2013华南师范大学数学分析考研真题
1234212123421220131.'()2.0,lim 12342120
3.3
4.lim (),lim k k n k k u x a xf x dx
a a a a a a a n a n a n a n a n k a n k f u A g -→∞
-→∞→-+-+??+-=+-+++-++??++--+==?华南师范大学年数学分析考研题
已给出一个函数的表达式，其为f(x)的原函数，求证明证明是无理数，运用这个结论，证明任两个不同的有理数之间一定存在某个无理数a
2||||(),lim (())11115.()(1)0(1)(2)cos ()(3)2(1)2()-1,1]()(0)6.()(1)(0)(2)'(0)(0)''()1''(0)2
7.()lim x a
n n p x f g x A nx f x x x x n n n n
f x f x f F x x f x f x x
f f P R →→=∞=π=-≤<--≤≤<≤-=≠=证明讨论在[上的一致连续性
，已知存在，证明F(x)的导函数在原点连续，且F'(0)=在连续，222222()(,),()1
(,)(1)()sin (,)(())(())(())0
C f P P x y f P R R f x y x y x y f x y f x yz dx g y xz dy h z xy dz +∞=+≠+-+-+-=?存在，证明在有界，且在上一致连续
8.[当(x,y)(0,0)](2)0[当(x,y)=(0,0)]
在原点可微，偏导数在原点不连续
9.C 为空间按段光滑闭曲线，f(x),g(y),h(z ）连续，证
华南师范大学数学分析考研题目
华南师范大学 2004年招收硕士研究生入学考试试题 考试科目：数学分析与高等代数 使用专业：数学基础、应用数学、计算数学 运筹控制学与教学论，课程与教学论（数学） 1、（12分）设1(1) n n a n =+ ，1,2,n = 证明数列n a 严格单调增加且收敛。 证明：令1()(1)x f x x =+，0x >，111()(1) (ln(1)), (1) x f x x x x '=++ - + 令2 11111()(ln(1)),()( )0 (1) (1) (1) g x g x x x x x x '=+- =- + <+++，()()0g x g >+∞=，则 ()0f x '>，()f x 严格单调增加，故1(1) n n a n =+ 严格单调增加， 2 1(1)1 (1)11 (1) 112! ! n n n n n n n a n n n n --=+ =++ ++ 111111112! ! 12 (1) n n n ≤++ ++ ≤++ ++ ?- 3<， 由单调有界原理n a 收敛。 2、（12分）求函数 21, 000 sin (),x x x x x f ≠=??=??? 的导函数，并讨论导函数的连续性。 2 10 sin (0)lim 0x x x f x →'==， 112,0 00cos sin (),x x x x x x f +≠=?-?=??? '， 112) cos sin lim (x x x x +→-不存在，故导函数在0x =处不连续。 3、（12分）求幂级数2(1)1()2 1 n n n n x n n ?? +-???? - =∑ 的收敛半径和收敛域。 ____ lim 3 n →，收敛半径为13 ρ= ，当112 3 x - = ，级数为2(1)1()3 1 n n n n n n ?? +-???? ==∑ 分散， 212(1)3111[()32121 1 ]n n n n n n n n n n -??+-? ???? ? +-=== ∑ ∑ 发散，
华东师大数学分析习题解答1
《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ?=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使； （２）存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使． 证明如下： （１） 据假设，ξ>∈?a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1 Λ== εn n n 相应地S a n ∈?,使得 Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ． 因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 Λ,3,2,,1min 1=? ?? ???+ξ=ε-n a n n n ， 就能保证 Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）． 证 设B A ,为非空有界数集，B A S ?=，试证： {}B A S inf ,inf m in inf =． 现证明如下． 由假设，B A S ?=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥． 另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有
S A S x inf inf inf ≥?≥； 同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤． 综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且?≠?B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?． 并举出等号不成立的例子． 证 这里只证（２），类似地可证（１）． 设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有． 于是，B A z ?∈?，必有 {}βα≥?? ?? β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界．由于B A ?亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立． 上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则， 这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而，故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,， 证明： （１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．
华南师范大学考研数学分析试题汇总
华南师范大学考研数学分 析试题汇总 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
2000年华南师范大学数学分析 一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4 sin )1(===+-=∞→∞→n n n n n n a a n n a 则 π ； 2.设处连续； 在则为无理数为有理数 ____)(, , ,)(=∈? ??-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 1 0=+?∞→dx x x n n 4._________;)cos (sin lim 10 =+→x x x x 5.方程)(032为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根； 6._______; __________),1()(1122=>+=++? n n n n I I n n a x dx I 的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cos sin 0 ==? +du t f dt t f y x u y x 是可微函数，则 8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________; 9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2=x 10.曲线π20,sin ,cos 33≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________. 二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞ →存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取 得最大值或最小值. 三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(222y z yf z y x =++所确定，其中f 是可微函 数，试证：
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案04
第四章 函数的连续性 习题 §1 连续性概念 1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1）()x x f 1 = ； （2） ()x x f = 2． 指出下列函数的间断点并说明其类型： （1）()x x x f 1+ =； （2）()x x x f sin =； （3）()[] x x f cos =； （4）()x x f sgn =； （5）()()x x f cos sgn =； （6）()?? ?-=为无理数； 为有理数， x x x x x f ,, （7）()()?? ? ? ??? +∞<<--≤≤--<<-∞+=x x x x x x x x f 1,11sin 11 7,7,71 3． 延拓下列函数，使其在R 上连续： （1）()2 8 3--=x x x f ； （2）()2cos 1x x x f -=； （3）()x x x f 1cos =. 4． 证明：若f 在点0x 连续，则f 与2f 也在点0x 连续。又问：若f 与2f 在I 上连续， 那么f 在I 上是否必连续？ 5． 设当0≠x 时()()x g x f ≡，而()()00g f ≠。证明：f 与g 两者中至多有一个在0 =x 连续 6． 设f 为区间I 上的单调函数。证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间 断点 7． 设f 只有可去间断点，定义()()y f x g x y →=lim ，证明：g 为连续函数 8． 设f 为R 上的单调函数，定义()()0+=x f x g ，证明：g 在R 上每一点都右连续 9． 举出定义在[]1,0上分别符合下述要求的函数： （1）只在 41,31,21三点不连续的函数； （2）只在4 1 ,31,21三点连续的函数；
数学分析华东师大反常积分
数学分析华东师大反常 积分 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第十一章反常积分 §1 反常积分概念 一问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限制: 积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制, 考虑无穷区间上的“积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题. 例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图 11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为 mg R2 F = . x2 于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为
r mg R ∫ ∫ 2 ∫ d x = m g R 2 1 - 1 .R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = m g R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间
华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总
2000年华南师范大学数学分析 一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4 sin )1(===+-=∞→∞→n n n n n n a a n n a 则 π； 2.设处连续；在则为无理数为有理数____)(, , ,)(=∈? ??-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 1 0=+?∞→dx x x n n 4._________;)cos (sin lim 10=+→x x x x 5.方程)(032为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根； 6._______; __________),1()(1122=>+=++?n n n n I I n n a x dx I 的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cos sin 0==?+du t f dt t f y x u y x 是可微函数，则 8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________; 9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2 =x 10.曲线π20,sin ,cos 33≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________. 二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞→存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或最小值. 三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(222y z yf z y x =++所确定，其中f 是可微函数，试证：
数学分析课后习题答案(华东师范大学版)
习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故 ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P .3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明|||| 2 22 2c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是2 2 b a +，OC 的长度是2 2 c a +， AC 的长度为||c b -。因为三角形两边的差 大于第三边，所以有 第四章 函数的连续性 第一 连续性概念 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1） x x f 1 )(= ； （2）x x f =)(。 证：（1）x x f 1 )(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有 001 1x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ， 故当00x x x <-时，有 02 01 1x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数ε，取,010 2 0>+= x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时， 有 ε<-= -0 011)()(x x x f x f 可见 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。 (2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时， 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。 2．指出函数的间断点及类型： （1）=)(x f x x 1 + ； （2）=)(x f x x sin ； （3）=)(x f ]cos [x ； （4）=)(x f x sgn ； （5）=)(x f )sgn(cos x ； （6）=)(x f ???-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ??? ? ???+∞ <<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11 sin )1(17,7 ,71 《华南师范大学考研613数学分析复习全析（含真题答案，共四册）》由鸿知华师考研网依托多年丰富的教学与辅导经验，与该专业课优秀研究生合作汇编而成。全书内容紧凑权威细致，编排结构科学合理，为参加华南师范大学考研的考生量身定做的必备专业课资料。 《华南师范大学考研613数学分析复习全析（含真题答案）》全书编排根据： 华东师范大学数学系《数学分析》 名校经典教材《数学分析》 ===往年华南师范大学考研参考书目=== 刘名生等编《数学分析（一）》、《数学分析（二）》；耿堤等编《数学分析（三）》，科学出版社 结合提供的往年华师考研真题内容与答案解析，帮助报考华南师范大学硕士研究生的同学通过华师教材章节框架分解、配套的习题讲解及相关985、211名校考研真题与解答，帮助考生梳理指定教材的各章节内容，深入理解核心重难点知识，把握考试要求与考题命题特征。 通过研读演练本书，达到把握教材重点知识点、适应多样化的专业课考研命题方式、提高备考针对性、提升复习效率与答题技巧的目的。同时，透过测试演练，以便查缺补漏，为初试高分奠定坚实基础。 适用范围 适用院系： 数学科学学院：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论、数学教育 适用科目： 613数学分析 内容详情 本书包括以下几个部分内容： 一、考试解读： part 1 学院专业考试概况 ①学院专业分析：含学院基本概况、考研专业课科目:613数学分析的考试情况； ②科目对应专业历年录取统计表：含华南师范大学数学学院各专业的历年录取人数与分数线情况； ③历年考研真题特点：含华南师范大学考研专业课613数学分析各部分的命题规律及出题风格。 part 2 历年题型分析及对应解题技巧 第一章实数集与函数 导言数学分析课程简介( 2 学时 ) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期： 三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是 可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听 为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； [2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； [4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. 2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设. 3.内容多,课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重. 一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4 sin )1(===+-=∞→∞→n n n n n n a a n n a 则 π ； 2.设处连续； 在则为无理数 为有理数 ____)(, , ,)(=∈?? ?-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 1 0=+?∞→dx x x n n 4._________;)cos (sin lim 1 =+→x x x x 5.方程)(032 为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根； 6._______; __________),1()(1122=>+= ++?n n n n I I n n a x dx I 的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cos sin 0 == ? +du t f dt t f y x u y x 是可微函数，则 8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________; 9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2 =x 10.曲线π20,sin ,cos 3 3 ≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________. 二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞ →存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或 最小值. 三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(2 2 2 y z yf z y x =++所确定，其中f 是可微函数，试证： xz y z xy x z z y x 22) (222=??+??--. 华东师范大学2004数学分析试题 华东师范大学2004数学分析 一、（30分）计算题。 1、求21 2 0)2(cos lim x x x x -→ 2、若)),sin(arctan 2ln x x e y x +=-求'y . 3、求?--dx x xe x 2) 1(. 4、求幂级数∑∞ =1n n nx 的和函数)(x f . 5、L 为过)0,0(O 和)0,2 (π A 的曲线)0(sin >=a x a y ,求?+++L dy y dx y x .)2()(3 xdx a x da dy x a y cos sin ,sin === 6、求曲面积分??++S zdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧. . 二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x 2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续. 3、若)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，则∑?=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 1 10)()()1()(1lim . 4、若∑∞=1n n a 收敛，则∑∞=1 2n n a 收敛. 5、若在2R 上定义的函数),(y x f 存在偏导数),(y x f x ,),(y x f y 且),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在(0,0)上可微. 6、),(y x f 在2R 上连续,})()(|),{(),(2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若??=>??r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(00 则.),(,0),(2R y x y x f ∈= 1234212123421220131.'()2.0,lim 12342120 3.3 4.lim (),lim k k n k k u x a xf x dx a a a a a a a n a n a n a n a n k a n k f u A g -→∞ -→∞→-+-+??+-=+-+++-++??++--+==?华南师范大学年数学分析考研题 已给出一个函数的表达式，其为f(x)的原函数，求证明证明是无理数，运用这个结论，证明任两个不同的有理数之间一定存在某个无理数a 2||||(),lim (())11115.()(1)0(1)(2)cos ()(3)2(1)2()-1,1]()(0)6.()(1)(0)(2)'(0)(0)''()1''(0)2 7.()lim x a n n p x f g x A nx f x x x x n n n n f x f x f F x x f x f x x f f P R →→=∞=π=-≤<--≤≤<≤-=≠=证明讨论在[上的一致连续性 ，已知存在，证明F(x)的导函数在原点连续，且F'(0)=在连续，222222()(,),()1 (,)(1)()sin (,)(())(())(())0 C f P P x y f P R R f x y x y x y f x y f x yz dx g y xz dy h z xy dz +∞=+≠+-+-+-=?存在，证明在有界，且在上一致连续 8.[当(x,y)(0,0)](2)0[当(x,y)=(0,0)] 在原点可微，偏导数在原点不连续 9.C 为空间按段光滑闭曲线，f(x),g(y),h(z ）连续，证 华南师范大学数学科学学院的数学专业研究生招生考试没有考试大纲，以下是本人根据近3-5年的考试题目的一个自我总结，希望能对报考该校的师弟师妹有所帮助，如有帮助，实乃万幸！！ 高等代数（北大版王萼芳石生明） 第一章 一般考察一道题：应该是整除，最大公因式的题！！最大公因式的可能性大，整除时可能会用到一点不可约多项式，本原多项式。 第二章 一般考察一题：，就是考察一个行列式的基本运算。 第三章 一般考一题，这个题几乎年年考。 一般考的就是4个未知数的，也就是4阶的行列式。 第四章 这一章一般会考一题，一般不会单独出题，常常放在线性变换中考察。第五章 这章的知识点比较单一，就是化标准型和合同。不过可以与特征值一起考察，这部分容易出考题。 第六章 这章主要会考察的知识就是基变换与直和分解，一般考试也就一题。第七章 这章是重点！！ 线性变换的定义，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，值域与核，不变子空间都是重点，随便拿出来一个都可以出题。 第八章 我估计这章基本是不会考的，华师大本科的学生都没有学。 第九章 主要考察一个就是定义，一个就是施密特正交化。 后面的都不考！！ 代数一般是7~8题 第一题问答：5个概念或定理 下面全部是大题 数学分析（华东师大版） 1，没有考题 2.3数列极限和函数极限这两章会考一个题。 4.函数的连续性一般会考一个题。 5.这章面试的时候会问问题，考题的可能性不大。 第六章是重点。中值定理太重要了，好多考题都会用到这里面的知识点。一般来说这章只需要看前5节就可以了。 7.8这两章一般没有考题。 第九章；考就考了，不考就不考了。定积分就是一道题，应该在可积 【温馨提示】现在很多小机构虚假宣传，育明教育咨询部建议考生一定要实地考察，并一定要查看其营业执照，或者登录工商局网站查看企业信息。 目前，众多小机构经常会非常不负责任的给考生推荐北大、清华、北外等名校，希望广大考生在选择院校和专业的时候，一定要慎重、最好是咨询有丰富经验的考研咨询师. 华南师范大学基础数学考研复试分数线、 复试科目：在常微分方程、复变函数、近世代数、点集拓扑、数值计算方法、组合数学、概率论中任选一门。 复试参考书： 01.华东师范大学编，《数学分析》，高等教育出版社02.北京大学编，《高等代数》，高等教育出版社03.王高雄等编，《常微分方程》，高等教育出版社04.余家荣编，《复变函数》，高等教育出版社05.吴品三编，《近世代数》，高等教育出版社06.熊金城编，《点集拓扑》，高等教育出版社07.白峰杉编，《数值计算引论》，高等教育出版社08.曹汝成编，《组合数学》，华南理工大学出版社09.茆诗松等编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社 2014年全国硕士研究生招生考试考生进入复试的初试成绩基本要求(学术学位类) 学科门类(专业) A类考生*B类考生* 备注总 分 单科 （满分 单科 （满分 总 分 单科 （满分 单科 （满分 名称=100 分）>100分） =100分）>100分）哲学2904060 2803756*A 类考生：报考地处一区招生单位的考生。*B 类考生：报考地处二区招生单位的考生。一区系北京、天津、河北、山西、辽宁、吉林、黑龙江、上海、江苏、浙江、安徽、福建、江西、山东、河南、湖北、湖南、广东、重庆、四川、陕西等21省(市)；二区系内蒙古、广西、海南、贵州、云南、西藏、甘肃、青海、宁夏、新疆等10省(区)。*工学照顾专业:力学[0801]、冶金工程[0806]、动力工程及工程热物理[0807]、水利工程[0815]、地质资源与地质工程[0818]、矿业工程[0819]、船舶与海洋工程[0824]、航空宇航科学与技术[0825]、兵器科学与技术[0826]、核科学与技术[0827]、农业工程[0828]。*中医类照顾专业：中医学[1005]、中西医结合[1006]。*享受少数民族政策的考生：①报考地处二区招生单位，且毕业后在国务院公布的民族区域自治地方就业的少数民族普通高校应届本科毕业生考生；或者②工作单位在国务院公布的民族区域自治地方，且定向就业原单位的少数民族在职人员考生。经济学3304568 3204263法学 31544663054162教育 学(不 含体 育学) 3154212630539117文学 35055833405278历史 学 3104212630039117理学 28538572753553工学 (不含 工学 照顾 专业) 28538572753553农学 25534512453147医学 (不含 中医 类照 顾专 业) 2853811427535105军事 学 29038572803553管理 学 33548723254568艺术 学 32534513153147体育 学 265341022553193工学 照顾 专业* 27537562653451中医2803711127034102 数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ， 0 再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+∈R c b a ,,证明||||2222c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是 22b a +，OC 的长度是22c a +， a c b ),(b a A ),(c a C x y O 华东师范大学2004数学分析 一、（30分）计算题。 1、求12 0)2 (cos lim x x x x -→ 2、若)),sin(arctan 2ln x x e y x +=-求'y . 3、求?--dx x xe x 2) 1(. 4、求幂级数∑∞=1n n nx 的和函数)(x f . 5、L 为过)0,0(O 和)0,2(π A 的曲线)0(sin >=a x a y ,求?+++L dy y dx y x .)2()(3 xdx a x da dy x a y cos sin ,sin === 6、求曲面积分??++S zdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧. . 二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x 2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续. 3、若)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，则∑?=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 1 10)()()1()(1lim . 4、若∑∞=1n n a 收敛，则∑∞ =12n n a 收敛. 5、若在2R 上定义的函数),(y x f 存在偏导数),(y x f x ,),(y x f y 且),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在(0,0)上可微. 6、),(y x f 在2R 上连续,})()(|),{(),(2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若??=>??r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(00 则.),(,0),(2R y x y x f ∈= 三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞ → 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上 2000数学分析研究生入学考试试题 2000年硕士学位研究生入学考试数学分析试题专业：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论 一、填空题（每小题3分，共30分） 1、设=(-1)+sin ,=1,24n n n a n π…，则lim =____ n n a →∞， lim =____ n n a →∞ ；2、设()x x f x x x ?=???，为有理数，为无理数 ，x R ∈。则()f x 在=____x 处连续；3、10lim =____ ;1+n n x dx x →∞∫4、10lim(sin +cos )=____ ; x x x x →5、方程330x x c ?+=（c 为实常数）在区间[0,1]中至少有____个根； 6、设22()n n dx I x a ∫=+，(1,n n >自然数，写出+1n I 的递推公式+1=____ ; n I 7、设sin cos 0u(,)(),x y x y f t dt +∫=()f t 是可微函数，则=____ ; du 2000数学分析研究生入学考试试题 8、设(,)f x y 在0(2,0)p 处可微，且在0p 处指向1(2,2)p 的方向导数是1，指向原点的方向导数是3?，则在处指向2(1,2)p 的方向导数是____ ; 9、写出函数2sin x 在0x =处的幂级数展开式，2sin =____ ; x 10、曲线22cos ,sin ,02x a t y a t t π==≤≤的弧长=____ ; s 二、（12分）设()f x 在[0,)∞上连续，lim ()x f x →+∞存在， 证明：()f x 在[0,)∞上可取得最大值或最小值。 三、（12分）设函数(,) z z x y =由方程222()z x y z yf y ++=所确定，其中f 是可微函数，求证：222()22z z x y z xy xz x y ????+=?? §２数集?确界原理 【教学目的】1．使学生知道区间与邻域的表示方法； 2．使学生深刻理解确界的与确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用. 【教学重点】确界的概念及其有关性质（确界原理）. 【教学难点】确界的定义及其应用. 引言 为了以后表述的方便，本节课我们先定义实数集Ｒ中的两类重要的数集——区间与邻域；并讨论有界集与无界集；最后再由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.后者是我们以后关于实数理论研究的基础，应给予充分重视. 一 区间与邻域 １．区间（用来表示变量的变化范围） 设,a b R ∈且a b <. {}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,) .|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ???? ∈<<=???? ∈≤≤=??∈≤<=?????∈<≤=??? ? ?∈≥=+∞?∈≤=-∞?? ∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间? ?? ?? ? ? ?????? 注：∞+读作正无穷大；∞-读作负无穷大。 ２．邻域 联想字面意思：“邻近的区域”. 设a 为任一给定实数，δ（Delta----德耳塔）为一给定正实数. (1) 点a 的δ邻域：{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+ (2)点a 的空心δ邻域：{}),(),(||0)(δδδδ+?-=<-数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编
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