现代控制理论基础-C5
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王孝武主编《现代控制理论基础》(第3版)第5章课件讲解
定理5-1 线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（8），不 改变系统的能控性。 证明 对任意的K 矩阵，均有
I 0 λI ( A BK ) B λI A B K I I 0 因为 满秩，所以对任意常值矩阵K 和 λ ，均有 K I rankλI ( A BK ) B rankλI A B
rank I ( A BHC)
B rank I A
B
可见，输出反馈不改变系统的能控性。 5.4.2 输出反馈系统极点配置的局限性 设系统方程为
x Ax bu
其中，x —— n维；
y Cx
u —— 标量；
y —— m维。
引入输出反馈： 得到：
u V Hy
uA KAu
2. 计算状态反馈矩阵
QC b
Ab
0 10 0 A2b 0 10 110 10 100 990
rankQC 3 所以系统能控
计算出状态反馈矩阵 K K0 K1 K2 4 1.2 0.1 状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出 TF ）。 经过结构变换成（d）图所示的状态图
I BH 因为不论H为何种常值矩阵，矩阵 均为满秩，所以 0 I
I ( A BHC ) I A rank rank C C
可见，输出反馈不改变系统的能观性。 定理5-3 对于任意常值反馈矩阵H，输出反馈不改变系统的能控性。 证明： 设系统方程为
状态反馈系统特征多项式为
Δ K ( s) det[sI ( A b K )] s n (an 1 kn 1 ) s n 1 (a1 k1 ) s (a0 k0 )
现代控制理论多媒体课件
航空器自动驾驶
在民航和通用航空领域， 现代控制理论用于实现航 空器的自动驾驶和自动降 落等功能。
工业自动化
智能制造
现代控制理论在智能制造 领域中用于实现生产线的 自动化、优化和调度。
工业机器人
通过现代控制理论对工业 机器人进行精确控制，提 高生产效率和产品质量。
过程控制
在化工、制药、冶金等行 业中，现代控制理论用于 实现生产过程的自动化和 优化。
现代控制理论多媒 体课件
contents
目录
• 现代控制理论概述 • 现代控制理论的核心概念 • 现代控制理论的应用领域 • 现代控制理论的基本方法 • 现代控制理论的挑战与展望 • 现代控制理论案例分析
01
CATALOGUE
现代控制理论概述
定义与特点
定义
现代控制理论是研究如何通过输入信号来控制和调节系统状态的一门科学。它 以数学为主要工具，通过建立系统的数学模型，分析系统的动态行为，以达到 优化系统性能的目的。
未来展望
03Biblioteka 随着科技的不断进步，现代控制理论将继续发展，并应用于更
多领域，解决更复杂的实际问题。
02
CATALOGUE
现代控制理论的核心概念
状态空间法
01
状态空间法是一种描述动态系统的方法，通过状态 变量和输入变量来描述系统的运动过程。
02
它能够全面地反映系统的内部结构和动态特性，为 系统的分析和设计提供了有力的工具。
控制系统的安全与稳定性
安全性
在控制系统中，安全性是一个重要的考虑因 素。系统需要能够应对各种异常和故障情况 ，确保设备和人员的安全。
稳定性
稳定性是控制系统的一个重要特性，它涉及 到系统的长期行为和响应。保持系统的稳定
《现代控制理论》课件
现代控制理论
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。
现代控制理论
学科内容
按照发展的过程，我们通常把自动控制理论区分为经典控制理论和现代控制理论两个部分。
经典控制理论经典控制理论的研究对象是单输入单输出的自动控制系统，特别是线性定常系统。经典控制理 论的特点是以输入输出特性为系统的数学模型。
现代控制理论所包含的学科内容十分广泛，主要的方面有：线性系统理论、非线性系统理论、最优控制理论、 随机控制理论和适应控制理论。
线性系统理论：它是现代控制理论中最为基本和比较成熟的一个分支，着重于研究线性系统中状态的控制和 观测问题，其基本的分析和综合方法是状态空间法。按所采用的数学工具，线性系统理论通常分成为三个学派： 基于几何概念和方法的几何理论，代表人物是W.M.旺纳姆；基于抽象代数方法的代数理论，代表人物是R.E.卡尔 曼；基于复变量方法的频域理论，代表人物是H.H.罗森布罗克。
现代控制理论
建立在状态空间法基础上的一种控制理论
01 发展过程
03 智能系统
目录
02 学科内容 04 相关名词
建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。在现代控制理论中，对控 制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法。现代控制理论比 经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统 和多变量系统。它所采用的方法和算法也更适合于在数字计算机上进行。现代控制理论还为设计和构造具有指定 的性能指标的最优控制系统提供了可能性。
谢谢观看
非线性系统理论：非线性系统的分析和综合理论尚不完善。研究领域主要还限于系统的运动稳定性、双线性 系统的控制和观测问题、非线性反馈问题等。更一般的非线性系统理论还有待建立。从70年代中期以来，由微分 几何理论得出的某些方法对分析某些类型的非线性系统提供了有力的理论工具。
《现代控制理论基础》PPT课件
1875 年 ， 英 国 的 劳 斯 （ E.J.Routh,1831-1907 ） ， 1995年，德国的赫尔维茨（A.Hurwitz，1859-1919）,先 后分别提出根据代数方程系数判别系统稳定性的一般准 则。
11
20世纪20年代，电子技术得到了迅速发展，促进 了信息处理和自动控制及其理论的发展。
这 个 时 期 的 主 要 代 表 人 物 有 美 国 的 贝 尔 曼 （ R. Bellman）、原苏联的庞特里亚金和美籍匈牙利人卡尔曼 （R.E.Kalman）等人。
23
1965年，贝尔曼发表了“动态规划理论在控制过程中 的应用“一文，提出了寻求最优控制的动态规划法。
1958年，Kalman提出递推估计的自动化控制原理，奠 定了自校正控制器的基础。
5
二 控制理论的产生及其发展
6
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
27
例如，在20世纪70年代以来形成的大系统理论主要 是解决大型工程和社会经济中信号处理、可靠性控制等 综合最优的设计问题。
由于应用范围涉及越来越复杂的工程系统和社会、 经济、管理等非工程的人类活动系统，原有的理论方法 遇到了本质困难，大系统和社会发展逐渐转向“复杂系 统”的概念。
28
智能控制的发展始于20世纪60年代，它是一种能更好地 模仿人类智能的、非传统的控制方法。它突破了传统控制中 对象有明确的数学描述和控制目标是可以数量化的限制。它 所采用的理念方法主要是来自自动控制理论、人工智能、模 糊集和神经网络以及运筹学等学科分支。
11
20世纪20年代，电子技术得到了迅速发展，促进 了信息处理和自动控制及其理论的发展。
这 个 时 期 的 主 要 代 表 人 物 有 美 国 的 贝 尔 曼 （ R. Bellman）、原苏联的庞特里亚金和美籍匈牙利人卡尔曼 （R.E.Kalman）等人。
23
1965年，贝尔曼发表了“动态规划理论在控制过程中 的应用“一文，提出了寻求最优控制的动态规划法。
1958年，Kalman提出递推估计的自动化控制原理，奠 定了自校正控制器的基础。
5
二 控制理论的产生及其发展
6
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
27
例如，在20世纪70年代以来形成的大系统理论主要 是解决大型工程和社会经济中信号处理、可靠性控制等 综合最优的设计问题。
由于应用范围涉及越来越复杂的工程系统和社会、 经济、管理等非工程的人类活动系统，原有的理论方法 遇到了本质困难，大系统和社会发展逐渐转向“复杂系 统”的概念。
28
智能控制的发展始于20世纪60年代，它是一种能更好地 模仿人类智能的、非传统的控制方法。它突破了传统控制中 对象有明确的数学描述和控制目标是可以数量化的限制。它 所采用的理念方法主要是来自自动控制理论、人工智能、模 糊集和神经网络以及运筹学等学科分支。
教学课件 现代控制理论基础--王孝武
1.1 状态变量及状态空间表达式
• 状态变量 (State variables)
– 状态：表征系统运动的信息和行为 – 状态变量：能完全表示系统运动状态的最小
个数的一组变量
x1(t), x2(t), …, xn(t)
• 状态向量(State vectors)
由状态变量构成的向量 x(t)
1.1 状态变量及状态空间表达式
– 科学技术的发展不仅需要迅速地发展控制理论， 而且也给现代控制理论的发展准备了两个重要 的条件—现代数学和数字计算机。
– 现代数学，例如泛函分析、现代代数等，为现 代控制理论提供了多种多样的分析工具；而数 字计算机为现代控制理论发展提供了应用的平 台。
– 在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞 速发展，推动了核能技术、空间技术的发展， 从而对出现的多输入多输出系统、非线性系统
绪论
• 控制问题 (Control Problem)
– 对于受控系统（广义系统）S，寻求控制规律 u(t)，使得闭环系统满足给定的性能指标要求。
绪论
• 控制问题 (Control Problem)
– 建模(Modelling)：用数学模型描述被控对象 – 分析(Analysing)：
• 定性(Quality)：稳定性、能观能控性 • 定量(Quantity)：时域指标、频域指标
(P.1bility criteria for nonlinear systems)
绪论
• 现代控制理论研究的对象、内容及方法
– 现代控制理论研究的内容
• 线性系统理论 (Theory of Linear Systems) • 非线性系统理论 (Theory of Nonlinear Systems)
现代控制理论课件教材
2. 1895年劳斯（Routh）与赫
尔维茨（Hurwitz）把马克 斯韦尔的思想扩展到高阶微 分方程描述的更复杂的系 统中,各自提出了两个著名
的稳定性判据—劳斯判据
和赫尔维茨判据。基本上 满足了二十世纪初期控制 赫尔维茨（Hurwitz）
工程师的需要。
同济大学汽车学院 2013
1.1 现代控制理论的产生与发展
水 运 仪 象 台
2. 公元1086－1089年 （北宋哲宗元祐初年）， 我国发明的水运仪象台， 就是一种闭环自动调节系 统。
同济大学汽车学院 2013
1.1 现代控制理论的产生与发展
二 起步阶段
随着科学技术与工业生 产的发展，到十八世纪， 自动控制技术逐渐应用到 现代工业中。其中最卓越 的代表是瓦特（J.Watt） 发明的蒸汽机离心调速器， 加速了第一次工业革命的 步伐。
•成绩:
• 期终考试: 70% • 作业: 15% • 出席: 15%
同济大学汽车学院 2013
同济大学 汽车学院
College of Automotive, Tongji University
课程内容：
• 绪论 • 控制系统的状态空间描述 • 线性控制系统的运动分析 • 线性控制系统的能控性和能观性 • 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 • 状态反馈和状态观测器 • 最优控制
3.由于第二次世界大战需要 控制系统具有准确跟踪与补 偿能力，1932年奈奎斯特 （H.Nyquist）提出了频域 内研究系统的频率响应法， 为具有高质量的动态品质和 静态 准确度的军用控制系 统提供了所需的分析工具。
奈奎斯特
同济大学汽车学院 2013
1.1 现代控制理论的产生与发展
4.1948年伊万斯（W.R.Ewans）提出了复数域内 研究系统的根轨迹法。 建立在奈奎斯特的频率响应法和伊万斯的根轨 迹法基础上的理论，称为经典（古典）控制理论 （或自动控制理论）。
现代控制理论完整版
现代控制理论HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】1、什么是对偶系统，从传递函数矩阵，特征多项式和能控、能观性说明互为对偶的两个系统之间的关系。
答：定义：如果两个系统满足A2=A1T，B2=C1T,C2=B1T，则称这两个系统互为对偶函数。
互为对偶系统传递函数矩阵互为转置特征多项式相同，一个函数的能控性等价于另一个函数的能观性。
2、什么是状态观测器？简述构造状态观测器的原则。
答：系统的状态不易检测，以原系统的输入和输出为输入量构造，一动态系统，使其输出渐近于原系统状态，此动态系统为原系统的状态观测器。
原则：（1）观测器应以原系统的输入和输出为输入量；（2）原系统完全能观或不能观于系统是渐近稳定的；（3）观测器的输出状态应以足够快速度超近于原系统状态；（4）有尽可能低的维数，以便于物理实现。
3、说明应用李氏第二法判断非线性系统稳定性基本思想和方法步骤和局限性。
答：基本思想：从能量观点分析平衡状态的稳定性。
（1）如果系统受扰后，其运动总是伴随能量的减少，当达到平衡状态时，能量达到最小值，则此平衡状态渐近稳定：（2）如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的：（3）如果系统的储能既不增加也不消耗，那么这个平衡状态时李亚普诺夫意义下的稳定。
方法步骤：定义一个正定的标量函数V（x）作为虚构的广义能量函数，然后根据V（x）=dV（x）/dt的符号特征来判别系统的稳定性。
局限性：李雅普诺夫函数V(x)的选取需要一定的经验和技巧。
4、举例说明系统状态稳定和输出稳定的关系。
答：关系：（1）状态稳定一定输出稳定，但输出稳定不一定状态稳定；（2）系统状态完全能观且能控=状态稳定与输出稳定等价。
举例：A的特征值 =-1 =1 所以状态不是渐进稳点的，W(s)的极点S=-1，所以输出稳点。
5、什么是实现问题什么是最小实现说明实现存在的条件。
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2018年10月24日5时36分 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 8
5.1 关于稳定性的基本概念
说明:1)这种系统在实际应用时是极不可靠的.若系统参 数发生变化,则零、极点就无法实现对消.这样输 出就能表现出不稳定特性. 2)只有当 W (S )不出现不稳定的零、极点对消(可以 有稳定的零、极点对消) ， W (S ) 的稳定性才与 ( A, B, C) 的稳定性是一致的.
李雅普诺夫根据 x f ( x, t ) 系统的自由响应是否(没有控 制信号u的驱动) 有界把系统的稳定性定义为四种情况:
2018年10月24日5时36分 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 10
5.1 关于稳定性的基本概念
李氏稳定：对于自治系统 x f ( x, t ) ,如果对任意实数 0 ,都对应存在实数 ( , t0 ) 0 ,使得满足不等式 x(t0 ) xe ( , t0 ) 的任意初态 x(t 0 ) x0 出发的解, x(t ) (t, x0 , t0 ) 在 t t 0 时均有 x(t ) xe 成立。
6) 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。 (这一点从线性定常系统中的描述中可以得到理解) 7) 如果一个系统有多个平衡点。由于每个平衡点处 系统的稳定性可能是不同的。因此对有多个平衡 点的系统来说，要讨论该系统的稳定性必须逐个 对各平衡点的稳定性都要逐个讨论。
2018年10月24日5时36分 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 4
结论：线性定常系统是渐近稳定的充要条件是其 系统阵A的特征根都有负实部。
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北京科技大学自动化学控制科学与工程系
6
5.1 关于稳定性的基本概念
BIBO稳定与渐近稳定的关系 若系统系统是能控能观的，则： BIBO稳定 渐近稳定 否则：
渐近稳定
BIBO稳定
2018年10月24日5时36分
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5.1 关于稳定性的基本概念
4) 对于线性定常系统 x f [ x, t ] Ax ，当A为非奇异 矩阵时， Axe 0 的解 xe 0 是系统唯一的平 衡状态，当A为奇异时，则 xe会有无穷多个。
5) 由于任意一个已知的平衡状态,都可以通过坐标 变换将其变换到坐标原点 xe 0处。所以今后将 只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。
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5.1 关于稳定性的基本概念
系统的平衡状态：若系统存在状态矢量 xe ，对 所有t，使得：
f ( xe , t ) 0 成立，则称 xe 为系统的平衡状态。
说明: 1) 对于任一个系统,不一定都存在平衡状态. 2) 如果一个系统存在平衡状态,其平衡状态也不 一定是唯一的. 3)当平衡态的任意小邻域内不存在系统的别的 平衡态时，称此平衡态为孤立的平衡态。
系统的稳定性与李雅普诺夫方法
5.1 关于稳定性的基本概念 5.2 李亚普诺夫第一方法 5.3 李亚普诺夫第二方法
5.4 李亚普诺夫第二方法在线性统的应用 5.5 李亚普诺夫第二方法在非线性系统中的应用 5.6 本章小结
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5.1 关于稳定性的基本概念
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5.1 关于稳定性的基本概念
例：设系统的状态空间表达式为:
1 0 1 x x u 0 1 1 y [1,0]x
试分析系统的状态稳定性与BIBO稳定性.
解：1)有A的特征方程: det[ I A] ( 1)( 1) 0 可知系统的状态是不稳定的. 2)由系统的传递函数: s 1 1 1 W ( S ) c( SI A) b ( s 1)( s 1) s 被系统的零点s=+1 对消了，不稳定部分被掩盖。
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5.1 关于稳定性的基本概念
内部稳定-渐近稳定 定义：线性系统 X Ax Bu, Y Cx Du u=0 时 x( t 0 )引起的零输入响应为 (t ,0, x0 , t0 )
(t ,0, t0 , x0 ) 0 如果满足如下关系 lim t 则称系统是内部稳定的。（渐近稳定的）
5.1 关于稳定性的基本概念
通过输入和输出关系表征系统的外部稳定。 通过状态和其运动规律，表征系统内部稳定。 外部稳定-BIBO稳定 定义：如果系统对一个有界输入u(t) .即 || u(t ) || k1
产生一个有界输出，即 || y(t ) || k2 ，则称系统为
有界输入有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。 结论：系统 BIBO稳定的充要条件是系统传递函数极 点都有负实部。
状态轨迹：设所研究系统的齐次状态方程为
式中： x—n维状态矢量；f—与x同维的矢量函数,是 xi 和时间t的函数；一般f 为时变的非线性函数，如果不含t， 则为定常的非线性函数.。 在给定初始条件 (t0 x0 ) 下,有唯一解：
x f [ x, t ]
x(t ) (t , x0 , t0 ) 上式描述了系统在n维状态空间中从初始条件 (t0 x0 ) 出发的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状 态轨线。
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5.1 关于稳定性的基本概念
预先说明：若用 x xe 表示状态变量x与平衡状态 xe的 距离，用点集 s( )表示以 xe为中心， 为半径的 超球体，那么 x s( )则可表示成 x xe s( ) ， 式中 x xe 为欧几里德范数。 当 很小时，则称 s( )为 xe 的邻域.因此若有 x0 s( ) ，则意味着 x0 xe ，同理，若方程式 x f ( x, t ) 的解 (t; x0 , t0 )位于球域 s( )内，便有: (t; x0 , t0 ) xe t t0
5.1 关于稳定性的基本概念
说明:1)这种系统在实际应用时是极不可靠的.若系统参 数发生变化,则零、极点就无法实现对消.这样输 出就能表现出不稳定特性. 2)只有当 W (S )不出现不稳定的零、极点对消(可以 有稳定的零、极点对消) ， W (S ) 的稳定性才与 ( A, B, C) 的稳定性是一致的.
李雅普诺夫根据 x f ( x, t ) 系统的自由响应是否(没有控 制信号u的驱动) 有界把系统的稳定性定义为四种情况:
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5.1 关于稳定性的基本概念
李氏稳定：对于自治系统 x f ( x, t ) ,如果对任意实数 0 ,都对应存在实数 ( , t0 ) 0 ,使得满足不等式 x(t0 ) xe ( , t0 ) 的任意初态 x(t 0 ) x0 出发的解, x(t ) (t, x0 , t0 ) 在 t t 0 时均有 x(t ) xe 成立。
6) 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。 (这一点从线性定常系统中的描述中可以得到理解) 7) 如果一个系统有多个平衡点。由于每个平衡点处 系统的稳定性可能是不同的。因此对有多个平衡 点的系统来说，要讨论该系统的稳定性必须逐个 对各平衡点的稳定性都要逐个讨论。
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结论：线性定常系统是渐近稳定的充要条件是其 系统阵A的特征根都有负实部。
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5.1 关于稳定性的基本概念
BIBO稳定与渐近稳定的关系 若系统系统是能控能观的，则： BIBO稳定 渐近稳定 否则：
渐近稳定
BIBO稳定
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5.1 关于稳定性的基本概念
4) 对于线性定常系统 x f [ x, t ] Ax ，当A为非奇异 矩阵时， Axe 0 的解 xe 0 是系统唯一的平 衡状态，当A为奇异时，则 xe会有无穷多个。
5) 由于任意一个已知的平衡状态,都可以通过坐标 变换将其变换到坐标原点 xe 0处。所以今后将 只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。
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5.1 关于稳定性的基本概念
系统的平衡状态：若系统存在状态矢量 xe ，对 所有t，使得：
f ( xe , t ) 0 成立，则称 xe 为系统的平衡状态。
说明: 1) 对于任一个系统,不一定都存在平衡状态. 2) 如果一个系统存在平衡状态,其平衡状态也不 一定是唯一的. 3)当平衡态的任意小邻域内不存在系统的别的 平衡态时，称此平衡态为孤立的平衡态。
系统的稳定性与李雅普诺夫方法
5.1 关于稳定性的基本概念 5.2 李亚普诺夫第一方法 5.3 李亚普诺夫第二方法
5.4 李亚普诺夫第二方法在线性统的应用 5.5 李亚普诺夫第二方法在非线性系统中的应用 5.6 本章小结
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5.1 关于稳定性的基本概念
例：设系统的状态空间表达式为:
1 0 1 x x u 0 1 1 y [1,0]x
试分析系统的状态稳定性与BIBO稳定性.
解：1)有A的特征方程: det[ I A] ( 1)( 1) 0 可知系统的状态是不稳定的. 2)由系统的传递函数: s 1 1 1 W ( S ) c( SI A) b ( s 1)( s 1) s 被系统的零点s=+1 对消了，不稳定部分被掩盖。
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5.1 关于稳定性的基本概念
内部稳定-渐近稳定 定义：线性系统 X Ax Bu, Y Cx Du u=0 时 x( t 0 )引起的零输入响应为 (t ,0, x0 , t0 )
(t ,0, t0 , x0 ) 0 如果满足如下关系 lim t 则称系统是内部稳定的。（渐近稳定的）
5.1 关于稳定性的基本概念
通过输入和输出关系表征系统的外部稳定。 通过状态和其运动规律，表征系统内部稳定。 外部稳定-BIBO稳定 定义：如果系统对一个有界输入u(t) .即 || u(t ) || k1
产生一个有界输出，即 || y(t ) || k2 ，则称系统为
有界输入有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。 结论：系统 BIBO稳定的充要条件是系统传递函数极 点都有负实部。
状态轨迹：设所研究系统的齐次状态方程为
式中： x—n维状态矢量；f—与x同维的矢量函数,是 xi 和时间t的函数；一般f 为时变的非线性函数，如果不含t， 则为定常的非线性函数.。 在给定初始条件 (t0 x0 ) 下,有唯一解：
x f [ x, t ]
x(t ) (t , x0 , t0 ) 上式描述了系统在n维状态空间中从初始条件 (t0 x0 ) 出发的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状 态轨线。
2018年10月24日5时36分
北京科技大学自动化学控制科学与工程系
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5.1 关于稳定性的基本概念
预先说明：若用 x xe 表示状态变量x与平衡状态 xe的 距离，用点集 s( )表示以 xe为中心， 为半径的 超球体，那么 x s( )则可表示成 x xe s( ) ， 式中 x xe 为欧几里德范数。 当 很小时，则称 s( )为 xe 的邻域.因此若有 x0 s( ) ，则意味着 x0 xe ，同理，若方程式 x f ( x, t ) 的解 (t; x0 , t0 )位于球域 s( )内，便有: (t; x0 , t0 ) xe t t0