扭转应力及变形
r
2
1 (D4 d 4 ) 1 D4 (1 4 )
32
32
Wt
1 D3 (1 4 )
16
d
D
例题1 实心圆轴的直径d=100mm，长L=1m，两端受力偶矩 m=14KN.m作用，设材料的剪变模量G=80×109N/m， 求：
1）最大剪应力τmax； 2）图示截面上A、B、C三点剪应力的数值; 3）若将圆轴在保持截面面积A相同时改为d1/D1=1/2
第三章 扭 转
§3-4 圆轴扭转时的应力 §3-5 圆轴扭矩的变形 §3-6 圆轴扭转时的强度与刚度
§3-4 圆轴扭转时的应力
★分析思路：
应力
内力分布
一、实验观察
静力关系 几何关系 物理关系
实验观察 变形几何规律
ab cd
1）在圆轴的外表面上纵向作平行直线
a
b
2）在圆轴的外表面上横向作平行圆周线
GI P
其中[′]称为许用单位长度相对扭转角。
★可进行如下三种刚度计算：
1、校核刚度：
m ax
2、设计截面尺寸：
T
IP
G
max
3、设计载荷：
T max I PG
例题2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图， 许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。
的空心圆轴，其最大剪应力τ 。
max
m
m
A
B C
解：1）T=m=14KN.m
max
T Wt
14 103
1 D3
71.3 106(Pa)
16
A
2) A 71.3MPa
B C
B 71.3MPa
c
1 2
71.3MPa
35.7MPa
3) A相同，空心率d1/D1=1/2
（3）求A、B两截面相对扭转角。
T
Mt
A
A
Mt (x)
l x
B
B
Tuesday, February 28,
Mechanics of Materials
29
2012
[解] (1)外力矩
T 9.55 103 P 390Nm
n
而
tl T
单位长度上土壤对钻杆的阻力矩
t T / l 390 9.76Nm m1 40
GI p d 3 80 109
d 9.37 102 (m)
取d=12cm
*4、由刚度条件： 由强度设计，取d=12cm
T GI p
32 10.54 103
0.123 80 109
180
0.045( / m) [ ] 0.5 符合刚度条件
D12 d12 1002
d1
1 100(mm) 3
D1
2 100(mm) 3
Wt
1 16
D13
(1
4
)
m ax Wt
1 D3
16
0.693
max
Wt
1 16
D13
(1
4
)
m ax 0.693 71.3 49.4(MPa)
32
0.148rad 8.5
Tuesday, February 28,
Mechanics of Materials
31
2012
80 109
1
3000 3.14 (75 103 )4
180
32
1 0 .069 ( O / m )
2
d
dx
T2 GI P 2
1.402 (O / m )
1 [ ] 2 [ ]
轴的刚度足够!
5、总变形 1 l1 2 l2
例题3 已知阶梯轴如图示，m1=1800N.m,m2=1200N.m,
G=80GPa,[τ]=80MPa, 1) 试求τmax的值，并作强度校核；
2）若[′ ]=1.5 o /m,试校其刚度；3）轴的总变形。
m1
m2
75 50
750
50
T
-3000N.m
解：1、求内力，作扭矩图
x
-1200N.m
2、强度校核
max1
T1 WP1
3000 16 3.14 753
36.2(MPa)
max 2
T2 WP 2
1200 16 3.14 503
48.9(MPa)
max1 [ ]
max2 [ ]
轴的强度足够! 3、刚度校核
1
d
dx
T1 GI P1
c
d
3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。
3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。
M
M
a′ b′
c′ d′
4）观察变形
a
b
c
d
a′ b′
c′
d′
abcd→a′b ′ c ′ d ′
ac、bd代表的是两个横截面
提出假设： 横截面似一刚性平面，在外力偶矩作用下绕轴
转过一定的角度，仍维持为圆截面。
解：1、求外力偶矩
M 9549 N n
9549 150 1550N.m 15.4 60
2、作扭矩图 T
M
2=75
1=70
M
3=135
+1.55KN.m
3、计算并校核剪应力强度
max
T Wt
16 1.55 103 3.14 703
23MPa [ ]
x
满足强度要求。
d
R
abA源自Tb′ A′x
c
d
d′
dx
T
τ
五、静力关系
横截面上内力系合成的结果 T
τ
内力合力T
xT
dA
dA
T
T
D
dA
T x
dA
T
T
T
dA
A
G
d
dx
dA
D
G d 2dA dx A
令 I P 2dA
a
bA
b′ A′
x
c
d
d′
dx
d
ρ
A
x
A′
dx
1）dx小段上，两个横截面相对转过的角度 d
2）abcd→a′b ′ c ′ d ′，则产生γ的角变形
3) 在dx小段的内部，半径为ρ的位置上，产生的角变形
d
R
a
bA
b′ A′
x
c
d
d′
dx
bb' dx 外表面上：b→b′ bb' R d
内部A： A→A′
AA' dx AA' d
d
ρ
A
x
A′
dx
R d
dx
d
dx
d
d
R
a
bA
b′ A′
x
c
d
d′
dx
ρ
A
x
A′
dx
★ 变形几何规律：
d
dx
★ d ---单位长度上横截面的相对扭转角
dx
d
★同一截面上（选择了参考面后）， 相同 dx
六、公式的适用范围
1、圆轴扭转 2、弹性范围内
max p
五、 IP、Wt的计算
d
1、实心圆轴
IP
2dA R 2 2 d 0
1 R4 1 D4
2
32
Wt
1 D3
16
D
2、空心圆轴
IP
2dA R 2 2 d 1 (R4 r 4 )
横截面对形心的极惯性矩
I P 2dA
仅与图形的面积分布有关而与外界条 件无关，反映截面性质的量。
T
G
d
dx
IP
d T
dx G I P
G d
dx
T
IP
max
TR IP
T Wt
Wt
IP R
抗扭截面系数，与截面的大 小、形状、尺寸等有关。
Mechanics of Materials
30
2012
(3)A、B两截面相对扭转角
AB
40 M t (x)dx 0 GI P
40 txdx tx 2 0 GI P 2GI P
40 0
2 80 109
9.725 402
604 504
1012
n
300
2、内力-----扭矩T
T M 10.54KN .m
3、由强度条件：
max
T Wt
16 10.54 103
d 3
[ ]
d 11.02 102 (m)
4、由刚度条件：
T 32 10.54 103 180 [ ] 0.5
材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
04、基本知识 怎样推导轴向拉压和扭转的应力公式、变形公式(供参考)
04、基本知识 怎样推导轴向拉压和扭转的应力公式、变形公式（供参考）同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（****************），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。
回信请注明班级和学号的后面三位数。
1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究轴向拉压和扭转的应力公式和变形公式。
........................... 2 3 1.1 轴向拉压杆的应力公式推导 ............................................................................................ 2 4 1.2 轴向拉压杆的变形公式推导 ............................................................................................ 4 5 1.3 轴向拉压杆应力公式和变形公式的简要推导 ................................................................ 4 6 1.4 轴向拉压杆的强度条件、刚度条件的建立 .................................................................... 4 7 2.1 扭转轴的应力公式推导 .................................................................................................... 5 8 2.2 扭转轴的变形公式推导 .................................................................................................... 7 9 2.3 扭转轴应力公式和变形公式的简要推导 ........................................................................ 7 10 2.4 扭转的强度条件、刚度条件的建立 ............................................................................ 8 11 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .. (9)1* 问题的提出在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。
工程力学第八章圆轴的扭转详解
轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIP
单位长度的扭转角为：q =AB/L=T/GIP
扭转刚度条件则为： qmax[q ] ---许用扭转角 机械设计手册建议：[q ]=0.25~0.5/m; 精度高的轴；
[q ]=0.5~1.0/m; 一般传动轴。
整理课件
32
3.扭转圆轴的设计
强度条件： t max T /WT [t ]
Mo
Mo
假想切面
取左边部分
Mo
外力偶
T 内力偶
由平衡方程： T M o 整理课件
平衡
4
返回主目录
Mo
Mo
T
取左边部分
Mo 假想切面
外力偶
扭矩
由平衡方程：
平衡
Mo
TMo T
取右边部分 T
T 和T 是同一截面上的内力， 应当有相同的大小和正负。
整理课件
扭矩
外力偶
平衡
5
扭矩的符号规定：
Mo
T
正
Mo
T
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 相同 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？相同 变形是否相同？ 不同
2）下列圆轴扭转的切应力分布图是否正确?
T
o
o
o
o
T
T
T
整理课件
24
8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左 右两边为横截面，上下两边为过轴线的径向面。
3) 计算扭转角AC
AC
TAB l AB GIPAB
+ T BC lBC GIPBC
整理课件
扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
轴的扭转-应力,强度
T
T Ip
式中 T——所求切应力点的横截面 上的扭矩
B
B' dA
R O
max
——所求切应力点到圆心的距离
Ip=A2dA——横截面对圆心O的极惯性矩
注意：切应力公式的适用范围：max ≤p
3.最大切应力
T
max
即
TR Ip
B
B' dA
R O
T max Wp
´
上述公式可得到如下结论。
0
0
0 0 , 0 max
45 min , 45 0
45 max , 45 0
450
450 0 90
90 0 , 90 max
取 d = 29.7 mm。
可见：此轴的直径是由刚度条件控制的
155 N . m
圆轴扭转斜面上的应力
为什么研究斜截面应力？ ☆ ☆ 逻辑上，正截面——斜截面 实际上，见下面的实验结果，原因？
扭转轴的破坏（想一想：为什么这样？）
途径：1、仿正截面过程；2、用正截面推导斜截面应力
《应力状态理论》对于
2.应力公式推导 (1) 变形几何方面 取微段dx研究
Me
p
q
Me
x A p dx
T p
B q
O
x
d (1) tg dx d ——单位长度扭转角 式中 dx
即：
q R O2 B' d B C' C q dx
T
A
O1 A'
对给定的截面，与成正比
矩 形截面杆自由扭转时的应力和变形
目录
扭转\矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
【例3.7】 有一矩形截面的等直钢杆，其横截面尺寸为h＝100 mm，b＝50 mm，杆两端作用一对扭转力偶Me，已知Me＝4kN·m， 钢的许用切应力[τ]＝100 MPa，切变模量G＝80×103 MPa，单位长
向的；角点及形心处的切应力为零；最大切应力max发生在长边中 点处；短边中点处有较大的切应力1 。
目录
扭转\矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
（2）计算公式。最大切应力为
＝T max Wp
＝T
hb2
短边中点处的切应力为
1＝ max
单位长度扭转角为
＝ T
GIt
＝T
Gh
b3
式中：WP——矩形截面的扭转截面系数， WP =hb2； It——矩形截面的相当极惯性矩， It=hb3； 、、 ——与矩形截面高宽比h／b有关的系数，可由表3.1查得。
目录
扭转\矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
max
T
Ghb3
180
80109
Pa
4103 N m 0.299100103
(50103)3 m4
180 3.14
1.0 / m 1.2 / m
可见此杆满足强度和刚度要求。
目录
力学
力学
扭转\矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
在工程中还经常会遇到非圆截面杆，例如矩形截面杆的扭转问 题。在图a所示矩形截面杆在扭转后所有横向线都变成了曲线（图 b），这说明横截面不再保持为平面而变为曲面，这种现象称为翘 曲。试验表明，非圆截面杆扭转时都会发生翘曲，圆轴扭转时的平 面假设不再成立，应力和变形的计算公式也不再适用。
扭转切应力汇总
扭转切应力两类切应力扭转切应力弯曲切应力扭转切应力圆轴扭转时的应力变形特征圆轴扭转时横截面上的切应力分析矩形截面杆扭转切应力公式圆轴扭转时的应力变形特征外加力偶矩与功率和转速的关系变形特征横截面和纵截面都有切应力存在--切应力互等定理外加力偶矩与功率和转速的关系应用此公式时要注意单位。
将圆轴表面如图划分为许多小方块，这些小方块可近似地看作矩形。
轴受扭以后，小方块就发生变形，变成菱形。
如图是放大后的情形。
产生这样的变形是因为在两个横截面上出现了切应力。
作用在AB、CD面上的切应力组成一个力偶，显然它是不能使这个微元平衡的，因此，在两个纵截面上也产生切应力。
通过应变知道横截面上有切应力，再通过平衡知道纵截面上也有切应力。
微元的直角改?横截面上和纵截面上的切应力有何关系？我们取出如图微元分析，横截面上的切应力τ乘以其作用面积dydz，再乘以力臂dx，组成一个力偶；纵截面上的切应力τ'也同样组成一个力偶，这两个力偶是大小相等，方向相反的。
最后消掉公因子dxdydz,就得到τ=τ'。
根据平衡的要求?圆轴扭转时横截面上的切应力根据变形特征和切应力互等定理，现在分析圆轴扭转时横截面上的切应力。
反对称分析论证平面保持平面由平面保持平面导出变形协调方程由物性关系得到应力分布切应力公式方法与过程反对称分析论证平面保持平面首先用反对称关系。
如图，对称圆轴两端作用一对反对称的力偶，横截面上C、D两点若不保持在原来的平面上，则从A端看，力偶是顺时针方向的，这两点背离观察者而去的；若从B端看，力偶也是顺时针方向的，C、D两点也背离观察者而去。
显然这是矛盾的，因此，C、D两点只能?第一个结论圆轴扭转时，横截面保持平面，平面上各点只能在平面内转动还可以用反对称关系作进一步分析这些平面上的点移动的规律。
观察截面上的一条直径，若发生扭曲，当分别从A、B两端看过去时，一次呈S形，一次呈反S形，同样产生矛盾的结论。
最终结论圆轴扭转时，横截面保持平面，并且只能发生刚性转动。
《工程力学：第七章+圆轴扭转时的应力变形分析与强度和刚度设计》
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 一、扭转的概念 复习 Me
mA
阻抗力 偶
主动力 偶
me
受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 主要发生扭转变形的杆——轴。
Mx 16M x 16 1.5kN m 103 max＝ ＝ 3 ＝ ＝50.9MPa 3 4 -3 4 WP πD 1 π 90mm 10 1 0.9传动轴的强度是安全的。
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 2．确定实心轴的直径 根据实心轴与空心轴具有同样数值的最大剪应力的要求， 实心轴横截面上的最大剪应力也必须等于 50.9MPa 。若设实 心轴直径为d1，则有
b b
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 T 一、 扭转强度计算 变截面圆轴: max W [ ] 1、强度条件： p
max
max
对脆性材料 [ ] 对韧性材料 [ ]
b
nb
第九章 扭转
一、扭转变形
杆件两端作用两个大小相等、 方向相反，且作用平面垂直于杆 件轴线的力偶，致使杆件的任意 两个横截面都发生绕轴线的相对 转动，这样的变形形式称为扭
转变形。
1、外力特点
杆件受到一对力偶矩的大小相等、旋向相反，作用平面与杆轴线垂直 的力偶作用。
2、变形特点：
纵向线发生倾斜，相邻横截面发生相对错动；横截面仍为平面，只是绕 轴线发生转动。
P m 9549 n
Nm
kW
r / min
三、扭矩和扭矩图
截面法： T m
T为圆轴扭转时截面上的内力--扭矩
扭矩正负的规定：按右手螺旋法则 扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化 情况图。 ⊕
圆轴扭转时的内力及内力图
1、圆轴扭转时的内力----扭矩
以扭转变形为主的杆------------轴 扭转时的内力称为矩
B 477.5N· m Tn
C 955N· m
A
D
NA 1592N m n N M B M C 9550 B 477.5 N m n ND M D 9550 637N m n M A 9550
作扭矩图 637N· m
Tnmax=955N· m
扭矩与扭矩图
扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。
M0
M0 T 内力偶 平衡
取左边部分
M0 假想切面 由平衡方程：
外力偶
T M0
M0
M0 T
取左边部分
M0 假想切面 由平衡方程：
外力偶 平衡
T 取右边部分
扭矩
M0
T M0 T
扭矩
T 和T 是同一截面上的内力，应当有 相同的大小和正负。 平衡
扭转杆件的应力计算公式
扭转杆件的应力计算公式在工程学中，扭转杆件是一种常见的结构元件，它们通常用于承受扭转力或者转矩。
在设计和分析扭转杆件时，计算其应力是非常重要的。
本文将介绍扭转杆件的应力计算公式以及相关的理论知识。
扭转杆件的应力计算公式可以通过以下步骤推导得到。
首先，我们需要了解扭转杆件的基本几何形状和材料性质。
扭转杆件通常是圆柱形状的，其直径为d，长度为L。
材料的弹性模量为E，剪切模量为G。
在扭转杆件上施加一个扭矩T，我们可以得到以下的应力计算公式：τ = Tr/J。
其中，τ是扭转杆件上的剪切应力，T是施加在扭转杆件上的扭矩，r是扭转杆件上某一点到中心轴的距离，J是扭转杆件的极惯性矩。
极惯性矩J可以通过以下公式计算得到：J = πd^4/32。
通过将极惯性矩J代入到剪切应力的公式中，我们可以得到扭转杆件上的最大剪切应力：τ_max = Tc/J。
其中，c是扭转杆件的半径。
最大剪切应力发生在扭转杆件的表面，其值可以用来判断扭转杆件的强度和稳定性。
在实际工程中，我们通常需要计算扭转杆件上的最大剪切应力。
为了更好地理解扭转杆件的应力分布情况，我们可以绘制出扭转杆件上的剪切应力分布图。
根据应力计算公式，我们可以得到扭转杆件上不同点的剪切应力值，然后将这些值绘制成图表，以便工程师们更好地分析和理解扭转杆件的应力分布情况。
除了计算扭转杆件上的最大剪切应力外，我们还需要考虑扭转杆件的变形情况。
在扭转杆件上施加扭矩时，会产生一定的变形，这种变形可以通过以下公式计算得到：θ = TL/(GJ)。
其中，θ是扭转杆件上某一点的角度变化，L是扭转杆件的长度，G是材料的剪切模量。
通过计算扭转杆件上不同点的角度变化，我们可以得到扭转杆件的整体变形情况。
在实际工程中，我们还需要考虑扭转杆件的疲劳寿命。
由于扭转杆件通常需要长时间承受扭转力，因此其疲劳寿命是非常重要的。
我们可以通过应力分析和疲劳试验来评估扭转杆件的疲劳寿命，以确保其在使用过程中不会发生断裂或者变形。