信息学奥赛 网络流算法介绍与分析
最大流在信息学竞赛中应用的一个模型--江涛
最大流在信息学竞赛中应用的一个模型江涛关键字：网络可行流最大流附加网络无源汇必要弧流的分离有上下界的最大流建模引言：最大流类的模型在当今信息学比赛中有相当广泛的应用。
但在教学中，发现很多同学对流模型的原理和变形并不掌握，只是记下经典的算法和题目，以便比赛中套用。
这当然有很大的局限性，也不是学习之正道。
本讲想通过对最大流模型，特别是附加网络的一些分析、讨论，达到抛砖引玉目的。
一、网络与流的概念一个实例：运输网络图1.1网络定义：●一个有向图G=(V，E)；●有两个特别的点：源点s、汇点t；●图中每条边(u,v)∈E，有一个非负值的容量C(u,v)记为G=(V，E，C)网络三要素：点、边、容量可行流定义：是网络G上的一个“流”，即每条边上有个“流量”P(u,v)，要满足下面两个条件：流的容量限制---弧：),(),(0vuCvuP≤≤对任意弧(u,v)---有向边流的平衡---点：除源点和汇点，对任意中间点有：流入u的“流量”与流出u的“流量”相等。
即：},{t sVu-∈∀有∑∑∈∈=-VxVxx u PuxP0),(),(网络的流量：源点的净流出“流量” 或 汇点的净流入“流量”。
即：∑∑∑∑∈∈∈∈-=-Vx Vx Vx Vx x t P t x P s x P x s P ),(),(),(),(注意，我们这里说的流量是一种速率，而不是指总量。
联系上面所说的实例，下面是一个流量为1的可行流：图1.2标准图示法：图1.3例1.1有一个n*m的国际棋盘，上面有一些格子被挖掉，即不能放棋子，现求最多能放多少个棋子“车”，并保证它们不互相攻击(即：不在同一行，也不在同一列)？分析：1)行、列限制---最多只能一个车控制；2)车对行、列的影响---一个车控制一个行和边；例子：图1.4图1.5显然，我们要求车最多，也就是求流量最大---最大流问题。
下面是一个解：图1.6即(1,3)、(2,1)、(3,2)格上各放一个车，可得到一个最优方案。
全国青少年信息学奥林匹克联赛(算法讲义)
全国青少年信息学奥林匹克联赛算法讲义算法基础篇 (2)算法具有五个特征： (2)信息学奥赛中的基本算法(枚举法) (4)采用枚举算法解题的基本思路： (4)枚举算法应用 (4)信息学奥赛中的基本算法(回溯法) (7)回溯基本思想 (8)信息学奥赛中的基本算法(递归算法) (10)递归算法的定义： (10)递归算法应用 (11)算法在信息学奥赛中的应用 (递推法) (14)递推法应用 (14)算法在信息学奥赛中的应用 (分治法) (18)分治法应用 (18)信息学奥赛中的基本算法(贪心法) (21)贪心法应用 (21)算法在信息学奥赛中的应用（搜索法一） (24)搜索算法应用 (25)算法在信息学奥赛中的应用（搜索法二） (28)广度优先算法应用 (29)算法在信息学奥赛中的应用（动态规划法） (32)动态规划算法应用 (33)算法基础篇学习过程序设计的人对算法这个词并不陌生，从广义上讲，算法是指为解决一个问题而采用的方法和步骤；从程序计设的角度上讲，算法是指利用程序设计语言的各种语句，为解决特定的问题而构成的各种逻辑组合。
我们在编写程序的过程就是在实施某种算法，因此程序设计的实质就是用计算机语言构造解决问题的算法。
算法是程序设计的灵魂，一个好的程序必须有一个好的算法，一个没有有效算法的程序就像一个没有灵魂的躯体。
算法具有五个特征：1、有穷性：一个算法应包括有限的运算步骤，执行了有穷的操作后将终止运算，不能是个死循环；2、确切性：算法的每一步骤必须有确切的定义，读者理解时不会产生二义性。
并且，在任何条件下，算法只有唯一的一条执行路径，对于相同的输入只能得出相同的输出。
如在算法中不允许有“计算8/0”或“将7或8与x相加”之类的运算，因为前者的计算结果是什么不清楚，而后者对于两种可能的运算应做哪一种也不知道。
3、输入：一个算法有0个或多个输入，以描述运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定义了初始条件。
信息竞赛：网络流
需要掌握的预备知识
最大流算法：SAP或Dinic 费用流算法：SPFA流或zkw流或Dijkstra流 最大权闭合子图相关建模
总览
PartI 最大流&费用流建模 PartII 最小割建模
Part I 最大流&费用流建模
基本技巧
对点进行限制
比如说限制经过次数，限制出入关系，拆点，利用边来完成限制
Stage III TypeB [HNOI2007]紧急疏散
同样拆点，和上题一致
Stage III
网络流上的进一步拓展 TypeA
在流量分配的前提下，增加了下界和费用，达到一个类似k路径覆盖的效果 如果在限制点的流量时，也运用到了拆点技巧 路径寻找问题的建模关键在于找到一个拓扑图
Stage III TypeB [HNOI2007]紧急疏散
发生了火警，所有人员需要紧急疏散！假设每个房间是一个N M的矩形区 域。每个格子如果是'.'，那么表示这是一块空地；如果是'X'，那么表示这 是一面墙，如果是'D'，那么表示这是一扇门，人们可以从这儿撤出房间。 已知门一定在房间的边界上，并且边界上不会有空地。最初，每块空地上 都有一个人，在疏散的时候，每一秒钟每个人都可以向上下左右四个方向 移动一格，当然他也可以站着不动。疏散开始后，每块空地上就没有人数 限制了（也就是说每块空地可以同时站无数个人）。但是，由于门很窄， 每一秒钟只能有一个人移动到门的位置，一旦移动到门的位置，就表示他 已经安全撤离了。现在的问题是：如果希望所有的人安全撤离，最短需要 多少时间？或者告知根本不可能。 3<=N <=20，3<=M<=20
信息学竞赛中的算法与数据结构讲解教案
信息学竞赛中的算法与数据结构讲解教案一、引言信息学竞赛是一种基于计算机科学和数学的竞争形式，其中算法与数据结构是竞赛中最为核心和关键的内容之一。
本教案将详细讲解信息学竞赛中常用的算法和数据结构，并提供相关示例和题目，以帮助学生深入理解和掌握这些知识点。
二、算法1. 算法的概念算法是一系列解决问题的步骤或方法。
在信息学竞赛中，算法常被用于解决各种问题，如排序、查找、图遍历等。
掌握不同类型的算法对于竞赛成绩的提升至关重要。
2. 常见算法类型及其应用（1）排序算法：- 冒泡排序：通过相邻元素的比较和交换来实现排序。
- 快速排序：通过选择一个基准元素将数组分为两部分，一部分小于基准元素，一部分大于基准元素，再分别对两部分递归排序。
- 归并排序：将数组分为若干个子数组，分别对子数组进行排序，然后再依次合并得到有序数组。
这些排序算法在竞赛中经常用到，学生需要了解它们的原理和实现。
（2）查找算法：- 二分查找：针对有序数组，在每次查找过程中将查找范围缩小一半，直到找到目标元素或查找范围为空。
- 哈希表查找：通过将目标元素映射到一个固定位置来进行查找，具有较快的查找速度。
（3）图算法：- 图的遍历：深度优先遍历（DFS）和广度优先遍历（BFS）是图的常用遍历方法。
DFS通过递归或栈实现，BFS通过队列实现。
- 最短路径算法：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法分别用于求解单源最短路径和多源最短路径问题。
3. 算法示例（1）示例一：冒泡排序给定一个整数数组，按照从小到大的顺序进行冒泡排序。
```cppvoid bubbleSort(int arr[], int n) {for (int i = 0; i < n-1; i++) {for (int j = 0; j < n-i-1; j++) {if (arr[j] > arr[j+1]) {swap(arr[j], arr[j+1]);}}}}```（2）示例二：二分查找给定一个有序整数数组和一个目标值，使用二分查找算法返回目标值在数组中的下标（如果不存在则返回-1）。
信息学奥赛基本算法
原理：通过相邻元素之间的比较和交换，使得 每一轮比较后最大（或最小）的元素能够“冒 泡”到序列的一端。
空间复杂度：O(1)。
选择排序
01
原理：每次从未排序的元素中选 出最小（或最大）的元素，放到 已排序序列的末尾。
02
时间复杂度：无论最好、最坏和 平均情况，时间复杂度均为 O(n^2)。
空间复杂度：O(1)。
动态规划法
利用动态规划思想，通过状态转移方程求解 最长公共子序列。时间复杂度为O(n^2)， 空间复杂度为O(n^2)。
最大子段和问题
1 2
暴力求解法
通过枚举所有可能的子段，找出和最大的子段。 时间复杂度为O(n^3)。
分治法
将数组分成两半，分别求解最大子段和，然后合 并结果。时间复杂度为O(nlogn)。
07 总结与展望
基本算法回顾与总结
排序算法
包括冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排 序等，这些算法是信息学奥赛中最基本的算法之一，用于 对一组数据进行排序。
图论算法
包括最短路径算法（如Dijkstra算法、Floyd算法）、最 小生成树算法（如Prim算法、Kruskal算法）等，用于解 决与图相关的问题。
Floyd算法
适用于任意有向图，通过动态规 划思想不断更新顶点之间的最短 路径，最终得到任意两点之间的 最短路径。
SPFA算法
适用于存在负权边但没有负权环 的有向图，通过队列优化的 Bellman-Ford算法，在每次松弛 操作后判断是否存在负权环。
最小生成树问题
Prim算法
适用于稠密图，每次选择连接已访问 顶点和未访问顶点中权值最小的边， 直到所有顶点都被访问。
时间复杂度
O(n)，其中 n 为列表长度。
信息奥赛经典算法总结
信息学奥林匹克竞赛经典算法总结一．高精度1.高精度加法2.高精度减法3.高精度乘法4.高精度除法二．排序1.冒泡排序2.插入排序3.分治排序4.直接选择排序5.快速排序6.希尔排序7.归并排序8.拓扑排序9.堆排序高精度一、高精度加法（回首页）所谓的高精度运算,是指参与运算的数(加数,减数,因子……)范围大大超出了标准数据类型（整型，实型）能表示的范围的运算。
例如，求两个200位的数的和。
这时，就要用到高精度算法了。
在这里，我们先讨论高精度加法。
高精度运算主要解决以下三个问题：基本方法1、加数、减数、运算结果的输入和存储运算因子超出了整型、实型能表示的范围，肯定不能直接用一个数的形式来表示。
在Pascal 中，能表示多个数的数据类型有两种：数组和字符串。
（1）数组：每个数组元素存储1位（在优化时，这里是一个重点！），有多少位就需要多少个数组元素；用数组表示数的优点：每一位都是数的形式，可以直接加减；运算时非常方便用数组表示数的缺点：数组不能直接输入；输入时每两位数之间必须有分隔符，不符合数值的输入习惯；（2）字符串：字符串的最大长度是255，可以表示255位。
用字符串表示数的优点：能直接输入输出，输入时，每两位数之间不必分隔符，符合数值的输入习惯；用字符串表示数的缺点：字符串中的每一位是一个字符，不能直接进行运算，必须先将它转化为数值再进行运算；运算时非常不方便；（3）综合以上所述，对上面两种数据结构取长补短：用字符串读入数据，用数组存储数据：var s1,s2:string;a,b,c:array [1..260] of integer;i,l,k1,k2:integer;beginwrite('input s1:');readln(s1);write('input s2:');readln(s2);{----读入两个数s1，s2，都是字符串类型}l:=length(s1);{求出s1的长度，也即s1的位数；有关字符串的知识。
信息学奥赛算法及基础知识复习材料两篇.doc
信息学奥赛算法及基础知识复习材料两篇第1条信息学中奥赛罗算法的基本章节学过编程的人对算法这个词并不陌生。
从广义上说，算法是指用来解决问题的方法和步骤。
从程序设计的角度来看，算法是指使用编程语言的各种语句来解决特定问题而形成的各种逻辑组合。
在编程的过程中，我们在实现某些算法，所以编程的本质就是用计算机语言来构造算法来解决问题。
算法是编程的灵魂。
一个好的程序必须有一个好的算法。
没有有效算法的程序就像没有灵魂的躯体。
该算法有五个特点具有1、有限性的算法应该包括有限的操作步骤。
该操作将在执行完有限操作后终止，并且不能是死循环。
2、精确度算法的每一步都必须有一个明确的定义，当读者理解它时不会产生歧义。
此外，在任何条件下，该算法只有一条执行路径，并且对于相同的输入只能获得相同的输出。
例如，在算法中不允许诸如“计算8/0”或“将7或8加到x上”的操作，因为前者的计算结果不清楚，而后者不知道应该进行两种可能的操作中的哪一种。
3、输入一个算法有0个或更多的输入来描述操作对象的初始条件。
所谓的0输入是指算法本身定义的初始条件。
如果找到五个数字中最小的一个，则有五个输入。
4、输出算法有一个或多个输出来反映输入数据的处理结果，这是算法设计的目的。
它们是与输入有特定关系的量。
如上所述，在5个数字中找出最小的数字，它的输出是最小的数字。
如果一个程序没有输出，这个程序就没有意义。
5、可行性算法中的每个操作都应该是可行的。
原则上，该算法可以精确运行，并且可以在用笔和纸进行有限次数的操作后完成。
如何评估一个算法主要是从两个方面:一是运行算法所花费的时间；我们用时间复杂度来衡量，例如，在以下三个程序中，(1)x1(2)for I 1 tondo xx 1(3)for I 1 tondo for J1 tondo xx 1语句xx1包含基本运算“x+1”分别出现1次，n和n2，那么这三个程序段的时间复杂度分别为O(1)，O(n)，O(n2)，分别称为常数阶、线性阶和平方阶。
信息学联赛初赛基本算法介绍
信息学联赛初赛基本算法介绍汇报人：日期:•基本算法概述•排序算法•搜索算法目•图论算法•总结与展望录基本算法概述01算法的定义和重要性算法是一系列解决问题的清晰指令，它接受一些输入（参数），并产生一些输出（结果）。
重要性在信息学领域，算法是解决各种问题的核心。
一个优秀的算法可以高效地处理数据、优化资源和提高程序性能。
掌握基本算法对于参加信息学联赛的初赛至关重要。
通过穷举所有可能性来解决问题的算法，通常时间复杂度较高。
暴力算法将问题分解为若干个子问题，分别解决子问题后再合并结果的算法。
分治算法通过将问题分解为重叠的子问题，并对子问题进行记忆，避免重复计算的算法。
动态规划在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法。
贪心算法算法的分类时间复杂度衡量算法执行时间的指标，通常用大O符号表示。
常见的时间复杂度包括常数时间复杂度O(1)、线性时间复杂度O(n)、对数时间复杂度O(logn)等。
空间复杂度衡量算法所需额外空间的指标，也用大O符号表示。
空间复杂度与算法中使用的变量、数组、数据结构等有关。
在设计算法时，需要权衡时间复杂度和空间复杂度的关系，以找到最适合问题要求的解决方案。
算法的时间复杂度和空间复杂度排序算法02通过依次比较相邻的两个元素，将较大的元素交换到右侧，从而将整个列表按照升序或降序排列。
原理O(n^2)，其中 n 是列表长度。
时间复杂度O(1)，只需要常数级别的额外空间。
空间复杂度稳定，即相同元素的相对位置不会改变。
稳定性原理选择一个基准元素，将列表中小于基准的元素放在左侧，大于基准的元素放在右侧，然后递归地对左右两个子列表进行快速排序。
平均情况下为 O(nlogn)，最坏情况下为 O(n^2)。
O(logn)，由于递归需要使用栈空间。
不稳定，相同元素的相对位置可能会改变。
时间复杂度空间复杂度稳定性原理时间复杂度空间复杂度稳定性O(nlogn)。
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(由流量平衡)
=0
结论3
任意割的流量等于整个网络的流量. 证明: f(S,T) = f(S,V) – f(S,S) (由辅助定理1) = f(S,V) (由辅助定理1) = f(S,V) + f(S – s,V) (同上) = f(s,V) (由辅助定理2) = |f| (由|f|的定义)
结论4
(0,4)
t
(0,2)
大致的思路：从源点出发， 逐步推进。 称当前状态下不满足流量 平衡的结点为“溢出的结 点”.(对于结点u,f(V,u) > 0) 令e(u) = f(V,u),称为u点的 赢余，直观地描述，就是 “流入的比流出的多多 少”。e(v1)=4,e(v2)=3。 不断将溢出的结点中的赢 余往后继点推进,直到赢余 都聚集在t.
例1
s 3 4 2 2
v1 2
t
v2
2
从残量网络中可以 清楚地看到： 因为存在边(s,v2) = 3,我们知道从S到 v2还可以再增加2 单位的流量； 因为存在边(v1,t) = 2,我们知道从v1到t 还可以再增加2单 位的流量。
后向弧
s 3 4 2 2
v1 2
t
v2
2
其中像(v1,s)这样的边 称为后向弧,它表示从v1 到s还可以增加4单位的 流量。 但是从v1到s不是和原 网络中的弧的方向相反 吗？显然“从v1到s还 可以增加4单位流量” 这条信息毫无意义。那 么，有必要建立这些后 向弧吗？
uV
只要满足这三个性质,就是一个合法的网络 流.
最大流问题
定义一个网络的流量（记为|f|）=
f ( s, v )
vV
最大流问题，就是求在满足网络流性质 的情况下，|f|的最大值。
残量网络
为了更方便算法的实现，一般根据原网 络定义一个残量网络。其中r(u,v)为残量 网络的容量。 r(u,v) = c(u,v) – f(u,v) 通俗地讲：就是对于某一条边（也称 弧），还能再有多少流量经过。 Gf残量网络,Ef表示残量网络的边集.
预流推进算法
下面将介绍一个更直观且时间效率 更优的算法.
一个直观的想法
如果给你一个网络流,让你手算出它的最 大流,你会怎么算? 一般人都会尝试着从源点出发,让每条边 的流量尽可能得大,然后一点点往汇点推, 直到遇到一条比较窄的弧,原先的流量过 不去了,这才减少原先的流量.
例2.一个直观的想法
s (4,4) (0,2) v1 v2 (3,3)
s (4,4) (2,2) v1 v2 (3,3)
(0,4)
t
(2,2)
此时e(v2)=3.正确的回 推法是往(v2,s)推1,往 (v2,v1)推2,然后使得这 2个单位的赢余可以从 (v1,t)推到t上。 但程序没有全局观,它 万一往(v2,s)推了3个单 位怎么办?我们总不能 尝试所有的可能性吧, 那样就变成搜索了.
么存在这样一种可能性: 尽管找不到增广路径了,但由于前面的错 误决策,导致f还没有到达最大流,却不能 通过修改当前流来得到最大流. 但由于最大流最小割定理的三个条件互 相等价(1->2,2->3,3->1), 一个流是最大 流当且仅当它没有增广路径.
增广路算法的效率
设n = |V|, m = |E| 每次增广都是一次BFS,效率为O(m) 所以,总共的时间复杂度为O(m*f*) 其中f*为增广次数. 怎么求f*?
k的上界
如果要让一条曾经的临界边(u,v)再次成为临界边, 则必须有一条增广路径包含边(v,u).因为每次增广 之后临界边就消失,要让他再次成为临界边至少要 让他再次在残量网络中出现,即(v,u)要被增广. 结合上面的结论可以证明,当算法取的增广路总是 残量网络中的最短路,任意一条边成为临界边的次 数至多为n/2-1. 因此,增广路算法的效率为O(f*m) = O(km^2) = O(nm^2). (这只是个上界,一般情况是达不到的) 备注中为增广路算法我的代码实现。数组u是残量 网络的容量。
为什么要建立后向弧
显然，例1中的画出来的不是一个最大流。 但是，如果我们把s -> v2 -> v1 -> t这条路径 经过的弧的流量都增加2,就得到了该网络的最 大流。 注意到这条路径经过了一条后向弧:(v2,v1)。 如果不设立后向弧，算法就不能发现这条路径。 从本质上说，后向弧为算法纠正自己所犯的错 误提供了可能性，它允许算法取消先前的错误 的行为（让2单位的流从v1流到v2)
例2.一个直观的想法
s (4,4) (2,2) v1 v2 (3,3)
(0,4)
t
(2,2)
如果多推了一些流量, 我们可以再把它推回 来. (如e(v2)=3,但这3 个单位的赢余已经没 地方去了,只能推回 来.)(沿着后向弧)这副 图是原网络而不是残 量网络,因此没把后项 弧画出来)
程序没有全局观?!
1、f是最大流 2、残量网络中找不到增广路径 3、|f| = c(S,T)
3 -> 1证明: |f| <= c(S,T) (辅助定理4) 因为我们已经有|f| = c(S,T),如果最大流的 流量是|f|+d (d>0),那么|f|+d肯定不能满 足上面的条件.
增广路算法的正确性
如果 最大流最小割定理不能从2推出3,那
h(s) = |V| h(t) = 0 对于Ef(残量网络)中的每一条边(u,v),(r(u,v)>0) h(u) <= h(v) + 1
这第三个条件看上去有些奇怪.既然r(u,v)>0,那就表示 从u到v还可以增加流量,那h(u)就应该比h(v)高才对.的 确,我们后面还将规定,只有在h(u)>h(v)的时候才能应 用推进操作(将一个结点的盈余推进到另一个结点的操 作).而高度函数为了满足其合法性,还要满足上述的这 三个条件.后面我们将利用这三个条件证明预流推进算 法的正确性。
s 3 4 v1 2 2 v2
2
t
2
增广路算法
增广路算法：每次用BFS找一条最 短的增广路径，然后沿着这条路径 修改流量值（实际修改的是残量网 络的边权）。当没有增广路时，算 法停止，此时的流就是最大流。 下面证明增广路算法的正确性.
将f,c,r的定义域扩展为点集
(在以后的叙述中,大写字母X,Y,S,T一般均表示 点集) f ( x, y) 点集间的流量和: f(X,Y) =
引导机制
把流推错可能导致产生的流不是最大流.
我们需要有一个能引导流的推进方向的 机制,当它发现我们先前的推进是错误的 时候,能沿着正确的后向弧回推回来. 由于建立了后向弧,正推与回推在程序中 并无却别，都是在推残量网络中的一条 边.
高度标号的引导作用
高度标号就是这样的一个引导机制. 我们规定,如果一个结点溢出了,那么他的 多余的流量只能流向高度标号比自己低 的结点.(“水往低处流”) 当然,高度标号不可能事先知道往哪些方 向推才是正确的.它将按情况动态改变自 己的值,从而正确地引导流向.
为什么要建立后向弧
当然,可以把上面说的情况当成特殊情况 来处理。但使用后向弧可以使编程简单 许多. 注意,后向弧只是概念上的,在程序中后向 弧与前向弧并无区别.
增广路
增广路定义：在残 量网络中的一条从 s通往t的路径，其 中任意一条弧 (u,v)，都有 r[u,v]>0。 绿色的即为一条增 广路。
2 -> 3证明: 定义S = s ∪ {v | 在残量网络中s 到v有一条路径} ; T = V- S. 则 (S,T) 是一个割. |f| = f(S,T) (由辅助定理3) 而且,r(S,T) = 0. 假设不为0,则在残量网络中, 两个集合间必定有边相连,设在S的一端为v,在 T的一端为u. 那么,s就可以通过v到达u,那么根 据S的定义,u就应该在S中.矛盾. 所以,|f| = f(S,T) = c(S,T) – r(S,T) = c(S,T)
重标号操作
对于例2的这种情况,v2中过多的赢余最 终会沿着(v2,v1)、(v2,s)流回去(虽然他 们一开始流错了方向,但后来又被回推,等 于说是被改正了)。
只有当非源非汇的结点中的赢余全部流 到汇点或流回源点后，这个流才重新合 法。
高度函数
高度函数h(v)返回一个v的高度标号。 高度函数有三个基本条件：
xX yY
即:X中的任意一点与Y中的任意一点组成的所 有边上的流量之和.(边的方向为从X中的结点到 Y中的结点) c,r等函数都有类似的定义.(点集间的容量和、 点集间的残量网络容量和)
结论1
1.f(X,X) = 0 (由流量反对称性) 2. f(X,Y) = -f(Y,X) (有流量反对称性) 3.f(X ∪ Y,Z) = f(X,Z) + f(Y,Z) (显然) 4.f(X,Y ∪ Z) = f(X,Y) + f(X,Z) (显然)
重标号操作
当一个结点有赢余(溢出了), 周围却没有 高度比它低的结点时候,我们就用重标号 操作使它的标号上升到比周围最低的结 点略高一点,使他的赢余能流出去. 赢余千万不能困在某个结点里.对于任意 一个非源非汇的结点，有赢余就意味着 它不满足流量平衡，也就意味着整个网 络流不是一个真正合法的网络流。
网络的流量小于等于任意一个割的容量.(注意 这个与辅助定理3的区别.这里是容量) 即|f| <= c(S,T) f ( x, y) xS yT 证明: |f| = f(S,T) = (由定义)
c( x, y)
<=
xS yT
(由流量限制)
= c(S,T)
1、f是最大流 2、残量网络中找不到增广路径 3、|f| = c(S,T)
网络流
杭州学军中学 魏越闽
一些符号和定义
V表示整个图中的所有结点的集合. E表示整个图中所有边的集合. G = (V,E) ,表示整个图. s表示网络的源点,t表示网络的汇点. 对于每条边(u,v),有一个容量c(u,v) (c(u,v)>=0) 如果c(u,v)=0，则表示(u,v)不存在在网络中。 如果原网络中不存在边(u,v)，则令c(u,v)=0 对于每条边(u,v),有一个流量f(u,v).