华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总
华南师范大学数学科学学院613数学分析考研初试概况解题技巧历年真题答案详解考试大纲
《华南师范大学考研613数学分析复习全析（含真题答案，共四册）》由鸿知华师考研网依托多年丰富的教学与辅导经验，与该专业课优秀研究生合作汇编而成。
全书内容紧凑权威细致，编排结构科学合理，为参加华南师范大学考研的考生量身定做的必备专业课资料。
《华南师范大学考研613数学分析复习全析（含真题答案）》全书编排根据：华东师范大学数学系《数学分析》名校经典教材《数学分析》===往年华南师范大学考研参考书目===刘名生等编《数学分析（一）》、《数学分析（二）》；耿堤等编《数学分析（三）》，科学出版社结合提供的往年华师考研真题内容与答案解析，帮助报考华南师范大学硕士研究生的同学通过华师教材章节框架分解、配套的习题讲解及相关985、211名校考研真题与解答，帮助考生梳理指定教材的各章节内容，深入理解核心重难点知识，把握考试要求与考题命题特征。
通过研读演练本书，达到把握教材重点知识点、适应多样化的专业课考研命题方式、提高备考针对性、提升复习效率与答题技巧的目的。
同时，透过测试演练，以便查缺补漏，为初试高分奠定坚实基础。
适用范围适用院系：数学科学学院：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论、数学教育适用科目：613数学分析内容详情本书包括以下几个部分内容：一、考试解读：part 1 学院专业考试概况①学院专业分析：含学院基本概况、考研专业课科目:613数学分析的考试情况；②科目对应专业历年录取统计表：含华南师范大学数学学院各专业的历年录取人数与分数线情况；③历年考研真题特点：含华南师范大学考研专业课613数学分析各部分的命题规律及出题风格。
part 2 历年题型分析及对应解题技巧根据华南师范大学613数学分析考试科目的考试题型（计算题、证明题等），分析对应各类型题目的具体解题技巧，帮助考生提高针对性，提升答题效率，充分把握关键得分点。
part 3 近年真题分析最新真题是华南师范大学考研中最为珍贵的参考资料，针对最新一年的华师考研真题试卷展开深入剖析，帮助考生有的放矢，把握真题所考察的最新动向与考试侧重点，以便做好更具针对性的复习准备工作。
2022年华南师范大学高等代数考研真题-图文
2022年华南师范大学高等代数考研真题-图文
1、（每小题5分，30分）写出下列概念的定义（1）齐次线性方程组A某0的基础解系；（2）本原多项式；
（3）线性变换的本征子空间；
（4）欧式空间V中向量在子空间W上的正射影；（5）实二次型
f(某1,某2,,某n)的典范形式；（6）正定矩阵。
2、（20分）设f(某)是有理数域Q上的多项式，ac是f(某)的无理根，（a,cQ,c是无理数），证明:（1）(某(ac))(某(ac))|f(某)；
（2）设g(某)是有理数域Q上的首项系数为1的4次多项式，12，1i是g(某)的根，求g(某)。
3、（20分）用线性方程组理论证明：n次多项式至多有n个互异的根。
4、（20分）设是F4的线性变换，1(1,0,0,0)，2(0,1,0,0)，
3(0,0,1,0)，
4(0,0,0,1)，(1)(1,3,4,2)，(2)(1,2,2,1)，(3)(3,7,8,0)，
)和核空间ker()的(4)(5,12,14,1)，求此线性变换的像空间Im(基和维数。
001，问某为何值时，矩阵A能对角化？并证11某5、（20分）设A100明你的结论。
12016、（20分）设A11111201，A某0的解空间为W，求W的一个1111规范正交基。
7、（20分）设V是数域F上n维向量空间，，z是V上的两个线性变换，在F上有n个互异的本征值，证明：是z的本证向量当且仅当zz 的本征向量都2022年华南师范大学高等代数硕士研究生入学考试试题。
华南师范大学数学分析与高等代数2005
华南师范大学2005年硕士研究生入学考试试题考试科目：数学分析与高等代数适用:课程与教学论 基础数学 计算数学 应用数学 运筹学与控制论数学分析部分(75分)一 计算题(每小题8分 ) 1 ,求 3cos(sin )cos limsin x x xx→-2求3sec xdx ⎰ 3求2222(,)(0,0)limx y x yx y→+4 求224Lxdy ydxyx -+⎰其中L:222(1)y R x +-=,0<R ≠1,取逆时针方向二 证明题(每小题9分)1证明 :对21,,()2a ba ba b R ee e +∀∈≤+;2设()121lim 0,:lim......0n nx x a naaa →∞→∞=+++=证明3设f(x)在(0,1)上连续,()01lim lim x x f x →+→-==-∞,证明 ()f x 在()0,1内取到最大值三 讨论题(每题8分) 1,讨论级数()1111111323232311111111......2135246(2)n n -+-+-++-+-的敛散性2设0,0,αβ>>讨论0sin x dx xβα+∞⎰的敛散性(包含条件收敛和绝对收敛)高等代数部分(75分)一(15分) 令()f x 与()g x 是数域F 上的多项式,a,b,c,d ∈F 且ad-bc ≠0,证明()()()()()()()(),,af x bg x cf x dg x f x g x ++=二 (15分)设非零实1⨯n 矩阵A=()12,,...n a a a1 求A A ，及秩(A A ，)2求A A ，的特征值;3 求A A ，的特征值对应的特征向量三 (15分) 设F 是数域,[]()[](){}|n F x f x F x f x n =∈∂< 定义向量空间[]n F x 上 的线性变换σ如下()()()()()[]()'nf x xf x f x f x F x σ=-∀∈1 求子空间Ker σ=()[]()(){}|n f x F x f x σ∈=,[]()()()[]{}|nnF x f x F x σσ=∈2 证明[]n F x =ker σ⊕σ([]n F x )四 (15分) 设A 是正定矩阵,证明1 ,1A -,kA,m A (m 是正整数),*A 都是正定矩阵2 ()1110...,0(0,1,2...)mm m m j g x a x a xa x a a i m --=++++≥=有一个为正,则g(A)正定五 (15分) 设V 是n 维欧氏空间,{}1,2,...n ααα是V 的标准正交基, {}12,...,,n βββ是V 中一组向量且()12,...,,n βββ=()1,2,...n αααA, A 为n 阶实方阵.证明{}12,...,,n βββ是V 的标准正交基当且仅当A 是正交矩阵。
华南师范大学《613数学分析》历年考研真题专业课考试试题
2005年华南师范大学数学分析考研真题
2004年华南师范大学数学分析考研真题
2003年华南师范大学数学分析考研真题
2000年华南南师范大学数学分析考研真题
2013年华南师范大学数学分析考研真题
2010年华南师范大学数学分析考研真题
2009年华南师范大学数学分析考研真题
2008年华南师范大学数学分析考研真题
2007年华南师范大学数学分析考研真题
2006年华南师范大学数学分析考研真题
目 录
2014年华南师范大学数学分析考研真题 2013年华南师范大学数学分析考研真题 2010年华南师范大学数学分析考研真题 2009年华南师范大学数学分析考研真题 2008年华南师范大学数学分析考研真题 2007年华南师范大学数学分析考研真题 2006年华南师范大学数学分析考研真题 2005年华南师范大学数学分析考研真题 2004年华南师范大学数学分析考研真题 2003年华南师范大学数学分析考研真题 2000年华南师范大学数学分析考研真题
华南师范大学2013高代真题
华南师范大学2013年研究生入学考试高等代数 试题一 （20分）名词解释1.最大公因式2.多项式标准分解式3.向量空间基4.余子空间5.正交变换二 （20分）求一三元多项式，使它的三个根是32x ax bx c +++的三个根的平方。
三 （20分）已知22222222a a a aa a a a A a a a aa a aa a ++=++，求 (1) A ， (2) ()r A 。
四 （20分）已知线性方程组12341234123412342572227(15)7611524861x x x x x x x a x x x x x x x x x b -++=⎧⎪-+++=⎪⎨-+--=⎪⎪-++=+⎩ (1)讨论方程组有解和无解时a ，b 应满足的条件，(2)在方程组有解时求出方程的全部解。
五 （20分）已知 123,,ααα和123,,βββ是两组基，且()()123123111,,,,101011βββααα⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，012323αααα=-++变换σ满足()()()112233121232313x x x x x x x x x σαααααα=++→-+-+-（1）求dim Im σ和dim Ker σ（2）求()0σα在123,,βββ下的坐标（3）求2σ在123,,βββ下的矩阵六 （25分）已知101062122A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，满足()'A αβαβ=（1）求证()αβ是内积（2）求3R 关于这个内积构成的欧式空间的一个规范正交基。
七 （25分）已知线性变换σ满足2σσ=且σ非0和单位变换，（1）证明0和1是其特征值；（2）证,Im Ker σσ分别是0和1的特征子空间，且 ()Ker V σξσξξ=-∈（3）证明存在V 的一个基，在此基下矩阵为000rE ⎛⎫⎪⎝⎭.。
2010年华南师范大学高等代数考研真题
2010年华南师范大学高等代数一、概念题（３０分）１、写出函数在复数及实数域上的标准形式。
２、写出行列式按行（或列）展开的展开式。
３、正交变换的４个充要条件。
二、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++++=++++-=---=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x 473323622251543215432543154321a 、b 在什么情况下无解，有唯一解，有无穷多组解，在无穷多组解的情况下写出特解。
三、证明：秩Ａ＋秩Ｂ＝秩⎪⎪⎭⎫⎝⎛B O O A ≤秩⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C A 0 四、求证1))(),((=x g x f 充要条件是1))()(),()((=+x g x f x g x f 五、Ａ＝)...,,(21n a a a ，Ｂ＝),...,,(21n b b b ，Ｂ是Ａ通过行初等变换而成。
证明：１、0...2211=+++n n x a x a x a 的充要条件是0...2211=+++n n x b x b x b ２、ir i i a a a ,...,21是Ａ的极大线性无关组的冲要条件是in i i b b b ,...,21的极大线性无关组。
六、有两组向量组)0,1,1(1=α，)1,0,1(2=α，)1,1,0(3=α，及)1,1,2(1-=β，)2,1,1(2-=β，)2,1,2(3-=β，其中i i βασ=)(，i ＝1,2,3求：１、),,(321ααα到),,(321βββ的过度矩阵２、σ分别在基),,(321ααα和),,(321βββ下的矩阵３、求)4,4,3(-=ξ在基),,(321ααα和),,(321βββ下的坐标。
七、已知zx yz xy z y x f 222),,(--=，用正交变换化f 为标准形式。
华南师范大学 2007年1．回答问题(1) 设)(),(x g x f 是数域F 上的多项式，在什么条件下，由)(|)(),(|)(x h x g x h x f 可推出)(|)()(x h x g x f ；(2) 下列变换那些保持矩阵的秩不变：初等变换B A →，相似变换AT T A 1-→，转置变换'A A →，右乘变换AC A →，正交变换AT T A '→；(3) 写出n 阶方阵A 可逆的五个等价条件；(4) 在欧氏空间V 中，写出向量组m ααα,,,21 正交化后得到的正交向量组m βββ,,,21 ；(5) 写出实二次型),,,(21n x x x f 的规范形，并对此规范形写出符号差和秩。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2000年华南师范大学数学分析一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4sin)1(===+-=∞→∞→n n n n nn a a n n a 则 π；2.设处连续；在则为无理数为有理数____)(, , ,)(=∈⎩⎨⎧-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 10=+⎰∞→dx xx n n4._________;)cos (sin lim 10=+→xx x x5.方程)(032为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根； 6._______;__________),1()(1122=>+=++⎰n n n n I I n n a x dxI 的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cos sin 0==⎰+du t f dt t f y x u yx 是可微函数，则8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________;9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2=x 10.曲线π20,sin ,cos 33≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________.二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞→存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或最小值.三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(222yz yf z y x =++所确定，其中f 是可微函数，试证：xz yz xy x z z y x 22)(222=∂∂+∂∂--.四、（12分）求极限：)22211(lim 222nn nn n n n n ++++++++∞→ .五、（12分）已知a,b 为实数，且1<a<b,证明不等式：ab b a ln ln )1(1+>+）（.六、(12分)计算曲面积分：.32dxdy z dzdx y xdydz I S++=⎰⎰其中S 是球面1222=++z y x 的外侧.七、(10分)设0)(≥x u n ,在[a,b]上连续，n=1,2,…,∑∞=1)(n nx u在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证明：∑∞=1)(n nx u在[a,b]上一致收敛于f(x).2003年华南师范大学数学分析一、(12分)求极限).)12)(12(1531311(lim +-++⋅+⋅∞→n n n 二、(12分)设{}.,11,11:),(2dxdy x y y x y x D D⎰⎰-≤≤-≤≤-=求积分三、(12分)证明∑∞=+1331n xn nx在[a,b]上一致收敛(其中，0<a<b<+∞);在(0,+∞)上不一致收敛；并证明：函数S(x)=∑∞=+1331n x n nx在(0,+∞)上连续.四、(12分)求第二型曲线积分dy x dx y L 333132+-⎰，其中，12:22=+y x L ，取逆时针方向。
五、(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果)(lim x f ax +→和)(lim x f x +∞→都存在(有限)，那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。
问：逆命题是否成立如成立，请证明之；否则，请举反例。
六、(15分)设dx y x f a⎰+∞),(关于],[d c y ∈一致收敛，而且，对于每个固定的],[d c y ∈，f(x,y)关于x 在[a,+∞)上单调减少。
求证：当+∞→x 时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于],[d c y ∈一致地收敛于0.2004年华南师范大学数学分析1.(12分)设,,2,1,)11( =+=n na nn 证明数列{}n a 严格单调增加且收敛。
2.(12分)求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f 的导函数，并讨论导函数的连续性。
3.(12分)求幂级数n n n n x n )21(])1(2[1--+∑∞=的收敛半径和收敛域。
4.(12分)求函数⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x x f 0,00,1)(的Fourier 级数，并由此求数列级数：++-+++-121)1(51311n n 的和。
5.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0<a<b)，f(a)≠f(b)，证明：存在),(b a ∈ηξ，，使得ab a b f f ln ln ))(()(--'='ηξξ。
6.(15分))(0M B r 是以),,(0000z y x M =为心，r 为半径的球，)(0M B r ∂是以M 0为心，r 为半径的球面，f(x,y,z)在R 3上连续，证明：dS z y x f dxdydz z y x f dr dM B M B r r ⎰⎰⎰⎰⎰∂=)()(00),,(),,(2005年华南师范大学数学分析一、计算题（4*8=32分） 1.求xxx x 30sin cos )cos(sin lim-→.2.求dx x ⎰3sec .3.求2222)0,0(),(lim y x y x y x +→.4.求⎰+-L y x ydx xdy 224.其中10,)1(222≠<=-+R R y x L ：,取逆时针方向。
二、证明题（3*9=27分） 1.证明：对)(21,,2b ab a e e eR b a +≤∈∀+； 2.设0lim =∞→n n a ，证明：0lim21=+++∞→na a a nn ；3.设f(x)在(0,1)上连续，-∞==-+→→)(lim )(lim 1x f x f x x ，证明:f(x)在(0,1)内取到最大值.三、讨论题（2*8=16分） 1.讨论级数 +--++-+-+-31213121312131)2(1)12(161514131211n n 的敛散性。
2.设0,0>>βα，讨论dx x x ⎰∞+0sin αβ的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。
2006年华南师范大学数学分析1.(15分)假设)(lim 30x f x →存在，试证明：)(lim )(lim 30x f x f x x →→=.2.(15分)假设f(x)在[a,b]上为单调函数，试证明：f(x)在[a,b]上可积。
3.(15分)假设),2,1)(( =n x u n 在[a,b]上连续，级数∑∞=1)(n n x u 在(a,b)上一致收敛，试证明：（i ）∑∞=1)(n n a u ,∑∞=1)(n n b u 收敛； (ii)∑∞=1)(n n x u 在[a,b]上一致收敛。
4.(15分)假设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=)0( 0)0( ),(2222222y x y x y x yx y x f ,试证明:f(x,y)在(0,0)连续，且偏导数存在，但此点不可微。
5.(15分)计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x I s222++=⎰⎰，其中s 为锥面)0(222h z z y x ≤≤=+所示部分，方向为外侧。
2007年华南师范大学数学分析1.(15分)证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 2收敛，并求其极限.2.(15分)f(x)在x=0的邻域U(0)内有定义，且f(x)=f(-x). (1).(5分)如果f(x)在U(0)可导，证明0)0(='f ；(2).(10分)只假定)0(f '存在，证明0)0(='f .3.(15分)求积分： ,2,1,0,sin 20=⎰n dx x n π.4.(15分)判别函数列),(,1)(22+∞-∞∈+=x xn xx f n 的一致收敛性.5.(15分)设1222=++z y x ，求xz∂∂和22x z ∂∂.6.(15分)利用22π=⎰∞+-dx e x 和分部积分法求dx e x ax )1(122-+∞-⎰，其中a>0.7.(20分)设L 是平面区域Ω的边界曲线，L 光滑。
u(x,y)在Ω上二阶连续可微，用格林公式证明：ds n udxdy y u x u L⎰⎰⎰∂∂=∂∂+∂∂Ω)(2222.其中n 是L 上的单位外法向量，n u ∂∂是u 沿n 方向的方向导数.8.(20分)设f(x)的导函数)(x f '在[0,1]上连续，且)0(f '>0，证明瑕积分)1(,)0()(1>-⎰p dx xf x f p.当1<p<2时收敛，p ≥2时发散.9.(20分)设f(x)在[0,+∞)上一致连续，且对任何]1,0[∈x ，有.0)(lim =+∞→n x f n 证明：.0)(lim =+∞→x f x2008年华南师范大学数学分析一.(15分)设.0lim ,10,lim ,01=<≤=>∞→+∞→n n nn n n u a a u u u 证明二.(15分)设R S ⊂为有界集，证明必存在数列{}.sup lim ,S x S x n n n =⊂∞→使三.(15分)设⎩⎨⎧+=为无理数为有理数x x x x x x f ,,)(2(1)证明若0≠x ，则f 在x 处不连续；(2)计算)0(f '.四.(15分)设n 为自然数，求不定积分xdx x I n n cos ⎰=的递推公式，并计算xdx x cos 3⎰.五.(20分)(1)设]23,0[,2sin2)(1∈=∑+∞=x x n x x s n n n π，证明).1(),1()(lim 1s s x s x 并求=→(2)证明函数项级数x x n n cos )cos 1(1∑+∞=-在x=0的邻域U(0)内不一致收敛.六.(15分)求函数)arctan(xyz =在位于圆)23,21(0222上一点=-+x y x 处沿这圆周切线方向的方向导数（切线倾斜角παα<≤0的范围是）。
七.(15分)设有n 个实数012)1(3,,,12121=--++--n a a a a a a n n n 满足，证明方程)2,0(0)12cos(3cos cos 21π在区间=-+++x n a x a x a n 中至少有一个根。
八.(20分)设dx x f ⎰+∞∞-)(收敛，证明函数),()cos()()(+∞-∞=⎰+∞∞-在dx x x f g αα上一致连续。