敛区间;

7、设,y

x z x =求

,z z

x y

????; 8、展开函数()()cos

2

x

f x x ππ=-≤≤为傅里叶级数; 9、计算二重积分2

2,:2,,1D

x dxdy D x y x xy y ===??所围成;

10、应用格林公式计算22

C

xy dy x ydx -?

?,式中C 为按逆时针方向绕圆周22x y a +=一圈的路径.

二、(10)求函数()()2

012x

y x x dx =--?的极值，并求其图形上的拐点. (下缺)

河南大学2003年硕士研究生招生入学考试数学分析

一、完成以下各题(每小题8分,共48分)

1、()()

23ln 1lim

ln 1x x x e e →∞

++;

2、设()2

ln 1arctan x t y t t

?=+??=-??,求22,dy d y dx dx ;

3

、计算广义积分2

,02

π

α

π

α<<

?;

4、将()11x

f x x

-=

+展成x 的幂级数,并确定收敛区间; 5、计算()?()2y y AB

e x dx xe y dy ++-?,其中?

AB 是经过()()()0,0,0,1,1,2A C B 的任一光滑圆弧;

6、求函数()243

1

x f x x +=

+的极大值和极小值. 二、(12分)求由方程()22ln 0xz xyz xyz -+=所确定的函数(),z f x y =的全微分. 三、(12分)展开函数 为余弦级数.

四、(12分)求曲线22y x =与4y x =-所围区域的面积.

五、(12分)计算二重积分()D

x y dxdy +??,其中D 是圆22x y x y +≤+外部.

六、(12分)证明微积分学基本定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,则

()()[],,x

a x f t dt t a

b Φ=∈?

在[],a b 上可导,且有()()x f x 'Φ=.

七、(12分)证明曲线1xy =上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为一常数.

八、(10分)若()f x '在[],a b 上连续，对任意正整数n ，令 证明：（1）()()()1

1

;k

k n

x k x k r n f x f x dx -==-????∑?

（2）()1

2

1;2k

k x k x b a x x dx n --??

-= ???

?

（3）()2

2

1

1

1122n

n

k k

k k b a b a m r n M

n n ==--????

≤≤ ?

?

??

??∑∑，这里(){}(){}inf ,sup k

k

k k x x m f x M f x ∈?∈?''==；

（4）()()()lim 2

n b a

n r n f b f a →∞

-?=

-????. 九、(10分)设()f z 在1z ≤上解析,且()1f z ≤,试证()01f '≤.

十、(10分)试证:当a e >时,方程0z n e az -=在单位圆1z <内部有n 个根.

河南大学2004年硕士研究生招生入学考试数学分析

说明:报考数学与信息科学学院基础数学、应用数学、运筹学与控制论专业的考生仅需要做1至13大题，报考计算机与信息工程学院应用数学专业的考生仅需要做1至5大题和14至21大题.

1、(10)计算极限20lim 2x

x

x

x a b →??

+

???

. 2、(10)已知()0,0x a b a b x

y a b b x a

=()()()>>,求y '.

3、(10)计算定积分()80

arctan 2x dx π

?.

4、(10)求直线段[],0,R

y x x h h

=

∈绕x 轴旋转一周所得的圆锥体体积. 5、(10)设()sin ,sin sin z y f u u x y =+=-其中f 为可微函数,证明:

sec sec 1z z

x y x y

??+=?? 6、(10)

计算二重积分2222sin

,:4dxdy D x y ππ≤+≤??.

7、(10)证明曲线积分

()cos sin x

l

e ydx ydy -?与路径无关,并求积分()()

.220,0cos sin x e ydx ydy ππ??

???-?

.

8、(10)证明:若()f x 在0x x =点附近有连续的二阶导数,则有

9、(10)利用格林公式计算曲线积分()()22,l

x y dx x y dy l +--??为曲线1x y +=的正向.

10、(15)已知级数357

357

x x x x ++++L ,(1)求它的收敛区间;(2)求它的和函数;(3)

求级数()1

1

221n

n n +∞

=-∑

的和. 11、(15)已知f 为连续函数,利用替换u x π=-,证明()()0

sin sin 2

xf x dx f x dx π

π

π

=

??,并计算积分20

sin 1cos x x

dx x

π

+?

.

12、(15=9+3+3)证明:(1)

111ln 1n n n n

+??<< ?+??(用拉格朗日中值定理) (2)11

11ln 23

n a n n

=++++-L ,则{}n a 收敛. (3)111122n c n n n

=

+++++L ,则lim ln 2n n c →∞=.

13、(15)已知()f x 在(),a b 内可导,对于下列命题正确的给出证明,错误的举出反例.

(1)若()lim x a f x +

→=∞，则()lim x a f x +

→'=∞；

(2)若()lim x a f x +

→'=∞，则()lim x a f x +

→=∞；

(3)若()f x 在区间I 上可导，则()f x '在区间I 上连续； (4)若()f a +'存在，则()lim x a f x +

→存在；

(5)若()lim x a f x +

→存在，则()f a +'存在.

14、(10=5+5)从极限的定义出发,证明下列极限. (1)2

ln lim

0n n

n →∞=

(2)2lim 0n n n q →∞

=

15、(20=5+5+5+5)求下列积分. (1)arctan xdx ?

(2)3223

1

x x x dx x --+-?

(3)(

121x -+?

(4)50sin xdx π

?

16、(12)设()f x 在[],a b 上连续,在

(),a b 内二阶可导,并且

()()()0,0f a f b f c ==<(其中a c b <<).则至少存在一点(),a b ξ∈使()0f ξ''>.试证明

之.

17、(14)求级数1n

n nx +∞

=∑的和函数,并由此求级数12

n

n n

+∞

=∑

的值. 18、(10)证明方程()

2311023n

n x x x

x n

-+-++-=L 当n 是奇数时有一个根,当n 是偶数时没有实根.

19、(10)设()f x 是(),-∞+∞上以

T 为周期的连续函数,证

明:()()0

a nT

T

a

f x dx n f x dx +=??.

20、(12)

计算积分V

I =???,其中V 是圆柱面2220x y x +-=,平面0

z =和z a =

()0a >在第一卦限内所围成的区域.

21、(12=6+6)计算:

(1)由sin y x =及()00y x π=≤≤绕x 轴所得的旋转体体积； (2)由sin y x =及()00y x π=≤≤绕y 轴所得的旋转体体积.

河南大学2005年硕士研究生招生入学考试数学分析

一、(每小题12分,共60分)按要求解题: (1)用N ε-定义证明:!

lim

0n

x n n →∞=;

(2)求极限1

1lim sin cos x

x x x →∞??+ ??

?;

(3)计算积分

b

a

?

;

(4)设(),u u x y =具有二阶连续偏导数,在极坐标cos ,sin x r y r θθ==变换下,求

2222u u u x y

???=+??;

(5)证明:(

)f x [)0,+∞上一致连续. 二、(14)设()f x 在[]0,1上连续. (1)证明:()()0

sin sin 2xf x dx f x dx π

π

π

=

??;

(2)计算: 20

sin 1cos x x

dx x

π

+?

.

三、(16)问α为何值时,

(1)()(),1,2,nx n f x n xe n α-==L 在[]0,1上收敛? (2)()n f x 在[]0,1上一致收敛?

(3)等式()()1

1

00lim lim n n n n f x dx f x dx →∞→∞

=??成立?

四、(15)设(),00,0,0x x f x x x x ππ

ππ-<≤??

==??---<

,

(1)求()f x 的fourier 级数;

(2)讨论()f x 的fourier 级数在(],ππ-上是否收敛于f ?

五、(15)求曲线()222222(),,0x y xy

a b c a b c

+=>所围图形的面积.

六、(15)设S 是球面()222222200x y z ax ay az a a ++---+=>.证明:

七、(15)设f 在[]0,1上可导,且()()00,11f f ==.证明:在[]0,1上存在两个不同的点

12,x x ,使

()()

1211

2f x f x +=''. 河南大学2006年硕士研究生招生入学考试数学分析

一、(每小题12分,共72分)完成下列各题: 1、求极限.

(1))

lim

1ln n n n

→∞;

(2)()()()()11

lim x a

f x f a x a f a →?

?- ?

?'--??

,其中()()0,f a f a '''≠存在. 2、证明函数()1f x x

=在()0,1内连续,但不一致连续.

3、计算积分1

10x x

x

I dx e e -=+?

.

4、设()(),y

z xf u g u u x

=+=,且()(),f u g u 都二阶可导,试计算

222xx xy yy A x z xyz y z =++.

5

、证明级数2

n ∞

=∑收敛. 二、(15)计算曲面积分()()()S

I x y z dydz y z x dzdx z x y dxdy =-++-++-+??,其中S 是曲面1x y z y z x z x y -++-++-+=的外侧.

三、(15)设()f x 在[]0,1上有一阶连续导数,证明:在()0,1内至少存在一点c ,使 四、(16)设()01

2n

n f x x

∞

==+∑

.证明: (1)()f x 在[)0,∞上可导,且一致连续; (2)反常积分()0f x dx ∞

?发散.

五、(16)设0b a >>.证明:(

)2ln b a b a b a -<<+.

六、(16)计算(要求说明理由):()()2

0cos 2,x I y e xy dx y ∞

-=-∞<<+∞?.

河南大学2007年硕士研究生招生入学考试数学分析

一、(每小题10分,共80分)按要求解答下列各题. 1、求极限: (1)1

lim[(1)]n

n

n n e →∞

-;

(2)0x →

2、设函数()f u 在[]1,1-上连续,证明:

()()1

1

1

x y f x y dxdy f u du -+≤+=??

?.

3、求10sup x

x x <<+∞

.

4、求椭球体222

2221x y z a b c

++≤的体积.

5、判断广义积分0

1

1

(ln(1))1dx x x

∞

+-

+?的敛散性. 6、计算1

001

max x t t x dt ≤≤-?.

7、已知渐进等式()11

220

1

()1n x a b dx o n x n n n

+=++→∞+?成立,试求,a b 之值. 二、(15)通过代换,,,11t t

x t y z ut vt

===

++试将方程222x y x z y z z +=变为以v 为未知函数，,t u 为自变量的形式.

三、(15)设级数()1

,0,nx n ne x ∞

-=∈∞∑.

(1)证明级数1

nx n ne ∞

-=∑在()0,∞内收敛,但不一致收敛;

(2)求其和函数. 四、(15)证明:22

0,0

2,0

L xdy ydx x y ξπξ>?-=?

<+??

?.其中L 是以()()(),1,,1,1,1ξξ---及()1,1-为顶点的矩形的边界,积分沿L 的正向进行.

五、(13)设()()1

sin x t x f x e dt +=?,证明:()2x e f x ≤.

六、(12)设()f x 在[]0,1上连续,证明:()()1

0lim 1n n n x f x dx f →∞

=?. 河南大学2008年硕士研究生招生入学考试数学分析

一、(每小题12分，共72分)按要求解题. 1、εδ-定义证明:()1

1

lim 0x a a x

a

→=

≠.

2、求极限()11

2

1

lim 0n n n n x x x +→∞

??-> ???

.

3、设()f x 在0x =处可导,问:在什么条件下,()f x 在0x =处也可导?

4、计算积分

:3212

?

5、设0n u ≠,且lim 1n n

n u →∞=.研究级数()1111

11()n n n n u u ∞

+=+-+

∑的收敛性与绝对收敛性. 6、计算二重积分2

2

2

1x y D I y xe

dxdy +?

?

=+?????

?

??,其中D 是由,1,1y x y x ==-=所围成的平面区域.

二、（15）设

（1）求()()0,0,0,0x y f f ；

（2）研究()(),,,x y f x y f x y 在()0,0点的连线性； （3）研究(),f x y 在()0,0点的可微性.

三、（15）设()f x 在[]0,2上有界可积，且()2

00f x dx =?，证明：[]0,1a ?∈，使得

()1

0a a

f x dx +=?

.

四（16）、计算第二型曲面积分

)2

0axdydz a z dxdy

I a ∑

+-=>

，其中∑是下半球

面z =.

五、（16）（1）设函数列(){}n f x 在D 上点态收敛于()f x ，则(){}n f x 在D 上一致收敛于()f x 的充要条件是：()()lim sup 0n n x D

f x f x →∞∈-=；

（2）设()(1),1,2,n n x f x n n

=+=L ，研究(){}n f x 在[]()0,0δδ>上的一致收敛性. 六、（16）设()f x 在[]0,1上可微，且使得 证明:()f x 在[]0,1中只有有限个零点.

河南大学2009年硕士研究生招生入学考试数学分析

一、（20）设()f x 为?上的连线函数，对所有的(),0x f x >，且()()lim lim 0x x f x f x →∞

→-∞

==.

证明：()f x 必能取到最大值.

二、(20)设11115,,1,2,2n n n a a a n a +?

?

==+

= ??

?

L ,证明:极限lim n n a →∞存在,并求之. 三、(20)证明:当0x π≤≤时,22

21

cos 426n nx x x n ππ∞

==-+∑.

四、(20)证明:2

1

cos 2

1lim

2t x

x e dt x e

-→=

?

. 五、(20)设()f x 在[)0,+∞上连续，且()f x 当x →+∞时，有渐进线y ax b =+.证明:()f x 在[)0,+∞上一致连续.

六、(20)计算222

S

x dydz y dzdx z dxdy ++??ò,其中S 为单位球面2221x y z ++=的外侧.

七、(15)设()f x 在[],a b 内二阶可导,()0f b =,令()()()2

g x x a f x =-.证明:方程

()0n g x =在(),a b 内有解.

八、(15)设()f x 在[],a b 上具有有界导数,()()0f a f b ==.证明:

河南大学2010年硕士研究生招生入学考试数学分析

一、（10）用定义证明：()33

11

lim

0.x a

a x a →=≠

二、（10

）求极限：1

ln(1.n

n dx 三、（10）计算积分：21

1cos ln n e

dx x π

-'???? ?

????

??，其中n N +

∈. 四、（10）证明广义积分0

sin x

dx x

+∞

?收敛，但不绝对收敛. 五、（10）研究二重极限

(),(0

,0)

lim y x y x +

+

→的存在性，若存在并求其值.

六、（10）计算二重积分：()22121x y D

y xe dxdy +??+??????，其中D 为直线,1y x y ==-和1x =所围的区域.

七、（15）设()f x 在[]0,1上连续，且[]0,1x ?∈，有 证明：()[]0,0,1.f x x ≡?∈

八、（15）证明：()

1

1111

lim ln 2.12

n n n x n x n

x -

-∞

→=-?=+∑

九、（15）求()3,,f x y z ky zx =+在条件2221,0x y z z ++=≥之下的最大值和最小值，其中0k ≠.

十、（15）计算第二类曲面积分：

其中∑为椭圆面222

2221x y z a b c

++=，方向取外侧.

十一、（15）设()f x 在[]0,1上有一阶连续导数，证明存在()0,1c ∈，使 十二、（15）证明：当0,1x x >≠时，成立不等式： 希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：

1、上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价。

2、目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。

3、当你无法从一楼蹦到三楼时，不要忘记走楼梯。要记住伟大的成功往往不是一蹴而就的，必须学会分解你的目标，逐步实施。