混合惩罚函数法5

p (k ) (k ) (k ) ( x, r ) f ( x) r max 0, g u x r hv x u 1 v 1
k 1, 2
约束优化设计方法小结： 1.复合形法 复合形法:是求解约束优化问题的一种重 要的直接方法。由于这种方法在迭代计算中 不必计算目标函数的一阶和二阶导数，也不 用一维搜索方法，因此对目标函数和约束函 数的性态无特殊要求，程序比较简单，适用 性较广。但是当设计变量和约束条件较多时 计算效率较低，另外还需要给出多变量的敬 意及初始内点。
在工程实际中的确存在大量的多目标优 化问题。此类问题往往比较复杂。目前求解 这一类问题的方法还不够完美，有许多理论 性问题尚待进一步探讨。 这里简单介绍几种多目标函数最优化问题所 处理方法： 多目标函数的最优化问题，其数学模型的一 般表达式为：
x x1

x 2 xn
T
xR

n
求解：

:表示设计方案的好坏
max
j＝0表明这种设计方案不可行,此时
j＝0需要调整约束条件或分目标函数
的界值.用总功效系数.

j＝1表示取得最理想的设计方案.
必有某分目标函数.
“统一目标函数”

j 作为
f ( x) : f ( x) q 1 2 q max
①明确所建立的数学模型的特点：
如:优化问题的维数，目标函数的连续性及 其一阶、二阶偏导数是否存在，是否容易求 解，有无约束，约束条件是不等式约束；还 是等式约束，或者两者兼有。
如具有等式约束，显然不能直接用复合形法 和内点惩罚函数法。 ②优化方法特点及其计算程序特点： 如：该方法的收敛速度，计算精度，可靠 性、稳定性。通用及普遍性。有无现成程序 可用。
f ( x)

f
j 1 q j s 1
s
j
( x) ( x)


f
j
(s项最小函数 q - s项最大函数)
④乘除法 2)主要目标法 3)协调曲线法 4)设计分析法
见教材
P96~97
四 优化结果分析
优化设计计算完成后,必须对计算好结果, 进行仔细分析.比较,检查其合理性,发现和改正 一切可能的错误,以便得到一个符合工程实际的 最优化设计方案,检查优化设计结果可行性和全 理性. 1)与原始设计方案的目标函数作比较,通过 作图,曲线或列表,等原始方案的目标函数进 行比较,查看优化结果是否正常. 2)检查最优设计变量满足约束条件
这样构造的混合罚函数为：
(k ) (k ) x, r f ( x ) r m
1 g u ( x)




1 r (k )
u 1
hv x v 1
p
2
式中 r
(k ) u 1
m
1 g u ( x)

障碍项,惩罚因子 r 按内点法选取
二.离散型变量的处理
在实际工程优化设计问题中，有些变量 只能是离散变量。如齿轮的模型，齿数，型 材的规格。设计手册中的一些标准化、规范 化离散变量如何处理。离散设计变量及优化 所得离散变量的处理。
1) 曲线拟合技术：
选定一种曲线去折合那些离散点，从而获得 可以描述该点列离散规律的近似函数表达式， 建立数学模型。
c 1 c 5 ~ 10
4.混合惩罚函数法 既可求解不等式约束又可求解等式约束， 它是将内点法和外点法的惩罚函数形式结合 在一起，综合了两种方法的长处，初始点应 在可行域内，惩罚因子按内点法选取，具有 内点法特点。
总之，每一种约束优化方法都有其各自 的特点，有时一种优化方法对其一优化问题 有效而对另一个优化问题就不一定有效，这 就要求设计人员在掌握各种优化方法的特点 的基础上，对具体问题进行具体分析，灵活 适用优化方法，直至得出最优设计方案。
查找原因,数学模型是否有误,选择其它优 化方法重新计算. 3)优化结果是否合理:
优化所得的结果一般只能认为是局部最优 解,并一定是全局最优解,处理方法:一是选几个 初始点进行试计算或选用不同的优化方法进行 试计算,从所得各个最优解中筛选出最佳的结果 作为最优解,这时虽然还不能确定为全局最优解, 但能肯定是几个局部最优解最佳的结果. 4)设计变量的处理:
min f 1 ( x ) min f 2 ( x ) min f q ( x )
st . g a ( x ) 0

( u 1, 2 m )
统一目标法：
1）基本思想：人为地构成一种新函数,将多 目标优化问题转化为求统一目标函数的 单目标函数优化问题.
j 1 2 q
wj 1 wj 0
i 1
q
j 1, 2 q
再取 f j ( x) 与

wj
的线性组合为统一目标函数即
q
f ( x) w j f j ( x)
j 1

然后,求解单目标优化问题.
q min f ( x) min w j f j ( x) j 1
初始点x 惩罚因子初始值 r ( 0 )均可参考内点 法选取。 计算步骤及程序框图与内点法相近。 混合罚函数综合了内外罚函数法的特点及长 处，因而应用非常广泛。 （1）先在可行域内选择一个严格满足所有不等
(0)
式约束的初始点 x 选择适当的惩罚因子初始值
，通常可取 r ( 0 ) =1 * (k ) (k ) 得 min x , r x r （2）求 1
st . g j ( x) 0 ( j 1, 2 m)

此解,即为多目标问题的最优解
关键是:确定加权因子,如何选择这些加数 因子是一个比较复杂的问题,至今在理论 上尚未得到完善的解决.加权因子由设计 者选定。
②目标规划法:
基本思想:先求出各分目标函数的最优值
f j (x )
*
根据多 目标优化设计的总体要求
工程实际设计中的.设计变量即有连续型, 又有离散型,
1)对于设计变量全为整数型的最优化设计 问题,可用整数规划方法去求解. 2)对于混合型设计变量的最优化设计问 题:将全部设计变量都假定为连续型,取得最 优解后,再进行处理.将原为整数型和离散型 的设计变量的非整数值和非应有的离散数值, 调整到离它最近的整数值和离散值(在可行域 内进行)
2.内惩罚函数法 内惩罚函数法是求解不等式约束优化的一 种十分有效的方法，它要求初始点必须在可行 域内，迭代过程中所产生的多点均为可行设计 方案，因此使设计人员有挑选的余地，但这种 方法与外点法相比一般收敛较慢，递减系数C 应满足0<c<1 c=0.1~0.7
3.外点惩罚函数法 外点法既可求解不等式又可求解等式约束优 化问题。这种方法对初始点选择无特殊要求， 由于这种方法的收敛过程是从可行域外向可行 域边界逼近的，因此仅有最优解为可行设计方 案，设计人员无挑选余地。但这种方法与内点 法相比，一般收敛较快，另外，初始罚因子也 要选择适当。罚因子为递增，递增系数
此法计算较繁.但较为有效,比较直观且调整不易.
功效函数法适用于: 目标函数既不是愈大愈好,也不是愈小愈好 的情况. 此法将一多目标函数最优化问题中的全 部q个目标分为: 目标函数愈小愈好的所谓基用类(材料,工时,成 本,重量等) 目标函数值愈大愈好的所谓效益类(产量,产值, 利润,效益等) 则:统一目标函数可取
0
r
ห้องสมุดไป่ตู้
( 0)

（3）如 x r ( k ) 满足收敛精度， 则停止迭代，否则转入下一步。
*
* (k ) (k ) 和 x r , r
（4）取 r ( k 1) r ( k ) ; x (0) x * r ( k ) 转向第二步。 问题： 外点法：初始点X在可行域内时，不管 r>0取何值，惩罚项总为零，因此惩罚函数 * (k ) x, r 的极小点 x r ( k ) ，如果在可行域内，则 该点必为原问题的最优解。 即:
(k )
即r
1 r (k )
( 0)
r (1) r ( 2) 0
2
(k ) hv x —惩罚项，惩罚因子 r v 1
p
1
当
r ( 0) 0
1 r
(k )

满足外点法对惩罚因子的要求 混合法的求解特点与内点法相同，迭代过程在 可行域内进行。

2
因为：r ( k ) max 0,
m
* (u ) (k ) * (k ) 所以： x r , r f ( x , (r ))

u 1


g u x 0

2

这就说明了 x (r
m
*
(k )
) 为原问题的最优解。
2 2
b)如预选方程中有J个待定常数，则将m个方 程分为J组。
c)对每组方程两端各自相加，合并为一式， 得到J个方程。 d) J个方程联立求解。得J个待定常数，从 而求得具体拟合方程。
②最小二乘法。 （上学期讲过，在此不在重复）
三.多目标函数优化问题的处理
在实际中，对于一个零件、部件、机构 及分析设计，常常期望几项设计指标达到最 优值。这就提出了多目标优化设计问题。 例如：车床齿轮变速箱的设计。 提出下列要求： 1）所有齿轮的体积尽可能小。 2）齿轮的最大圆周速度尽可能低。 3）变速箱的宽度尽可能小。 4）各传动轴间的中心距的布局尽可能小。

f ( x) f f 1 ( x) 转为求

f 2 ( x) f q ( x)

min f ( x) ( x R )
n
st. g a ( x) 0 (u 1, 2 m)

2）统一目标函数的构成 ①加数组合法(线性组合,加数因子法) 基本思想:对多目标函数问题的各单 目标函数按其重要程度,对应地给出加权 系数 w ( w w w ) 且
x, r ( k )
(k ) f ( x) r max 0, g u x u 1
n n
2
f ( x* , r ( k ) ) r ( k ) max 0, g u x u 1 f ( x* , r ( k ) ) f ( x* )
第六节 优化设计中应注意的的几个问题
一.优化方法的选择 二.离散型变量的处理
三.多目标函数优化问题的处理
四 . 优化结果分析
前面几节所讲的优化方法；没有哪一种 方法是万能的，几种优化方法各有优缺点， 究竟哪一种方法好，经结合具体实际问题的 数学模型及约束条件。实际运用中，往往不 是选择具体的某一种最优方法，而是把几种 方法结合起来。扬长避短，以获得较好的设 计结果。一般在选择最优化方法时，主要考 虑两方面的问题：
制定恰当的最合理值 f j
(0)
③功效函数法:
q 1 2 q
因此
0 j 1那总功效求数
q 1 2 q
每个分目标函数 f j ( x) ( j 1, 2 q) 用功效系数 j 表示该项设计指标的好坏 ( j＝1表示最好 j ＝0表示最坏)
对这些最优值作适当调整.定出各分目标 函数最合理的值. f j ( 0) ( j 1, 2 p) 然后按如下的平方和法来构造统一目标函数
(0) p f ( x ) f j j f ( x) (0) fj j 1 2
这就意味着各个分目标函数分别达到各自最 (0) 合理值 f j 统一目标函数 f ( x) 为最小式中除 以 f j ( 0) 是使i无量纲化.理该法关键是如何
(拟合曲线近似描述离散点的变化规律)
（1） 平均法：
找出这些离散点的公共值。这些离散点 相对于公共值，上下偏差代数和为零。以 这些公共值构造的代表表征这些离散数值 的规律。
具体步骤如下：
a)有m组数值,预选一个用以拟合的方程式。 将此组数值分别代入y ax 2 bx c 得到m个方程。