高中数学必修一第三章测试题
北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试卷(有答案解析)(2)
一、选择题1．下列等式成立的是（ ）A ．222log (35)log 3log 5+=+B ．2221log 3log 32-=C ．222log 3log 5log (35)⋅=+D ．231log 3log 2= 2．形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为F n 数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，请你估算F 5是（ ）位数(参考数据：lg2≈0.3010).A ．8B ．9C ．10D ．113．已知函数2()log x f x =，在[116，m ]上的值域为[0，4]，2m f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围是（ ） A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1,3]D ．[0,3] 4．函数()f x =的定义域是（ ） A ．(0,2) B ．[2,)+∞ C ．(0,)+∞ D ．(,2)-∞ 5．已知函数)()ln f x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>6．已知0.20.33log 0.2,3,0.2a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a << 7．已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增的函数，且满足对任意的实数x 都有[()3]4x f f x -=，则()()f x f x +-的最小值等于（ ）.A ．2B ．4C ．8D ．128．设0.34()5a =，0.254b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，125log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．b c a >> 9．已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+，且()g b a =，则()2f 的值为（ ）A ．2aB ．2C ．154D ．174 10．设0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（ ）．A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a b c >>D ．a c b <<11．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 12．函数32ln ||()x x f x x -=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数，则a 的取值范围是______. 14．72log 2338log 272lg 5lg 47-+++=______.15．已知函数()4sin 22x x f x π=++，则122019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______. 16．已知11225x x -+=22165x x x x --+-=+-______.17．如图，在面积为2的平行四边形OABC 中，AC CO ⊥，AC 与BO 交于点E .若指数函数()01x y a a a =>≠,经过点E ，B ，则函数()a f x x x=-在区间[]1,2上的最小值为________.18．函数()213log 253y x x =--的单调递增区间为_______.19．设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，则x y +的取值范围是_____. 20．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题21．计算下列各式的值：（1）3224031168()281π-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()2log 1483log 3log 3log 22+⨯+. 22．已知函数()3lg 3x f x x+=-． （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由．23．已知函数22()log (23).f x x x =-++（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）写出函数()f x 的单调增区间和减区间（不要求证明）.24．计算下列各式：（1）)()()03235232ππ--； （2）92log 2663log 4log 3.2++ 25．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x x f -<．26．已知函数()lg(3)f x ax =-的图像经过定点(2,0)．(1)求a 的值；(2)设(3),(5)f m f n ==，求21log 63（用,m n 表示）；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据对数的运算法则和换底公式判断．【详解】22222log 3log 5log (35)log 15log (35)+=⨯=≠+，A 错误；22221log 32log 3log 32-=-≠，B 错误； 222log 3log 5log (35)⋅≠+，C 错误；3233log 31log 3log 2log 2==，D 正确． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查对数的运算法则．log log log ()a a a M N MN +=，log log n a a b n b =，一般log ()log log a a a M N M N +≠+．log ()log log a a a MN M N ≠⋅， 1log log n a a b b n ≠． 2．C解析：C【分析】根据所给定义表示出9.632951010F =⨯，进而即可判断出其位数．【详解】根据题意，53223232lg232lg2320.30109.6320.6329521212101010101010F ⨯=+=+≈==≈==⨯，因为0.63211010<<，所以5F 的位数是10．故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是转化成对数运算，即3232lg 2210=. 3．D解析：D【分析】由对数函数的单调性可得[]1,16m ∈，再结合对数函数的性质即可得解.【详解】 由题意，函数2()log x f x =在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增， 且()116416f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()10f =， 结合该函数在1,16m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,4]可得[]1,16m ∈， 所以1,822m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]2lo 2g 0,32m m f ⎛⎫= ⎪⎝∈⎭. 故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定[]1,16m ∈，即可得解.4．A解析：A【分析】根据函数的形式，直接列解析式有意义的不等式，求出函数的定义域.【详解】由题意得，函数的定义域需满足02>0x x >⎧⎨-⎩，解得：02x << 所以函数的定义域是()0,2.故选：A .【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域：(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.5．D解析：D【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021，2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】 210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()ln ln f x x x ===-，其中y x 单调递增，则()f x 单调递减， 102021202020120>=，202020201log log 102021<=， 2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()lnf x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较. 6．B解析：B【分析】 根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果【详解】因为33log 0.2log 10<=，0.20331>=，...030002021<<=，a cb ∴<<．故选：B ．【点睛】比较大小问题，常见思路有两个：一是利用中间变量；二是利用函数的单调性直接解答 7．B解析：B【分析】根据()3x f x -为定值，可假设()3x f x m =+，然后计算()()f x f x +-，并计算m 的值，然后使用基本不等式，可得结果.【详解】由题可知：()3x f x -为定值故设()3xf x m -=，即()3x f x m =+ 又[()3]4xf f x -=，所以()341m f m m m =+=⇒=则()31x f x =+()()3131x x f x f x -+-=+++则1()()32243x x f x f x +-=++≥= 当且仅当133x x =时，取等号 所以()()f x f x +-的最小值为：4故选：B【点睛】本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于()3xf x -为定值，审清题意，细心计算，属中档题. 8．A解析：A【分析】根据指数函数、对数函数的 性质结合中间值0和1比较．【详解】 由指数函数性质得0.34015⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0.2514⎛⎫> ⎪⎝⎭，由对数函数性质得125log 04<， ∴b a c >>．故选：A ．【点睛】 本题考查比较幂与对数的，掌握指数函数与对数函数的性质是解题关键．解题方法是借助中间值比较大小．9．C解析：C【分析】根据奇函数()f x 与偶函数()g x ，由()()2x x f x g x a a -+=-+得到()()2﹣﹣﹣=+x x g x f x a a ，两式相加、相减并结合()g b a =求得()f x 即可.【详解】∵奇函数()f x 与偶函数()g x ，()()()(),-∴=-=f x f x g x g x .又()()2﹣+=+-x x f x g x a a ，①()()2﹣---∴+=+x x f x g x a a ，()()2﹣∴=--+x x g x f x a a .②+①②，得()24g x =，()2g x ∴=.(),2g b a a =∴=.()22﹣-∴=x x f x .22115(2)22444f -∴=-=-=. 故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．A解析：A【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】 解：因为12y x =在[0,)+∞上单调递增，110.32>> 所以0.50.50.5110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭>，即0.50.5110.32⎛⎫>> ⎪⎝⎭因为0.30.3log 0.2log 0.31>=所以b a c <<故选：A【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题.11．D解析：D【分析】先根据偶函数性质排除B ，再考虑当0x >且0x →时，y →+∞，排除A.再用特殊值法排除C ，即可得答案.【详解】解：令()2ln 8x f x y x ==-，则函数定义域为{}0x x ≠ ，且满足()()f x f x -=，故函数()f x f (x )为偶函数，排除选项B ；当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ；取特殊值x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C.故选：D.【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.12．A解析：A【分析】判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项．【详解】解：函数的定义域为{0}xx ≠∣， 因为3322()ln ||ln ||()()()x x x x f x f x x x -----===-，所以()f x 为偶函数，所以排除C ,D,又因为当0x >时，322ln ln ()x x x f x x x x-==-， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．二、填空题13．【分析】函数为复合函数且原函数为减函数根据题意需要满足一元二次函数在上是增函数且在上恒大于或等于零然后求解关于a 的不等式即可得到结果【详解】令则原函数化为此函数为定义域内的减函数要使函数在上是减函数 解析：9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】函数为复合函数,且原函数为减函数,根据题意需要满足一元二次函数2x ax a -+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,然后求解关于a 的不等式即可得到结果.【详解】令2t x ax a =-+,则原函数化为12()log g t t =,此函数为定义域内的减函数,要使函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数,则函数2t x ax a =-+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,即有232330a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩,解得92a ≤. 故答案为:9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【点睛】本题考查了复合函数的单调性,需要掌握复合函数的同增异减,本题还要注意对数函数的定义域是求解的前提,这里容易漏掉,需要掌握此类题目的解题方法.14．【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得【详解】故答案为：【点睛】此题考查指数对数的综合运算关键在于熟练掌握运算法则和相关公式准确化简求值 解析：32【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得.【详解】72log 2338log 2lg 5lg 47-+++()732log 232332log 32lg52lg 27=-++++ 34222=-+++ 32= 故答案为：32 【点睛】此题考查指数对数的综合运算，关键在于熟练掌握运算法则和相关公式，准确化简求值. 15．2019【分析】观察的特点探究得再利用倒序相加法求解【详解】因为所以故答案为：2019【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法还考查了抽象概括的能力属于中档题解析：2019【分析】 观察122019101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 的特点，探究得()(2)2+-=f x f x ，再利用倒序相加法求解.【详解】因为()()()2442sin sin 222222x x f x f x x x πππ-+-=+++-=++ 所以1220192[]101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 12019120191010101010101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22019=⨯1220192019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：2019.【点睛】 本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题. 16．【分析】对平方可得再平方可得即可求解【详解】两边同时平方得：所以对两边同时平方得：则故答案为：【点睛】此题考查指数式的化简求值进行整体变形处理利用平方关系得出等量关系解析：12- 【分析】对1122x x -+=13x x -+=，再平方可得227x x -+=，即可求解. 【详解】 1122x x -+=125x x -++=，所以13x x -+= 对13x x -+=两边同时平方得：2229x x -++=，227x x -+= 则22167615352x x x x --+--==-+--. 故答案为：12-【点睛】此题考查指数式的化简求值，进行整体变形处理，利用平方关系得出等量关系. 17．【分析】设点则点B 的坐标为由题意得则再根据平行四边形的面积求得由此得得函数的解析式从而得函数的的单调性与最值【详解】解：设点则点B 的坐标为∵∴∵平行四边形OABC 的面积又平行四边形OABC 的面积为2 解析：3-【分析】设点(),t E t a ，则点B 的坐标为()2,2t t a，由题意得22t t a a =，则2t a =，再根据平行四边形的面积求得12t =，由此得4a =，得函数()f x 的解析式，从而得函数()f x 的的单调性与最值．【详解】解：设点(),t E t a ，则点B 的坐标为()2,2t t a，∵22t t a a =，∴2t a =，∵平行四边形OABC 的面积24t S OC AC a t t =⨯⨯==，又平行四边形OABC 的面积为2，∴42t =，12t =，所以122a =，4a =， ∴()4f x x x =-在[]1,2为增函数， ∴函数()f x 的最小值为()4111f =-=3-， 故答案为：3-．【点睛】 本题主要考查指数函数的图象和性质，考查利用函数的单调性求最值，属于中档题． 18．【分析】先由求得函数的定义域然后令由复合函数的单调性求解【详解】由解得或所以函数的定义域为或因为在上递减在递减所以函数的单调递增区间为故答案为：【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的求法：对于复合函数 解析：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【分析】先由22530x x -->，求得函数的定义域，然后令2253t x x =--，由复合函数的单调性求解.【详解】由22530x x -->，解得 12x <-或 3x >， 所以函数()213log 253y x x =--的定义域为{1|2x x <-或 }3x >， 因为2253t x x =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递减，13log y t =在()0,∞+递减， 所以函数()213log 253y x x =--的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 故答案为：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【点睛】 方法点睛：复合函数的单调性的求法：对于复合函数y ＝f [g (x )]，先求定义域，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．19．【分析】由题设知再由得到所以设由此可求出的取值范围【详解】解：正数满足又所以左右加上得到所以由得到设即解得或即或根据定义域均大于零所以取值范围是故答案为：【点睛】本题考查对数的运算法则基本不等式的应 解析：[)6,+∞由题设知3x y xy ++=，再由2220x xy y -+，得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +，设x y a +=，由此可求出x y +的取值范围． 【详解】解：正数x ，y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，22log (3)log x y xy ∴++=，3x y xy ∴++=，又2220x xy y -+，所以左右加上4xy 得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +， 由3x y xy ++=得到2()34x y x y +++， 设x y a +=即2412a a +，解得6a ≥或2a ≤-即(],2a ∈-∞-或[)6,+∞．根据定义域x ，y 均大于零，所以x y +取值范围是[)6,+∞．故答案为：[)6,+∞．【点睛】本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用，属于中档题．20．【分析】根据的值域为可知需在单调递增且即可【详解】由题意知的值域为故要使的值域为则必有为增函数且所以且解得故答案为：【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围属于中档题解析：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， 【分析】根据()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，可知()(12)3(1)f x a x a x =-+<需在(,1)-∞单调递增且(1)0f ≥即可.【详解】由题意知()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，故要使()f x 的值域为R ，则必有()(12)3f x a x a =-+为增函数，且1230a a -+≥，所以120a ->，且1a ≥-，解得112a -≤<. 故答案为：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围，属于中档题.三、解答题21．（1）1927-；（2）116. 【分析】（1）利用指数的运算法则化简求解；（2）利用对数的运算法则化简求解.【详解】（1）()3224031168281π-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()324343224()13⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 8194412727=-+-=-. （2）()2log 1483log 3log 3log 22++22311log 3log 3log 2123⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 235511log 3log 211666⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：指数对数的运算化简，一般先观察指数对数的形式，再利用合适的运算法则化简求解.22．（1）()3,3-；（2）()f x 为奇函数，证明见解析.【分析】（1）利用对数式的真数大于零求解出不等式的解集即为定义域；（2）先判断定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，分析()(),f x f x -之间的关系，由此判断出()f x 的奇偶性.【详解】（1）因为303x x+>-，所以()()330x x -+<， 所以{}33x x -<<，所以()f x 的定义域为()3,3-；（2）()f x 为奇函数，证明：因为()f x 的定义域为()3,3-关于原点对称，且()()1333lg lg lg 333x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭， 所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数.【点睛】思路点睛：判断函数()f x 的奇偶性的步骤如下：（1）先分析()f x 的定义域，若()f x 定义域不关于原点对称，则()f x 为非奇非偶函数，若()f x 的定义域关于原点对称，则转至（2）；（2）若()()f x f x =-，则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数. 23．（1）定义域为(1,3)-,值域为(,2]-∞（2）递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3)【分析】（1）由2230x x -++>解得结果可得定义域，根据二次函数知识求出真数的值域，根据对数函数的单调性可求得()f x 的值域；（2）在定义域内求出真数的单调区间，根据底数大于1可得函数()f x 的单调区间.【详解】（1）由函数有意义可得2230x x -++>，即2230x x --<，解得13x，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-， 因为13x ，所以2223(1)4x x x -++=--+(0,4]∈，所以()(,2]f x ∈-∞，即函数()f x 的值域为(,2]-∞.（2）因为函数()f x 的定义域为(1,3)-，且函数2y x 2x 3=-++在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又对数函数的底数为21>，所以函数()f x 的递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3).【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：有分式时：分母不为0；有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0； 有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；有指数函数形式时：底数和指数都含有x ，指数底数大于0且不等于1；有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 24．（1）2；（2）3.【分析】（1）直接利用指数幂的运算法则化简求解；（2）直接利用对数的运算法则和性质化简求解.【详解】（1）)02 ()13|2|ππ=+-+-42ππ=-+-=2（2）92log 2663log 4log 32++ 232log 26662log 2log 3log 23=+-+3log 266log 2log 33=++=6log (23)2123⨯+=+=.【点睛】(a n =是奇数||(a n =是偶数).使用上面的公式时，一定要注意n 的奇偶性，再化简.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{}|1x x <【分析】（1）令0m n ==，代入等式，可求得()00=f ；（2）令n m =-，代入等式，结合()00=f ，可得到()()f m f m -=-，从而可知()y f x =是奇函数，然后用定义法可证明()f x 在(),-∞+∞上为增函数；（3）原不等式可化为()()422x x f f -<，结合函数()f x 的单调性，可得出422x x -<，解不等式即可.【详解】（1）证明：令0m n ==，则()()()()000020f f f f +=+=，∴()00=f . （2）证明：令n m =-，则()()()f m m f m f m -=+-，∴()()()00f f m f m =+-=，∴()()f m f m -=-，∴对任意的m ，都有()()f m f m -=-，即()y f x =是奇函数．在(),-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则210x x ->，∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->，即()()12f x f x <， ∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.（3）原不等式可化为()()()()4211112x x f f f f -<+=+=，由（2）知()f x 在(),-∞+∞上为增函数，可得422x x -<，即()()12022x x +<-， ∵210x +>，∴220x -<，解得1x <，故原不等式的解集为{}|1x x <.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.26．（1）2a =；（2）2m n m n++【分析】（1）根据对数运算求a 的值；（2）利用换底公式化简求值.【详解】(1)由已知得231a -=得：2a =(2)由(1)得()()lg 23f x x =-，则()()3lg3,5lg7f m f n ====， ∴21lg632lg3lg72log 63lg21lg3lg7m n m n ++===++ 【点睛】本题考查对数换底公式，考查基本分析求解能力，属基础题.。
人教版B版(2019)高中数学必修第一册：第三章 函数 综合测试(附答案与解析)
第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数1()3f x x =-的定义域为（ ） A .(3,0]- B .(3,1]- C .[1,3)(3,)-+∞ D .[1,3)-2.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，2()2f x x x =-，则(1)f -=（ ）A .3-B .1-C .1D .33.已知函数(1)y f x =+的定义域为[2,6]-，则函数(34)y f x =-的定义域是（ ）A .[1,1]-B .[3,5]-C .35,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4.函数2,01,()2,12,3,2x x y f x x x ⎧⎪==⎨⎪⎩＜＜的值域是（ ）A .RB .[0,)+∞C .[0,3]D .[0,2][3]5.函数111y x -=+-的图像是下列选项中的（ ）A B C D 6.已知2m -＜，点()()()1231,,,,1,m y m y m y -+都在二次函数22y x x =--的图像上，则（ ）A .123y y y ＜＜B .231y y y ＜＜C .132y y y ＜＜D .312y y y ＜＜7.已知函数2()68f x x x =-+在[1,]a 上的最小值为()f a ，则实数a 的取值范围为（ ）A .(1,3]B .(1,)+∞C .(1,5)D .[3,5]8.函数2()(2)1f x ax a x =+++是偶函数，则函数的单调递增区间为（ ）A .[0,)+∞B .(,0]-∞C .(,)-∞+∞D .[1,)+∞9.函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(,1]-∞上为减函数，则m 的取值范围为（ ）A .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B .10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭10.已知对于任意两个实数x ，y ，都有()()()f x y f x f y +=+成立.若(3)2f -=，则(2)f 等于（ ）A .12-B .12C .43D .43- 11.设函数()f x 满足对任意的m ，n （m ，n 为正整数）都有()()()f m n f m f n +=且(1)2f =，则(2)(3)(2 019)...(1)(2)(2 018)f f f f f f +++（ ） A .2 019 B .2 018 C .4 036 D .4 03812.若x ∈R ，()f x 是22y x =-，y x =这两个函数中的较小者，则()f x 的最大值为（ ）A .2B .1C .1-D .无最大值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.若函数2(1)2()1a x a f x x a -+-=+-为奇函数，则实数a =__________. 14.已知1)f x =+()f x =__________.15.已知函数()2|1|f x x x a =-+-，若函数()y f x =有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.16.已知函数29,3()6,3x f x x x x ⎧=⎨-+⎩，＜，则不等式()22(34)f x x f x --＜的解集是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知函数()b f x ax x=+的图像经过点(1,1)A ，(2,1)B -. （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明.18.（12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，2()2f x x x m =-+.（1）求实数m 的值及(3)f -的值；（2）求函数()f x 的解析式并在图3-7-1中画出函数()f x 的大致图像.19.（12分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，实际出厂单价不低于51元.（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数()P f x =的解析式.（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？（=-工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本）20.（12分）已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-.（1）如果函数()f x 的一个零点为0，求m 的值；（2）当函数()f x 有两个零点时，求m 的取值范围；（3）当函数()f x 有两个零点，且其中一个大于1，一个小于1时，求m 的取值范围.21.设2()22f x x ax =-+，当[1,)x ∈-+∞时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围.22.（12分）函数2()1ax b f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （1）求函数()f x 的解析式；（2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上是增函数；（3）解不等式(1)()0f t f t -+＜.第三章综合测试答案解析一、1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】D【解析】作出()y f x =的图像，如图所示.由图像知，()f x 的值域是[0,2]{3}.故选D .5.【答案】A【解析】当0x =时，11201y -=+=-，故排除B,D ；当2x =时，1111021y -=+=-+=-，故排除C .故选A .6.【答案】A【解析】因为2(1)1y x =-++，所以22y x x =--在(,1]-∞-上是增函数，在[1,)-+∞上是减函数.因为2m -＜，所以111m m m -+-＜＜＜，所以(1)()(1)f m f m f m -+＜＜，即123y y y ＜＜故选A7.【答案】A【解析】因为22()68(3)1f x x x x =-+=--，所以函数的图像开口向上，对称轴为直线3x =.因为函数2()68f x x x =-+在[1,]a 上的最小值为()f a ，所以13a ＜≤.故选A .8.【答案】B【解析】因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，所以22(2)1(2)1ax a x ax a x -++=+++，即(2)0a x +=对于任意实数x 恒成立，所以20a +=，解得2a =-.所以2()21f x x =-+，其单调递增区间为(,0]-∞.故选B .9.【答案】C【解析】当0m =时，()1f x x =-，满足在区间(,1]-∞上为减函数.当0m ≠时，因为2()(1)1f x mx m x =+-+的图像的对称轴为直线12m x m -=，且函数在区间(,1]-∞上为减函数，所以0112m m m⎧⎪-⎨⎪⎩＞，解得103m ＜≤.综上，103m .故选C . 10.【答案】D【解析】令0x y ==，则(00)(0)(0)f f f +=+，则(0)0f =.令3x =，3y =-，则(0)(3)(3)f f f =+-，且(3)2f -=，则(3)2f =-.因为(3)(1)(2)f f f =+，(2)(1)(1)f f f =+，所以(3)3(1)f f =，所以2(1)3f =-，4(2)3f =-.故选D . 11.【答案】C【解析】因为函数()f x 满足对任意的m ，n （m ，n 为正整数）都有()()()f m n f m f n +=且(1)2f =，所以(1)()(1)f m f m f +=.即(1)(1)2()f m f f m +==. 所以(2)(3)(2 019)... 2 018(1) 4 036(1)(2)(2 018)f f f f f f f +++==. 12.【答案】B【解析】由题意知22,21,(),21,x x x f x x x ⎧--=⎨-⎩或＜＜()f x 的图像如图所示，由图可知1x =时，max ()1f x =.故选B .二、13.【答案】1【解析】1：因为()f x 为奇数，所以()()f x f x -=-对定义域内任意x 都成立， 所以22(1)2(1)2011a x a a x a x a x a --+--+-+=-+-+-对定义域内的任意x 恒成立， 所以()22(1)0,2(2)10,a a a --=⎧⎪⎨--=⎪⎩解得1a =. 解析2：由210x a +-≠解得21x a ≠-，所以()f x 的定义域为{}2|1x x a ∈≠-R . 因为()f x 是奇函数，所以()f x 的定义域关于原点对称，所以210a -=，解得1a =±.若1a =-，则1()1f x -=，符合题意； 若1a =-，则23()x f x x --=，不符合题意.所以1a =. 14.【答案】21(1)x x -【解析】因为21)111)1f x x =+=+-=-，所以2()1(1)f x x x =-.15.【答案】(1,)+∞【解析】函数()f x 有且仅有两个零点，即函数2|1|y x x =-+与y a =的图像有且仅有两个交点.分别作出y a =与32,1,2,1x x y x x -⎧=⎨-+⎩≥＜的图像，易知当1a ＞时，两函数的图像有两个不同的交点.故实数a 的取值范围是(1,)+∞.16.【答案】(1,3)【解析】当3x ＜时，22()6(3)99f x x x x =-+=--+＜，()f x 在(,3)-∞上单调递增.由()()2234f x x f x --＜， 得2234,343,x x x x ⎧--⎨-⎩＜＜或223,343,x x x ⎧-⎨-⎩＜≥ 解得14,7,3x x ⎧⎪⎨⎪⎩＜＜＜或13,7,3x x -⎧⎪⎨⎪⎩＜＜≥ 即13x ＜＜，所以解集为(1,3).三、17.【答案】解：（1）由()f x 的图像过点A ，B ， 得1,21,2a b b a +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得1,2.a b =-⎧⎨=⎩ 所以2()(0)f x x x x=-+≠.（2）函数()f x 在(0,)+∞上为减函数.证明如下：设任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ＜.()()12121222f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴ ()()()2121211212222x x x x x x x x x x -=-+-=-+ ()()2112122x x x x x x -+=.12,(0,)x x ∈+∞∵，120x x ∴＞，1220x x +＞.12x x ∵＜，210x x -∴＞.()()120f x f x -∴＞，即()()12f x f x ＞.∴函数2()f x x x=-+在(0,)+∞上为减函数. 18【答案】解：（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，22f x x x m =-+（），即函数()f x 在0x =处有意义，由00f =（） 得0m =.由函数()f x 为奇函数得2333233f f -=-=--⨯=-（）（）（）.（2）由（1）知当0x ≥时，22f x x x =-（）.当0x ＜时，0x -＞， 则2222f x x x x x -=---=+（）（）（）.因为函数f x （）为奇函数，所以f x f x -=-（）（）， 即()22f x x x -=+，所以22f x x x =--（）. 综上()222,0,2,0.x x x f x x x x ⎧-⎪=⎨--⎪⎩≥＜函数()f x 的大致图像如图所示.19.【答案】解：（1）设每个零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为0x 个，则060511005500.02x -=+=（个）. （2）当0100x ＜≤时，60P =；当100550x ＜＜时，()600.021006250x P x =--=-； 当550x ≥时，51P =， 所以()()()()600100,62100550,,5051550,x x P f x x x x ⎧⎪⎪==-∈⎨⎪⎪⎩N ＜≤＜＜≥ （3）设销售商一次订购量为x 时，工厂获得的利润为L 元，则()()()()2200100,4022100550,,5011550,x x x L P x x x x x x ⎧⎪⎪=-=-∈⎨⎪⎪⎩N ＜≤＜＜≥ 当500x =时， 6 000L =；当 1 000x =时，11 000L =.所以当销售商一次订购500个零件时，该厂获利6000元，订购1000个零件时，利润为11000元.20.【答案】解：（1）由(0)210f m =-=，得12m =. （2）因为函数()f x 有两个零点，所以方程()0f x =有两个不相等的实数根，所以2(1)0m +≠，且21642(1)(21)0A m m m =-⨯+-＞，解得1m ≠-且1m ＜.所以m 的取值范围为(,1)(1,1)-∞--.（3）当()f x 有两个零点，且其中一个大于1，一个小于1时，结合二次函数的图像，有2(1)0,(1)0,m f +⎧⎨⎩＞＜或2(1)0,(1)0,m f +⎧⎨⎩＜＞解得118m --＜＜. 所以a 的取值范围为11,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 21.【答案】解：当[1,)x ∈-+∞时，()f x a 恒成立，即在[)1,-+∞上min ()f x a ， 222()22()2f x x ax x a a =-+=-+-，[1,)x ∈-+∞.①当1a -＜时，()f x 在[1,)-+∞上是单调增函数，则min ()(1)23f x f a =-=+， 所以23a a +≥，所以31a --≤＜.②当1a -≥时，()f x 在x a =时取最小值，min 2()()2f x f a a ==-，所以22a a -≥，所以21a -≤≤.又因为1a -≥，所以11a -≤≤.综上，a 的取值范围为[-3,1].22.【答案】（1）解：依题意得(0)0,12,25f f =⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩即0,22,1514b a b =⎧⎪⎪+⎨=⎪+⎪⎩解得10a b =⎧⎨=⎩，所以2()1x f x x =+. （2）证明：任取1211x x -＜＜＜，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++. 因为1211x x -＜＜＜，所以130x x -＜，2110x +＞，2210x +＞. 又1211x x -＜＜，所以1210x x -＞.所以()()120f x f x -＜，即()()12f x f x ＜.所以()f x 在(1,1)-上是增函数.（3）解：(1)()0f t f t -+＜，即(1)()()f t f t f t --=-＜. 因为()f x 在(1,1)-上是增函数，所以111t t ---＜＜＜，解得102t ＜＜， 所以取不等式的解集为1|02t t ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＜＜.。
2020-2021学年高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》测试卷及答案解析
17．已知函数f（x）＝x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．
（Ⅰ）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．
18．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2 在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k．
（Ⅰ）求m的值；
5．函数f（x） ，x∈[3，+∞）的值域是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数y 的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0， ]B．（0， ）C．[0， ]D．[0， ）
7．已知函数f（2x﹣1）＝4x+3（x∈R），若f（a）＝15，则实数a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．幂函数的图象经过点 ，若0＜a＜b＜1，则下列各式正确的是（ ）
2020-2021学年高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．函数 的定义域为（ ）
A．（﹣1，2]B．[2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）
【解答】解：函数 ，
令 0，得x﹣2≥0，
解得x≥2，
所以f（x）的定义域为[2，+∞）．
（2）求证：函数f（x）在区间（﹣1，x0]上单调递减．
21．已知函数f（x） ，求：
（1）f（1），f（﹣3）的值；
（2）求f（a+1）的值．
22．已知函数f（x）在定义域R内为偶函数，并且x≥0时解析式为f（x）＝2x2﹣4x+7．求：
（1）x＜0时的解析式；
人教版高中数学必修一 第三章同步检测3-1-1
3-1-1同步检测一、选择题1．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根2A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．函数f (x )在区间(0,2)内有零点，则( )A ．f (0)>0，f (2)<0B ．f (0)·f (2)<0C ．在区间(0,2)内，存在x 1，x 2使f (x 1)·f (x 2)<0D ．以上说法都不正确4．下列函数中，在[1,2]上有零点的是( )A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5B ．f (x )＝x 3－5x －5C ．f (x )＝ln x －3x ＋6D ．f (x )＝e x ＋3x －65．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且只有一个D ．一个也没有6．函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为( )A ．4B ．2C ．1D ．07．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α、β是函数f (x )的两个零点，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( )A ．a <α<b <βB ．a <α<β<bC ．α<a <b <βD ．α<a <β<b8．(2010·福建理，4)函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．39．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( )A ．－1和16B ．1和－16C.12和13 D ．－12和－13二、填空题10．已知函数f (x )在定义域R 上的图象如图所示，则函数f (x )在区间R 上有________个零点．11．(上海大学附中2011～2012高一期末)方程10x＋x－2＝0解的个数为________．12．已知函数f(x)＝3mx－4，若在[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，则m的取值范围是______________．13．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是____________．三、解答题14．若方程ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，求实数a的取值范围．15．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝x2＋x＋2；(3)f(x)＝x2＋4x－12x－2；(4)f9x)＝3x＋1－7；(5)f(x)＝log5(2x－3)．16．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．17．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？详解答案1[答案] B2[答案] B3[答案] D4[答案] D[解析]A：3x2－4x＋5＝0的判别式Δ<0，∴此方程无实数根，∴f(x)＝3x2－4x＋5在[1,2]上无零点．B：由f(x)＝x3－5x－5＝0得x3＝5x＋5.在同一坐标系中画出y＝x3，x∈[1,2]与y＝5x＋5，x∈[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．∴f(x)＝0在[1,2]上无零点．C：由f(x)＝0得ln x＝3x－6，在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝3x－6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)＝0在[1,2]内没有零点．D：∵f(1)＝e＋3×1－6＝e－3<0，f(2)＝e2>0，∴f(1)·f(2)<0.∴f(x)在[1,2]内有零点．5[答案] C[解析]∵f(1)>0，f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上至少有一个零点．而f(x)是二次函数，再画其图象观察可知有且只有一个零点．6[答案] D7[答案] C[解析]∵α、β是函数f(x)的两个零点，∴f(α)＝f(β)＝0，又f(x)＝(x－a)(x－b)－2，∴f(a)＝f(b)＝－2<0.结合二次函数f(x)的图象可知，a、b必在α、β之间．8[答案] C[解析] 令x 2＋2x －3＝0，∴x ＝－3或1∵x ≤0，∴x ＝－3；令－2＋ln x ＝0，∴ln x ＝2∴x ＝e 2>0，故函数f (x )有两个零点．9[答案] B[解析] 由于f (x )＝x 2－ax ＋b 有两个零点2和3，∴a ＝5，b ＝6.∴g (x )＝6x 2－5x －1有两个零点1和－16.10[答案] 311[答案] 1[解析] 画函数y ＝10x 与y ＝2－x 的图象，只有一个交点，故方程只有一解．12[答案] (－∞，－23] [解析] ∵f (x )在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，∴(－6m －4)(－4)≤0，解得m ≤－23.∴实数m 的取值范围是(－∞，－23]．13[答案] －3[解析] 设另一个零点为x 1，则x 1＋1＝－2，∴x 1＝－3.14[解析] ∵方程ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，即函数f (x )＝ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点，∴f (0)·f (1)<0，即－1×(a －2)<0，解得a >2.故a 的取值范围为(2，＋∞)．15[解析] (1)因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1＝－(8x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，解得x ＝－18或x ＝1，所以函数的零点为－18和1.(2)令x 2＋x ＋2＝0，因为Δ＝(－1)2－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数根，所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点．(3)因为f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝(x ＋6)(x －2)x －2，令(x ＋6)(x －2)x －2＝0，解得x ＝－6，所以函数的零点为－6.(4)令3x ＋1－7＝0，解得x ＝log 373，所以函数的零点为log 373.(5)令log 5(2x －3)＝0，解得x ＝2，所以函数的零点为2.16[解析] 令g (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，依题意得⎩⎨⎧ m >0，g (4)<0或⎩⎨⎧ m <0，g (4)>0，解得－1913<m <0. ∴m 的取值范围是(－1913，0)．17[解析] 因为f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0，f (0)＝20－02＝1>0，而函数f (x )＝2x －x 2的图象是连续曲线，所以f (x )在区间[－1,0]内有零点，即方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有解．。
3高中数学必修第一册第三章课后答案
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念P63练习1.一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为21305h t t =-.①求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.【答案】定义域为{|026}t t ≤≤，值域为{|0845}h h ≤≤，对于数集{|026}t t ≤≤中的任一个数t ，在数集{|0845}h h ≤≤中都有唯一确定的数21305h t t =-与之对应.2.2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示.（1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；（2）根据图象，求这一天12时所对应的温度.【答案】（1）由图可知，设从今日8点起24小时内，经过时间t 的温度为C y ︒，则定义域为{|024}t t，值域为{|212}y y .（2）由图知，11时的温度为8C ︒，14时的温度为12C ︒，3.集合,A B 与对应关系f 如图所示：:f A B →是否为从集合A 到集合B 的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？【答案】由图知，A 中的任意一个数，B 中都有唯一确定的数与之对应，所以:f A B →是从A 到B 的函数.定义域是{1,2,3,4,5}A =，值域{2,3,4,5}C =.4.构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y =来描述.定义域为{|0}x x >，值域为{|0}y y >.P67练习1.求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =；（2）()1f x =. 2.已知函数3()32f x x x =+，（1）求(2)f ，(2)f -，(2)(2)f f +-的值；（2）求()f a ，()f a -，()()f a f a +-的值.【答案】（1）(2)28f =，(2)28f -=-，(2)(2)0f f +-=；（2）3()32f a a a =+，()3()32f a a a -=-+，()()0f a f a +-=.3.判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；（2）()1f x =和0()g x x =.【答案】（1）不相等，前者的定义域为{|026}t t，而后者的定义域为R .（2）不相等，前者的定义域为R ，而后者的定义域为{|0}x x ≠.3.1.2函数的表示法P69练习1.如图，把直截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x （单位：cm ），面积为y （单位：2cm ），把y 表示为x 的函数.2.画出函数|2|y x =-的图象.【答案】解法1：由绝对值的概念，知2,2,2,2,x x y x x -≥⎧=⎨-<⎩所以函数|2|y x =-的图象如图所示.解法2：（翻折法）先画出2y x =-的图象，然后把图象中位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上面，其他不变.3.已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）【答案】（1）()f x ，()g x 的图象如下图所示：（2）当0x ≤时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；当01x <<时，()211x x -<-+，则()()()21m x g x x ==-；当1≥x 时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；综上所述：()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩.()m x 图象如下图所示：P71练习1.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.A. B.C. D.【答案】解：（1）根据回家后，离家的距离又变为0，对应（D ）；（2）由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化，对应（A ）；（3）由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快，对应（B ）.剩下的图象（C ）为：我出发后越走越累，所以速度越来越慢.2.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里),票价2元；(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数关系式,并画出函数的图像.【答案】当05x <≤时，()2f x =；当510x <≤时，()3f x =；当1015x <≤时，()4f x =；当1520x <≤时，()5f x =；综上：函数解析式为2,053,510()4,10155,1520x x f x x x <≤⎧⎪<≤⎪=⎨<≤⎪⎪<≤⎩按照分段函数画出图像，如下图：习题3.1P72复习巩固13.求下列函数的定义域：（1）3()4x f x x =-；（2）()f x =（3）26()32f x x x =-+；（4）()1f x x =-.【答案】（1）{|4}x x ≠；（2）R ；（3）{|1x x ≠，且2}x ≠；（4）{|4x x ≤且1}x ≠2.下列哪一组中的函数()f x 与()g x 是同一个函数？（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-；（2）24(),()f x x g x ==；（3）2(),()f x x g x ==【答案】解：（1）()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{|0}x x ≠，∵定义域不同，()f x ∴与()g x 不是同一函数.（2）()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{|0}x x ≥，∵定义域不同，()f x ∴与()g x 不是同一函数.函数.3.画出下列函数的图象，并说出函数的定义域､值域：（1）3y x =；（2）8y x=；（3）45y x =-+；（4）267y x x =-+.【答案】一次函数3y x =的图形如图所示，定义域为R ，值域为R .【小问2详解】【小问3详解】一次函数45y x =-+的图形如图所示，定义域为R ，值域为R .【小问4详解】二次函数267y x x =-+的图形如图所示，定义域为R ，值域为[)2,-+∞.4.已知函数2()352f x x x =-+，求((),(3),()(3)f f a f a f a f -++的值.22()3()5()2352f a a a a a -=---+=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=+-++=++；222()(3)352335323516f a f a a a a +=-++⨯-⨯+=-+.5.已知函数g(x)＝26x x +-，(1)点(3，14)在函数的图像上吗？(2)当x ＝4时，求g(x)的值；(3)当g(x)＝2时，求x 的值.6.若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值.【答案】因为()2f x x bx c =++,且()10f =,()30f =则10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩,解方程组可得43b c =-⎧⎨=⎩则()243f x x x =-+所以()()()2114138f -=--⨯-+=7.画出下列函数的图象：（1）0,0()1,0x f x x ⎧=⎨>⎩ （2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈.【答案】解：（1）函数()f x 是一个分段函数，函数图象如图（1）所示.（2）函数()G n 的图象是三个离散的点，如图（2）所示.P73综合运用8.如图，矩形的面积为10.如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？【答案】解：答案不唯一.如：1010,xy y x=∴=，这是y 关于x 的函数，其中10(0,),2()2x l x y x x ⎛⎫∈+∞=+=+ ⎪⎝⎭，这是l 关于x 的函数，其中22222100(0,).x d x y x x ∈+∞=+=+，22100d x x∴=+，这是d 关于x 的函数，其中(0,)x ∈+∞.9.一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm .现在以3/v cm s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x （单位：cm ）关于注入溶液的时间t （单位：s ）的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.【答案】解：∵容器内液体的体积22d V x v t π⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，24vx t d π∴=⋅.定义域20,4d h t v π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，值域[0,]x h ∈.10.一个老师用5分制对数学作业评分，一次作业中，第一小组同学按座位序号1，2，3，4，5，6的次序，得分依次是5，3，4，2，4，5，你会怎样表示这次作业的得分情况？用x ，分别表示序号和对应的得分，y 是x 的函数吗？如果是，那么它的定义域、值域和对应关系各是什么？【答案】解：用列表法表示：用x ，y 分别表示序号和对应的得分，y 是x 的函数，其中，定义域是{12,3,4,5,6}，，值域是{2,3,4,5}，对应关系如上表所示.11.函数()r f p =的图象如图所示，（1）函数()r f p =的定义域､值域各是什么？（2）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？图中，曲线l 与直线m 无限接近，但永不相交.【答案】解：由函数()r f p =的图象可得，函数()r f p =的定义域为：[][)5026- ，，，值域为：[)0+∞，；解：由已知中函数()r f p =的图象可得：当[)()0,25,r ∈+∞ 时，只有唯一的p 值与之对应．12.画出定义域为{|38x x -≤≤，且5}x ≠，值域为{|120}y y y ，-≤≤≠的一个函数的图象.（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？（2）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足3812x y -≤≤-≤≤，，那么其中哪些点不能在图象上？【答案】（1）由题意可知：定义域为{|38x x -≤≤，且5}x ≠，值域为{|120}y y y ，-≤≤≠，图象可以是如下图所示：（2）由题意可知中：线段:5(12)AB x y =-≤≤，和线段:0(38)CD y x =-≤≤上的点不在图象上如下图所示：13.函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[3.5]4-=-，[2.1]2=.当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并画出函数的图象.【答案】解：3,2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--<-⎪⎪--<⎪=<⎨⎪<⎪<⎪⎪=⎩函数图象如图所示：14构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式21(0)2y ax a =>来描述.【答案】在不考虑空气阻力的情况下，一个物理从空中从静止状态作自由落体运动，经x 秒时的位移为y ，则21(0)2y gx x =.P73拓广探索15.如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇.（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距点P 的距离，请将t 表示为x 的函数.（2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？16.给定数集,(,0]A R B ==-∞，方程220u v +=，①（1）任给u A ∈，对应关系f 使方程①的解v 与u 对应，判断()v f u =是否为函数；（2）任给v B ∈，对应关系g 使方程①的解u 与v 对应，判断()u g v =是否为函数.()u g v =不是函数.17.探究是否存在函数(),()f x g x 满足条件：（1）定义域相同，值域相同，但对应关系不同；（2）值域相同，对应关系相同，但定义域不同.【答案】解（1）(),()2f x x g x x ==，定义域与值域分别相同，但对应关系不同.（2）22(),,()(0)f x x x R g x x x =∈=.18.在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．如果记圆周率π小数点后第n 位上的数字为y ，那么你认为y 是n 的函数吗？如果是，请写出函数的定义域、值域与对应关系；如果不是，请说明理由．【答案】根据函数的定义可知，每一个圆周率π小数点后第n 位上的数字是唯一的y ，即n 对应唯一的y ，故y 是n 的函数.定义域为{}|1200n N n *∈≤≤，值域为{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，对应关系：数位n 对应数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大（小）值P79练习1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.【答案】解：该装配线的生产效率是关于生产线上工人数的函数，当工人数为零时，生产效率为零；在一定范围内，随着工人数的增加，生产效率随之升高；超出这个范围时，随着工人数的增加，生产效率反而随之降低.2.根据定义证明函数()32f x x =+是增函数.【答案】证明：12,R x x ∀∈，且12x x <，则()()()()()12121232323f x f x x x x x -=+-+=-.12x x < ，120x x ∴-<，()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <.∴函数()32f x x =+在R 上是增函数.3.证明函数2()f x x=-在区间(,0)-∞上单调递增.【答案】证明：12,(,0)x x ∀∈-∞，且12x x <，12,(,0)x x ∈-∞ ，120x x ∴>.又12x x < ，120x x ∴-<.()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <.4.画出反比例函数ky x=的图象.（1）这个函数的定义域I 是什么？（2）它在定义域Ⅰ上的单调性是怎样的？证明你的结论.【答案】解：当0k >时，图象如图（1）.当0k <时，图象如图（2）.（1）定义域为(,0)(0,)-∞+∞ .12,(,0)x x ∈-∞ ，12x x <，120x x ∴>.210x x ->.()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >.P81练习1.整个上午（8:00～12:00）天气越来越暖，中午时分（12:00～13:00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18:00）才又开始转凉.画出这天8:0～20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间.【答案】解：依题意可得函数的一个可能图象如下图所示.单调增区间：[8,12)，[13,18)；单调减区间：[12,13)，[18,20].2.设函数()f x 的定义域为[6,11]-.如果()f x 在区间[6,2]--上单调递减，在区间[2,11]-上单调递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个______.【答案】解析：依题意，()f x 在区间[6,2]--上单调递减，在区间[2,11]-上单调递增从函数图象上可得，图象在[6,2]--上从左至右下降，在[2,11]-上从左至右上升，从而可得()f x 在[6,11]-上的大数图象如图所示.由图可知(2)f -是函数()f x 的一个最小值故答案为：最小值.3.已知函数1()f x x=，求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值.12,[2,6]x x ∈ ，120x x ∴>.又12x x < ，210x x ∴->.()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >.3.2.2奇偶性P85练习1.已知()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,试将下图补充完整.【答案】解:因为奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，所以补充后图象如图所示.2.判断下列函数的奇偶性：（1）()4223f x x x =+；（2）()22f x x x =-．【答案】（1）函数()4223f x x x =+的定义域为R ，()()()()42422323f x x x x x f x -=-+-=+=，所以，函数()f x 为偶函数；（2）函数()22f x x x =-的定义域为R ，()()()2222f x x x x x -=---=+，则()()f x f x -≠且()()f x f x -≠-，所以，函数()f x 为非奇非偶函数.3.(1)从偶函数的定义出发,证明函数()y f x =是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称;(2)从奇函数的定义出发,证明函数()y f x =是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.【答案】证明:(1)充分性:若()y f x =的图象关于y 轴对称,设()()00,M x f x 为图象上任意一点,则M 关于y 轴的对称点()()'00,M x f x -仍在该图象上,即()()00f x f x -=.所以()y f x =为偶函数,必要性:若()y f x =为偶函数,设()()'00,M x f x 为()f x 图象上任意一点,M 关于y 轴的对称点为()()'00,M x f x -,由于()f x 为偶函数,所以()()00f x f x =-,所以()()00,M x f x '--在()f x 的图象上,所以()f x 的图象关于y 轴对称.(2)充分性:若()y f x =的图象关于原点对称,设()()00,M x f x 为其图象上任意一点,则M 关于原点的对称点()()'00,M x f x --仍在该图象上,所以()()00f x f x -=-,所以()y f x =为奇函数.必要性:若()y f x =为奇函数,设()()00,M x f x 为其图象上任意一点,则M 关于原点的对称点为()()'00,M x f x --,由于()y f x =为奇函数,所以()()00f x f x -=-,所以()()'00,M x f x --仍在()y f x =的图象上,所以()y f x =的图象头于原点对称.习题3.2P85复习巩固1.根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.【答案】由图象可知该函数的单调区间为：[1,0)[0,2),[2,4),[4,5]-，；其中在区间[0,2)和[4,5]上单调递增，在区间[1,0)-和[2,4)上单调递减.2.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间及在每一单调区间上的单调性.（1）256y x x =--；（2）29y x =-.【答案】解：（1）函数256y x x =--的图象如图（1）所示.（2）函数29y x =-的图象如图（2）所示.由图象可知：单调区间有(,0],(0,)-∞+∞.其中()y f x =在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上是减函数.3.证明：（1）函数()21f x x =-+是减函数；（2）函数2()1f x x =+在(0,)+∞上单调递增；（3）函数1(1)f x x=-在(,0)-∞上单调递增.【答案】证明：（1）12,x x R ∀∈且12x x <，则()()()()12122121212f x f x x x x x -=-+--+=-，即()()12f x f x >.()21f x x ∴=-+是减函数.（2）120x x ∀<<，则()()()()()()221212121211f x f x x x x x x x -=+-+=+-.()()121212120,0,0,0x x x x x x f x f x <<∴+>-<∴-< ，即()()12f x f x <，2()1f x x ∴=+在(0,)+∞上单调递增.1212120,0,0x x x x x x <<∴-<> ，4.某汽车租赁公司的月收益y （单位：元）与每辆车的月租金x （单位：元）间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5.判断下列函数的奇偶性：（1）2()1f x x =+；（2）2()1xf x x =+.【答案】解：（1）定义域为R ，22()()11()f x x x f x -=-+=+= ，2()1f x x ∴=+为偶函数.P86综合运用6.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.【答案】解：心率关于时间的一个可能的图象如图所示.7.已知函数()22f x x x =-，[]()2()22,4g x x x x =-∈.（1）求()f x 、()g x 的单调区间；（2）求()f x 、()g x 的最小值.【答案】（1） 函数()22f x x x =-的图象开口向上，对称轴为直线1x =，所以，函数()y f x =的减区间为(],1-∞，增区间为()1,+∞，函数()y g x =的增区间为[]2,4；（2）由（1）知，函数()y f x =在1x =处取得最小值1-，由于函数()y g x =在定义域[]2,4上单调递增，则函数()y g x =在2x =处取得最小值0.8.（1）根据函数单调性的定义证明函数9y x x=+在区间[3,)+∞上单调递增.（2）讨论函数9y x x =+在区间(0,)+∞上的单调性.（3）讨论函数(0)ky x k x =+>在区间(0,)+∞上的单调性.【答案】（1）证明12,[3,)x x ∀∈+∞且12x x <，则12121299y y x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭()()()1212121212999x x x x x x x x x x --⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭.121212,[3,),0,9x x x x x x ∈+∞∴>> .又121212,0.0x x x x y y <∴-<∴-< 即12y y <.9y x x∴=+在区间[3,)+∞上单调递增.（2）解：12,(0,)x x ∀∈+∞且12x x <.①当12,(0,3]x x ∈时，12120,90x x x x >-<，又120x x -<，9.设函数()y f x =的定义域为I ，区间D I ⊆，记()()1212,x x x y f x f x ∆=-∆=-.证明：（1）函数()y f x =在区间D 上单调递增的充要条件是：1212,x x D x x ∀∈≠，，都有0yx∆>∆；（2）函数()y f x =在区间D 上单调递减的充要条件是：1212,x x D x x ∀∈≠，，都有0y x∆<∆.【答案】证明：（1）充分性：不妨设12x x <，则120x x x ∆=-<即()()12,f x f x >()f x ∴在D 上单调递增.必要性：若()y f x =在D 上单调递增.则12,x x D ∀∈，不妨设1212,0x x x x x <∆=-<，则1212,0y y y y y <∆=-<.必要性：若()y f x =在D 上单调递减.20.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，画出函数()f x 的图像，并求出()f x 的解析式．【答案】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以图像关于原点对称且()()f x f x -=-，图像如图所示当0x ≥时，()()1f x x x =+，所以当0x <时，0x ->，则()()()()1f x x x f x -=--=-，整理有()()21f x x x x x =-=-+，所以()f x 的解析式为()22,0,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩P87拓广探索12.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上单调递减，判断()f x 在(,0)-∞上单调递增还是单调递减，并证明你的判断.【答案】解：()f x 在(,0)-∞上单调递增任取120x x <<，则120x x ->->.()f x 在(0,)+∞上单调递减，()()12f x f x ∴-<-.()f x 是偶函数，()()()()1122,f x f x f x f x ∴-=-=.()()12f x f x ∴<，故()f x 在(,0)-∞上单调递增.13.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.（1）求函数32()3f x x x =-图象的对称中心；（2）类比上述推广结论，写出“函数()y f x =的图象关于y 轴成轴对称图形的充要条件是函数()y f x =为偶函数”的一个推广结论.【答案】解：（1）3233()3(1)3(1)2,(1)23f x x x x x y f x x x =-=----∴=++=- .设3()3g x x x =-，则33()()3()3()g x x x x x g x -=---=-+=-.()g x ∴为奇函数.32()3f x x x ∴=-的图象关于点(1,2)-对称.即32()3f x x x =-的图象的对称中心是点(1,2)-.（2）函数()y f x =的图象关于直线x a =成轴对称图形的充要条件是函数()y f x a =+为偶函数.第三章函数的概念与性质3．3幂函数P91练习1.已知幂函数y xα=的图象过点，试求出这个函数的解析式.2α=，得12α=，即12y x=.2.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1）3(1.5)-，3(1.4)-；（2）11.5-，11.4-.【答案】解：（1）设3()f x x=，则()f x在R上为增函数.1.5 1.4-<-，33(1.5)(1.4)∴-<-.3.根据单调性和奇偶性的定义证明函数3()f x x=的单调性和奇偶性.【答案】证明：3()f x x=的定义域为R.任取12,Rx x∈，且12x x<，则()()12f x f x∴-<，即()()12f x f x<.3()f x x∴=在R上为增函数.又33()()()f x x x f x-=-=-=-，3()f x x∴=为奇函数.习题3．3P91复习巩固1.画出函数y =的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.12,[0,)x x ∈+∞ ，且设任意的12,(,0]x x ∈-∞，且12x x <，则P91综合运用2.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v ，（单位：3/cm s ）与管道半径r （单位：cm ）的四次方成正比.（1）写出气体流量速率v ，关于管道半径r 的函数解析式；（2）若气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为3400/cm s ，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v 的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm ，计算该气体的流量速率（精确到31/cm s ）.【答案】解：（1）设比例系数为k ，气体的流量速率v 关于管道半径r 的函数解析式为4v kr =.3.试用描点法画出函数2()f x x -=的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.描点，连线.图象如图所示.定义域：{|0}x x ≠，值域：{|0}y y >.2()f x x -=在(,0)-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函数.证明如下：设任意的12,(,0)x x ∈-∞，且12x x <.则22121212210,0,0,0x x x x x x x x <<∴+<>-> .()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，2()f x x -∴=在(,0)-∞上是增函数.120x x << ，222112210,0,0x x x x x x ∴+>>->()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >.2()f x x -∴=在(0,)+∞上是减函数.22()()()f x x x f x ---=-== 2()f x x -∴=是偶函数.第三章函数的概念与性质3.4函数的应用（一）P95练习1.若用模型2y ax =来描述汽车紧急刹车后滑行的距离y m 与刹车时的速度x /km h 的关系，而某种型号的汽车的速度为60/km h 时，紧急刹车后滑行的距离为20m .在限速100/km h 的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50m ，问这辆车是否超速行驶？【答案】由题意知点()60,20在函数2y ax =的图象上，∴这辆车没有超速行驶．2.某广告公司要为客户设计一幅周长为l （单位：m ）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？3.某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去，则：（1）设总成本为1y （单位：万元），单位成本为2y （单位：万元），销售总收入为3y （单位：万元），总利润为4y （单位：万元），分别求出它们关于总产量x （单位：件）的函数解析式；（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析.（2）画出40.1150y x =-的图象如图.由图象可知，当1500x <时，该公司亏损；当1500x =时，公司不赔不赚；当1500x >时，公司赢利.P95习题3.4综合运用1.某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50/km h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程()x km 表示为时间()t h （从A 地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数，并画出函数的图象．【答案】由题意得：路程()x km 表示为时间的函数：60,0 2.5,150,2.5 3.5,15050( 3.5),3.5 6.5.t t x t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪--<≤⎩图像如图：车速v()表示为时间的函数：60,0 2.5,0,2.5 3.5,50,3.5 6.5.t v t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪<≤⎩图像如图2.要建造一个容积为31200m ，深为6m 的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/2m ，池底的造价为135元/2m ，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内（精确到0.1m ）？【答案】解：设水池的长为xm ，宽为ym ；总造价为z 元；解得，6.431.3x；故水池的长在6.4m 到31.3m 时，才能使水池的总造价控制在7万元以内．3.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过312m 3元3/m 超过312m 但不超过318m 的部分6元3/m 超过318m 的部分9元3/m 若某户居民本月交纳的水费为48元，求此户居民本月用水量．【答案】设此户居民本月用水量为x ，当012x <≤时，348x =，解得16x =，不满足题意；当1218x <≤时，()31261248x ´+´-=，解得14x =，满足题意；P96拓广探索4.图（1）是某条公共汽车线路收支差额y 关于乘客量x 的图象.（1）试说明图（1）上点A ，点B 以及射线AB 上的点的实际意义；（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？【答案】解：（1）点A 的实际意义为：当乘客量为0时，公司亏损1（单位）；点B 的实际意义为：当乘客量为1.5时，公司收支持平；射线AB 上的点的实际意义为：当乘客量小于1.5时，公司将亏损；当乘客量大于1.5时，公司将赢利.（2）题图（2）的建议是：降低成本而保持票价不变；题图（3）的建议是：提高票价而保持成本不变.5.下表是弹簧伸长长度x （单位：cm ）与拉力F （单位：N ）的相关数据：x 14.228.841.357.570.2F12345描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式．【答案】如图，结合表中数据绘出函数图像：结合函数图像选择一次函数建立函数模型，设函数解析式为x kF b =+，取点()1,14.1、()4,57.5代入函数解析式中，得14.157.54k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得14.4k »，0.2b »-，故函数解析式为()14.40.20x F F =-³，经检验满足题意.复习参考题3P100复习巩固1.求下列函数的定义域：（1）y =（2）4||5y x =-.解得2x，故函数的定义域为[)2,+∞．故函数的定义域为{|4x x且5}x ≠．2.已知函数1()1xf x x-=+，求：（1）()1(1)f a a +≠-；（2）(1)(2)f a a +≠-.3.设221()1x f x x +=-，求证：（1）()()f x f x -=；（2）1()()f f x x=-．4.已知函数2()48f x x kx =--在[]5,10上具有单调性，求实数k 的取值范围.5.已知幂函数()y f x =的图象过点22,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单调性.()f x 既不是奇函数也不是偶函数，函数()f x 在()0,∞+上递减.6.某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数()()()214000400280000400x x x R x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪⎩，＝，＞，其中x 是“玉兔”的月产量.（1）将利润f (x )表示为月产量x 的函数；（2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润)【答案】由题意，当0400x时，2()4000.520000100f x x x x =---23000.520000x x =--；当400x >时，()8000010020000f x x =--60000100x =-；当0400x时，2()3000.520000f x x x =--；当300x =时，max ()(300)25000f x f ==(元)当400x >时，max ()(400)20000f x f <=(元)2500020000> ，∴当300x =时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．P101综合运用7.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩，求(1),(3),(1)f f f a -+的值.【答案】(1)1(14)5,(3)3(34)21f f =⨯+=-=-⨯--=.当10a +≥即1a ≥-时，(1)(1)(14)(1)(5)f a a a a a +=+++=++.当10a +<即1a <-时，(1)(1)(14)(1)(3)f a a a a a +=++-=+-.(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧∴+=⎨+-<-⎩8.证明：（1）若()f x ax b =+，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭.（2）若2()g x x ax b =++，则()()121222g x g x x x g ++⎛⎫≤⎪⎝⎭.9.请解决下列问题：（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上单调递减，那么它在[,]b a --上单调递增还是单调递减？（2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上单调递减，那么它在[,]b a --上单调递增还是单调递减？【答案】1）奇函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：任取12b x x a -≤<-≤，则21a x x b ≤-<≤-.因为()f x 在[,]a b 上是减函数，所以()()21f x f x ->-.又()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，于是()()21f x f x ->-，即()()12f x f x >.所以()f x 在[,]b a --上是减函数.（2）偶函数()g x 在[,]b a --上是增函数，证明如下：任取12b x x a -≤<-≤，则21a x x b ≤-<≤-.因为()g x 在[,]a b 上是减函数，所以()()21g x g x ->-.又()g x 是偶函数，所以()()g x g x -=.于是()()12g x g x <.所以()g x 在[,]b a --上是增函数.10.某地区上年度电价为0.8元/（kW h ⋅），年用电量为kW h a ⋅，本年度计划将电价下降到区间[]0.55,0.75（单位：元/（kW h ⋅）内，而用户期望电价为0.4元/（kW h ⋅）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k ）.该地区的电力成本价始终为0.3元/（kW h ⋅）.（1）写出本年度电价下调后电力部门的利润y （单位：元）关于实际电价x （单位，元/()kW h ⋅）的函数解析式；（2）设0.2k a =，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%？整理得：2 1.10.300.550.75x x x ⎧-+≥⎨≤≤⎩，解得0.60.75x ≤≤所以当电价最低定为0.6元/（kW h ⋅）时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%P101拓广探索11.经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？【答案】题图（1）中的曲线表示厂商希望的供应曲线；题图（2）中的曲线表示客户希望的需求曲线.从题图（1）观察，随着产品数量的上升，单价越来越高，可见是厂商希望的供应曲线；而题图（2）恰恰相反，当产品数量逐渐上升时，单价越来越低，由此判断是客户希望的需求曲线.12.试讨论函数1y x x=-的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象.【答案】定义域为{|0}x x ≠，值域为R .12,(,0)x x ∀∈-∞，且12x x <，则()()121212121212111x x x x y y x x x x x x -+⎛⎫-=---= ⎪⎝⎭.1212121212,(,0),0,0,10,0x x x x x x x x y y ∈-∞∴>-<+>∴-< ，即12y y <.1y x x∴=-在(,0)-∞上为增函数.12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则()()121212121x x x x y y x x -+-=.12,(0,)x x ∈+∞ ，且12121212,0,10,0x x x x x x x x <∴>+>-<.120y y ∴-<，即12y y <.1y x x ∴=-在(0,)+∞上为增函数.设111(),()()f x y x f x x x f x x x x ⎛⎫==--=--=--=- ⎪-⎝⎭ .1()f x y x x∴==-是奇函数.13.如图，OAB 是边长为2的正三角形，记OAB 位于直线()0x t t =>左侧的图形的面积为()f t .试求函数()y f t =的解析式，并画出函数()y f t =的图象.【答案】解：（1）当01t <时，如图，设直线x t =与OAB 分别交于C 、D 两点，则||OC t =，如图，设直线x t =与OAB 分别交于M 、N 两点，则||2AN t =-，14.某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下表所示的关系. x…30404550…y…6030150…（1）根据表中提供的数据描出实数对()x y ，的对应点，根据画出的点猜想y 与x 之间的函数关系，并写出一个函数解析式；（2）设经营此商品的日销售利润为P （单位：元），根据上述关系，写出P 关于x 的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？【答案】（1）如图，猜想y 与x 是一次函数关系，设(0)y ax b a =+≠.将(30,60),(40,30)代入得60303040a b a b =+⎧⎨=+⎩,解得3150a b =-⎧⎨=⎩.∴y 与x 的一次函数解析式为3150(0)y x x =-+>.max 300P =.∴销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润300元.。
部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案重点易错题
(名师选题)部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案重点易错题单选题1、若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是（）A．[−1,1]∪[3,+∞)B．[−3,−1]∪[0,1]C．[−1,0]∪[1,+∞)D．[−1,0]∪[1,3]2、设a为实数，定义在R上的偶函数f(x)满足：①f(x)在[0,+∞)上为增函数；②f(2a)<f(a+1)，则实数a 的取值范围为（）A．(−∞,1)B．(−13,1)C．(−1,13)D．(−∞,−13)∪(1,+∞)3、设函数f(x)=x3−1x3,则f(x)（）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减4、已知f(x)是一次函数，2f(2)−3f(1)=5，2f(0)−f(−1)=−1，则f(x)=（）A．3x+2B．3x−2C．2x+3D．2x−35、设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则A．f(log314)>f(2−32)>f(2−23)B．f(log314)>f(2−23)>f(2−32)C．f(2−32)>f(2−23)>f(log314)D．f(2−23)>f(2−32)>f(log314)6、已知函数f(1x+1)=2x+3．则f(2)的值为（）A．6B．5C．4D．37、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x+4)，且f(x+1)是奇函数，则（）A．f(x)是偶函数B．f(x)的图象关于直线x=12对称C．f(x)是奇函数D．f(x)的图象关于点(12,0)对称8、下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为（）A．f(x)=x2+4B．f(x)=1−2xC．f(x)=−x2−x+1D．f(x)=2−3x多选题9、已知函数f(x)是一次函数，满足f(f(x))=9x+8，则f(x)的解析式可能为（）A．f(x)=3x+2B．f(x)=3x−2C．f(x)=−3x+4D．f(x)=−3x−410、已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，且f(xy)=f(x)+f(y)，当x>1时，f(x)<0，f(2)=−1，则下列说法正确的是（）A．f(1)=0B．函数f(x)在(0,+∞)上是减函数C．f(12022)+f(12021)+⋅⋅⋅+f(13)+f(12)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(2021)+f(2022)=2022D．不等式f(1x)−f(x−3)≥2的解集为[4,+∞)11、已知函数f(x)={−x 2−2x,x≤mx−4,x>m，如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围可以是（）A．m<−2B．−2≤m<0C．0≤m<4D．m≥4.填空题12、若函数y=2x+3x+2的值域是____.13、（1）函数y=x45的定义域是________，值域是________；（2）函数y=x−25的定义域是________，值域是________；（3）函数y=x 32的定义域是________，值域是________；（4）函数y=x−34的定义域是________，值域是________．部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案(三)参考答案1、答案：D分析：首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数f(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.因为定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减，且f(−2)=0，f(0)=0，所以当x∈(−∞,−2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x∈(−2,0)∪(2,+∞)时，f(x)<0，所以由xf(x−1)≥0可得：{x<0−2≤x−1≤0或{x>00≤x−1≤2或x=0解得−1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，故选：D.小提示：本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.2、答案：B分析：利用函数的奇偶性及单调性可得|2a|<|a+1|，进而即得.因为f(x)为定义在R上的偶函数，在[0,+∞)上为增函数，由f(2a)<f(a+1)可得f(|2a|)<f(|a+1|)，∴|2a|<|a+1|，解得−13<a<1.故选：B.3、答案：A分析：根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x≠0}，利用定义可得出函数f(x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．因为函数f(x)=x3−1x3定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(−x)=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数．又因为函数y =x 3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增， 而y =1x 3=x −3在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递减， 所以函数f(x)=x 3−1x 3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增．故选：A ．小提示：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 4、答案：D分析：设出函数f(x)的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.依题意，设f(x)=kx +b,k ≠0，则有{2(2k +b)−3(k +b)=52b −(−k +b)=−1，解得k =2,b =−3，所以f(x)=2x −3. 故选：D 5、答案：C解析：由已知函数为偶函数，把f (log 314) , f (2−32) , f (2−23)，转化为同一个单调区间上，再比较大小．∵f (x )是R 的偶函数，∴f (log 314)=f (log 34)．∵log 34>log 33=1,1=20>2−23>2−32,∴log 34>2−23>2−32， 又f (x )在(0，+∞)单调递减， ∴f (log 34)<f (2−23)<f (2−32)，∴f (2−32)>f (2−23)>f (log 314)，故选C ．小提示：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 6、答案：B分析：根据题意，令1x +1=2可得x 的值，将x 的值代入f(1x +1)=2x +3，即可得答案． 解：根据题意，函数f(1x +1)=2x +3，若1x +1=2，解可得x =1， 将x =1代入f (1x +1)=2x +3，可得f (2)=5， 故选：B ．7、答案：C分析：由周期函数的概念易知函数f (x )的周期为2，根据图象平移可得f (x )的图象关于点(1,0)对称，进而可得奇偶性.由f (x +2)=f (x +4)可得2是函数f (x )的周期，因为f (x +1)是奇函数，所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称， 所以f (x )=−f (2−x )，f (x )=−f (−x )，所以f (x )是奇函数， 故选：C. 8、答案：D分析：根据各个函数的性质逐个判断即可对A ，f (x )=x 2+4二次函数开口向上，对称轴为y 轴，在(−∞,0)是减函数，故A 不对． 对B ，f (x )=1−2x 为一次函数，k <0，在(−∞,0)是减函数，故B 不对．对C ，f (x )=−x 2−x +1，二次函数，开口向下，对称轴为x =−12，在(−∞,−12)是增函数，故C 不对．对D ，f (x )=2−3x 为反比例类型，k <0，在(−∞,0)是增函数，故D 对． 故选：D 9、答案：AD分析：设f (x )=kx +b ，代入f(f (x ))=9x +8列方程组求解即可. 设f (x )=kx +b ，由题意可知f(f (x ))=k (kx +b )+b =k 2x +kb +b =9x +8，所以{k 2=9kb +b =8，解得{k =3b =2 或{k =−3b =−4 ， 所以f (x )=3x +2或f (x )=−3x −4. 故选：AD. 10、答案：ABD分析：利用赋值法求得f (1)=0，判断A ；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用f (xy )=f (x )+f (y )，可求得C 中式子的值，判断C ；求出f (14)=f (12)+f (12)=2，将f (1x )−f (x −3)≥2转化为f (1x )+f (1x−3)≥f (14)，即可解不等式组求出其解集，判断D. 对于A ，令x =y =1 ，得f (1)=f (1)+f (1)=2f (1)，所以f (1)=0，故A 正确； 对于B ，令y =1x >0，得f (1)=f (x )+f (1x )=0，所以f (1x )=−f (x )， 任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)−f (x 1)=f (x 2)+f (1x 1)=f (x2x1)，因为x 2x 1>1，所以f (x2x1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)，所以f (x )在(0,+∞)上是减函数，故B 正确；对于C ，f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022)=f (12022×2022)+f (12021×2021)+⋅⋅⋅+f (13×3)+f (12×2)=f (1)+f (1)+⋅⋅⋅+f (1)+f (1)=0，故C 错误；对于D ，因为f (2)=−1，且f (1x )=−f (x )，所以f (12)=−f (2)=1， 所以f (14)=f (12)+f (12)=2，所以f (1x )−f (x −3)≥2等价于f (1x )+f (1x−3)≥f (14)，又f (x )在(0,+∞)上是减函数，且f (xy )=f (x )+f (y )，所以{1x (x−3)≤141x >01x−3>0 ，解得x ≥4，故D 正确, 故选:ABD ． 11、答案：BD解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数y =−x 2−2x,y =x −4的图象，观察函数图象即可得出答案. 在同一平面直角坐标系中，作出函数y =−x 2−2x,y =x −4的图象，如图，由图象可知，当−2≤m<0时，函数f (x)有两个零点−2和4，当m≥4时，函数f(x）有两个零点−2和0. 故选：BD12、答案：(－∞，2)∪(2，+∞)分析：利用分离常数法去求函数y=2x+3x+2的值域即可∵y=2−1x+2，∴y≠2，∴函数的值域是：(－∞，2)∪(2，+∞).所以答案是：(－∞，2)∪(2，+∞)13、答案：R[0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)(0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)(0,+∞)(0,+∞)分析：画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域（1）幂函数y=x 45图像如图所示，定义域为R，值域为[0,+∞),（2）幂函数y=x−25图像如图所示，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，值域为(0,+∞),（3）幂函数y=x 32图像如图所示，定义域为[0,+∞)，值域为[0,+∞),（4）幂函数y=x−34图像如图所示，定义域为(0,+∞)，值域为(0,+∞),所以答案是：（1）R;[0,+∞), （2）(−∞,0)∪(0,+∞);(0,+∞), （3）[0,+∞);[0,+∞),（4）(0,+∞);(0,+∞).。
人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试卷(包含答案解析)(2)
一、选择题1．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，当0x y <<时，都有()()f x f y >，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为（ ）A ．[)1,0-B ．[)4,0-C ．(]3,4D ．[)(]1,03,4-2．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数：()coshxf x c a c a =+=2xx aae e a -++⋅（e 为自然对数的底数）．当0c ，1a =时，记(1)p f =-，12m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(2)n f =，则p ，m ，n 的大小关系为（ ）．A ．p m n <<B ．n m p <<C ．m p n <<D ．m n p <<3．对于实数a 和b ，定义运算“*”：,,,.b a b a b a a b ≤⎧*=⎨>⎩设()f x x =，()224g x x x =--+，则()()()M x f x g x =*的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知()f x 为奇函数，且当0x >时，()2f x x =-，则1()2f -的值为（ ）A ．52- B ．32- C ．32D ．525．已知函数(1)f x +为偶函数，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，则满足不等式(21)(3)f x f x ->的x 的解集是（ ）A ．31,5⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭6．定义在R 上的奇函数()f x 满足()10f =，且对任意的正数a 、b （ab ），有()()0f a f b a b -<-，则不等式()202f x x -<-的解集是（ ）A ．()()1,12,-+∞B ．()(),13,-∞-+∞C ．()(),13,-∞+∞ D ．()(),12,-∞-+∞7．已知函数()2sin tan 1cos a x b xf x x x +=++，若()10100f =，则()10f -=（ ）A ．100-B ．98C ．102-D ．1028．函数f (x )的值域为( ) A ．[－43,43] B ．[－43,0] C ．[0,1]D ．[0,43] 9．已知函数()3()log 91xf x x =++，则使得()2311log 10f x x -+-<成立的x 的取值范围是（ ） A．0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)D ．(,1)-∞10．已知函数3()201920191x x f x x -=-++，则关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+>的解集为（ ）A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．函数1()lg f x x=+ ） A ．(0,2] B ．(0,2) C ．(0,1)(1,2]⋃D ．(,2]-∞12．设函数()()212131log 1313x xe e xf x x --=++++，则做得()()31f x f x ≤-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．若函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩，，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2-<+f m x f x m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(),4-∞-B ．(),2-∞-C ．()2,2-D ．(),0-∞14．现有下列四个结论中，其中正确结论的个数是（ ） ①幂函数()k yx k Q =∈的图象与函数1y x =的图象至少有两个交点；②函数()30xy k k =⋅>（k 为常数）的图象可由函数3xy =的图象经过平移得到；③函数11(0)312xy x x ⎛⎫=+≠⎪-⎝⎭是偶函数； ④函数21lg ||x y x +=无最大值，也无最小值；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．函数2222(1)ln 2(1)x y x x +=-⋅+的部分图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题16．已知函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立，则a 的取值范围是_________.17．已知a R ∈，函数229()f x x a a x =++-在区间[3,1]--上的最大值10，则a 的取值范围是__________．18．定义在[0,)+∞上的函数()y f x =满足：（1）(2)0f =；（2）当02x <<时，()0f x ≠；（3）任意的,0x y >总有()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅成立．则1(3)2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．19．函数22y x x c =--在[]0,a 上的最大值为b ，则b a -最小值为__________．20．已知函数()()11xf x x x =>-，())2g x x x ≥，若存在函数()(),F x G x 满足：()()()()()(),G x F x f x g x g x f x =⋅=，学生甲认为函数()(),F x G x 一定是同一函数，乙认为函数()(),F x G x 一定不是同一函数，丙认为函数()(),F x G x 不一定是同一函数，观点正确的学生是_________.21．设f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x +2x +m ，则f （﹣1）=_______. 22．设函数()f x 在定义域(0，+∞)上是单调函数，()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______． 23．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()21f =-，对任意的x ∈R 都有()()2f x f x =--，则()2020f =_________.24．已知函数()()()()22sin 1R f x x x x x a a =--++∈在区间[]1,3-上的最大值与最小值的和为18，则实数a 的值为______．25．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为__________． 26．已知函数1()22x x f x =-，则满足()()2560f x x f -+>的实数x 的取值范围是________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】采用赋值法，令1x y ==求得()10f =，同理可求()21f =-，()42f =-； 化()()32f x f x -+-≥-为()()234f x x f -≥，再结合单调性解不等式得结果.【详解】令1x y ==，得()()121f f =即()10f =，令12x =，2y =则()()1122f f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()21f =-，令2x y ==，()()()4222f f f =+=-，所以由()()32f x f x -+-≥-得()()234f x x f -≥；又因为函数()f x 的定义域为()0,∞+，且0x y <<时，都有()()f x f y >，所以203034x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≤⎩ 即0314x x x <⎧⎪<⎨⎪-≤≤⎩所以10x -≤<， 即不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为[)1,0-. 故选：A 【点睛】思路点晴：抽象函数往往通过赋值法来解决问题.2．C解析：C 【分析】先利用导数证明函数()f x 在区间0,上单调递增，再结合单调性比较大小即可.【详解】由题意知，()2x x e e f x -+=，21()22x x x xe e ef x e--+-'== 当0x >时，()0f x '>，即函数()f x 在区间0,上单调递增1(1)(1)2e ef f -+-==10122<<<，1(1)(2)2f f f ⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭，即m p n << 故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用导数证明函数()f x 的单调性，再结合单调性比较大小.3．B解析：B 【分析】由题意可得()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩，通过解不等式得出()()2241,1,2x x x M x x x ⎧⎤--+∈⎪⎥⎪⎣⎦=⎨⎛-⎪∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎩，作出函数()M x 的图象，根据函数图象可得答案. 【详解】由条件有()()()()()()()()()g x f x g x M x f x g x f x f x g x ⎧≤⎪=*=⎨>⎪⎩当0x ≥时，()224g x x x x =--+≥，得到01x ≤≤， 即01x ≤<时，()()f x g x <，当1x >时，()()f x g x > 当0x <时，()224g x x x x =--+≤-，得117x --≤即当117x --≤时，()()f x g x >，当1170x --<<时，()()f x g x <所以()()211724,1117,1,x x x M x x x ⎧⎡⎤----+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫--⎪∈-∞⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩作出函数()M x 的图象，如图所示，由图可得，当1x =时，()M x 有最小值1 故选：B4．C解析：C 【分析】根据函数为奇函数可知1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据0x >时()f x 的解析式可求解出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，则12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值可求. 【详解】因为()f x 为奇函数，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为1132222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以113222f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：C.关键点点睛：解答本题的关键是利用奇偶性的定义将计算12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值转化为计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，从而根据已知条件完成求解.5．A解析：A 【分析】根据题意，分析可得()f x 的图象关于直线1x =对称，结合函数的单调性可得(21)(3)f x f x ->等价于|22||31|x x ->-，两边平方解得x 的取值范围，即可得答案．【详解】因为函数(1)f x +为偶函数，所以(1)y f x =+的图象关于直线0x =对称， 因为(1)y f x =+的图象向右平移1个单位得到()y f x =的图象， 则()y f x =的图象关于直线1x =对称， 又因为()f x 在区间[1，)+∞上单调递增， 所以()f x 在区间(],1-∞上单调递减，所以()f x 的函数值越大，自变量与1的距离越大， ()f x 的函数值越小，自变量与1的距离越小，所以不等式(21)(3)f x f x ->等价于|22||31|x x ->-， 两边平方()()()()2222315310x x x x ->-⇒-+<， 解得315x -<<， 即不等式的解集为31,5⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．6．C解析：C 【分析】易知函数()f x 在()0,∞+上单调递减，令2t x =-，将不等式()0f t t<等价为()00t f t >⎧⎨<⎩或()00t f t <⎧⎨>⎩，进一步求出答案.∵对任意的正数a 、b （ab ），有()()0f a f b a b-<-，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递减， ∴()f x 在(),0-∞上单调递减. 又∵()10f =，∴()()110f f -=-= 令2t x =-所以不等式()0f t t <等价为()00t f t >⎧⎨<⎩或()00t f t <⎧⎨>⎩∴1t >或1t <-， ∴21x ->或21x -<-， ∴3x >或1x <，即不等式的解集为()(),13,-∞⋃+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性和奇偶性以及不等式的知识点，考查逻辑思维能力，属于基础题.7．D解析：D 【分析】令()()21g x f x x =--，根据奇偶性定义可判断出()g x 为奇函数，从而可求得()()10101g g -=-=，进而求得结果.【详解】令()()2sin tan 1cos a x b xg x f x x x+=--=()()()()()sin tan sin tan cos cos a x b x a x b xg x g x x x-+---∴-===--()g x ∴为奇函数又()()210101011g f =--=- ()()10101g g ∴-=-=即()()2101011f ----= ()10102f ∴-=本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，关键是能够通过构造函数的方式得到奇函数，利用奇函数的定义可求得对应位置的函数值.8．C【解析】令cos ,[0,π]x θθ=∈，则sin 1()()cos 2f xg θθθ-==-的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)上的动点(cos ,sin )M θθ与点(2,1)A 连线的斜率k ，由图象，得01k ≤≤，即函数()f x 的值域为[0,1]，故选C.点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，21x -sin 1cos 2θθ--的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.9．C解析：C 【分析】令21t x x =-+，则3()1log 10f t -<，从而33log (91)1log 10tt ++-<，即可得到133log (91)log (91)1t t ++<++，然后构造函数3()log (91)t g t t =++，利用导数判断其单调性，进而可得23114x x ≤-+<，解不等式可得答案 【详解】令21t x x =-+，则221331()244t x x x =-+=-+≥， 3()1log 10f t -<，所以33log (91)1log 10tt ++-<，所以133log (91)log (91)1t t ++<++，令3()log (91)tg t t =++，则9ln 929'()11(91)ln 391t tt t g t ⨯=+=+++，所以90t >，所以'()0g t >， 所以()g t 在3[,)4+∞单调递增， 所以由()(1)g t g <，得314t ≤<，所以23114x x ≤-+<，解得01x <<， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t ++<++，再构造函数3()log (91)tg t t =++，利用函数的单调性解不等式.10．A解析：A 【分析】可知()f x 在R 上是单调递增函数，且()()2f x f x +-=，则不等式等价于(21)(2)f x f x ->-，解出即可.【详解】3()201920191x x f x x -=-++，()f x ∴在R 上是单调递增函数，()3201920191x x f x x ---=+-，()()2f x f x ∴+-=，则()()222f x f x -=-，(21)(2)2f x f x -+>，(21)2(2)(2)f x f x f x ->-=-∴，212x x ∴->-，解得14x >， 故不等式的解集为1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查抽象函数不等式的求解，解题的关键是判断出函数的单调性，得出()()2f x f x +-=，将不等式化为(21)(2)f x f x ->-求解. 11．C解析：C 【分析】对数的真数大于零，分母不为零，偶次根式要求被开方式大于等于零，依据以上三点，列不等式求解. 【详解】欲使函数有意义，则0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩，即012x x x >⎧⎪≠⎨⎪≤⎩解得()(]0,11,2x ∈⋃故选：C . 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关求函数定义域的问题，在求解的过程中，注意： （1）对数要求真数大于0； （2）分式要求分母不等于0； （3）偶次根式要求被开方式大于等于0.12．D解析：D 【分析】先判断()f x 是偶函数且在0,上递减，原不等式转化为31x x ≥-，再解绝对值不等式即可. 【详解】()()()211221133111log 13log 131313x x xxe e e e xxf x x x ---⎛⎫=+++=+++ ⎪++⎝⎭，()121311log 1,,313x xe e xy x y y -⎛⎫=+== ⎪+⎝⎭在0,上都递减所以()f x 在0,上递减，又因为()()()()121311log 1313x xe e xf x x f x ----⎛⎫-=+-++= ⎪+⎝⎭，且()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数， 所以()()()()313131f x f x f x f x x x ≤-⇔≤-⇔≥-，可得113142x x x x -≤-≤⇒≤≤，x 的取值范围是11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：D. 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.13．B解析：B 【分析】先判断函数的单调性，然后解答不等式，在恒成立的条件下求出结果 【详解】依题意得：函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩，在x ∈R 上单调递减， 因为()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1x m m ∈+上恒成立，所以2(1)m m +<，即2m <-，故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性的应用，结合函数的单调性求解不等式，需要掌握解题方法14．A解析：A 【分析】①举反例说明命题为假；②应该是伸缩变换，可以判断出命题为假；③由奇偶函数的定义判断处函数为偶函数，可得命题为真； ④将函数变形，由均值不等式的性质可得最小值，可得命题为假． 【详解】 解：①取幂函数2y x ，显然与1y x=仅有一个交点，所以①不正确；②函数()30xy k k =⋅>（k 为常数）的图象可由函数3xy =的图象经过伸缩得到，所以②不正确；③设()y f x =，由()()()3111,0312231x xxx f x x x +⎛⎫=+=≠ ⎪--⎝⎭，定义域关于原点对称， 则()()()()()()3131231231x x x x x x f x f x ---++-===--，()f x ∴是偶函数，故③正确；④函数215lg lg ||||||x y x x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭， 而lg y u =在定义域上单调递增，所以函数21lg ||x y x +=有最小值无最大值，所以④不正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查指对幂函数的性质，属于基础题.15．C解析：C 【详解】函数()()22221ln 21x y x x +=-⋅+是偶函数，排除AD;且222222(1)2,02(1)x x x x ++≥+∴≤+ 当01,0,10.x y x y <<>==时当时， 排除B,选C.点睛：这个题目考查的是由函数的解析式画函数的图象；一般这种题目是排除法来做的；先找函数的定义域，值域，看是否和解析式相符；再看函数的对称性，奇偶性，看两者是否相符；还有可以判断函数的极限值．二、填空题16．【分析】由题意把函数在上恒成立转化为对上恒成立列不等式解得a 的范围【详解】恒成立即恒成立所以时显然不成立当时得所以故答案为：【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一处理的方法有两种：①不分离参数直接解析：4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意，把函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立转化为2430ax x -+>对x ∈R 上恒成立，列不等式解得a 的范围. 【详解】()()23log 440f x x x α=-+>恒成立，即()2233log 44log 1430ax x ax x -+>⇔-+>恒成立，所以0a =时显然不成立.当0a ≠时()0Δ16120a a >⎧⎨=-<⎩得43a <，所以4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一，处理的方法有两种：①不分离参数，直接求最大值或最小值，解不等式；②分离参数法.（2）解指、对数型的不等式，通常化为同底的结构，利用函数的单调性解不等式.17．【分析】求出的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系可得的范围【详解】时当且仅当时等号成立又或时所以而的最大值为10所以的最大值为所以解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查函数的最值掌握绝对 解析：[8,)-+∞【分析】 求出229x x+的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系，可得a 的范围． 【详解】[3,1]x ∈--时，2[1,9]x ∈，2296x x +≥=，当且仅当23x =时等号成立， 又1x =-或3x =-时，22910x x +=，所以229610a x a a x+≤++≤+， 而()f x 的最大值为10，所以229x a x ++的最大值为10a +， 所以100610a a a +≥⎧⎨+≤+⎩，解得8a ≥-．故答案为：[8,)-+∞． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的最值．掌握绝对值的性质是解题关键．当0a b >≥时，a b >，当0a b 时，a b <，当0a b >>时，0a b +>，则a b >，0a b +<时，a b <．18．【分析】先令求得再令可得结合已知条件可得从而可得答案【详解】解：令则由得因为所以令则因为当时；所以所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题解题的关键是结合已知条件正确赋值令解析：43【分析】先令1,2x y ==，求得(3)0f =，再令31,22x y ==，可得311(())()(2)222f f f f ⋅=，结合已知条件可得1()2f ，从而可得答案 【详解】解：令1,2x y ==，则由()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅得((2))(2)(12)f f f f ⋅=+， 因为(2)0f =，所以(3)0f =，令31,22x y ==，则311(())()(2)222f f f f ⋅=， 因为(2)0f =，当02x <<时，()0f x ≠；所以31(())0(2)22f f f ==， 所以31()222f =，所以14()23f =， 所以14(3)23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故答案为：43【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题，解题的关键是结合已知条件正确赋值，令31,22x y ==，则311(())()(2)222f f f f ⋅=，由(2)0f =，当02x <<时，()0f x ≠，可得31()222f =，从而得14()23f = 19．【分析】对称轴是因此的最大值在中取得然后分类讨论当时在中取得时在中取得求出然后作差根据不等式的性质求得的最大值【详解】设的对称轴是显然的最大值在中取得当时时此时若即时若时若时若即时时取等号若即时时取解析：32-【分析】22()2(1)1g x x x c x c =--=---，对称轴是1x =，因此()g x 的最大值在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．然后分类讨论，当02a <<时，在(0)g ，(1)g 中取得，2a ≥时，在(1)g ，()g a 中取得．求出b ，然后作差b a -，根据不等式的性质求得b a -的最大值． 【详解】设22()2(1)1g x x x c x c =--=---，(0)g c =-，(1)1g c =--，2()2g a a a c =--，()g x 的对称轴是1x =，显然()y g x =的最大值在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．当02a <<时，10c --≥，1c ≤-时，(0)b g c c ==-=-，此时b a c a -=--121>-=-，10c --<，若1c c --≤-，即112c -<≤-时，(0)b g c c ==-=-，13222b ac a -=-->-=-， 若1c c -->-，12c >-时，(1)111b g c c c ==--=+=+，1311222b ac a -=+->--=-，若2a ≥时，若212c a a c --≤--，即2212a a c --≤时，22()22b g a a a c a a c ==--=--，222221(2)3333222a a ab a a ac a a -----=--≥--=≥-，2a =时取等号，若212c a a c -->--，即2212a a c -->时，(1)11b gc c ==--=+1c =+，222141311222a a a ab ac a a ---+-=+->+-=≥-，2a =时取等号．综上所述，b a -的最小值是32-． 故答案为：32-． 【点睛】方法点睛：本题考查绝对值的最大值问题，解题关键是求出最大值b ，方法是分类讨论，由于有绝对值符号，引入二次函数2()2g x x x c =--后确定b 只能在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．然后分类讨论求得最大值．才可以作差b a -得其最小值．20．甲【分析】由题意求出的解析式依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同即可得出结论【详解】解得所以故答案为:甲【点睛】本题主要考查两函数为同一函数的条件：定义域和对应关系相同；正确求出两函数的解析：甲 【分析】由题意求出()(),F x G x 的解析式,依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同,即可得出结论. 【详解】()()11xf x x x =>-,())2g x x =≥, ()()11xf x x x ∴=>-, ())21x F x x x ∴==≥-,()()()G x g x f x =, ())21G x x x x ∴=≥-, 解得())2G x x =≥,所以()())2F x G x x ==≥.故答案为:甲 【点睛】本题主要考查两函数为同一函数的条件：定义域和对应关系相同；正确求出两函数的解析式和定义域是求解本题的关键;属于易错题;21．【分析】由函数是上的奇函数求得得到当时函数再由即可求解【详解】由题意因为函数是上的奇函数则解得即当时函数又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用以及函数值的求解其中解答中熟练应用函数的 解析：3-【分析】由函数()f x 是R 上的奇函数，求得1m =-，得到当0x ≥时，函数()221x f x x =+-，再由()()11f f -=-，即可求解. 【详解】由题意，因为函数()f x 是R 上的奇函数，则()002200f m =+⨯+=，解得1m =-，即当0x ≥时，函数()221xf x x =+-，又由()()111(2211)3f f -=-=-+⨯-=-.故答案为：3-. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数值的求解，其中解答中熟练应用函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22．【分析】先利用换元法求出然后再用分离变量法借助函数的单调性解决问题【详解】解：由题意可设则∵∴∴∴∴由得∴对恒成立令则由得∴在上单调递减在单调递增∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的 解析：(],21e -∞-【分析】先利用换元法求出()f x ，然后再用分离变量法，借助函数的单调性解决问题． 【详解】解：由题意可设()xf x e x t -+=，则()xf x e x t =-+，∵()xf f x e x e ⎡⎤-+=⎣⎦，∴()ttf t e t t e e =-+==，∴1t =，∴()1xf x e x =-+，∴()1xf x e '=-，由()()f x f x ax '+≥得11x x e x e ax -++-≥，∴21x e a x≤-对()0,x ∈+∞恒成立，令()21xe g x x =-，()0,x ∈+∞，则()()221'x e x g x x-=， 由()'0g x =得1x =，∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增， ∴()()121g x g e ≥=-， ∴21a e ≤-，故答案为：(],21e -∞-． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用函数的单调性解决恒成立问题，属于中档题．23．1【分析】根据题意由函数的奇偶性分析可得进而可得即函数是周期为4的周期函数据此可得（4）（2）即可得答案【详解】根据题意函数是定义在上的偶函数对任意的都有则即函数是周期为4的周期函数故答案为：1【点解析：1 【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得()(2)f x f x =--，进而可得()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得(2020)(44504)f f f =+⨯=（4）f =-（2），即可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()(2)f x f x =--，则()(2)f x f x =--，∴()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，(2020)(44504)(4)(2)1f f f f =+⨯==-=，故答案为：1 【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性、周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期．24．8【分析】利用换元法令则所以原函数变为令则函数为奇函数且推出进而求出的值【详解】令则所以原函数变为令则函数为奇函数且所以所以因为为奇函数所以所以所以故答案为：8【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用考查解析：8 【分析】利用换元法令1t x =-，则[]2,2t ∈-，所以原函数变为()21sin 1y t t t a =-+++，令()()21sin g t t t t =-+，[]2,2t ∈-，则函数g t 为奇函数且()1y g t a =++，推出()()max min 0g t g t +=，()()max min 2218g t g t a +=+=，进而求出a 的值【详解】令1t x =-，则[]2,2t ∈-，所以原函数变为()21sin 1y t t t a =-+++，令()()21sin g t t t t =-+，[]2,2t ∈-，则函数g t 为奇函数且()1y g t a =++，所以()()max max 1f x g t a =++，()()min min 1f x g t a =++， 所以()()()()max min max min 22f x f x g t g t a +=+++． 因为g t 为奇函数，所以()()max min 0g t g t +=，所以()()max min 2218g t g t a +=+=，所以8a =．故答案为：8 【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用，考查换元法的应用，属于基础题25．【解析】当时由即则即当时由得解得则当时不等式的解为则由为偶函数当时不等式的解为即不等式的解为或则由或解得：或即不等式的解集为点睛：本题是一道关于分段函数的应用的题目考查了不等式的求解以及函数的图象问 解析：4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或 【解析】当102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，由()1 2f x =，即1 2cos x π= 则 3x ππ=，即1 3x =当12x >时，由()1 2f x =，得121?2x -=，解得3 4x = 则当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤ 则由()f x 为偶函数∴当0x <时，不等式()12f x ≤的解为3143x -≤≤-即不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤或3143x -≤≤- 则由13134x ≤-≤或31143x -≤-≤- 解得：4734x ≤≤或1243x ≤≤ 即不等式()112f x -≤的解集为4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或 点睛：本题是一道关于分段函数的应用的题目，考查了不等式的求解以及函数的图象问题．先求出当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域()12f x ≤的解，即可得到结论． 26．【分析】根据题意由奇函数的定义可得函数为奇函数由函数单调性的性质可得函数在上为减函数；据此可得解可得的取值范围即可得答案【详解】解：根据题意函数即函数为奇函数又由在上为减函数在上增函数与则函数在上为 解析：(2,3)【分析】根据题意，由奇函数的定义可得函数()f x 为奇函数，由函数单调性的性质可得函数()f x 在R 上为减函数；据此可得()()()22560(5)6f x x f f x x f -+>⇒->-22(5)(6)56f x x f x x ⇒->-⇒-<-，解可得x的取值范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数1()22x x f x =-，11()2(2)()22x xx xf x f x ---=-=--=-，即函数()f x 为奇函数， 又由12x y =在R 上为减函数，2x y =-在R 上增函数与，则函数()f x 在R 上为减函数， 则()()2560f x x f -+>()2(5)6f x x f ∴->-2(5)(6)f x x f ∴->- 256x x ∴-<-，解可得：23x <<， 即x 的取值范围为(2,3)； 故答案为：(2,3) 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x 的不等式，属于基础题．。
人教A版高中数学第一册(必修1)第三章 函数的概念与性质7：章末检测卷(三)
章末检测卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列所示的图形中，可以作为函数y ＝f (x )的图象是( )『解 析』 作直线x ＝a 与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，∴y 是x 的函数，那么直线x ＝a 移动中始终与曲线只有一个交点，于是可排除A ，B ，C ，只有D 符合，故选D. 『答 案』 D2.函数f (x )＝1＋x ＋1x 的定义域是( ) A.『－1，＋∞) B.(－∞，0)∪(0，＋∞) C.『－1，0)∪(0，＋∞)D.R『解 析』 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，x ≠0，解得－1≤x <0或x >0，区间表示为『－1，0)∪(0，＋∞)，故选C. 『答 案』 C3.下列函数中，与函数y ＝x (x ≥0)有相同图象的一个是( )A.y ＝x 2B.y ＝(x )2C.y ＝3x 3D.y ＝x 2x『解 析』 y ＝x 2＝|x |，x ∈R ；y ＝(x )2＝x ，x ≥0；y ＝3x 3＝x ，x ∈R ；y ＝x 2x＝x ，x >0，所以选B. 『答 案』 B4.幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( )A.(0，＋∞)B.『0，＋∞)C.(－∞，0)D.(－∞，＋∞)『解 析』 设幂函数y ＝x α，则2α＝14，解得α＝－2，所以y ＝x －2，故函数y ＝x－2的单调递增区间是(－∞，0).『答 案』 C5.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A.y ＝x B.y ＝|x |＋1 C.y ＝－x 2＋1D.y ＝－1x『解 析』 A ：y ＝x 是奇函数，故不符合题意；B ：y ＝|x |＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；C ：y ＝－x 2＋1是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，不合题意，D ：y ＝－1x 是奇函数，不合题意.故『答 案』为B. 『答 案』 B6.已知f (x )是一次函数，且f 『f (x )』＝x ＋2，则f (x )＝( ) A.x ＋1 B.2x －1 C.－x ＋1D.x ＋1或－x －1『解 析』 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f 『f (x )』＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝1，kb ＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，故选A.『答 案』 A7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －7 （x ≤1），a x （x >1）是R 上的增函数，则a 的取值范围是( ) A.『－4，0) B.(－∞，－2』 C.『－4，－2』D.(－∞，0)『解 析』 ∵f (x )在R 上为增函数，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－1－a －7≤a ，即－4≤a ≤－2，故选C. 『答 案』 C8.已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且对任意x 1，x 2∈(－∞，0』，当x 1≠x 2时总有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则满足f (1－2x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13>0的x 的范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23『解 析』 由题意，f (x )在(－∞，0』上是增函数，又f (x )是定义域为R 的偶函数，故f (x )在『0，＋∞)上是减函数.由f (1－2x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13>0可得f (1－2x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f (|1－2x |)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以|1－2x |<13，解得13<x <23. 『答 案』 A二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)9.已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且在区间『a ，b 』(a <b <0)上的值域为『－3，4』，则在区间『－b ，－a 』上( ) A.有最大值4 B.有最小值－4 C.有最大值3D.有最小值－3『解 析』 法一 根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，故选BC.法二 当x ∈『－b ，－a 』时，－x ∈『a ，b 』， 由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )， 即－3≤－f (x )≤4，∴－4≤f (x )≤3，即在区间『－b ，－a 』上f (x )min ＝－4，f (x )max ＝3， 故选BC. 『答 案』 BC10.已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1的定义域为(－2，3)，则函数f (|x |)的单调递增区间是( ) A.(－∞，－1) B.(－3，－1) C.(0，1)D.(1，3)『解 析』 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1的定义域为(－2，3)，对称轴为直线x ＝1，开口向下，所以函数f (|x |)满足－2<|x |<3，所以－3<x <3. 又f (|x |)＝－x 2＋2|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，0≤x <3，－x 2－2x ＋1，－3<x <0，且y ＝－x 2－2x ＋1图象的对称轴为直线x ＝－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数f (|x |)的单调递增区间是(－3，－1)和(0，1).故选BC. 『答 案』 BC11.某位同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，x 1，x 2∈D .①若当f (x 1)＋f (x 2)＝0时，都有x 1＋x 2＝0，则函数y ＝f (x )是D 上的奇函数； ②若当f (x 1)<f (x 2)时，都有x 1<x 2，则函数y ＝f (x )是D 上的增函数. 则下列说法正确的有( ) A.①是真命题 B.①是假命题 C.②是真命题D.②是假命题『解 析』 对于命题①，由于函数的定义域是否关于原点对称不明确，因此不符合奇函数的定义，错误；对于命题②，由于x 1，x 2是否具有任意性不明确，不符合单调性的定义.所以两个都是假命题，故选BD. 『答 案』 BD12.已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.若a ，b ∈R ，且f (a )＋f (b )的值为负值，则下列结论可能成立的有( ) A.a ＋b >0，ab <0 B.a ＋b <0，ab >0 C.a ＋b <0，ab <0D.以上都可能『解 析』 由函数f (x )为幂函数可知m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.当m ＝－1时，f (x )＝1x 3；当m ＝2时，f (x )＝x 3.由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，因此f (x )＝x 3，在R 上单调递增，且满足f (－x )＝－f (x ).结合f (－x )＝－f (x )以及f (a )＋f (b )<0可知f (a )<－f (b )＝f (－b )，所以a <－b ，即b <－a ，所以a ＋b <0.当a ＝0时，b <0，ab ＝0；当a >0时，b <0，ab <0；当a <0时，ab >0(b <0)或ab <0(0<b <－a )，故BC 都有可能成立.故选BC.『答 案』 BC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把『答 案』填在题中的横线上)13.若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 『解 析』 由f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )， 即(x ＋a )(x －4)＝(－x ＋a )(－x －4)，解得a ＝4. 『答 案』 414.若函数f (x )＝x 2－x 12，则满足f (x )<0的x 的取值范围为________. 『解 析』 设函数y 1＝x 2，函数y 2＝x 12，则f (x )<0, 即y 1<y 2.在同一平面直角坐标系中作出函数y 1与y 2的图象，如图所示，则由数形结合得x ∈(0，1). 『答 案』 (0，1)15.图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (min)之间的函数关系的图象，根据图象判断：通话5 min ，需付电话费________元；如果t ≥3，那么电话费y (元)与通话时间t (min)之间的函数关系式是________(第一空2分，第二空3分).『解 析』 由题图知，通话5 min ，需付电话费6元.当t ≥3时，设y ＝kx ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3.6＝3k ＋b ，6＝5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0，∴t ≥3时，y ＝1.2t .『答 案』 6 y ＝1.2t (t ≥3)16.若函数f (x )同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f (x )＋f (－x )＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，则称函数f (x )为“理想函数”.给出下列四个函数中：①f (x )＝1x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝|x |；④f (x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0.能被称为“理想函数”的有________(填相应的序号).『解 析』 ①中，函数f (x )＝1x 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不正确；②中，函数f (x )＝x 2为定义域上的偶函数，所以不正确；③中，函数f (x )＝|x |的定义域为R ，在定义域内不单调，所以不正确；④中，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2 （x ≥0），x 2（x <0）的图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以为“理想函数”，综上，『答 案』为④. 『答 案』 ④四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的『解 析』式； (2)画出函数f (x )的图象.解 (1)①由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0； ②当x <0时，－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－『(－x )2－2(－x )』＝－x 2－2x . 综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x ，x <0.(2)图象如图所示.18.(本小题满分12分)已知f (x )在R 上是单调递减的一次函数，且f (f (x ))＝9x －2. (1)求f (x )；(2)求函数y ＝f (x )＋x 2－x 在x ∈『－1，a 』上的最大值. 解 (1)由题意可设f (x )＝kx ＋b (k <0)， 由于f (f (x ))＝9x －2，则k 2x ＋kb ＋b ＝9x －2，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝1，故f (x )＝－3x ＋1. (2)由(1)知，函数y ＝－3x ＋1＋x 2－x ＝x 2－4x ＋1＝(x －2)2－3， 故函数y ＝x 2－4x ＋1的图象开口向上，对称轴为x ＝2， 当－1<a ≤5时，y 的最大值是f (－1)＝6， 当a >5时，y 的最大值是f (a )＝a 2－4a ＋1， 综上，y max ＝⎩⎪⎨⎪⎧6 （－1<a ≤5），a 2－4a ＋1 （a >5）.19.(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数)，F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，(1)若f (－1)＝0且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈『－2，2』时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围.解 (1)由已知可知：⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ＋1＝0，a >0，b 2－4a ≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， 则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，则g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， 则g (x )的对称轴为x ＝k －22.由于g (x )在『－2，2』上是单调函数， 故k －22≤－2或k －22≥2，即k ≤－2或k ≥6.即实数k的取值范围是(－∞，－2』∪『6，＋∞).20.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数(a，b都是正整数)，且f(1)＝2，f(2)<3.(1)求a，b，c的值；(2)当x<0时，f(x)的单调性如何？用单调性定义证明你的结论.解(1)由f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数，得f(－x)＝－f(x)对定义域内x恒成立，则a（－x）2＋1b（－x）＋c＝－ax2＋1bx＋c⇒－bx＋c＝－(bx＋c)对定义域内x恒成立，即c＝0.f(1)＝a＋1b＝2，f(2)＝4a＋12b<3，又a，b是整数，得b＝a＝1.(2)由(1)知f(x)＝x2＋1x＝x＋1x，当x<0时，f(x)在(－∞，－1』上单调递增，在『－1，0)上单调递减，下面用定义证明.设x1<x2≤－1，则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1x2＝x1－x2＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x1x2，因为x1<x2≤－1，x1－x2<0，1－1x1x2>0.f(x1)－f(x2)<0，故f(x)在(－∞，－1』上单调递增.同理可证f(x)在『－1，0)上单调递减.21.(本小题满分12分)已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝1，点O为段线AB的中点，动点P沿矩形ABCD的边从B逆时针运动到A.当点P运动过的路程为x时，记点P的运动轨迹与线段OP，OB 围成的图形面积为f(x).(1)求f(x)的『解析』式；(2)若f (x )＝2，求x 的值.解 (1)当x ∈『0，1』时，f (x )＝12·OB ·x ＝x ；当x ∈(1，5』时，f (x )＝（2＋x －1）×12＝12(x ＋1)； 当x ∈(5，6』时，f (x )＝4×1－12×2×(6－x )＝x －2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，12（x ＋1），1<x ≤5，x －2，5<x ≤6.(2)若f (x )＝2，显然1<x ≤5，所以f (x )＝12(x ＋1)＝2，解得x ＝3.22.(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，且当x >0时，f (x )<0恒成立.(1)证明函数y ＝f (x )是R 上的单调函数；(2)讨论函数y ＝f (x )的奇偶性；(3)若f (x 2－2)＋f (x )<0，求x 的取值范围.(1)证明 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f 『(x 1－x 2)＋x 2』－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2).又当x >0时，f (x )<0恒成立，所以f (x 1)<f (x 2)，∴函数y ＝f (x )是R 上的减函数.(2)解 由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，即f (x )＋f (－x )＝f (0)，又由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，令a ＝b ＝0，得f (0)＝0，∴f (－x )＝－f (x )，又函数y ＝f (x )的定义域为R ，即函数y ＝f (x )是奇函数.(3)解法一由f(x2－2)＋f(x)<0得f(x2－2)<－f(x)，又y＝f(x)是奇函数，即f(x2－2)<f(－x)，又y＝f(x)在R上是减函数，所以x2－2>－x，解得x>1或x<－2.故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).法二由f(x2－2)＋f(x)<0且f(0)＝0及f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(x2－2＋x)<f(0)，又y＝f(x)在R上是减函数，所以x2－2＋x>0，解得x>1或x<－2.故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).。