第4章扭转变形
材料力学 第四章 扭转
60 外力偶每秒所做的功即为输入的功率
P 1000= Me 2 n
60
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材料力学
P─kW
M e 9549
P n
n─r/min
M e ─N m
或
P─PS(马力）
Me
7024
P
n
n─r/min M e ─N m
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二、扭矩及扭矩图
D
2 d
2
2
2
d
32
(D4
d
4)
D4 (1 4 ) 0.1D4 (1 4 )
32
d
( Dd )
O
D
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④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
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⑤ 确定最大剪应力：
由
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
Ip A 2dA
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。
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对实心圆截面：
D
I p A 2dA
2 2 2 d
0
D4 0.1D4
32
d
O
D
对于空心圆截面：
d
I p A 2dA
A
B
M1 =9.55 103
P1 n
9.55
103
500 300
N
m=15.9kN
m
M 2 =M3 =9.55103
第四章 扭转(张新占主编 材料力学)
2M A M e M B 0 （2）
联立式（1）与式（2），得
Me MB 3
MA MB Me 3
26
4.6 等直圆轴扭转时的应变能
圆轴在外力偶作用下发生扭转变形，轴内将积蓄应变能。这种 应变能在数值上等于外力所做的功。
T1 在位移 d1上所做的功为 dW T1d1
PB M eB M eC 9549 n 796(N m) PA M eA 9549 1910(N m) n PD M eD 9549 318(N m) n
5
（2）求扭矩（扭矩按正方向假设） 1-1 截面
M M M
x
0
T1 M eB 0
T1 M eB 796N m
d1 85.3 mm
取 d1 85.3 mm。 BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 67.4 mm ，由扭转刚度条件得
d 2 74.4 mm
取 d 2 74.4 mm。
23
（2）将轴改为空心圆轴后，根据强度条件和刚度条件确定轴的 外径D。 由强度条件得 D 96.3 mm 由刚度条件得 D 97.3 mm 取 D 97.3 mm ，则内径为
T Me
M e RdA RRd 2R 2
A 0
2
Me 2 2R
8
二、切应力互等定理
M
z
0
（dy）dx （ dx）dy
得到
切应力互等定理：在单元体在相互垂直的一对平面上，切应力 同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同 指向或共同背离这一交线。 纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力 作用
第四章：扭转
T Ip
——切应力公式
扭转
4、圆轴扭转时横截面上的最大切应力
max 发生在横截面周边上各点处
max
T max TR T Ip Ip Ip R
max
取 I p /R = Wt —抗扭截面系数 最大切应力： max
max
O
T
T Wt
注意： 以上公式只适合于扭转圆轴， 且材料服从胡克定律。
R γ l
剪切胡克定律：
当切应力不超过材料的剪切比例极 限，切应力与切应变成正比，即：
Gγ
G ——剪变模量
对各向同性材料，E, , G 之间关系： G
E 2(1 )
扭转
四、圆轴扭转时的应力 1、实验现象：
圆周线——形状、大小、
间距不变，各圆周线绕轴 线相对转动了一个角度。
横截面上的最大切应力
max
T 1000 6 Pa 41.7 10 Pa 41.7 MPa 6 Wt 24 10
扭转
例4-4 如图所示，圆轴 AB的 AC 段为空心，CB段为实 心。已知 D 3cm、 d 2cm ；圆轴传递的功率 P 7.5kW，转速 n 360 r/ min。试求 AC及CB段的 Me Me 最大与最小切应力。 解：（1）计算扭矩
许用切应力
u
n
max
u s u b
T
max
塑性材料 脆性材料
对等截面圆轴
Wt
圆轴强度计算可解决工程中的三类问题：
（1）强度校核；（2）截面设计；（3）确定许用载荷。
扭转
例4-5 如图阶梯轴， d1 80mm、d 2 50mm；外力偶矩 M 2 3.2 kN m 、M 3 1.8kN m； M 1 5 kN m 、 材料的许用切应力[ ] 60 MPa 。试校核该轴强度。
材料力学第四章 扭转
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
材料力学 第4章_扭转
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
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§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
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工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
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4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学第4章扭转变形
1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T Me
Me
B
T图 x
例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输 入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
2 T
1
1 T
1
材料不同），可见在两
杆交界处的切应力是不
同的。
d
D
§4. 7 非圆截面杆扭转的概念
对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面 杆的扭转。
试验现象
横向线变 成曲线
横截面发生 翘曲不再保 持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
自由扭转 翘曲不受限制。 纵向纤维无伸长 横截面上无正应力
T
max
O
max
D
d
T
Ip
max
T Wp
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质 实心圆截面：
d
O
d
O
d D d
Ip
2 d A πd 4
A
32
Wp
Ip d /2
πd 3 16
Ip
2 d A πD4
A
32
1 4
Wp
Ip D /2
πD 3 16
1 4
4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
B 0
按叠加原理：
B BB BM 0
BB、BM分别为MB、Me 引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
材料力学 第4章扭转变形
1、T为横截面上的扭矩
max
2、Ip为截面参数，取决于截面形状 与尺寸 3、ρ为所求点距圆心距离。
d 2
max
最大切应力
r
max
d
T Tr T I p I p / r Wp
Wp Ip r
称为抗扭截 面系数
最大扭转切应力 发生在圆轴表面
同样适用于空心圆截面杆受扭的情形
T3
3 3
MD D x
(2)2-2截面上的应力计算
由扭矩图得知T2=-9.56kNm T IP 9560 40 10 3 26.6MPa 4 12 π 110 10 / 32 (2) 强度计算 危险横截面在AC段，Tmax=9.56kNm
τ max Tmax 9560 36.6MPa 3 9 WP π 110 10 / 16
T1 2M
M
A
C
T
M
x
2M
§4-3 圆轴扭转横截面上的应力
问题分析与研究思路
M
1
2
T M
M
问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T。 连续体的静不定问题 。 分析方法：静力学、几何、物理三方面。 关键是几何方面：建立单变量的变形协调条件 几何方面：实观观测 合理假设
连续体的变形协调条件(数学公式)
D3
IP
D4
32
, WP
D3
16
4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
一、扭转失效 低碳钢扭转破坏
塑性材料扭转失效时，先发生屈服，最终沿横截面 断裂。
铸铁扭转破坏
脆性材料扭转失效时，变形很小，最终沿与轴线成 45°螺旋面断裂。
材料力学-第4章 扭转 ppt课件
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
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华北电力大学力学教研室第四章扭转§4-1 扭转的概念一、扭转实例：圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动受力特点：圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用（矢量与轴线一致）变形特点：M eM e工程中注意承受扭转的构件称为“轴”，实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形形式。
§4-2 传动轴的外力偶矩· 扭矩及扭矩图Ⅰ、传动轴的外力偶矩传动轴的转速n ；所传递的功率P (kW)作用在该轮上的外力偶矩M e 。
已知：求：传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩M e 之间的关系：)(024m N ⋅=nP7M e (P —马力))(550m N ⋅=n P9M e (P —kW)M eM eABⅡ、扭矩及扭矩图圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。
eM T 扭矩大小可利用截面法来确定。
11TTM e M eAB11BM e AM e11x扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定:扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。
仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。
TTT (+)TTT (-)eM T 11TTM eM eAB11BM e AM e11xM eT 图+例一传动轴如图，转速n = 300r/min ；主动轮输入的功率P 1= 500kW ，三个从动轮输出的功率分别为：P 2= 150kW ，P 3= 150kW ，P 4= 200kW 。
试作轴的扭矩图。
首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩mkN 9.15m N )3005001055.9(31⋅=⋅⨯⨯=M m kN 78.4m N )1001501055.9(332⋅=⋅⨯⨯==M M mkN 37.6m N )3002001055.9(34⋅=⋅⨯⨯=M 解：221133M 1M 2M 3M 4A BCD分别计算各段的扭矩mkN 78.421⋅-=-=M T m9.56kN 322⋅=+=M M T mkN 37.643⋅==M T 221133M 1M 2M 3M 4A B CDT 111xM 2AT 2AM 2BM 322xT 333DM 4x扭矩图T max = 9.56 kN·m 在CA 段内M 1M 2M 3M 4ABCD 4.789.566.37T 图(kN·m)表面变形特点及分析：§4-3 圆轴扭转时的应力·强度条件g jA B D C1、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变；2、纵向线倾斜了同一个角度g ，表面上所有矩形均变成平行四边形。
平面假设：圆轴受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。
表面正方格子倾斜的角度—直角的改变量g 切应变ggjA BD Cg ABC DB 1A 1D 1C 1D'D 1'C 1'C'横截面上没有正应力产生，只有切应力，方向与圆周相切，即与半径垂直。
此处为以横截面、径截面以及与表面平行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面体单元体·切应力互等定理单元体——M eMexyzabO cdd xd yt 'ttt 'tt ='纯剪切应力状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。
EG G G '=≈ρρg g tan AD DD '=≈g g tan xd d jρ=M eM ed j gD'G'G E TT O 1O 2a b abd xD Ag ρd jgD'G'GEO 1O 2D Ag ρd xdⅠ、横截面上的应力公式物理方面静力学方面几何关系A 、几何关系xR d d j ⨯=x d d j ρg ρ=xd d j 相对扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面为常量ρg ρ∝d j gD'G'GE TT O 1O 2a b abd xD Ag ρd jgD'G'G E O 1O 2DAg ρd xd剪切胡克定律：（在弹性范围内，切应力与切应变成正比。
g t G =x G d d j ρt ρ=B 、物理方面ρt ρ∝xd d j ρg ρ=Od？横截面上各点的剪应力与点到截面中心的间距成正比，即剪应力沿截面的半径呈线性分布。
C 、静力学方面A d ρt ρT=⎰A T A x G A=⎰d d d 2ρj ⎰=AAI d 2p ρpd d GI Tx =j 称为横截面的极惯性矩t ρd AO令得T xG d d jρt ρ=圆轴扭转时横截面上切应力计算公式：p p IT GI T G ρρt ρ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=xG d d jρt ρ=pd d GI Tx =j pI T ρt ρ=Od t maxρt maxt ρT 1、T 为横截面上的扭矩2、Ip 为截面参数，取决于截面形状与尺寸3、ρ为所求点距圆心距离。
发生在横截面周边上各点处。
r=ρp maxI Tr =t 称为扭转截面系数rI W p p =最大切应力r I T /p =pW T =令即pm axW T =t t maxt maxOdρt ρT同样适用于空心圆截面杆受扭的情形pI T ρt ρ=pm ax W T =t t maxt max O D d T ρt ρ圆截面的极惯性矩I p 和扭转截面系数W p ⎰=A A I d 2p ρ16π2/3p p d d I W ==32π4d =实心圆截面：—几何性质O d D O d()431162/α-==D D I W πp p ()44132πα-=D ⎰=A A I d 2p ρⅢ、强度条件][max t t ≤等直圆轴][pmax t ≤W T 材料的许用切应力])[577.05.0(][σt -=对于塑性材料：])[0.18.0(][σt -=对于脆性材料：例2 实心等截面直轴，d=110mm ，(1) 试求截面Ⅱ上距轴线40mm 处的点的剪应力。
(2) 若已知[τ]=40MPa ，试校核轴的强度。
解：由扭矩图得知T 2=9.56kN.m(1)应力计算p2I T ρτρ⋅=MPa 6.2632/10110π104095601243=⨯⨯⨯⨯=--(2) 强度计算MPa 6.3616/10110π9560W T τ93t max max =⨯⨯==-＜[τ]轴的强度满足危险横截面在AC 段，T max =9.56kN.m例3（同例2）若AD 轮互换位置，试校核轴的强度。
解：互调AD 轮位置后，扭矩图如图所示:]τ[MPa 60.8W T τmax max >==t ∴强度不符合要求。
T max =15.9 kN.m)1(16DW 43t απ-⋅=例4（同例2）若BD 轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在保证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径d 与D ；并计算空心与实心轴的材料消耗之比。
解：MPa 6.36max =t mkN T ⋅=56.9max t max max W T =t 由得mm T D 157)1(163max4max =⋅-⋅=t απd=0.9D=141mm235.04/4/)(2122=⋅-==d d D A A V V ππ实空实空例5 图示阶梯状圆轴，AB 段直径d 1=120mm ，BC 段直径d 2=100mm 。
扭转力偶矩M A =22 kN •m ，M B =36 kN •m ，M C =14 kN •m 。
材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴的强度。
解：1、求内力，作出轴的扭矩图2214T 图（kN·m ）M A M B ⅡⅠM C A CBBC 段()MPa 3.71mm 10016πmm N 1014362p 2max ,2=⋅⨯==W T t AB 段1p 1max ,1W T =t 2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度()MPa 8.64mm 12016πmm N 102236=⋅⨯=MPa 80][=<t 即该轴满足强度条件。
2214T 图（kN·m ）讨论:扭矩合理分配M A M B ⅡⅠM CA CB M A ⅡⅠM BA C M CB 22143614一定使轴上的T max 最小例:某传动轴,传递扭转力偶矩M e ＝1.5kNm ,许用应力[τ]=50MPa 。
试按下列两种方案确定轴的截面尺寸,并比较其重量.(1)实心圆截面轴(2)空心圆截面轴Ⅱ(a = d 2/D 2 =0.9)(a)M e M ed 1lⅠM e(b)M elⅡD 2][1631111max ,1t t ≤===d M W M W T πe p e p ()][116432222max ,2t αt ≤-===D M W M W T πe p e p 解：1 确定实心轴的直径mm m M d e 5.530535.0105014.3105.116][1636331==⨯⨯⨯⨯=≥t π2 确定空心轴的内外径mmm M D e 3.760763.01050)9.01(14.3105.116])[1(163643342==⨯⨯-⨯⨯⨯=-≥t απmmd mm D 68,7622==mmd 541=两轴的重量比1212A A W W =可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。
()()2122221222214π4πd D d d D α-=-=讨论：为什么说空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构件？395.0546876222=-=例圆柱螺旋弹簧如图(簧杆斜度 < 5°) 受轴向压力(拉力) F作用。
已知：簧圈平均半径R，簧杆直径d，弹簧的有效圈数n，簧杆材料的切变模量G，且簧圈平均直径D >> d。
试推导弹簧的应力和变形计算公式。
解：1、求簧杆横截面上的内力FF =S 剪力2DFT =扭矩分离体的平衡2、求簧杆横截面上的应力3328162d FD d DF W T ππt ===p maxa) 剪力相应的切应力(假定均匀分布)b)扭矩相应的切应力214d FA F s πt ==OTAD >> d 时略去簧圈的曲率影响)21(8162433221max D d d FD d D F d F +=+=+=πππt t t max38dFD πt =max OTA§4-5 等直圆轴扭转时的变形•刚度条件Ⅰ、扭转时的变形——两个横截面的相对扭转角j扭转角沿杆长的变化率pGI Tx =d d j xGI T d d p=j 相距d x 的微段两端截面间相对扭转角为M eM ejd j gD'T T O 1O 2ab abd xD A距离为L 的两个横截面之间的相对转角则为：dxG I T L 0P⎰=Φ1）若两截面之间扭矩的值不变，且轴为等直杆2）若两截面之间扭矩的值发生变化，或者轴为阶梯杆PG I T L =Φ(单位：rad)∑=⋅⋅=Φn1i Pii ii I G L T (单位：rad)Ⅱ、刚度条件][max θθ≤等直圆杆在扭转时的刚度条件：][max max θθ≤⨯=π180p GI T 对于精密机器的轴对于一般的传动轴m/30.0~15.0][ο≈θ常用单位：︒/mm/2][ο≈θ例5（同例2）d=110mm ，若各轮之间距离均为l =2m ，G=80GPa ，[ θ]=0.5°/m ，(1)计算相邻两轮之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。