人教课标版高中数学选修2-1《四种命题》参考学案
高中数学选修2《四种命题及其关系》学案
学生教案模版:
高二年级数学（选修2-1）导学案
1.分清命题的条件、结论和判断命题的真假
2.命题的否定与否命题的区别；写出原命题的逆命题、否命题和逆否
命题；
3.分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．
“正数a的平方大于零”的逆否命题为________.
任务2四种命题的真假性的判断
原命题为真，它的逆命题；它的否命题也原命题为真，它的逆否命题
【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个命题的逆命题和否命题是等价命题.()
(2)原命题、逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数可能为0，2或4.()
(3)命题“若ab≠0，则a≠0且b≠0”为真.()
提示(1)由于逆命题和否命题互为逆否命题，故二者等价.
(2)由于原命题与逆否命题同真同假、逆命题与否命题同真同假，故四个命题中真命题的个数可能为0，2或4. (3)原命题的逆否命题为：若a＝0或b＝0，则ab＝0，易知其是真命题，故原命题为真命题.
通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
例：证明：若p2＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
练习巩固：证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠１．
三、讨论交流点拨提升
：
四、学能展示课堂闯关
1、基础知识：
课堂达标
1.命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()
A.若a∉A，则b∉B
B.若a∈A，则b∉B
C.若b∈B，则a∉A
D.若b∉B，则a∉A。
人教版高中数学选修2-1命题及四种命题导学案
1.1 命题及四种命题【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解观点，达成导学纲要；2．小组合作，着手实践。
【学习目标】1.掌握命题、真命题及假命题的观点；2. 四种命题的内在联系，能依据一个命题来结构它的抗命题、否命题和逆否命题.3. 能剖析抗命题、否命题和逆否命题的互相关系，并能利用等价关系转变.【要点】掌握命题、真命题、假命题的观点及四种命题的内在联系【难点】能剖析抗命题、否命题和逆否命题的互相关系，并能利用等价关系转变.一、自主学习1.预习教材P2～P8,解决以下问题复习 1：什么是陈说句？.复习 2：什么是定理 ?什么是公义 ?.2.学习研究1.在数学中 ,我们把用、、或表达的，能够的叫做命题 .此中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题练习：以下语句中：（1）若直线 a // b，则直线 a 和直线b无公共点；（2）247（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若 x2 1，则x 1；（5）两个全等三角形的面积相等；（6）3能被2整除 .此中真命题有，假命题有2.命题的数学形式：“若p ，则 q ”，命题中的p 叫做命题的， q 叫做命题的.练习：以下语句中哪些是命题?是真命题仍是假命题?（1）空集是任何会合的子集；（2）若整数 a 是素数，则 a 是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若空间有两条直线不订交，则这两条直线平行；（5）(2)2 2 ；（ 6）x15.命题有，真命题有假命题有.3.四种命题的观点（ 1）对两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做 ,此中一个命题叫做原命题为：“若p ，则 q ”，则抗命题为：“” .(2)一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的条件的否认和结论的否定 , 我们把这样的两个命题叫做,此中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p，则q ”，则否命题为：“”（ 3）一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的结论的否认和条件的否认,我们把这样的两个命题叫做,此中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“”剖析以下四个命题之间的关系（ 1）若 f (x) 是正弦函数，则 f ( x) 是周期函数；（ 2）若 f (x) 是周期函数，则 f ( x) 是正弦函数；（ 3）若 f (x) 不是正弦函数，则 f (x) 不是周期函数；（ 4）若 f (x) 不是周期函数，则 f (x) 不是正弦函数.（ 1）（ 2）互为（1）（3）互为（ 1）（ 4）互为（2）（3）互为经过上例剖析我们能够得出四种命题之间犹如何的关系？4.四种命题的真假性思虑：以“若 x 2，则 x 2 ”为原命题，写出它的抗命题、否3x 2 0命题、逆否命题，并判断这些命题的真假并总结其规律性.经过上例真假性可总结如：原命题抗命题否命题逆否命题真真假假四上表可知四种命题的真假性之间有以下关系：（1）.(2).练习：判断以下命题的真假.(1)命题“在（2）命题“若（3）命题“若（4）命题“若ABC 中，若 AB AC ，则 CB ”的抗命题；ab0 ，则 a0且 b0”的否命题；a0且 b0，则 ab0”的逆否命题；a0且 b0220 ”的抗命题 .，则 a b二、典型例题1.以下语名中不是命题的是（） .20 B.正弦函数是周期函数 C. x { 1,2,3,4,5} D.12 5A. x2.设M、N是两个会合，则以下命题是真命题的是（） .A.假如 M N，那么M N MB.假如M N N，那么M NC.假如 M N，那么M N MD. M N N，那么N M3. 命题“若x 0且 y0 ，则 xy 0 ”的否命题是（）.A. 若 x0, y0 ，则 xy0B. 若 x0, y0 ，则 xy0C.若x, y起码有一个不大于0，则 xy0D. 若x, y起码有一个小于0，或等于0，则 xy04. 命题“正数 a 的平方根不等于0”是命题“若 a 不是正数，则它的平方根等于 0”的（） .A. 抗命题B. 否命题C.逆否命题D.等价命题5. 用反法证明命题“23 是无理数”时，假定正确的选项是（） .A. 假定2是有理数B. 假定 3 是有理数C.假定2或 3 是有理数D.假定2 3 是有理数6.若 x 1，则x21的抗命题能否命题是7.将“偶函数的图象对于y 轴对称”写成“若p ，则 q ”的形式，则p ：，q：8.命题“若a b ，则2a2b 1 ”的否命题为9、写出以下命题的抗命题、否命题、逆否命题，并判断其真假（ 1）已知a, b是实数，若ab0,则 a 0且b0（2）已知 a 、b是实数，若 a b是无理数，则 a 、b都是无理数（3）已知a,b为实数，若x2ax b 0有非空解集，则a24b 0 10.把以下命题改写成“若p ，则 q ”的形式，并写出它们的抗命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：（1）线段的垂直均分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（2）矩形的对角线相等 .11.已知函数 f ( x) 在 (,) 上是增函数 , a, b R ,对于命题“若a b 0 ，则 f ( a) f (b) f ( a) f ( b ) .”(1) 写出抗命题，判断其真假，并证明你的结论.(2)写出其逆否命题 ,判断其真假，并证明你的结论 .三、当堂练习达成书 2、6 页练习四、讲堂小结1．知识：2．数学思想、方法：3．能力：五、课后稳固1.课本第 8页 A 组 1、2题2.课本第 8页A 组3题。
高中数学全套教案新人教版选修2-1
四种命题、四种命题的相互关系（一）教学目标◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（二）教学重点与难点重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（三）教学过程学生探究过程：１．复习引入初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？2．思考、分析问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．３．归纳总结问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。
４．抽象概括定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．让学生举一些互逆命题的例子。
高中数学选修2-1精品学案：1.1.3 四种命题间的相互关系
1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题间的关系思考原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间是什么关系？[答案]原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．梳理四种命题间的关系知识点二四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．(1)两个互逆命题的真假性相同．(×)(2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同．(√)(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)类型一四种命题间的关系及真假判断例1判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假．(1)若ab≤0，则a≤0或b≤0；(2)若a2＋b2＝0，则a，b都为0.考点四种命题的概念题点 判断四种命题的真假解 (1)逆命题：若a ≤0或b ≤0，则ab ≤0.它为假命题． 逆否命题：若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0.它为真命题．所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题．(2)原命题与其逆命题“若a ，b 都为0，则a 2＋b 2＝0”均为真命题，所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题．反思与感悟 互为逆否关系的两个命题真假性相同，准确判断两个命题之间的关系是解题的关键．跟踪训练1 下列命题为假命题的是( ) A ．“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”的否命题 B ．“正三角形都相似”的逆命题C ．“若m ＞0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题D ．“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 [答案] B[解析] A 中，原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”，是真命题．B 中，原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，是假命题．C 中，原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”，∵方程无实根，∴Δ＝1＋4m ＜0，∴m ＜－14，∴原命题的逆否命题是真命题．D 中，原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”， ∵x 不是无理数，∴x 是有理数，又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数，∴原命题的逆否命题是真命题．类型二 等价命题的应用例2 设m ，n ∈R ，证明：若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2. 考点 反证法逆否证法 题点 逆否证法证明 将“若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题， 则它的逆否命题为“若m ＋n ＞2，则m 2＋n 2≠2”． 因为m ＋n ＞2，所以m 2＋n 2≥12(m ＋n )2＞12×22＝2.所以m 2＋n 2≠2，所以原命题得证．反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．跟踪训练2 证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1. 考点 反证法和逆否证法 题点 逆否证法证明 命题“若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若 a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”．由a ＝2b ＋1，得a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2×(2b ＋1)＋1＝4b 2＋4b ＋1－4b 2－4b －2＋1＝0，显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证.1．命题“若(綈p)，则q”的逆否命题为()A．若p，则(綈q) B．若(綈q)，则(綈p) C．若(綈q)，则p D．若q，则p考点四种命题的概念题点按要求写命题[答案] C2．下列命题为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＝1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题 考点 四种命题间的相互关系题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假 [答案] A[解析] 对A ，即判断：若x >|y |，则x >y 的真假，显然是真命题．3．命题“若x >1，则x >0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________． 考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题[答案] 若x >0，则x >1 若x ≤0，则x ≤1 4．有下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题； ②“若1a ＞1b ，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题． 其中是假命题的是________． 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数 [答案] ①②[解析] 对于①，其否命题为：若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根，显然为假命题；对于②，若a ＜b ，则1a ＞1b ，为假命题；③则为真命题，故假命题为①②.5．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0无解”． (1)写出命题p 的否命题； (2)判断命题p 的否命题的真假． 考点 四种命题间的相互关系题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假解 (1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0有解”． (2)命题p 的否命题是真命题．判断如下： 因为ac <0，所以－ac>0，Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．。
高中数学选修2-1优质学案3：1.1.3 四种命题间的相互关系
1.1.3 四种命题间的相互关系问题导学一、四种命题的概念与形式活动与探究1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若a ＋5是有理数，则a 是无理数；(2)若ab ＝0，则a ，b 中至少有一个为零；(3)垂直于同一平面的两条直线平行．迁移与应用1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π42．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．【名师点津】(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．(3)对于一些关键词语如“至少”“至多”“＞”“≥”“都”等的否定要注意改写正确．二、四种命题的真假活动与探究2已知下列命题：① “若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”的逆命题；②“若两个角是对顶角，则这两个角相等”的否命题；③“若a ＝1，则函数f (x )＝a x在(0，＋∞)上为减函数”的逆否命题；④“若x ＋y ＝5，则x ＝2且y ＝3”的否命题． 其中为真命题的是( )A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④迁移与应用1．有下列四个命题：①“若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列”的否命题；②“若m ＝2，则直线x ＋y ＝0与直线2x ＋my ＋1＝0平行”的逆命题；③“已知a ，b 是非零向量，若a ·b ＞0，则a 与b 方向相同”的逆否命题；④“若x ≤3，则x 2－x －6＞0”的逆否命题．其中为真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac＜0，则该二次函数图象与x轴有公共点；(3)在△ABC中，若a＞b，则∠A＞∠B．【名师点津】(1)判断四种命题的真假，可以通过逻辑证明或举反例进行判断．(2)判断四种命题的真假可以利用真假性关系：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，它们同真同假，在只要求判断真假的题目中，可以不一一写出逐个判断，利用等价性判断更为方便简捷．三、等价命题的应用活动与探究3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．迁移与应用设a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．【名师点津】由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，进而间接地证明原命题为真命题．答 案课前·预习导学【预习导引】1．结论 条件 互逆命题 逆命题 若q ，则p 条件的否定 结论的否定 否命题 若p ，则q 结论的否定 条件的否定 逆否命题 若q ，则p预习交流1 (1)提示：逆命题：若a 2＞4，则a ＞2；否命题：若a ≤2，则a 2≤4；逆否命题：若a 2≤4，则a ≤2．(2)提示：可以．其实哪一个作为原命题是人为指定的．当把逆命题看成原命题时，原命题就是该命题的逆命题，否命题就是逆否命题，逆否命题就是否命题．2．逆命题 否命题 逆否命题预习交流2 C3．(1)相同 (2)没有关系预习交流 3 (1)提示：具有互为逆否关系的两个命题，它们的等价性可以从集合的角度给出恰当的解释，设A ＝{x |x ∈p }，B ＝{x |x ∈q }，其中p ，q 是集合A ，B 的特征性质．若A B ，则意味着对于元素x 具有性质p 必具有性质q ，所以可认为A B 与“若p ，则q ”等同，具有同真同假性．由Venn 图易发现有下面结论：A B 与(∁I B )(∁I A )等价，如图所示，也就说明“若p ，则q ”与“若q ，则p ”是等价的．(2)提示：C课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：首先分清楚原命题的条件和结论，再写出其逆命题、否命题、逆否命题．解：(1)逆命题：若a 是无理数，则a ＋5是有理数；否命题：若a ＋5不是有理数，则a 不是无理数；逆否命题：若a 不是无理数，则a ＋5不是有理数．(2)逆命题：若a ，b 中至少有一个为零，则ab ＝0；否命题：若ab ≠0，则a ，b 都不为零；逆否命题：若a ，b 都不为零，则ab ≠0．(3)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．迁移与应用 1．[答案]C [解析]命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 2．解：(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线． 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧． 逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．活动与探究2 思路分析：先正确地写出对应的命题，再进行判断，或根据互为逆否命题同真或同假进行判断．[答案]C [解析]①逆命题是“若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，是真命题；②否命题是“若两个角不是对顶角，则这两个角不相等”，是假命题；③易知原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题；④“若x ＋y ＝5，则x ＝2且y ＝3”的逆命题为“若x ＝2且y ＝3，则x ＋y ＝5”，易知逆命题为真命题，故否命题为真命题．迁移与应用 1．[答案]B [解析]易知①②为真命题；③当a ＝(0,1)，b ＝(1,1)时，a ·b＞0，但a 与b 不同向，所以原命题为假命题，故③为假命题；④中逆否命题为“若x 2－x－6≤0，则x ＞3”，易知④为假命题．2．[答案]解：(1)该命题为真命题．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真命题． 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真命题．(2)该命题为假命题．∵当b 2－4ac ＜0时，二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，因此二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴无公共点．逆命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，则b 2－4ac ＜0，为假命题．否命题：若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac ≥0，则该二次函数图象与x 轴没有公共点，为假命题．逆否命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴没有公共点，则b 2－4ac ≥0，为假命题．(3)该命题为真命题．逆命题：在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则a ＞b ，为真命题．否命题：在△ABC 中，若a ≤b ，则∠A ≤∠B ，为真命题．逆否命题：在△ABC 中，若∠A ≤∠B ，则a ≤b ，为真命题．活动与探究3 思路分析：解法一：分析已知命题，写出逆否命题，再判断真假； 解法二：先判断原命题的真假，再判断逆否命题的真假．解法一：原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a ＜1，则关于x 的不等式x 2＋(2a＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．真假判断过程如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7．若a ＜1，则4a －7＜0．∴抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点．∴关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．故逆否命题为真命题．解法二：先判断原命题的真假．∵a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，∴4a －7≥0，得a ≥74，从而a ≥1成立． ∴原命题为真命题．又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真命题．迁移与应用 [答案]解：显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它的逆否命题来看．由命题A 可知，b 不是最大时，则a 是最小，∴c 最大，即c ＞b ＞a ；而它的逆否命题也为真，“a 不是最小，则b 最大”为真，即b ＞a ＞c ．同理由命题B 为真可得：a ＞c ＞b 或b ＞a ＞c ．故由A 与B 均为真命题，可知b ＞a ＞c ．因此a ，b ，c 三人的年龄的大小顺序是：b 最大，a 次之，c 最小．当堂检测1．命题“若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B ”的否命题是( )A ．若A ∪B ≠A ，则A ∩B ≠BB．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠AD．若A∪B≠A，则A∩B＝B[答案]A [解析]命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”，故A正确．2．如果命题“若p，则q”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是( ) A．若p，则q B．若p，则qC．若q，则p D．以上都不对[答案]B [解析]∵原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，从而B正确．3．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1[答案]D [解析]改写逆否命题时，注意“＜”，“且”的否定分别是“≥”，“或”．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是__________．[答案]互逆命题[解析]设命题p为“若m，则n”，∴命题q为“若m，则n”，命题r为“若n，则m”．∴q与r是互逆命题．5．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．(1)若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数；[答案]解：原命题为真命题．逆命题：若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数，是真命题．否命题：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数，是真命题．逆否命题：若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数，是真命题．(2)若数列{a n}是等差数列，则2a2＝a1＋a3．[答案]解：原命题为真命题．逆命题：若2a2＝a1＋a3，则数列{a n}是等差数列，是假命题．否命题：若数列{a n}不是等差数列，则2a2≠a1＋a3，是假命题．逆否命题：若2a2≠a1＋a3，则数列{a n}不是等差数列，是真命题．。
高中数学选修2-1优质学案13：1.1.2 四种命题-1.1.3 四种命题间的相互关系
1.1.2 四种命题~1.1.3 四种命题间的相互关系预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．观察教材“思考”中的4个命题：(1)这4个命题的条件和结论各是什么？(2)命题(1)的条件和结论与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间有什么关系？(3)根据上述四种命题的概念，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？2．归纳总结，核心必记(1)四种命题的概念①互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．②互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．③互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．(2)四种命题结构(3)四种命题间的相互关系(4)四种命题的真假性一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[问题思考](1)命题“若a≠0，则ab≠0”的逆命题、否命题和逆否命题各是什么？(2)在四种命题中，原命题是固定的吗？(3)如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？(4)在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？课堂互动区知识点1 四种命题的概念讲一讲1．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：(1)若x>－2，则x＋3>0;(2)两条对角线相等的四边形是矩形．类题·通法写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论；(2)将命题写成“若p，则q”的形式；(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题．注意如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．练一练1．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：(1)正数的平方根不等于0；(2)若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0.知识点2 四种命题的真假判断思考1若原命题为真，则它的逆命题、否命题的真假性是怎样的？思考2若原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？讲一讲2．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)在△ABC中，若a>b，则A>B；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3;(4)若x∈A，则x∈A∩B.类题·通法判断一个命题的真假，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假，尤其是当命题本身不易判断真假时，通常都通过判断其逆否命题的真假来实现．练一练2．有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．33．在命题“若a>－3，则a>－6”的逆命题、否命题、逆否命题中假命题个数是________．知识点3 等价命题的应用思考我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？讲一讲3．(1)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.类题·通法由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．练一练4．证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是四种命题的概念以及四种命题间的关系，难点是等价命题的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，并会判断真假，见讲1和讲2.(2)用原命题和逆否命题的等价性解决相关问题，见讲3.3．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．4．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．——★参考答案★——预习导引区核心必知1．(1)提示：命题(1)的条件：f(x)是正弦函数，结论：f(x)是周期函数；命题(2)的条件：f(x)是周期函数，结论：f(x)是正弦函数；命题(3)的条件：f(x)不是正弦函数，结论：f(x)不是周期函数；命题(4)的条件：f(x)不是周期函数，结论：f(x)不是正弦函数．(2)提示：命题(1)的条件和结论分别是命题(2)的结论和条件；命题(1)的条件和结论分别是命题(3)的条件的否定和结论的否定；命题(1)的条件和结论分别是命题(4)的结论的否定和条件的否定．(3)提示：命题(2)(3)互为逆否命题；命题(2)(4)互为否命题；命题(3)(4)互为逆命题．[问题思考](1)提示：逆命题：若ab≠0，则a≠0；否命题：若a＝0，则ab＝0；逆否命题：若ab＝0，则a＝0．(2)提示：不是．原命题是指定的，是相对于其他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他命题形式．(3)提示：一定为真命题，因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性相同．(4)提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4．课堂互动区知识点1 四种命题的概念讲一讲1．解：(1)逆命题：若x＋3>0，则x>－2；否命题：若x≤－2，则x＋3≤0；逆否命题：若x＋3≤0，则x≤－2.(2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．逆命题：若一个四边形是矩形，则其两条对角线相等；否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等．练一练1．解：(1)逆命题：若一个数的平方根不等于0，则这个数是正数；否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0；逆否命题：若一个数的平方根等于0，则这个数不是正数．(2)逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0(x，y∈R)；否命题：若x2＋y2≠0(x，y∈R)，则x，y不全为0；逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0(x，y∈R)．知识点2 四种命题的真假判断思考1名师指津：由于原命题的真假性与它的逆命题、否命题的真假性之间没有关系，所以无法判断它的逆命题、否命题的真假性．思考2名师指津：原命题和它的逆否命题具有相同的真假性．讲一讲2．解：(1)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.真命题．(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题；否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题；逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．(3)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0.真命题；否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3.真命题；逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0.假命题．(4)逆命题：若x∈A∩B，则x∈A.真命题；否命题：若x∉A，则x∉A∩B.真命题；逆否命题：若x∉A∩B，则x∉A.假命题．练一练2．[答案]B[解析](1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x ＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题；(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题；(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．3．[答案]2[解析]容易判断，命题“若a>－3，则a>－6”为真命题，而逆否命题与原命题同真假，从而它的逆否命题也是真命题；它的否命题为“若a≤－3，则a≤－6”，是假命题，而否命题与逆命题同真假，则它的逆命题也是假命题．知识点3 等价命题的应用思考名师指津：可以通过证明它的逆否命题为真命题来解决．讲一讲3．(1)解：法一：原命题的逆否命题：“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．”真假判断如下：因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，若a<1，则4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．法二：先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0， 所以a ≥1.所以原命题成立．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．(2)证明：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．” ∵当a ＋b <0时，a <－b ，b <－a ， 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )． ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )， 即逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题． 练一练4．证明：将“若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m ＋n >2，则m 2＋n 2≠2”．由于m ＋n >2，则m 2＋n 2≥12(m ＋n )2>12×22＝2，所以m 2＋n 2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．。
2021-2022年高中数学 1.1.1 命题及四种命题学案 新人教A版选修2-1
2021年高中数学 1.1.1 命题及四种命题学案新人教A版选修2-1学习目标：1、掌握命题、真命题及假命题的概念；2、四种命题的内在联系，能根据一个命题来构造它的逆命题、否命题和逆否命题。
一、主要知识：1、命题：；2、真命题：；假命题：。
3、命题的数学形式：。
4、四种命题：。
（1）互逆命题：。
（2）互否命题：。
（3）互为逆否命题：。
二、典例分析：〖例1〗：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨；（8）【小结】：判断一个语句是不是命题应注意：〖例2〗：将下列命题改写成“若，则”的形式。
（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等；（4）负数的立方是负数。
【小结】：要把一个命题写成“若，则”的形式，关键是要分清命题的条件和结论。
〖例3〗：把下列命题改写成“若则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：（1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形。
〖例4〗：设原命题是“当时，若，则”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假。
三、课后作业：1、下列语句中是命题的是（）A、周期函数的和是周期函数吗？B、 C． D、梯形是不是平面图形呢？2、在命题“若抛物线的开口向下，则”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A、都真B、都假C、否命题真D、逆否命题真3、命题：“若，则”的逆否命题是（）A、若，则B、若，则C、若，则D、若，则4、设是两个集合，则下列命题是真命题的是（）A、如果，那么B、如果，那么C、如果，那么D、如果，那么5、下列命题中为真命题的是A、命题“若，则”的逆命题B、命题“若，则”的逆命题C、命题“若，则”的否命题D、命题“若，则”的逆否命题6、下面语句中：①若直线，则直线与无公共点；②；③正弦函数的图像好漂亮！④3能被2整除；⑤；⑥垂直于同一条直线的两个平面平行。
人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案四种命题间的相互关系
1．1.2 & 1.1.3四种命题四种命题间的相互关系预习课本P4～8，思考并完成以下问题1．一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？2．什么样的两个命题有相同的真假性？3．两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？[新知初探]1．四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．2．四种命题结构3．四种命题之间的关系4．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性( ) (2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系( ) 答案：(1)√ (2)√2．已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是( )A ．若a 2＋b 2<12，则a ＋b ≠1B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2<12C ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2<12D ．若a 2＋b 2≥12，则a ＋b ＝1答案：C3．若a ≠0，则ab ≠0的逆命题是________． 答案：若ab ≠0，则a ≠04．命题p ：若a ＝1，则a 2＝1；命题q ：若a 2＝1，则a ＝1，则命题p 与q 的关系是________． 答案：互逆命题四种命题的概念[典例] 否命题．(1)全等三角形的对应边相等； (2)当x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0.[解] (1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等； 逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等； 否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等； 逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等． (2)原命题：若x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0； 逆命题：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝2；否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．[活学活用]写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x>10，那么x>0.解：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.四种命题真假的判断[典例(1)“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题．(2)“正三角形都相似”的逆命题．(3)“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．[解](1)原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．(2)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”．假命题．(3)原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．因为方程x2＋x－m＝0无实根，所以判别式Δ＝1＋4m<0，解得m<－1 4，故m≤0，为真命题．[一题多变]1．[变设问]若本例(3)改为判断“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题的真假，则结果如何？解：原命题的逆命题为“若x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．因为方程x 2＋x －m ＝0有实根，所以判别式Δ＝1＋4m ≥0，所以m ≥－14，故逆命题为假命题．2．[变条件]若本例(3)改为判断“若m >0，则mx 2＋x －1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？解：原命题的逆否命题为“若mx 2＋x －1＝0无实根，则m ≤0”． 因为方程mx 2＋x －1＝0无实根，则m ≠0， 所以判别式Δ＝1＋4m <0，则m <－14，故m ≤0，为真命题．解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．等价命题的应用[典例] b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.[证明] 法一：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )． ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．[活学活用]证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．由于m＋n>2，则m2＋n2≥12(m＋n)2>12×22＝2，所以m2＋n2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．层级一学业水平达标1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题解析：选C因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是() A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析：选A a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，能被3整除解析：选B即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C ．互为逆否命题D ．以上都不正确解析：选A 设p 为“若A ，则B ”，那么q 为“若綈A ，则綈B ”，r 为“若綈B ，则綈A ”．故q 与r 为互逆命题．5．原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z 1|＝|z 2|，当z 1＝1，z 2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.6．命题“若x ≠1，则x 2－1≠0”的真假性为________．解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x 2－1＝0，则x ＝1”，因为x 2－1＝0，x ＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．答案：假命题7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2. 答案：[1,2] 8．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________． 解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤ 9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．(1)等高的两个三角形是全等三角形；(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．解：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x ＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题．层级二应试能力达标1．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．4个解析：选C若c＝0，则ac2>bc2不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题，故选C.2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题解析：选A由于这两个命题的关系是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，所以互为逆命题，故选A.3．原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是()A．原命题是真命题B．逆命题是假命题C．否命题是真命题D．逆否命题是真命题解析：选C 原命题是假命题，所以逆否命题是假命题，逆命题“等腰梯形是圆内接四边形”是真命题，所以否命题是真命题，故选C.4．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C 正确．5．命题“若x >1，则x >0”的逆命题是________________，逆否命题是________________． 答案：若x >0，则x >1 若x ≤0，则x ≤16．在原命题“若A ∪B ≠B ，则A ∩B ≠A ”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：逆命题为“若A ∩B ≠A ，则A ∪B ≠B ”； 否命题为“若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A ”； 逆否命题为“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”； 全为真命题． 答案：47．已知a ，b ，c ∈R ，证明：若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.证明：原命题的逆否命题为：已知a ，b ，c ∈R ，若a ，b ，c 都不小于13，则a ＋b ＋c ≥1.由条件a ≥13，b ≥13，c ≥13，三式相加得a ＋b ＋c ≥1， 显然逆否命题为真命题． 所以原命题也为真命题．即已知a ，b ，c ∈R ，若a ＋b ＋c <1， 则a ，b ，c 中至少有一个小于13.8．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，若命题：对于任意的x 1∈[－1,2]，存在x 2∈[－1,2]使f (x 1)＝g (x 2)为真命题，求实数a 的取值范围．解：对于任意的x 1∈[－1,2]，存在x 2∈[－1,2]使f (x 1)＝g (x 2)，则{f (x )|x ∈[－1,2]}⊆{g (x )|x ∈[－1,2]}．又f (x )＝x 2－2x 在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以－1≤f (x )≤3.因为g (x )＝ax ＋2(a >0)在[－1,2]上单调递增，所以－a ＋2≤g (x )≤2a ＋2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≤－1，2a ＋2≥3，即a ≥3. 故实数a 的取值范围为[3，＋∞)．。
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1.1.2 四种命题
学习目标：了解命题的逆命题、否命题、逆否命题与命题的否定。
学习重点：四种命题的概念及相互关系.
学习难点：命题的否定与否命题的区别。
学习过程：
一、复习：
指出下列命题中的条件与结论，并判断真假：
（1）钝角的余弦值是正数；
（2）函数232y x x =-+有两个零点.
二、新课：
1. .四种命题-----
观察：下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
（1） 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
四种命题的概念：
例1：设原命题是“若不等式040≤->++q p R q px x ，则的解集是”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：
逆命题：
否命题：
逆否命题：
跟踪练习1---分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若ab=0,则a=0或b=0.
（2）当c >0 时，若a >b ，则ac >bc ；
（3）若B A B B A ⊆=⋃则,
（4）若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线
2. 否命题与命题的否定-----
引例：判断正误
（1)若原命题是“对顶角相等”,它的否命题是“对顶角不相等”。
(2)若原命题是“对顶角相等”,它的否命题是“不成对顶关系的两个角不相等”。
原命题: 若 p ， 则 q
否命题:
命题的否定:
对应练习2：写出下列命题的否定与否命题，并判断真假。
（1）若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。
（2） 若x=2或x=-3，则x 2+x-6=0
三、作业
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
1）若x 2＋y 2＝0，则xy ＝0
2）B A b a ABC ，则中，若∆
3）若a ，b,c 成等差数列，则2b=a+c.
4）函数232y x x =-+有两个零点；
5)直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内的任意一条直线；
四、小结。