第四章统计假设检验
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人大版统计学 习题加答案第四章 假设检验
第四章 假设检验填空（5题/章），选择（5题/章），判断（5题/章），计算（3题/章） 一、填空1、在做假设检验时容易犯的两类错误是 和2、如果提出的原假设是总体参数等于某一数值，这种假设检验称为 ，若提出的原假设是总体参数大于或小于某一数值，这种假设检验称为3、假设检验有两类错误，分别是 也叫第一类错误，它是指原假设H0是 的，却由于样本缘故做出了 H0的错误；和 叫第二类错误，它是指原假设H0是 的, 却由于样本缘故做出 H0的错误。
4、在统计假设检验中，控制犯第一类错误的概率不超过某个规定值α,则α称为 。
5、 假设检验的统计思想是小概率事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，该原理称为 。
6、从一批零件中抽取100个测其直径，测得平均直径为5.2cm ，标准差为1.6cm ，想知道这批零件的直径是否服从标准直径5cm ，在显著性水平α下，否定域为7、有一批电子零件，质量检查员必须判断是否合格，假设此电子零件的使用时间大于或等于1000，则为合格，小于1000小时，则为不合格，那么可以提出的假设为 。
（用H 0，H 1表示）8、一般在样本的容量被确定后，犯第一类错误的概率为α，犯第二类错误的概率为β，若减少α，则β9、某厂家想要调查职工的工作效率，用方差衡量工作效率差异，工厂预计的工作效率为至少制作零件20个/小时，随机抽样30位职工进行调查，得到样本方差为5，试在显著水平为0.05的要求下，问该工厂的职工的工作效率 （有，没有）达到该标准。
KEY: 1、弃真错误，纳伪错误 2、双边检验，单边检验3、拒真错误，真实的，拒绝，取伪错误，不真实的，接受4、显著性水平5、小概率事件6、1.25>21α-z7、H 0：t≥1000 H 1：t ＜1000 8、增大 9、有二、 选择1、假设检验中，犯了原假设H 0实际是不真实的，却由于样本的缘故而做出的接受H 0的错误，此类错误是（ ）A 、α类错误B 、第一类错误C 、取伪错误D 、弃真错误 2、一种零件的标准长度5cm ，要检验某天生产的零件是否符合标准要求，建立的原假设和备选假设就为（ ）A 、0:5H μ=，1:5H μ≠B 、0:5H μ≠，1:5H μ>C 、0:5H μ≤，1:5H μ>D 、0:5H μ≥，1:5H μ< 3、一个95%的置信区间是指（ ） A 、总体参数有95%的概率落在这一区间内 B 、总体参数有5%的概率未落在这一区间内C 、在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数D 、在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数4、假设检验中，如果增大样本容量，则犯两类错误的概率（ ） A 、都增大 B 、都减小 C 、都不变 D 、一个增大一个减小5、一家汽车生产企业在广告中宣称“该公司的汽车可以保证在2年或24000公里内无事故”，但该汽车的一个经销商认为保证“2年”这一项是不必要的，因为汽车车主在2年内行驶的平均里程超过24000公里。
实验数据处理与分析 第四章
某罐头厂生产肉类罐头，其自动装罐机在正常工作
时每罐净重服从正态分布N（500，64）（单位，g） 。某日随机抽查10瓶罐头，得净重为：505，512，
497，493，508，515，502，495，490，510。问装
罐机当日工作是否正常？
为了降低犯两类错误的概率，一般从选取适当的
和增加试验重复次数 n来考虑。因为选取 数值小的显著水平 值可以降低犯Ⅰ类型错误的概率，
著差异。
甲生产线（x1） 71 56 54 71 57 62 69 73 72 65 62 62 54 78 70 58 53 78 63 67 乙生产线（x2） 53 54 60 56 49 51 53 66 58 70 70 66 65 52 71 58 55 53 56 55
74 62 61 77 59
n≥30）。
【例4-1】某罐头厂生产肉类罐头，其自动装罐机在正
常工作时每罐净重服从正态分布N（500，64）（单 位，g）。某日随机抽查10瓶罐头，得净重为：505
，512，497，493，508，515，502，495，490，510
。问装罐机当日工作是否正常？
（1） 提出假设 无效假设H0：μ ＝μ 0＝500g，即当日装罐机每 罐平均净重与正常工作状态下的标准净重一样。 备择假设HA：μ≠μ0，即罐装机工作不正常。 （2）确定显著水平 α ＝0.05（两尾概率）
小或试验误差越大，就越容易将试验的真实
差异错判为试验误差。
显著性检验的两类错误归纳如下：
表4-1 显著性检验的两类错误
客观实际
检验结果 否定 H 0 Ⅰ型错误（ ） 推断正确（1- ） 接受 H 0 推断正确（1- ） Ⅱ型错误（ ）
概率论和数理统计 假设检验
① H0 := 0 ② H0 : = 0 ③ H0 : = 0
检验统计量T
X 0 S n
~ t ( n 1) —t检验法
H1 : ≠ 0 H1 : > 0 H1 : < 0
T t ( n 1);
2
T t ( n 1) T t ( n 1)
要问：两总体的均值是否有显著的差别？ 应设 H0：1=2，H1： 1≠2——双边检验 要问：总体X的均值是否显著比总体Y的均值大？ 应设 H0：1 ≤ 2，H1：1——单边检验 2
四、方法的步骤
13
回顾引例的解题过程 1、根据问题的要求，提出假设H0和备择假设H1。
（它的分布应不含任何未知参数，而且可以查出或算出它的分位点。）
原假设 8
二、常用的术语
备择假设
解: 今假设H0 ：=0=0.5， 且记H1 ：≠0=0.5，
由于X～N(0， 2),故 X ~ N ( 0 , 2 n) 当H0为真时， X 0 检验统计量 进而: U ~ N (0,1) 检 n 验 水 对于给定的 =0.05， 有
U X Y
21
1
n1
2
2 2
~
N (0,1)
n2
作为检验统计量——U检验法。 两总体X与Y的方差 12、22未知，但12=22= 2，用
T S X Y 1 1 n1 n2 ~ t ( n1 n2 2)
拒绝域
双侧检验的拒绝域取在两侧; 单边检验的拒绝域中不等式的取向与备择假设H1中不 等式的取向完全一致。
例2 在正常情况下,某工厂生产的灯泡的寿命X服从正态分布,今
测得10个灯泡寿命为: 19 1490,1440,1680,1610,1500,1750,1550,1420,1800,1580 问能否认为该工厂生产的灯泡寿命 0=1600 (=0.05)?
检验统计量T
X 0 S n
~ t ( n 1) —t检验法
H1 : ≠ 0 H1 : > 0 H1 : < 0
T t ( n 1);
2
T t ( n 1) T t ( n 1)
要问：两总体的均值是否有显著的差别？ 应设 H0：1=2，H1： 1≠2——双边检验 要问：总体X的均值是否显著比总体Y的均值大？ 应设 H0：1 ≤ 2，H1：1——单边检验 2
四、方法的步骤
13
回顾引例的解题过程 1、根据问题的要求，提出假设H0和备择假设H1。
（它的分布应不含任何未知参数，而且可以查出或算出它的分位点。）
原假设 8
二、常用的术语
备择假设
解: 今假设H0 ：=0=0.5， 且记H1 ：≠0=0.5，
由于X～N(0， 2),故 X ~ N ( 0 , 2 n) 当H0为真时， X 0 检验统计量 进而: U ~ N (0,1) 检 n 验 水 对于给定的 =0.05， 有
U X Y
21
1
n1
2
2 2
~
N (0,1)
n2
作为检验统计量——U检验法。 两总体X与Y的方差 12、22未知，但12=22= 2，用
T S X Y 1 1 n1 n2 ~ t ( n1 n2 2)
拒绝域
双侧检验的拒绝域取在两侧; 单边检验的拒绝域中不等式的取向与备择假设H1中不 等式的取向完全一致。
例2 在正常情况下,某工厂生产的灯泡的寿命X服从正态分布,今
测得10个灯泡寿命为: 19 1490,1440,1680,1610,1500,1750,1550,1420,1800,1580 问能否认为该工厂生产的灯泡寿命 0=1600 (=0.05)?
第四章 假设检验(1)
第四章 假设检验
§4.1
关于总体未知分布或对已知分布总体中未知 参数的假设称为统计假设，简称假设；
对样本进行考察，从而决定假设是否成立的 方法称为假设检验，简称检验；
例1:罐装可乐的标准容量是250毫升
生产流水线上罐装可 乐不断地封装，然后装箱 外运. 怎么知道这批罐装 可乐的容量是否合格呢？ 通常的办法是每隔一段时间进行抽样检查.
例2(医疗领域)为了检验某种新疗法是否比传统 疗法更有效，对40名患者进行实验。把病人分 成两组，每组20人，第一组采用新疗法，第二 组采用传统疗法。从治疗结果表中，我们能否 认为新疗法比传统疗法更有效？即第一组的康 复人数比第二组多的原因是因为新疗法效果更 好，还是由随机因素引起的？
疗法 新疗法 传统疗法 康复 12 9 未康复 8 11
假设检验中的两类错误 小概率事件不管多小都可能发生，再加上 样本的随机性，它们可能会影响检验结果。 实际情况
决定
拒绝H0 接受H0 以真为假(弃真) 以假为真(取伪)
H0为真 第一类错误 正确
H0不真 正确 第二类错误
P(拒绝H 0 | H 0为真) P(接受H 0 | H 0为假)
2 2 0 2 2 0
2.检验统计量
2
(n 1) S
2
2 0
~ (n 1)
2
2 3. P{12 / 2 (n 1) 2 / 2 ( n 1)} 1
得拒绝域是 (0,
2 1 / 2
(n 1)) ( / 2 (n 1), )
期望已知，关于方差的假设检验
双侧检验：
1.提出假设： H 0 : , H 1 :
2 2 0 2
§4.1
关于总体未知分布或对已知分布总体中未知 参数的假设称为统计假设，简称假设；
对样本进行考察，从而决定假设是否成立的 方法称为假设检验，简称检验；
例1:罐装可乐的标准容量是250毫升
生产流水线上罐装可 乐不断地封装，然后装箱 外运. 怎么知道这批罐装 可乐的容量是否合格呢？ 通常的办法是每隔一段时间进行抽样检查.
例2(医疗领域)为了检验某种新疗法是否比传统 疗法更有效，对40名患者进行实验。把病人分 成两组，每组20人，第一组采用新疗法，第二 组采用传统疗法。从治疗结果表中，我们能否 认为新疗法比传统疗法更有效？即第一组的康 复人数比第二组多的原因是因为新疗法效果更 好，还是由随机因素引起的？
疗法 新疗法 传统疗法 康复 12 9 未康复 8 11
假设检验中的两类错误 小概率事件不管多小都可能发生，再加上 样本的随机性，它们可能会影响检验结果。 实际情况
决定
拒绝H0 接受H0 以真为假(弃真) 以假为真(取伪)
H0为真 第一类错误 正确
H0不真 正确 第二类错误
P(拒绝H 0 | H 0为真) P(接受H 0 | H 0为假)
2 2 0 2 2 0
2.检验统计量
2
(n 1) S
2
2 0
~ (n 1)
2
2 3. P{12 / 2 (n 1) 2 / 2 ( n 1)} 1
得拒绝域是 (0,
2 1 / 2
(n 1)) ( / 2 (n 1), )
期望已知，关于方差的假设检验
双侧检验：
1.提出假设： H 0 : , H 1 :
2 2 0 2
第4章 假设检验(田间试验与统计分析 四川农业大学)
2 2
2
s2 1
s2 2
Hale Waihona Puke s2 es2 e
df1
s2 1
df1
df
2
s
2 2
df2
s2 e
5 2.412 4 3.997 54
3.1164
1.提出假设
H0 ：1=2； HA ：1≠2 。
2、计算t值
t x1 x2 s x1 x2
s x1 x2
第二节 单个样本平均数的假设检验
在实际研究工作中，常常要检验某样本
所属总体平均数与已知的总体平均数 0 是 否有差异。已知的总体平均数 0 一般为一些
公认的理论数值、经验数值或期望数值。
若σ2已知
u x 0 x
x
n
u检验
s2 若σ2未知
t x 0
sx
sx
s n
x2 1 ( x)2
x x 30.3667(g) s
n
n
2.5328 (g)
n 1
sx
s 0.8443 (g) n
t x 0 30.3667 27.5 3.395
sx
0.8443
df=n-1=9-1=8
t0.05(8) =2.306 t0.01(8) =3.355 | t |=3.395 > t0.01(8)
第四章 假设检验
第一节 假设检验的基本原理 第二节 单个样本平均数的假设检验 第三节 两个样本平均数的假设检验 第四节 百分率资料的假设检验 第五节 参数的区间估计
假设检验(test of hypothesis)又叫显著性 检验 (test of significance)，是统计学中的一 个重要内容 。假设检验的方法很多 ，常用的
管理统计学-第4章 假设检验
• 在本例中，
_
x 32 35
3.184
s / n 5.96 / 40
⑤作出统计决策
• 根据样本信息计算出统计量z的具体值，Z 将它与临界值 相比较，就可以作出接受 原假设或拒绝原假设的统计决策。
• 在本例中，由于z=3.184>1.96，落在拒绝 域内，所以拒绝原假设H0。可以得出结论：
在0.05的显著性水平下，抽样结果的平
– p<α，拒绝零假设 – p>α，不应拒绝零假设
举例1
• 某健身俱乐部主管经理估计会员的平均年 龄是35岁，研究人员从2005年入会的新 会员中随机抽取40人，调查得到他们的年 龄数据如下。
33 28 32 26 37 35 27 29 33 30 35 29 39 34 27 37 34 36 31 29 29 26 19 21 36 38 42 39 36 38 27 22 29 34 36 20 39 37 22 39
素有：总体方差已知还是未知，用于进行检验的
样本是大样本还是小样本，等等。
• 在本例中，由于n=40>30是大样本，所以 近似
服从正态分布，以样本标准差代替总体标准差， 所用的统计量是：
_
x
3.184
s/ n
③选取显著性水平，确定接受域和拒绝域
• 显著性水平（Significant Level）：事先给定的形 成拒绝域的小概率，用表示。
(3)右单侧检验
两侧，左单侧检验的拒绝域位于统计量分布曲线的左侧，
右单侧检验的拒绝域位于统计量分布曲线的右侧。
④计算检验统计量的值
• 在提出原假设H0和备选假设H1，确定了检验统计 量，给定了显著性水平以后，接下来就要根据
假设检验的原理和方法
统计推断(statistical inference)
第四章
do
something
第四章 统计推断
统计推断
由一个样本或一糸列样本所得的结果来推断总体的特征
假设检验
参数估计
统计推断的过程
分析误差产生的原因
任务
确定差异的性质
排除误差干扰
对总体特征做出正确判断
第四章
第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
330
实例
?
三、假设检验的步骤
治疗前 0 ＝126 2 ＝240
N ( 126，240 ）
治疗后 n ＝6 x ＝136 未知 那么 ＝0 ? 即克矽平对治疗矽肺是否有效？
例：设矽肺病患者的血红蛋白含量具平均数0＝126(mg/L)， 2 ＝240 (mg/L)2的正态分布。现用克矽平对6位矽肺病患者进行治疗，治疗后化验测得其平均血红蛋白含量x =136(mg/L)。
1 、提出假设
对立
无效假设/零假设/检验假设
备择假设/对应假设
0 ＝
0
误差效应
处理效应
H0
HA
例：克矽平治疗矽肺病是否能提高血红蛋白含量？
检验治疗后的总体平均数是否还是治疗前的126(mg/L)？
本例中零假设是指治疗后的血红蛋白平均数仍和治疗前一样，二者来自同一总体，接受零假设则表示克矽平没有疗效。
可能错误
例：上例中 P＝0.1142>0.05所以接受H0，从而得出结论：使用克矽平治疗前后血红蛋白含量未发现有显著差异，其差值10应归于误差所致。
P( u >1.96) =0.05
P( u >2.58) =0.01
第四章
do
something
第四章 统计推断
统计推断
由一个样本或一糸列样本所得的结果来推断总体的特征
假设检验
参数估计
统计推断的过程
分析误差产生的原因
任务
确定差异的性质
排除误差干扰
对总体特征做出正确判断
第四章
第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
330
实例
?
三、假设检验的步骤
治疗前 0 ＝126 2 ＝240
N ( 126，240 ）
治疗后 n ＝6 x ＝136 未知 那么 ＝0 ? 即克矽平对治疗矽肺是否有效？
例：设矽肺病患者的血红蛋白含量具平均数0＝126(mg/L)， 2 ＝240 (mg/L)2的正态分布。现用克矽平对6位矽肺病患者进行治疗，治疗后化验测得其平均血红蛋白含量x =136(mg/L)。
1 、提出假设
对立
无效假设/零假设/检验假设
备择假设/对应假设
0 ＝
0
误差效应
处理效应
H0
HA
例：克矽平治疗矽肺病是否能提高血红蛋白含量？
检验治疗后的总体平均数是否还是治疗前的126(mg/L)？
本例中零假设是指治疗后的血红蛋白平均数仍和治疗前一样，二者来自同一总体，接受零假设则表示克矽平没有疗效。
可能错误
例：上例中 P＝0.1142>0.05所以接受H0，从而得出结论：使用克矽平治疗前后血红蛋白含量未发现有显著差异，其差值10应归于误差所致。
P( u >1.96) =0.05
P( u >2.58) =0.01
《统计学(第二版)》电子课件 第4章 假设检验
显著性检验中原假设与备择假设的位置是不对称 的，二者不能随意交换；
显著性检验本身对原假设起保护作用，水平越小， 检验犯第一类错误的概率就越小，换言之，越有 可能不拒绝原假设。
2021/8/7
《统计学》第4章假设检验
4-29
4.1.5 双侧检验和单侧检验
常见的三种显著性假设检验形式： （1）双侧检验 H0 : 0 H1 : 0 （2）右侧检验 H0 : 0 H1 : 0 （3）左侧检验 H0 : 0 H1 : 0
从该批产品中随机抽取了100件，发现其中有4件 次品，即样本次品率为4%，A公司认为样本次品 率4%大于1%，所以不接受B公司的这批产品，B 公司则认为虽然样本次品率为4%，但并不能说明 10万件产品的次品率大于1%，因为样本量很小;
2021/8/7
《统计学》第4章假设检验
4-3
问题
(1)A公司是否应该接受该批产品？ (2)如果随机抽取了100件产品有3件次品，
H0:pp01%
2021/8/7
《统计学》第4章假设检验
4-12
记X为100件产品中次品的数目，直观上看， X越大，原假设越值得怀疑，反之， X越小， 对原假设越有利；问题是， X大到多少应 该拒绝原假设？
两种处理方法：
2021/8/7
《统计学》第4章假设检验
4-13
1. 假定H0成立，计算事件X≥4的概率
4-32
4.2 一个正态总体的检验
4.2.1 总体均值μ的检验: Z检验 考虑如下三种检验问题
H0:0 H1:0 H0:0 H1:0 H0:0 H1:0
(4.4) (4.5) (4.6)
2021/8/7
《统计学》第4章假设检验
4-33
显著性检验本身对原假设起保护作用，水平越小， 检验犯第一类错误的概率就越小，换言之，越有 可能不拒绝原假设。
2021/8/7
《统计学》第4章假设检验
4-29
4.1.5 双侧检验和单侧检验
常见的三种显著性假设检验形式： （1）双侧检验 H0 : 0 H1 : 0 （2）右侧检验 H0 : 0 H1 : 0 （3）左侧检验 H0 : 0 H1 : 0
从该批产品中随机抽取了100件，发现其中有4件 次品，即样本次品率为4%，A公司认为样本次品 率4%大于1%，所以不接受B公司的这批产品，B 公司则认为虽然样本次品率为4%，但并不能说明 10万件产品的次品率大于1%，因为样本量很小;
2021/8/7
《统计学》第4章假设检验
4-3
问题
(1)A公司是否应该接受该批产品？ (2)如果随机抽取了100件产品有3件次品，
H0:pp01%
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《统计学》第4章假设检验
4-12
记X为100件产品中次品的数目，直观上看， X越大，原假设越值得怀疑，反之， X越小， 对原假设越有利；问题是， X大到多少应 该拒绝原假设？
两种处理方法：
2021/8/7
《统计学》第4章假设检验
4-13
1. 假定H0成立，计算事件X≥4的概率
4-32
4.2 一个正态总体的检验
4.2.1 总体均值μ的检验: Z检验 考虑如下三种检验问题
H0:0 H1:0 H0:0 H1:0 H0:0 H1:0
(4.4) (4.5) (4.6)
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《统计学》第4章假设检验
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检验。 （1）提出无效假设与备择假设
H0： 0 ，即新老工艺没有差异。
H A： 0 ，新老工艺有差异。
上一张 下一张 主 页 退 出
（2）确定显著水平α＝0.01 （3）计算t值
x =520g，S=12g
所以
均数标准误
S
＝
x
S＝ n
12 ＝3 16
t x u0 ＝520 500＝6.667 **
Sx
3
自由度 df n 1 16 1 15
（4）查临界t值，作出统计推断
由df =15，查t值表（附表3）得
t0.01（15）=2.947，因为|t|>t0.01，
P<0.01， 故应否定H0，接受HA， 表明
新老工艺的每100g加工出的果冻量差异极 显著。（在统计量t上标记**）
上一张 下一张 主 页 退 出
数值或期望数值。常用的检验方法有u检验
和t检验。
上一张 下一张 主 页 退 出
2.1.1 单个样本平均数的u 检验
u 检验（u-test），就是在假设检验中利用
标准正态分布来进行统计量的概率计算的检验方
法。Excel中统计函数（Ztest）。
由抽样分布理论可知，有两种情况的资料可以
用u检验方法进行分析：样本资料服从正态分布
df n 1 12 1 11
3、查临界t值，作出统计推断
t 因为单侧 0.05(11) = 双侧 t0.10(11) = 1.796，
t=2.281 > 单侧t0.05（11）， P < 0.05 ， 否
定H0 ： ≤ 246，接受HA ： >246，可以认
为该批饲料维生素C含量符合规定要求。
（2）确定显著水平。α＝0.05（两尾概率）
（3）构造统计量，并计算样本统计量值。
样本平均数：
x＝ xi ＝505 512 510 ＝502 .70
n
10
均数标准误： x＝ ＝ 8 ＝2.530
n 10
统计量u值：
u x 0 ＝502.70 500＝1.067
/ n
8 / 10
（4）统计推断。由显著水平α＝0.05，查附表， 得临界值u0.05＝1.96。实际计算出的 u＝1.067 u0.05＝1.96 表明，试验表面效应仅由误差引起的概率P>0.05,
故不能否定H0 ，所以，当日装罐机工作正常。
2.1.2 单个样本平均数的t 检验
t 检验（t-test）是利用t分布来进行统计量 的概率计算的假设检验方法。它主要应用于总体 方差未知时的小样本资料（n<30）。
均数标准误
S
＝
x
S n
统计量t t x 0
Sx
x 其中， 为样本平均数，S为样本标准差，n为
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按题意，此例应采用单侧检验。 （1）提出无效假设与备择假设
H0： ≤ 246，HA： > 246 （2）计算 t 值
经计算得：x =114.5，S=1.581
上一张 下一张 主 页 退 出所以t x = 252 246
Sx
9.115 12
=6
2.631
= 2.281
【例3-4】某名优绿茶含水量标准为不超过5.5 ％。现有一批该绿茶，从中随机抽出8个样品测
x 定其含水量，平均含水量 ＝5.6％，标准差
S＝0.3％。问该批绿茶的含水量是否超标？
符合t检验条件，为单尾检验。 （1）提出无效假设与备择假设
H0： ≤ 0 ＝5.5％，HA： > 0
（2）计算 t 值 Sx ＝ S ＝0.003＝0.001
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2.2 两个样本平均数的假设检验
在实际工作中还经常会遇到推断两个样本 平均数差异是否显著的问题，以了解两样本所 属总体的平均数是否相同。比如两个果实品种 的比较，两种检验方法的比较，两种加工方法 的比较等。
n8
t＝ x 0 ＝0.056 0.055＝1.000
Sx
0.001
df n 1 8 1 7 上一张 下一张 主 页 退 出
（3）查临界t值，作出统计推断
单侧 t0.05(7) = 双侧 t0.10(7) = 1.895，
t=1.000< 单侧t0.05（7），P > 0.05 ，
不能否定H0 ： ≤ 0 =5.5％，可以认为
N（μ,σ2）,并且总体方差σ2已知；总体方差虽
然未知，但样本平均数来自于大样本（n≥30）。
下边举例说明检验过程：
【例3-2】某罐头厂生产肉类罐头，其自动装罐机在正 常工作时每罐净重服从正态分布N（500，64）（单位 ，g）。某日随机抽查10瓶罐头，得净重为：505，512 ，497，493，508，515，502，495，490，510。问装 罐机当日工作是否正常？
由题意知，样本服从正态分布，总体方差σ2 ＝64， 符合u检验应用条件。由于当日装罐机的每罐平均净 重可能高于或低于正常工作状态下的标准净重，故需 作两尾检验。其方法如下：
（1） 提出假设。无效假设H0：μ＝μ0＝ 500 g， 即当日装罐机每罐平均净重与正常工作状态下的标 准净重一样。
备择假设HA：μ≠μ0，即罐装机工作不正常。
样本容量。
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例3-3 用山楂加工果冻，传统工艺平均每100 g 加工500g果冻，采用新工艺后，测定了16次，得
知每100g山楂可出果冻平均为 x ＝520g，标准
差S＝12g。问新工艺与老工艺在每100g加工果
冻的量上有无显著差异？ 本例总体方差未知，又是小样本，采用双侧t
该批绿茶的含水量符合规定要求。
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【例】 按饲料配方规定，每1000kg某种饲料 中维生素C大于246g，现从工厂的产品中随机抽 测12个样品，测得维生素C含量如下：255 、
260、 262、 248、244、245、 250、 238、 246、 248、 258、
270g/1000kg，若样品的维生素C含量服从正 态分布，问此产品是否符合规定要求？
2 样本平均数的假设检验
2.1 单个样本平均数的假设检验
实质是样本所在总体平均数与已知总体平均数差 异显著性检验。
在实际工作中我们往往需要检验一个样
本平均数与已知的总体平均数是否有显著差
异，即检验该样本是否来自某一总体。即检
验无效假设H0:μ＝μ0，备择假设HA： μ≠μ0或μ>μ0(μ<μ0)的问题。已知的总 体平均数一般为一些公认的理论数值、经验
H0： 0 ，即新老工艺没有差异。
H A： 0 ，新老工艺有差异。
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（2）确定显著水平α＝0.01 （3）计算t值
x =520g，S=12g
所以
均数标准误
S
＝
x
S＝ n
12 ＝3 16
t x u0 ＝520 500＝6.667 **
Sx
3
自由度 df n 1 16 1 15
（4）查临界t值，作出统计推断
由df =15，查t值表（附表3）得
t0.01（15）=2.947，因为|t|>t0.01，
P<0.01， 故应否定H0，接受HA， 表明
新老工艺的每100g加工出的果冻量差异极 显著。（在统计量t上标记**）
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数值或期望数值。常用的检验方法有u检验
和t检验。
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2.1.1 单个样本平均数的u 检验
u 检验（u-test），就是在假设检验中利用
标准正态分布来进行统计量的概率计算的检验方
法。Excel中统计函数（Ztest）。
由抽样分布理论可知，有两种情况的资料可以
用u检验方法进行分析：样本资料服从正态分布
df n 1 12 1 11
3、查临界t值，作出统计推断
t 因为单侧 0.05(11) = 双侧 t0.10(11) = 1.796，
t=2.281 > 单侧t0.05（11）， P < 0.05 ， 否
定H0 ： ≤ 246，接受HA ： >246，可以认
为该批饲料维生素C含量符合规定要求。
（2）确定显著水平。α＝0.05（两尾概率）
（3）构造统计量，并计算样本统计量值。
样本平均数：
x＝ xi ＝505 512 510 ＝502 .70
n
10
均数标准误： x＝ ＝ 8 ＝2.530
n 10
统计量u值：
u x 0 ＝502.70 500＝1.067
/ n
8 / 10
（4）统计推断。由显著水平α＝0.05，查附表， 得临界值u0.05＝1.96。实际计算出的 u＝1.067 u0.05＝1.96 表明，试验表面效应仅由误差引起的概率P>0.05,
故不能否定H0 ，所以，当日装罐机工作正常。
2.1.2 单个样本平均数的t 检验
t 检验（t-test）是利用t分布来进行统计量 的概率计算的假设检验方法。它主要应用于总体 方差未知时的小样本资料（n<30）。
均数标准误
S
＝
x
S n
统计量t t x 0
Sx
x 其中， 为样本平均数，S为样本标准差，n为
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按题意，此例应采用单侧检验。 （1）提出无效假设与备择假设
H0： ≤ 246，HA： > 246 （2）计算 t 值
经计算得：x =114.5，S=1.581
上一张 下一张 主 页 退 出所以t x = 252 246
Sx
9.115 12
=6
2.631
= 2.281
【例3-4】某名优绿茶含水量标准为不超过5.5 ％。现有一批该绿茶，从中随机抽出8个样品测
x 定其含水量，平均含水量 ＝5.6％，标准差
S＝0.3％。问该批绿茶的含水量是否超标？
符合t检验条件，为单尾检验。 （1）提出无效假设与备择假设
H0： ≤ 0 ＝5.5％，HA： > 0
（2）计算 t 值 Sx ＝ S ＝0.003＝0.001
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2.2 两个样本平均数的假设检验
在实际工作中还经常会遇到推断两个样本 平均数差异是否显著的问题，以了解两样本所 属总体的平均数是否相同。比如两个果实品种 的比较，两种检验方法的比较，两种加工方法 的比较等。
n8
t＝ x 0 ＝0.056 0.055＝1.000
Sx
0.001
df n 1 8 1 7 上一张 下一张 主 页 退 出
（3）查临界t值，作出统计推断
单侧 t0.05(7) = 双侧 t0.10(7) = 1.895，
t=1.000< 单侧t0.05（7），P > 0.05 ，
不能否定H0 ： ≤ 0 =5.5％，可以认为
N（μ,σ2）,并且总体方差σ2已知；总体方差虽
然未知，但样本平均数来自于大样本（n≥30）。
下边举例说明检验过程：
【例3-2】某罐头厂生产肉类罐头，其自动装罐机在正 常工作时每罐净重服从正态分布N（500，64）（单位 ，g）。某日随机抽查10瓶罐头，得净重为：505，512 ，497，493，508，515，502，495，490，510。问装 罐机当日工作是否正常？
由题意知，样本服从正态分布，总体方差σ2 ＝64， 符合u检验应用条件。由于当日装罐机的每罐平均净 重可能高于或低于正常工作状态下的标准净重，故需 作两尾检验。其方法如下：
（1） 提出假设。无效假设H0：μ＝μ0＝ 500 g， 即当日装罐机每罐平均净重与正常工作状态下的标 准净重一样。
备择假设HA：μ≠μ0，即罐装机工作不正常。
样本容量。
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例3-3 用山楂加工果冻，传统工艺平均每100 g 加工500g果冻，采用新工艺后，测定了16次，得
知每100g山楂可出果冻平均为 x ＝520g，标准
差S＝12g。问新工艺与老工艺在每100g加工果
冻的量上有无显著差异？ 本例总体方差未知，又是小样本，采用双侧t
该批绿茶的含水量符合规定要求。
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【例】 按饲料配方规定，每1000kg某种饲料 中维生素C大于246g，现从工厂的产品中随机抽 测12个样品，测得维生素C含量如下：255 、
260、 262、 248、244、245、 250、 238、 246、 248、 258、
270g/1000kg，若样品的维生素C含量服从正 态分布，问此产品是否符合规定要求？
2 样本平均数的假设检验
2.1 单个样本平均数的假设检验
实质是样本所在总体平均数与已知总体平均数差 异显著性检验。
在实际工作中我们往往需要检验一个样
本平均数与已知的总体平均数是否有显著差
异，即检验该样本是否来自某一总体。即检
验无效假设H0:μ＝μ0，备择假设HA： μ≠μ0或μ>μ0(μ<μ0)的问题。已知的总 体平均数一般为一些公认的理论数值、经验