第三章 弹性体的振动
机械振动 第3章-单自由度系统的振动
kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 ，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式 ： 2
q q 0
其解为 也可以写成 有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子
J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n
弹簧振动弹性体在平衡位置附近的振动
弹簧振动弹性体在平衡位置附近的振动弹簧振动是物理学中一个重要的研究领域，它涉及到弹簧和弹性体在平衡位置附近的振动特性。
本文将从理论和实践两个角度探讨弹簧振动弹性体在平衡位置附近的振动现象。
一、理论分析弹簧振动是由弹簧的弹性力和物体的质量共同作用所引起的振动。
根据胡克定律，弹簧的弹性力与弹簧的形变成正比。
当物体偏离平衡位置时，弹簧会产生一个恢复力使物体回归平衡位置。
由于弹簧和物体的质量不可忽略，物体也会具有一定的惯性，从而形成振动。
在理论分析中，我们可以通过牛顿第二定律和胡克定律来描述弹簧振动的特性。
设弹簧的劲度系数为k，物体的质量为m，则物体受到的合力可以由以下方程表示：ΣF = -kx - mg = ma其中，x表示物体相对平衡位置的位移，g表示重力加速度，a表示物体的加速度。
通过求解这一方程，我们可以得到物体在平衡位置附近的振动频率和周期。
二、实验验证为了验证理论推导的结果，我们进行了实验来观察弹簧振动的现象。
实验装置由一个弹簧和一个质量块构成，通过改变质量块的重量和弹簧的劲度系数，我们可以探究弹簧振动的规律。
实验步骤如下：1. 将一个弹簧固定在支架上，确保弹簧处于自然状态。
2. 将一个质量块悬挂在弹簧下方，使其与弹簧相连。
3. 轻轻拉动质量块使其偏离平衡位置，并松手。
4. 观察弹簧和质量块的振动情况，记录实验数据。
通过实验数据的统计和分析，我们可以得出以下结论：1. 弹簧振动的频率与弹簧的劲度系数成正比。
2. 弹簧振动的频率与质量块的重量无关。
3. 弹簧振动的振幅与质量块的重量成正比。
这些结论与理论分析的结果相吻合，从而验证了理论模型的准确性。
三、应用领域弹簧振动广泛应用于各个领域，例如机械工程、电子工程和建筑工程等。
在机械工程中，弹簧振动被用于精密仪器的减震和减振，以保证仪器的正常工作。
在电子工程中，弹簧振动被用于传感器和振动元件，以测量和调节微小的振动信号。
在建筑工程中，弹簧振动被用于隔音和隔震，以改善建筑物的舒适性。
弹性体动力学与振动分析
弹性体动力学与振动分析引言弹性体动力学是研究固体和结构体在外力作用下的振动行为的一个重要领域。
弹性体动力学的应用范围广泛，涉及各个工程领域，如建筑结构、桥梁、航空航天等。
本文将就弹性体动力学和振动分析进行探索和讨论。
弹性体动力学的基本概念和原理弹性体动力学是力学中的一个分支，研究物体在外力作用下的变形和振动。
其中，弹性体是指在一定外力作用下能够恢复原状的物质，具有一定的弹性。
在弹性体动力学中，首先要了解弹性体的本构关系。
本构关系描述了物质内部的应力和应变之间的关系。
常见的本构关系包括胡克定律、非线性弹性模型等。
通过建立本构关系，可以了解物质在外力作用下的应变分布及变形情况。
同时，弹性体动力学还涉及到物体的振动行为。
振动是物体在特定频率下的周期性运动。
振动可以分为自由振动和强迫振动。
自由振动是指物体在没有外力作用下，在某一初始条件下产生的振动现象。
而强迫振动则是指物体在外界作用力下的振动，其频率与外力的频率相同或者是外力频率的倍数。
振动分析的方法与应用振动分析是研究物体振动特性的重要方法。
在实际工程中，振动分析可以用于评估结构的可靠性和稳定性，并预测结构在外力作用下的响应。
以下将介绍几种常见的振动分析方法。
1）自由振动分析自由振动分析是指在没有外力作用下对物体进行振动分析。
自由振动的特点是物体在某一初始条件下，以一定频率和振幅进行周期性运动。
自由振动可以通过求解物体的运动微分方程来获得。
2）强迫振动分析强迫振动分析是指在外界作用力的驱动下对物体进行振动分析。
对于强迫振动的分析，需要考虑外界作用力的频率和振幅对物体的影响。
强迫振动可以通过求解物体的受迫振动微分方程来获得。
3）模态分析模态分析是一种常见的结构振动分析方法，用于研究物体的固有频率和模态形态。
在模态分析中，首先需要确定物体的固有频率和振型。
通过求解物体的特征值问题，可以获得固有频率和模态形态。
模态分析在建筑结构和机械工程中有着广泛的应用。
弹性体中的波动与振动
弹性体中的波动与振动在自然界中，波动和振动是非常常见的现象，而弹性体中的波动与振动则是一个非常有趣和复杂的研究领域。
弹性体是一种能够恢复其形状和体积的物质，当其受到外力作用时，就会发生波动和振动。
一、弹性体的特性弹性体具有可以恢复形变的特性，当外力作用撤除后，弹性体会回到原来的形态。
这种属性来源于弹性体的分子内部结构。
弹性体的分子间力可以解释为由于电荷相互作用所产生的力，这种力可以使得分子在受到外力作用后变形，并将变形的形状存储下来。
当外力消失时，分子间的力就能使弹性体恢复原始形态。
二、弹性体中的波动在弹性体中，波动表现为能量的传递。
当弹性体受到一个扰动时，这个扰动会通过分子间的力传递给其周围的分子，从而导致波动的形成。
这个传递的过程可以通过振动的方式进行。
在弹性体中，波动有两种常见的类型：横波和纵波。
横波是指波动的方向与传播方向垂直的波动，而纵波则是指波动方向与传播方向相同的波动。
三、弹性体中的振动振动是指弹性体内部的周期性运动。
当弹性体受到一个外力作用时，它会产生振动。
振动可以分为简谐振动和复杂振动。
简谐振动是指一个物体沿一个固定轴线作往返运动。
弹簧振子是一个常见的简谐振动的例子。
当一个弹簧振子受到外力作用时，它会在平衡位置附近产生往复运动，这种运动是以一定的频率进行的。
复杂振动则是指一个物体在多个方向上的振动。
例如，当一个匀质杆的一个端点受到扰动时，杆会以不同的频率和振幅在不同方向上振动。
四、弹性体中的应用由于弹性体的特性和波动振动的机制，弹性体在许多领域都有很重要的应用。
在工程领域，弹性体的特性被广泛应用于设计和制造材料和结构。
例如，钢材的弹性和刚性使得它成为建筑、桥梁和机械的重要构件。
在医学领域，弹性体的波动特性被用于声波成像技术，如超声波医学成像。
超声波技术通过测量声波在人体组织中的传播速度和反射程度来生成图像，从而帮助医生进行诊断。
在地震学领域，弹性体的波动特性被用于研究地震的传播和影响。
4 弹性体的固有振动模态
1.1梁(杆)的纵向振动
• Prof. Vasiliev
机械结构力学及控 制国家重点实验室
精密驱动研究所
1.1梁(杆)的纵向振动
机械结构力学及控 制国家重点实验室
精密驱动研究所
z(w)
0 x
ux,t
f x,t
uf
dx l
x(u) F dx
u(x,t) u 为杆的纵向（轴向）位移 F (x,t) F 为作用在杆上横截面上的轴向内力 f (x,t) f 为杆上单位长度上轴向外力
• 带入振型函数的通解形式，得到：
D F 0 C E 0
C sin l D cos l E sinh l F cosh l 0 C cos l D sin l E cosh l F sinh l 0
机械结构力学及控 制国家重点实验室
精密驱动研究所
• 除去恒等于零的解，则要求上列方程组的系数行 列式等于零，可导出特征方程：
• 另一方程的通解形式设为
(x) ex
• 带入上述方程，则有： 4 S2 0
EI
• 此特征方程的根为：
• , , i, i
4
其中 S2
EI
机械结构力学及控 制国家重点实验室
精密驱动研究所
• 对于上述4个不同α值，振型的通解形式如下：
(x) C sin x Dcos x E sinh x F cosh x
D sinl 0
E
n
nπ l
E
n 0,1, 2, ,
n
(
x)
cos
n
πx l
n 1, 2,3,
,
杆的第n阶固有频率n的
固有模态（Natural mode）
弹性体材料的质点振动规律
弹性体材料的质点振动规律弹性体材料是一类特殊的材料，具有较大的变形能力和恢复力。
它们在受到外力作用时，会发生质点的振动。
本文将探讨弹性体质点的振动规律。
一、弹性体质点的振动特性弹性体质点的振动特性与质点本身的特性以及材料的弹性刚度有关。
通常情况下，弹性体质点的振动是周期性的，即在一定的时间内，质点会重复地执行相同的振动。
1. 自由振动当弹性体质点没有外力作用时，质点将进行自由振动。
自由振动的周期与质点的质量和弹性刚度有关。
当外力作用为零时，质点将按照一定的频率前后摆动，形成周期性的振动。
质点在振动过程中会经历位移、速度和加速度的变化，这些变化遵循一定的规律。
2. 阻尼振动当弹性体质点受到阻尼力的作用时，振动将会减弱并逐渐停止。
阻尼振动的特点是在振动过程中，质点的振动幅度逐渐减小，最终趋于稳定。
阻尼振动与阻尼系数有关，阻尼系数越大，阻尼力越大，振动减弱的速度也越快。
3. 受迫振动当弹性体质点受到外力周期性的作用时，质点将发生受迫振动。
受迫振动的频率与外力作用的频率相同或者相近。
当外力的频率接近质点的固有频率时，质点的振动幅度会不断增大，形成共振现象。
受迫振动的特点是振动幅度与外力频率的关系，当外力频率接近质点固有频率时，幅度增大；当外力频率与质点固有频率相差较大时，振动幅度较小。
二、弹性体振动的数学描述为了进一步研究弹性体质点的振动规律，我们需要使用数学模型进行描述。
1. 弹簧模型弹簧模型是最简单的一种描述弹性体振动的数学模型。
它假设弹性体质点受到弹性力的作用，弹簧的劲度系数与弹性体的弹性刚度相同。
通过牛顿第二定律可以得到弹性体质点的振动方程。
有时候，还可以加入阻尼项和外力项进行更复杂的振动模拟。
2. 波动方程弹性体振动也可以用波动方程进行描述。
波动方程是一个偏微分方程，它描述了弹性体中的波动传播和振动。
通过求解波动方程，我们可以得到质点的振动波动形式和特性。
三、弹性体振动的应用弹性体振动是一个具有广泛应用的物理现象，在多个领域都有实际应用。
第三章-多自由度系统振动6.19
第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。
单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。
多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。
主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。
多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。
直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。
振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。
因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。
3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。
[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。
三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。
图3-1 3自由度系统解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。
质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。
每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。
理论力学中的弹性体运动分析
理论力学中的弹性体运动分析弹性体是指在外力作用下可以产生形变，但在外力消失后又能恢复原状的物体。
弹性体运动分析是理论力学研究的重要内容之一，对于解决工程实践中的弹性问题具有重要意义。
本文将详细探讨理论力学中的弹性体运动分析。
一、弹性体的基本概念弹性体是指在外力作用下，不会发生永久形变的物体。
在理论力学中，弹性体的运动分析基于以下基本概念：1. 座标表述：弹性体运动可以通过一系列坐标来描述，例如质点的位置坐标或杆件的形状坐标。
2. 力学平衡：弹性体在运动过程中需要满足力学平衡条件，即受力平衡和力矩平衡。
3. 弹性力学模型：为了简化问题，可以根据弹性体的不同性质选择合适的弹性力学模型，例如线弹性模型或三维弹性模型。
二、弹性体的动力学方程弹性体的运动可以通过动力学方程来描述。
根据牛顿运动定律，可以得到弹性体的动力学方程。
对于独立的质点运动，其动力学方程可以通过质点的质量、加速度和外力之间的关系求得。
对于连续介质而言，可以利用控制体分析方法得到动力学方程，其中涉及到应力、应变和体积力等参数。
通过施加牛顿定律和应力应变关系，可以得到弹性体运动的动力学方程。
三、弹性体的振动分析弹性体的振动分析是弹性力学的重要研究方向之一。
弹性体的振动可以通过求解振动微分方程得到。
常见的弹性体振动问题有自由振动和受迫振动两种。
自由振动是指在无外力作用下，弹性体自身的固有频率下发生的振动。
通过求解弹性体振动微分方程的特征方程，可以得到弹性体固有频率和振型。
受迫振动是指在外力作用下，弹性体发生的振动。
通过求解弹性体振动微分方程的特解，可以得到弹性体受迫振动的响应。
四、弹性体的变形分析弹性体的变形分析是弹性力学的核心内容。
弹性体在外力作用下会发生弹性变形，即形状发生改变但体积不变。
弹性体的变形可以通过应变分析来研究。
应变是描述弹性体变形程度的物理量，可以分为线应变、剪应变和体应变等。
通过应变-应力之间的本构关系，可以得到弹性体的力学性质。
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第三章 弹性体的振动§3.1 弦的振动3.1.1 用动力学基本定律建立弦振动基本方程在前二章里，对弹性体动力学的一般规律、基本原理和基本方程作了介绍。
但不同的弹性体有其本身的力学特性，采用不同的简化假设，建立的基本方程是不相同的。
因而，它们的解法也不完全一样。
除了共同的动力学特性外，还有一些独特的特性，必须分别加以讨论。
弹性体按其构型可分为：（1）一维构型，它的截面尺寸比长度小得多。
它有两类，一类是弦、杆、轴；一类是各种梁。
（2）二维构型，它的厚度比其它尺寸小得多。
它有膜、平面应力板、弯曲板与壳等。
（3）三维构型，三向尺寸相当。
它是各类实体结构。
最简单的弹性体动力学问题是弦的横向振动（图3.1）。
受常张力作用的弦是一种一维弹性体。
从弦上取出一个微分长度来分析，当它发生横向位移，由于张力作用产生有恢复力，它等于x T dx ),(t x w e df dx xw T df xe 22∂∂=（3.1）图3.1 弦的横向振动设弦的长度密度为，则在振动时的惯性力是m dx t w mdf y 22∂∂−= （3.2）·1·根据动力学的基本定律，弦横向振动的基本方程是02222=+∂∂−∂∂f t w mx w T x（3.3）其中是作用在弦上的横向分布载荷。
),(t x f3.1.2 用能量变分原理建立弦振动基本方程弦横向振动有三种能量： （1）弦的位能i U dx xw x w T U x Li ∂∂∂∂=∫210（3.4）（2）弦的动能Tdx tw t w m T L∂∂∂∂=∫210（3.5）（3）弦的外力功e W LLLxLe w fwdx w xw T fwdx W 0000||τ+=∂∂+=∫∫（3.6）其中τ=∂∂xwT x是张力的垂直分量。
弦的哈密尔登作用量为 dt W U T L e i t)(0+−=∫由哈密尔登作用量原理给出0}|]2121[{00=++∂∂∂∂−∂∂∂∂=∫∫∫dt w dx fw xw x w T t w t w mLdt Lx Lt t τδδ （3.7）上式给出能量泛函的极值条件。
经过变分运算可推出基本方程和自然边界条件。
动能作用量的变分等于dx w twmwdx t w mdxdt xwt w m t tL t L}|{)(0220000δδδ∂∂+∂∂−=∂∂∂∂∫∫∫∫ 和位能作用量的变分等于dt w tw T wdx x w T dxdt xwx w T LxxLtx t L}|{020000δδ∂∂+∂∂−=∂∂∂∂∫∫∫∫ 于是，代入哈密尔顿作用量变分原理得||)(}{0000222200=∂∂+∂∂−++∂∂−∂∂∫∫∫∫dx w tw m dt w x w T wdxdt f t w m x w T t L Lx t x t Lδδτδ（3.8）·2·最后，推出弦振动方程是02222=+∂∂−∂∂f t w mx w T x（3.9）自然边界条件（0=x 和L x =）0=∂∂−xwT xτ （3.10）自然时端条件（和）0=t t t =0=∂∂tw（3.11）它给出了弦振动方程的完整结果。
弦振动的一个基本问题是的情况下的自由振动，将给出弦振动的基本特性。
另一个基本问题是0=f 0≠f 的情况下的强迫振动，给出各类激励下的弦振动。
下面来讨论它们的解法。
3.1.3 弦振动方程的基本解法之一：分离变量法均匀弦自由振动（）的基本方程是一个双曲线性型的齐次偏微分方程0=f 02222=∂∂−∂∂t w mx w T x（3.12）它的最基本的解法是分离变量法，见1.6.3(1)。
方程的解可以表示为)()(),(t T x X t x w =（3.13）将式（3.13）代入基本方程（3.12），得22222)(1)(1k t T t T T m x X x X x −=∂∂=∂∂ 这里m 和T x 取常值，方程左、右两端分别各为x 和t 的函数。
由于等式成立，它们只能等于常数值，设为－k 2。
由此给出两个常微分方程0)(222=+∂∂x X k x X（3.14）0)(222=+∂∂t T mT k t T x（3.15）设xxT mk mT k 2222ωω==或（3.16）则得方程的解为：·3·（1）时间域内的解T （t ）。
由方程（3.15）给出它的基本解为t b t a t T ωωcos sin )(+=（3.17）说明弦的自由振动是以频率ω的简谐振动为其基本解，其中a 和b 是积分常数，由初始条件决定。
（2）空间域内的解X （x ）。
由齐次方程（3.14）给出它的通解为jkx jkx e C e C x X −+=21)(（3.18）其中1−=j ，C 1和C 2是积分常数，由它的定解条件，即边界条件决定。
以两端固定的弦为例，其齐次边界条件是,0)0(=X 0)(=L X（3.19）这类问题构成为一个特征值问题。
它只是在k 2取某些值时，才存在有非零解，这时的k 2值称为特征值，对应的解X (x )称为特征函数。
将边界条件（3.19）式代入通解（3.18），得)(0)0(2121=+==+=−jkL jkL e C e C L X C C X非零解的存在条件是它的系数行列式为零，得特征方程0sin 2==−−kL e e jkL jkL（3.20）则解得特征值为Ln k n π=（3.21）和相应的特征函数为)sin()(Lxn x X n π= （3.22）其中n 为正整数，n =1，2，…，表示振动各阶模态的阶数。
由此给出，弦振动特性是：（1）弦的第n 阶模态的振动频率。
它是mT L n xn πω=（3.23）最低阶频率为（n =1）mT L xπω=1（3.24）它与弦长L 和弦长度密度m 的平方根成反比，与弦张力T x 的平方根成正比。
（2）弦的振型函数。
它是)sin()(Lxn x X n π= （3.25）·4·呈正弦波形状，一阶振型为半个正弦波。
它给出了弦的振动形态，但并不具体地确定振动幅值的大小，故称之为振动模态。
（3）弦的自由振动。
它由（3.13）式给出的解是)sin()cos sin ()()(Lxn t b t a t T x X w n n n n n n n πωω+== 于是，它的通解为)sin()cos sin (),(1Lxn t b t a t x w n n n n n πωω+=∑∞= （3.26）其中积分常数a n 、b n 由初始条件确定。
设初始条件是)()0,(,)()0,(x tx w x x w ψϕ=∂∂= 一般情况下，弦的自由振动可由各阶模态的迭加给出。
（4）弦振动的能量E 是它的位能U i 和动能T 的和。
第n 阶模态的能量为L m b a dx t w t w m dx xw x w T E n n n n n Ln n x Ln 2220)(412121ω+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∫∫ （3.27） 能量E n 与其长度L 、密度m 和频率平方成正比，还与模态振幅的平方成正比。
2n ω（5）综上所述，弦的振动频率和振动模态（振型函数）X n ωn 决定了弦振动的特性，称之为模态特性。
有关振动模态理论的深入分析将在后面的章节里专门讨论。
从波动观点来看，弦以某阶模态振动时显示为一种稳定的振动形态称之为驻波。
它有固定不动的节点和始终保持为极大的波幅。
从声学观点来看，弦振动的频率决定声调，振幅决定声强。
一般弦的振动是各阶模态的综合。
它的最低阶频率（基频）给出最低音，称为基音。
同时有倍频给出的泛音，决定了音质。
3.1.4 弦振动方程的基本解法之二：波传播法弦振动方程的另一基本解法是波传播法，见1.6.3(3)。
将弦振动方程（3.12）改写为0222022=∂∂−∂∂x w c t w（3.28）这是一维波动方程，其中c 0是波的传播速度mT c x=20 （3.29）引入新变量t c x t c x 00,−=+=ηξ（3.30）则方程（3.28）变换为·5·02=∂∂∂ηξw它的一般解为)()()()(020121t c x f t c x f f f w −++===ηξ（3.31）解（3.31）必须满足初始条件)()0,(,)()0,(x tx w x x w ψϕ=∂∂= （3.32）和边界条件)(),(,)(),0(21t t L w t t w μμ==（3.33）根据初始条件（3.32），得da a c t c x t c x t x w tc x t c x )(21)]()([21),(0000ψϕϕ∫+−+−++=设da a c a Ψ)(1)(0ψ∫=（3.34）则)]()([21)]()([21),(0000t c x Ψt c x Ψt c x t c x t x w −−++−++=ϕϕ（3.35）它还必须满足边界条件（3.33）。
弦的波动特性分析如下：（1）对于无限长的弦。
它不需考虑边界条件，可由一般解（3.35）给出，初始位移和初始速度形成分别向正向和负向传播的波，它的波速等于c 0，构成为行波。
（2）对于半无限长的弦（x ≥0）。
若一端固定w （0，t ）=0，可将初始条件奇延拓为无限长情况。
若一端自由0),0(=dtt dw ，可将初始条件偶延拓为无限长情况。
这种假想的延拓反映了边界上波的以射。
对于固定端的反射则是当波向负向传播到固定端后变更符号以同样速度向正向传播。
（3）对于有限长的弦（0≤x ≤L ）。
若是两端固定的弦w （0，t ）= w （L ，t ）=0，则将初始条件延拓为对x =0和x =L 都是奇函数，即)2()(,)()()2()(,)()(x L x x x x L x x x −−=−−=−−=−−=ψψψψϕϕϕϕ这就是说，将初始条件以原点为奇函数作2L 为周期的周期延拓到无限长弦上。
于是，形成波的来回反射，弦产生周期运动。
弦的振动周期是2c LT =（3.36）·6·和弦的振动频率是Lc 0πω=（3.37）弦的振动形态是由波往复反射迭加趋于稳态而形成的。
（4）对于零初始条件，受到边界扰动w (0,t )=μ(t )的弦。
若是半无限长的弦，它的解为)(),(0c x t t x w −=μ 这里当t <0时，μ(t )=0。
它使端点的扰动以波的形式传播出去。
（5）弦传播的波是在正、负向传播过程中保持着自己的形状不变，不失真地进行传播，不发生波的弥散现象。
3.1.5 弦振动方程的基本解法之三：拉氏变换法弹性体振动是在时空域内发生，在时间域作拉氏变换可转换为空间域问题。