第9章动态规划
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第三章：动态规划3.1 动态规划的基本概念一、动态决策问题：决策过程具有阶段性和时序性(与时间有关)的决策问题。
即决策过程可划分为明显的阶段。
二、什么叫动态规划(D.P.–Dynamic Program)：多阶段决策问题最优化的一种方法。
广泛应用于工业技术、生产管理、企业管理、经济、军事等领域。
三、动态规划(D.P.)的起源：1951年,(美)数学家R.Bellman等提出最优化原理，从而建立动态规划，名著《动态规划》于1957年出版。
四、动态决策问题分类：1、按数据给出的形式分为：•离散型动态决策问题。
•连续型动态决策问题。
2、按决策过程演变的性质分为：•确定型动态决策问题。
•随机型动态决策问题。
五1、阶段(stage)n ：作出决策的若干轮次。
n = 1、2、3、4、5。
2、状态(state)S n ：每一阶段的出发位置。
构成状态集，记为S nS 1={A}，S 2={B 1,B 2,B 3}，S 3={C 1,C 2,C 3}，S 4={D 1,D 2,D 3}，S 5={E 1,E 2}。
阶段的起点。
3、决策(decision)X n ：从一个阶段某状态演变到下一个阶段某状态的选择。
构成决策集，记为D n (S n )。
阶段的终点。
D 1(S 1)={X 1(A)}={B 1,B 2,B 3}= S 2，D 2(S 2)={X 2(B 1),X 2(B 2),X 2(B 3)}={C 1,C 2,C 3}=S 3，D 3(S 3)={X 3(C 1),X 3(C 2),X 3(C 3)}={D 1,D 2,D 3}=S 4，D 4(S 4)={X 4(D 1),X 4(D 2),X 4(D 3)}={E 1,E 2}=S 5D 5(S 5)={X 5(E 1),X 5(E 2)}={F;F}={F}。
4、策略(policy)：全过程中各个阶段的决策Xn 组成的有序总体{Xn }。
如 A àB2àC1àD1àE2àF5、子策略(sub-policy)：剩下的n个阶段构成n子过程，相应的决策系列叫n子策略。
《信息学奥赛一本通》：第9章 第2节 动态规划背包问题(C++版)
【参考程序】
#include<cstdio> using namespace std;
const int maxm = 201, maxn = 31;
int m, n;
int w[maxn], c[maxn];
int f[maxn][maxm];
int main()
{
scanf("%d%d",&m, &n);
for (int i=1; i <= n; i++)
//设f(v)表示重量不超过v公斤的最大价值
for (int v = m; v >= w[i]; v--)
if (f[v-w[i]]+c[i]>f[v])
f[v] = f[v-w[i]]+c[i];
printf("%d",f[m]);
// f(m)为最优解
【例9-12】、完全背包问题 【问题描述】
设有n种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限 的，同时有一个背包，最大载重量为M，今从n种物品中选取若干件(同一种物品 可以多次选取)，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。
【输入格式】
第一行：两个整数，M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)； 第2..N+1行：每行二个整数Wi,Ci，表示每个物品的重量和价值。 【输出格式】
第九章 动态规划
第二节 背包问题
第二节 背包问题
一、01背包问题 问题：
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用（即体积，下同）是w[i]， 价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量， 且价值总和最大。 基本思路：
第九章 分离序列综合
1 1 W T T 冷凝器 加热釜
F -级间流量
α- 轻重关键组分相对挥发度
五、C规则
C1. 首先移除含量最多的组分。
1）减少后续塔负荷；
2）需要保证该分离过程具有合理的分离因子。
C2. 等摩尔分割最有利。 若塔顶馏出物的摩尔数远小于塔釜产品摩尔数， 则精馏段操作线比提馏段更接近对角线，精馏段 有效能损失会很大，反之亦然。
R
S
D
从最后一级开始，求最后一级对于给定的输入的最优决 策。然后，将最后两级一块考虑，求出对于最后二级的输入 而言的最优决策，依次类推，直到求得最后的最优决策。
13
10 8
4 5
4 3
最优决策路线：
最优路线
动态规划的缺点： 它只给出了解决问题的原理和原则，没有一 个统一的计算方法，而只能依据问题的特性和 若干数学技巧与经验进行求解。此外，处理问 题的维数不能过大，函数不能过于复杂，否则 ，求解甚为繁琐。
A^B C/D C22 12
A^ B/C D
C23
13
A^B^C/D
A^B^C/D
A^B^C^D
动态规划实质
隐枚举法，即在一个比原搜索空间小的多 的空间上进行穷举的算法。
动态规划法分离序列综合的缺点
需要详细计算全部子分离过程的费用
T重 - T轻
1100 替代计算
CES越大则两组分越容易分离
9.2 经验规则法
一、基本原理
使用若干简单的、但带有普遍性的经验规则产生一些接 近最优的分离序列，然后再对它们进行详细评价以确定最终 的分离序列。
二、经验规则的分类
I 关于分离方法的规则（M规则） II 关于设计方面的规则（D规则） III 与组分性质有关的规则（S规则）
运筹学及其应用9.1 多阶段决策过程最优化问题举例
6
t
使 S = ∑ ∑ f ( x i ) + 16 u j =
i =1
j =1
Байду номын сангаас
6
∑ f ( xi ) + 16(5x1 + 4 x2 + 3x3 + 2 x4 + x5 − 185)
i =1
为最小，其中
f
(xi )
=
110200xxii
,0 −
≤ xi ≤ 15 300,15 < xi
≤
30
6
例1
因此，我们的问题就变成：求y,y1,y2,…,yn-1，以使 g(y)+h(x-y)+g(y1)+h(x1-y1)+…+g(yn-1)+h(xn-1-yn-1) 达到最大，且满足条件
x1=ay+b(x-y) x2=ay1+b(x1-y1)
……… xn-1=ayn-2+b(xn-2-yn-2) yi与xi均非负,i=1,2, …,n-1
5
例1
若以y与x-y分别投入生产方式A与B，在第一 阶段生产后回收的总资源为x1=ay+b(x-y)，再将x1 投入生产方式A和B，则可得到收入g(y1)+h(x1-y1)， 继续回收资源x2=ay1+b(x1-y1)，……
若上面的过程进行n个阶段，我们希望选择n 个变量y,y1,y2,…,yn-1，使这n个阶段的总收入最大。
第二种方法即所谓“局部最优路径”法，是 说某人从k出发，他并不顾及全线是否最短，只是选 择当前最短途径，“逢近便走”，错误地以为局部 最优会致整体最优，在这种想法指导下，所取决策
必是v1→v2→v5→ v9→ v10 ，全程长度是30；显
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
《管理运筹学》第四版课后习题解析(下)
《管理运筹学》第四版课后习题解析（下）第9章目标规划1、解：设工厂生产A 产品1x 件，生产B 产品2x 件。
按照生产要求，建立如下目标规划模型。
112212121211122212min ()()s.t43452530555086100,,,0,1,2--+-+-+-++++-+=+-+==i i P d P d x x x x x x d d x x d d x x d d i ≤≤≥由管理运筹学软件求解得12121211.25,0,0,10, 6.25,0x x d d d d --++======由图解法或进一步计算可知，本题在求解结果未要求整数解的情况下，满意解有无穷多个，为线段(135/14,15/7)(1)(45/4,0),[0,1]ααα+-∈上的任一点。
2、解：设该公司生产A 型混凝土x 1吨，生产B 型混凝土x 2吨，按照要求建立如下的目标规划模型。
)5,,2,1(0,,0,014550.060.015550.040.030000100150100120275200.)()(min 2121215521442331222111215443322111Λ=≥≥≥≤+≤+=-++=-+=-+=-++=-++++++++-+-+-+-+-+----++-i d d x x x x x x d d x x d d x d d x d d x x d d x x ts d p d d p d p d d p i i 由管理运筹学软件求解得.0,0,20,0,0,0,0,35,40,0,120,120554433221121============+-+-+-+-+-d d d d d d d d d d x x3、解：设x 1,x 2分别表示购买两种基金的数量，按要求建立如下的目标规划模型。
,,01250543504.07.0100004525.min 2,122211121212211≥≥=-++=-++≤+++-+-+--+i i d d x x d d x x d d x x x x ts d p d p用管理运筹学软件求解得，0,0,0,818.206,091.159,636.113221121======+-+-d d d d x x所以，该人可以投资A 基金113.636份，投资B 基金159.091份。
第九章多阶段决策和序贯决策
第一步，画出决策树图。
-700
2
建大厂
4
销路好0.7
销路差0.3
5
销路好0.9 销路差0.1
1
-400
建小厂
8
扩建
-300
6
销路好0.7
3
不扩建
9
销路差0.3
7
210
-40
-40
销路好0.9
210
销路差0.1
-40
销路好0.9
90
销路差0.1
60
60
3年内
7年内
第二步，从右向左计算各点的期望收益值。
第二阶段决策：产量不变，还是 增加产量。
30 5
82 买专利 决
策 自行研制
65
失败 0.2
95 产量不变 6
82
3
1 成功0.8
95 7
增加产量
60
63 成功0.6
85 产量不变 4
8
2
85
量 增加产
失败0.4
9
30
11
低0.1 中0.5 高0.4 低0.1
中0.5 高0.4
低0.1 中0.5 高0.4 低0.1
方案 收益 状态
按原工 艺方案 生产
(万元)
买专利(0.8)
产量 不变
增产
自研(0.6)
产量 不变
增产
价低 0.1 -100 -200 -300 -200 -300
中 0.5 0 50 50 0 -250
价高 0.4 100 150 250 200 600
第一阶段决策问题：购买专利， 还是自行研制
200
销路不好(0.2)
运筹学大纲—钱版
目录第1篇绪论第1章运筹学概论1.1运筹学的简史1.2运筹学的性质和特点1.3运筹学的工作步骤1.4运筹学的模型1.5运筹学的应用1.6运筹学的展望参考资料第2篇线性规划与目标规划第2章线性规划与单纯形法2.1线性规划问题及其数学模型2.2线性规划问题的几何意义2.3单纯形法2.4单纯形法的计算步骤2.5单纯形法的进一步讨论2.6应用举例习题第3章对偶理论和灵敏度分析3.1单纯形法的矩阵描述3.2改进单纯形法的矩阵计算3.3对偶问题的提出3.4线性规划的对偶理论3.5影子价格3.6对偶单纯形法3.7灵敏度分析3.8*参数线性规划习题第4章运输问题4.1运输问题的数学模型4.2表上作业法4.3产销不平衡的运输问题及其求解方法4.4应用举例习题第5章线性目标规划5.1目标规划的数学模型5.2解目标规划的图解法5.3解目标规划的单纯形法5.4应用举例习题参考资料第3篇整数线性规划第6章整数线性规划6.1整数线性规划问题的提出6.2分支定界解法6.3割平面解法6.40·1型整数线性规划6.5指派问题习题参考资料第4篇非线性规划第7章 *无约束问题7.1基本概念7.2一维搜索7.3无约束极值问题的解法第8章 *约束极值问题8.1最优性条件8.2二次规划8.3可行方向法8.4制约函数法习题参考资料第5篇动态规划第9章动态规划的基本方法9.1多阶段决策过程及实例9.2动态规划的基本概念和基本方程9.3动态规划的最优性原理和最优性定理9.4动态规划和静态规划的关系习题第10章动态规划应用举例10.1资源分配问题10.2生产与存储问题10.3*背包问题10.4*复合系统工作可靠性问题10.5排序问题10.6设备更新问题10.7*货郎担问题习题参考资料第6篇图与网络分析第11章图与网络优化11.1图的基本概念11.2树11.3最短路问题11.4网络最大流问题11.5最小费用最大流问题11.6中国邮递员问题习题参考资料第12章网络计划12.1网络计划图12.2网络计划图的时间参数计算12.3时标网络计划图12.4网络计划的优化12.5网络计划软件习题参考资料第7篇排队论第13章排队论13.1基本概念13.2到达间隔的分布和服务时间的分布13.3单服务台负指数分布排队系统的分析13.4多服务台负指数分布排队系统的分析13.5一般服务时间M/G/1模型13.6经济分析——系统的最优化13.7*分析排队系统的随机模拟法习题第8篇存储论第14章存储论14.1存储论的基本概念14.2确定性存储模型14.3随机性存储模型14.4其他类型存储问题习题参考资料第9篇对策论第15章对策论基础15.1引言15.2矩阵对策的基本定理15.3矩阵对策的解法15.4*其他类型对策简介习题参考资料第10篇决策论第16章单目标决策16.1决策的分类16.2决策过程16.3不确定型的决策16.4风险决策16.5效用理论在决策中的应用16.6决策树16.7灵敏度分析习题参考资料第17章多目标决策17.1引言17.2基本概念17.3化多为少的方法17.4分层序列法17.5直解求非劣解17.6多目标线性规划的解法17.7层次分析法参考资料第11篇启发式方法第18章 *启发式方法18.1基本概念18.2应用及例子习题参考资料。
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④ 0-1变量：
x ij 1 ,0(i 1 ,2 , ,1 7 ;j 1 ,2 ,3 )
目标函数：未带物品购买费用最小
3
17
3
1 xij(i 8,9, ,17) Mizn pi(1 xij)
j1
i8
j1
补充：背包问题
（容量一定的背包里装尽可能多的物品）
Excel求解结果为：
包1 放3件 物品1 物品3 物品5 包2 放5件 物品4 物品10 物品13 物品15 物品17 包3 放4件 物品2 物品6 物品7 物品14 没有放 5件 物品8 物品9 物品11 物品12 物品16
9.2.1 生产与存贮问题
解：明年市场总需求为3000＋4000＋8000＋ 7000 ＝22000双 ， 而 最 多 可 生 产 4×6000＝ 24000双，所以皮鞋公司可以满足市场总需求 。 (1) 决策变量
本问题是要确定该公司明年每个季度的生产 计划，所以设
物品 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
价格 15 45 100 70 50 75 200 90 20 30
补充：背包问题
（容量一定的背包里装尽可能多的物品）
决策变量：对每个物品要确定是否带的同 时，还要确定放在哪个包里（如果增加一个 虚拟包，把不带的物品放在里面，则问题就 转化为确定每个物品放在哪个包里。这里的 数学模型和电子表格模型没有用虚拟包）。 因此可设决策变量为第i个物品是否放在第j 个包中（1-放，0-不放）。
动态规划问题的提出
在实际的决策过程中，由于涉及的参数比较多， 往往需要将问题分成若干个阶段，对不同阶段采取 不同的决策，从而使整个决策过程达到最优。
显然，由于各个阶段选择的策略不同，对应的整 个过程就可以有一系列不同的策略。
动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方 法。这种方法把困难的多阶段决策问题变换成一系 列互相联系的比较容易的单阶段问题，解决了这一 系列比较容易的单阶段问题，也就解决了困难的多 阶段决策问题。
例9.1 某货运公司使用一种最大承载能力 为10吨的卡车来装载3种货物，每种货物 的重量及价值如表9-1所示。应当如何装 载货物才能使总价值最大？
货物 编号
123
单位
重量 3 4 5
(吨)
用单Ex位cel求解背包问题时，采用的是 整价数值规划4 的5 方6 法。
9.1.2 多维背包问题
当约束条件不仅有货物的重量，还有体积 等限制时，构成了多维背包问题。
（容量一定的背包里装尽可能多的物品）
某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积 大小分别为1000、1500和2000，根据需要列出需 带物品清单，其中一些物品是必带物品，共有7件， 其体积大小分别为400、300、150、250、450、 760、190。尚有10件可带可不带物品，如果不带 将在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目的 地的价格（美元）。这些物品的容量及价格分别见 下表，试给出一个合理的安排方案，把物品放在三 个旅行包里。
9.1 背包问题
背包问题可以抽象为这样一类问题：设 有n种物品，每种物品有其重量及价值。 同时有一个背包，最大装重为c，现从n种 物品中选取若干件（同一种物品可以选多 件），使其总重量小于等于c，而总价值 最大。 背包问题等同于车、船、人造卫星等工 具的最优装载问题，有广泛的实际意义。
9.1.1 一维背包问题
未带物品购买费用为200美元
9.2 生产经营问题
在生产和经营中，经常遇到如何合理安排 生产计划、采购计划以及库存计划和销售计 划等问题，要求既要满足市场的需要，又要 尽量降低成本费用。因此，正确制定生产（ 或采购）策略，确定不同时期的生产量（或 采购量）、销售量和库存量，在满足产品需 求量的条件下，使得总收益最大或总成本（ 生产成本＋存储成本）最小，这就是生产经 营问题，包括生产与存储问题、采购与销售 问题等。
例9.2 现有一辆载重为5吨，装载体积8立 方米的卡车，可装载三种货物，已知每种货 物各8件，其它有关信息如表9-2所示，求携 带货物价值最大的装载方案。
货物品种
1 2 3
单位重量 (吨) 0.2 0.4 0.3
单位体积 (立方米)
0.3 0.5 0.4
单位价值 (千元) 3 7.5 6
补充：背包问题
x ij 1 ,0(i 1 ,2 , ,1 7 ;j 1 ,2 ,3 )
补充：背包问题
（容量一定的背包里装尽可能多的物品）
约束条件 17 ① 包的容量限制 cixij rj (j1,2,3) i1
3
② 必带物品限制 xij 1 (i 1,2, ,7) j1
3
③ 选带物品限制 xij 1 (i 8,9, ,17) j1
9.2.1 生产与存贮问题
例9.3 某皮鞋公司根据对去年的市场需求
分析预测明年的需求：一季度3000双，二 季 度 4000 双 ， 三 季 度 8000 双 、 四 季 度 7000双。企业现在每个季度最多可以生产 6000双皮鞋。为了满足所有的预测需求， 前两个季度必须有一定的库存才能满足后 两个季度的需求。已知每双皮鞋的利润为 20元，每个季度的库存成本8元。请确定 该公司明年每个季度的生产计划，使公司 的年利润最大。
第9章动态规划
动态规划问题的提出
动态规划是解决多阶段决策过程最 优化问题的一种方法。该方法是由美 国 数 学 家 贝 尔 曼 (RBellman) 等 人 在 20世纪50年代初提出的。他们针对多 阶段决策问题的特点，提出了解决这 类问题的“最优化原理”，并成功地 解决了生产管理、工程技术等方面的 许多实际问题，从而建立了运筹学的 一个新分支，即动态规划。
有时阶段可以用时间表示，在各个时间段，采用 不同决策，它随时间而变动，这就有“动态”的含 意
动态规划问题的Байду номын сангаас出
动态规划是现代企业管理中的一个 重要决策方法。 本章利用微软Excel软件在“公式” 和“规划求解工具”两方面的强大功 能，对背包问题、生产经营问题、资 金管理问题和资源分配问题等进行分 析、建模与求解，解决了实际经营中 的优化问题，迅速准确地得出决策结 果。