广州市高二下学期期末数学试卷(理科)(II)卷
2022-2023学年广东省广州市高二下学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省广州市高二下学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}03M x x =<<，163N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则()R M N ⋂=ð（）A ．{}06x x <≤B ．133x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}36x x <≤D ．{}36x x ≤≤【答案】D【分析】先求集合M 的补集R M ð，再取R M ð与集合N 的交集即可.【详解】由{}03M x x =<<，可得{}R 03M x x x =≤≥或ð则(){}{}R 1036363M N x x x x x x x ⎧⎫⋂=≤≥⋂≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭或ð故选：D 2．复数4i1iz =+，则z =（）A ．22i --B ．22i-+C ．22i+D ．22i-【答案】D【分析】先计算z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】根据复数除法的运算法则可得41i z i =+()()()414422112i i i i i i -+===+-+，所以可得其共轭复数22z i =-.故选：D.3．函数(sin sin 2)y x x x =-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD ，即可.【详解】由()(sin sin 2)y f x x x x ==-，得()()()()()sin sin 2sin sin 2f x x x x x x x f x -=----=--+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故排除BD.当π2x =时，ππππ(sin sin π)02222y f ⎛⎫==-=> ⎪⎝⎭，排除A.故选：C.4．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为35π，则原圆锥的母线长为（）A ．2B ．5C ．4D ．25【答案】D【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解.【详解】设圆台的母线长为l ，因为该圆台侧面积为35π，则由圆台侧面积公式可得π(12)3π35πl l +==，所以5l =，设截去的圆锥的母线长为l '，由三角形相似可得12l l l '='+，则25l l ''=+，解得5l '=，所以原圆锥的母线长5525l l '+=+=，故选：D .5．某兴趣小组研究光照时长x （h ）和向日葵种子发芽数量y （颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉()10,2D 后，下列说法正确的是（）A ．相关系数r 变小B ．决定系数2R 变小C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强【答案】D【分析】从图中分析得到去掉()10,2D 后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可．【详解】从图中可以看出()10,2D 较其他点，偏离直线远，故去掉()10,2D 后，回归效果更好，对于A ，相关系数r 越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D 后，相关系数r 变大，故A 错误；对于B ，决定系数2R 越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D 后，决定系数2R 变大，故B 错误；对于C ，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D 后，残差平方和变小，故C 错误；对于D ，若去掉()10,2D 后，解释变量x 与预报变量y 的相关性变强，且是正相关，故D 正确．故选：D ．6．已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，然后再比较43342log 3,2,2-的大小，再根据函数的单调性可得结果【详解】()f x 的定义域为R ，因为()()()e e ee ()22x xxx x x f x f x ------===，所以()f x 为偶函数，所以()()2221log log 3log 33a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，443322c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x >时，()()()e e e e 2xx x xx f x ---++'=，因为0x >，所以e 1,0e 1x x -><<，所以e e 0x x -->，(e e )0x x x -+>，所以()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为2x y =在R 上单调递增，且340143-<<<，所以43013402222-<<<<，即433402122-<<<<，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，即21log 32<<，所以4334202log 32-<<<，所以()433422log 32f f f -⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选：A7．已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率大于零的直线l 与1C 及抛物线22:4C y x =-的所有公共点从左到右分别为点A B C ､､，则BC =（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】设直线l 的方程为1(0)x my m =+>，代入22:4C y x =-，化简后由Δ0=求出m 的值，从而可得直线方程，再代入21:4C y x =化简，结合弦长公式可得答案.【详解】由题意可得()1,0F ，设直线l 的方程为1(0)x my m =+>，由题意可得直线l 与抛物线1C 必有2个交点，与抛物线2C 相切，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=-⎩，可得2440y my ++=，所以2Δ16160m =-=，解得1m =，故直线l 的方程为1x y =+，与抛物线1C 方程联立214x y y x=+⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，设()()1122,,,B x y C x y ，则126x x +=，所以1228BC x x =++=.故选：C.8．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距,a b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记(),P a b .若斜坐标系中，x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ，则该坐标系中()11,M x y 和()22,N x y 两点间的距离为（）A ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+-+--B ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+----C ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+-+--D ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+----【答案】A【分析】建立直角坐标系，求出直角坐标，即可得解.【详解】以O 为坐标原点,原x 轴正方向为x 轴，垂直于x 轴的方向为y 轴建立平面直角坐标系，则在直角坐标系下，()111cos s n ,i M x y y θθ+，()222cos s n ,i N x y y θθ+,则()()22211221cos cos sin sin MN x y x y y y θθθθ+---=+()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ=-+-+--.故选：A.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．若随机变量X 服从两点分布，1(1)2P X ==，则()12E X =B ．若随机变量Y 的方差()2D Y =，则(32)8D Y +=C ．若随机变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则1(3)4P ξ==D ．若随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，则(28)0.8P η<<=【答案】ACD【分析】根据二点分布的期望公式，可判定A 正确；根据方差的性质，可判定B 错误；根据二项分布的概率计算公式，可判定C 正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定D 正确.【详解】对于A 中，由随机变量X 服从两点分布且1(1)2P X ==，则()11122E X =⨯=，故A 正确；对于B 中，由随机变量Y 的方差()2D Y =，可得()2(32)318D Y D X +==，故B 错误；对于C 中，由变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则334111(3)C ()(1)224P ξ==-=，所以C 正确；对于D 中，由随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，根据正态分布曲线的对称性，可得(28)1(2)0.8P P ηη<<=-<=，所以D 正确.故选：ACD.10．已知函数21()3sin cos cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图象的对称轴方程为()ππZ 12x k k =+∈D ．函数()f x 的图象可由cos 2y x =的图象向左平移π12个单位长度得到【答案】AB【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的性质逐项判断作答.【详解】2131cos 21()3sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=-+=-+31πsin 2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故A 正确；函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故B 正确；由ππ2π()62x k k Z -=+∈，得ππ(Z)32k x k =+∈，故C 错误；由cos 2y x =的图象向左平移π12个单位长度，得ππcos 2cos 2cos 212623ππy x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πsin sin π2π2π223sin 33x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝+⎭⎝⎦-⎭⎣，故D 错误.故选：AB11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（）A ．事件1A ，2A 为互斥事件B ．事件B ，C 为独立事件C ．()25P B =D ．()234P C A =【答案】ACD【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB ，由组合知识求得()P B 判断C ，根据条件概率的定义求得2(|)P C A 判断D ．【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A 正确；由于是红球有3个，白球有2个，事件B 发生时，两球同为白色或同为红色，2325223225C C ()3()C C ()4C P BC P C P B ===+，事件B 不发生，则两球一白一红，()1P C =，,B C 不独立，B 错；223225C C 2()C 5P B +==，C 正确；事件2A 发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件C 才发生，所以23(|)4P C A =，D 正确．故选：ACD ．12．已知函数()sin ln f x x x =+，将()f x 的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{}n x ，对于正整数n ，则下列说法中正确的有（）A ．()1ππn n x n-<<B ．1πn n x x +-<C ．(21)π2n n x ⎧-⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列D ．()2(41)π1ln2n n f x ->-+【答案】AC【分析】()f x 的极值点为()f x '的变号零点，即为函数cos y x =与函数1y x=-图像在()0,∞+交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A 选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；BC 选项，由图像可判断选项；D 选项，注意到(41)π(41)π1ln22n n f --⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由图像可得()f x 单调性，后可判断选项.【详解】()f x 的极值点为()1cos f x x x'=+在()0,∞+上的变号零点.即为函数cos y x =与函数1y x=-图像在()0,∞+交点的横坐标.又注意到()0,x ∈+∞时，10x -<，N k ∈时，()1212cos π+ππ+πk k =-<-，N k *∈，022222πππ,∪π,πx k k ⎛⎫⎛⎫∈-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，cos 0x >.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.A 选项，注意到N k ∈时，120222ππππf k k ⎛⎫'+=> ⎪⎝⎭+，()12102ππππf k k '+=-+<+，31203222ππππf k k ⎛⎫'+=> ⎪⎝⎭+.结合图像可知当21，N n k k *=-∈，()()112π,ππ,πn x n n n n ⎛⎫⎛⎫∈-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当2，N n k k *=∈，()()()1112π,ππ,πn x n n n n ⎛⎫⎛⎫∈--⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故A 正确；B 选项，由图像可知325322π，πx x ><，则32πx x ->，故B 错误；C 选项，(21)π2n n x --表示两点(),0n x 与12π,0n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭间距离，由图像可知，随着n 的增大，两点间距离越来越近，即(21)π2n n x ⎧-⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列.故C 正确；D 选项，由A 选项分析可知，()241212π,π，N n n x n n *⎛⎫-∈-∈ ⎪⎝⎭，又结合图像可知，当()2412,πn n x x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，1cos x x >-，即此时()0f x ¢>，得()f x 在()2412,πn n x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，则()2(41)π(41)π1ln 22n n n f x f --⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，故将两相关函数画在同一坐标系下，利用图像解决问题.三、填空题13．函数()ln f x x x =⋅在e x =处的切线方程为．【答案】2ey x =-【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.【详解】因为()ln f x x x =⋅，则()e e ln e e f =⋅=，又()ln 1f x x '=+，则()e ln e 12f '=+=，所以函数()ln f x x x =⋅在e x =处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-.故答案为：2ey x =-14．若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是.【答案】60【分析】先根据二项式系数之和求出n ，然楼根据展开式的通式，令x 的次数为零即可得常数项.【详解】由12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64得264n=，解得6n =，即612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其展开式的通式为()()366621661C 212C rr r r r r rr T x xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令3602r-=得4r =，()42441612C 60T +∴=-=故答案为：60.15．某高中学校在新学期增设了“传统文化”､“数学文化”､“综合实践”､“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有种.（用数字作答）【答案】36【分析】分两类：所选课程恰有一门相同和没有相同，利用排列、组合分别求出每类的种数，再利用分类计数原理即可求出结果.【详解】当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时：相同的课程为“数学文化”时，有24A 12=种，相同的课程不是“数学文化”时，有1134C C 12=种，所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有24种，当小明和小华两位同学所选的课程没有相同时，有1243C C 12=,所以，两位同学不同的选课方案有241236+=，故答案为：3616．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（1F ，2F 为焦点）上一点，点P 处的切线平分12F PF ∠．已知双曲线C ：22142x y -=，O 为坐标原点，l 是点103,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线，过左焦点1F 作l 的垂线，垂足为M ，则OM =．【答案】2【分析】延长2PF 交1F M 延长线于点N ，结合题意得点M 为1F N 的中点，1PN PF =，从而得到212OM F N =，再结合双曲线的定义即可求解．【详解】如图，延长2PF 交1F M 延长线于点N ，因为点M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，所以点M 为1F N 的中点，所以1PN PF =，又点O 为12F F 的中点，且1224PF PF a -==，所以()()22111142222OM F N PN PF PN PF ==-=-+=．故答案为：2．四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，满足12542,30,2a b S b ===+是3b 与5b 的等差中项.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设()(1)n n n n c a b =-+，求数列{}n c 的前20项和20T .【答案】(1)2n a n =，12n n b -=；(2)202+593【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，利用12a =，515452S a d ⨯=+求出d 值即可得到{}n a 的通项公式；再由题意得4352(2)b b b +=+，结合12b =可求出q 值，进一步可得{}n b 的通项公式；（2）由()392021(246840)12222T =-+-+-++-+-+-+ ，利用等比数列求和公式，结合分组求和即可求出20T ．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为12a =，所以55410302S d ⨯=+=，解得2d =，所以22(1)2n a n n =+-=，由题意知：()43522b b b +=+，因为22b =，所以()2322222q q q +=+，解得2q =，所以12n n b -=；（2）由（1）得()11(1)22(1)2(1)2n n n n n n c n n --=-+=-⋅+-⋅，()392021(246840)12222T =-+-+-++-+-+-+ ()220200112212+59210201(2)33⎡⎤-⨯---⎣⎦=⨯+=+=--.18．近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式.可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任.某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡.食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造.为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄､褐两种颜色的蜂蜡罐，对,M N 两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：黄色蜂蜡罐褐色蜂蜡罐M 品种蜜蜂4020N 品种蜜蜂5010(1)依据小概率值0.05α=的独立性检验，分析蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐是否与蜜蜂种类有关联？(2)假设要计算某事件的概率()P B ，常用的一个方法就是找一个与B 事件有关的事件A ，利用公式：()()()()()()()P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=⋅+⋅求解，现从装有a 只M 品种蜜蜂和b 只N 品种蜜蜂的蜂蜡蠸中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M 品种蜜蜂为事件A ，第二次抽到M 品种蜜蜂为事件B ，求()P B （用,a b 表示()P B ）附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】(1)蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联；(2)()a P B a b =+【分析】（1）由已知数据结合公式求2χ，比较其与临界值的大小，由此确定蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，进一步求频率判断；（2）由古典概型概率公式和条件概率公式求()()()(),,,P A P B A P A P B A ，再代入所给公式求解.【详解】（1）根据列表得2212060040 4.444 3.841609309χ⨯==≈>⨯⨯，所以依据0.05α=的独立性检验，蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，M 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为23，M 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为13，N 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为56，N 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为16，依据频率分析，M 品种的蜜蜂选择褐色蜂蜡罐的频率是N 品种的蜜蜂的两倍，所以品种M N ､的蜜蜂选择进入黄色蜂蜡罐与褐色蜂蜡罐有显著差异；（2）由已知上式知，()()()()1,,,11a a b a P A P B A P A P B A a b a b a b a b -====++-++-则()()()()()()()P B P AB P AB P A P B A P A P B A=+=⋅+⋅，所以1()11a a b a P B a b a b a b a b -=⋅+⋅++-++-，所以()()()()11a a b a P B a b a b a b +-==++-+，所以()a P B a b =+.19．如图，在平面四边形ABCD 中，4AC =，BC CD ⊥．(1)若2AB =，3BC =，15CD =，求△ACD 的面积；(2)若2π3B ∠=，π6D ∠=，求3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的最大值．【答案】(1)7154(2)463【分析】（1）先用余弦定理求出cos ACB ∠，再利用面积公式求解；（2）设BCA θ∠=，运用正弦定理分别表示出,BC AD ，再利用恒等变换以及三角函数的性质求解.【详解】（1）在ABC 中，22216947cos 22438AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯，因为BC CD ⊥，所以7sin cos 8ACD ACB ∠=∠=，所以ACD 的面积117715sin 4152284S AC CD ACD =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=；（2）设BCA θ∠=，π03θ<<，则π2ACD θ∠=-，π3BAC θ∠=-．在ABC 中，2ππsin sin 33BC AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8πsin 33BC θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在ACD 中，ππsin sin 62AD AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8cos AD θ=，所以31438π4cos sin 62333AD BC θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭434346πcos sin sin 3334θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当π4θ=时，3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭取得最大值463；综上，ACD 的面积为7154，3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的最大值463.20．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，2AB AP ==，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点.(1)求证：平面EFG⊥平面PAC；(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为13，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥E ABG-体积.【答案】(1)证明见解析(2)1 9【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用坐标法求出G点坐标，然后求解即可.【详解】（1）证明：如图：连接BD，在正方形ABCD中BD AC⊥，又PA⊥平面ABCD，故PA BD⊥.而PA，AC是平面PAC上的两条相交直线，所以BD⊥平面PAC.在PBD△中，EF为中位线，故EF BD∥.所以EF⊥平面PAC.又EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAC.（2）如图：以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()002P ,,，()0,2,0D ，()1,0,1E ，()0,1,1F ，()1,0,1AE =uuu r ，()0,1,1AF = ，设平面AEF 的一个法向量为()111,,m x y z = ，则00AE m AF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x z y z +=⎧⎨+=⎩，取()1,1,1m =- ，设101,2PG PC λλλ⎛⎫=<<≠ ⎪⎝⎭ ，则(0,0,2)(2,2,2)(2,2,22)AG AP PG AP PC λλλλλ=+=+=+-=- .则222621sin cos ,3344(22)m AG λθλλλ-===⨯++- ，整理得212810λλ-+=，解得16λ=或12λ=（舍去），故16PG PC = ，故G 到平面PAB 的距离1163h BC ==，故1226EBG S BE h =⋅=△.因为()()1,0,10,1,00AE BC ⋅=⋅= ，所以AE BC ⊥，又()()1,0,12,0,20AE BP ⋅=⋅-= ，所以AE BP ⊥，又BP BC P = ，所以EA ⊥平面PBC ，故A 到平面BEG 的距离为2EA =.三棱锥E ABG -体积为112123369E ABG A EBG EBG V V S EA --==⋅=⨯⨯=△.21．已知函数()()2ln 21f x a x x a x =+-+，其中0a >.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当102a <<时，判断函数()f x 零点的个数.【答案】(1)答案见解析(2)一个零点，理由见解析【分析】（1）求出()f x '，分12a =、102a <<、12a >讨论可得答案；（2）由（1）当102a <<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得函数()f x 的极大值()f a ，再利用导数证明()0f a <可得答案.【详解】（1）()()()()()212210x x a a f x x a x x x --'=+-+=>，令()0f x '=得21,2x x a ==，当12a =时，()0f x '≥，则函数()f x 在()0,∞+上单调递增，当102a <<时，0x a <<或12x >时，()0f x ¢>，12a x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当12a >时，102x <<或x a >时，()0f x ¢>，12x a <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),a +∞上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述，当12a =时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当102a <<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当12a >时，函数()f x 的单调递增区间为在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),a +∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）当102a <<时，函数()f x 仅有一个零点的个数，理由如下，由（1）得当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 在()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；则函数()f x 的极大值为()()()2ln 21ln 1f a a a a a a a a a =+-+=--，且极小值为()12f f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令()ln 1g x x x =--，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1110x g x x x -'=-=>，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()g x 在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()13ln 2022g x g ⎛⎫<=--< ⎪⎝⎭，所以当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()ln 10f a a a a =--<，()()()()224222e ln e e 21e e 1e 2f a a a =+-+=--，因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,1a ∈，22e 10,e 20a ->->，可得()2e 0f >，如下图，作出函数()f x 的大致图象，由图象可得当102a <<时，函数()f x 仅有一个零点的个数.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想与运算求解能力.22．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点()23P ,，且它的离心率12e =（I ）求椭圆的标准方程；（II ）与圆()2211x y -+=相切的直线:l y kx t =+交椭圆于M 、N 两点，若椭圆上一点C 满足OM ON OC λ+= ，求实数λ的取值范围【答案】（1）22186x y +=；（2）()()2,00,2-⋃【分析】（1）根据题意先设出椭圆的标准方程，然后根据椭圆上的点及离心率可求出方程中的待定系数，进而可得所求的方程；（2）由直线和圆相切可得212t k t-=(t≠0)，然后将直线方程代入椭圆方程后得到关于x 的一元二次方程，根据根据系数的关系可得点C 的坐标，代入椭圆方程后整理得到2222222234111t k t t λ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，根据t 的范围可得202λ<<，进而得到所求范围．【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，，，解得2286a b ⎧=⎨=⎩，，所以椭圆的标准方程为22186x y +=.（2）因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，所以21t kk ++＝1，整理得212t k t-=(t≠0)．由22186y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0，因为直线l 与椭圆交于M ，N 两点，所以()()()2222226443442416243180k t k t k t ∆=-=-+>＋－，将212t k t-=代入上式可得0∆>恒成立．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－2834kt k +，所以y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k(x 1＋x 2)＋2t ＝2634t k +，因为OC λ= ()1212,x x y y ++2286,3434kt t k k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭)，所以可得C ()()2286,3434kt t k k λλ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，又因为点C 在椭圆上，所以()22222834k t k λ+＋()2222634t k λ+＝1,所以2222222234111t k t t λ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为t 2＞0，所以221t ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋21t ＋1＞1，所以202λ<<，所以λ的取值范围为()()2,00,2-⋃.【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。
广东省广州市第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
广东省广州市第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知{}(){}42,lg 10A x x B x x =-≤≤=-<，则A B =I （ ） A ．{}42x x -≤< B ．{}42x x -≤≤ C ．{}12x x <<D ．{}12x x <≤2．已知复数1i z =+（i 是虚数单位），则izzz =+（ ） A ．31i 55+B ．11i 55+C ．31i 55-+D ．11i 55-+3．已知向量(3,1)a =-r ，(2,1)b m =--r ，若(2)a a b ⊥+r r r ，则m =（ ） A ．1-B ．2-C ．1D ．04．若nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128-，则展开式中2x 的系数为（ ） A ．2835- B ．945 C ．2835 D ．945-5．若π(0,)2α∈，2cos tan 232sin ααα=-，则tan α等于（ ）A B ．18C D 6．已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为12，则球与圆台的体积之比为（ ）A ．14B ．12C ．23D ．347．当a<0时，函数()()2e xf x x ax =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()1f x +为奇函数，()2g x -为偶函数，()()121f x g x -=-+，()11f -=，则()()20232024f g =（ ）A ．1-B ．1C ．2023D ．2024二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）A ．设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，若()1P X p ≥=，则(10)12P X p -<<=-B ．某人在10次答题中，答对题数为X ，()10,0.7X B :，则答对7题的概率最大C ．基于小概率值α的检验规则是：当2x αχ≥时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当2x αχ<时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立D ．将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()332f x x x =--，则（ ）A ．()f x 的极大值点为1-B ．函数()y f x = 3C ．函数()()y f f x =的零点个数为7D ．()()0f f x >的解集为()()2,02,-+∞U11．费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知1F 、2F 分别是以34y x =?为渐近线且过点()A 的双曲线C 的左、右焦点，在双曲线C 右支上一点()()0000,4,0P x y x y >>处的切线l 交x 轴于点Q ，则（ ）A ．双曲线CB ．双曲线C 的方程为221169x y -=C ．过点1F 作1F K PQ ⊥，垂足为K ，则8OK =D ．点Q 的坐标为016,0x ⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题12．等差数列{}n a 中，148121520a a a a a ++++=，则15S =．13．已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +-=，则12m n+的最小值是14．某校高三年级有(2,N )n n n *>∈个班，每个班均有(30)n +人，第k （1,2,3,,k n =⋅⋅⋅）个班中有(10)k +个女生，余下的为男生.在这n 个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是813，则n =.四、解答题15．已知a ，b ，c 分别为ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，且2cos 2a cC b-=． (1)求角B 的大小； (2)若3b =，sin C ABC V 的面积． 16．已知函数()2e ,R xf x x a x =-+∈，曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为y bx =．(1)求()f x 的解析式；(2)当x ∈R 时，求证：()2f x x x ≥-+；(3)若()f x kx ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，3AB ==，2AD DB =，O 为BC 的中点，1AO ⊥平面ABC .(1)求证：1AA OD ⊥；(2)若1AA =1BAA 和平面1AAO 夹角的余弦值. 18．已知点()2,3在双曲线2222:12x y C a a -=+上． (1)求双曲线C 的方程；(2)设点Q 为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点Q 到C 的两条渐近线的距离之积为定值；(3)过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭作斜率为k 的动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MH PNHN=．（ⅰ）求斜率k 的取值范围；（ⅱ）证明：点H 恒在一条定直线上．19．对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}n a 是“优分解”的．(1)证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．(2)记()2*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N ，，证明：如果数列{}n a 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列．(3)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．。
广东省高二下学期期末考试数学(理科)试题(含参考答案)
）
A． ? m∈ A，都有 f ( m＋ 3)>0 B ． ? m∈ A，都有 f ( m＋3)<0
C． ? m0∈ A，使得 f ( m0 ＋3) ＝ 0 D ． ? m0∈ A，使得 f ( m0＋ 3)<0
k=k+1 否
k≥3 是
输出 (x， y)
结束
7. 执行如右图所示的程序框图，输出的结果为（）
（Ⅰ）求直方图中 错误！未找到引用源。 的值；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指
标值 错误！未找到引用源。 服从正态分布 错误！未找到
引用源。，试计算数据落在 错误！ 未找到引用源。 上的概 率．
3
参考数据：若 错误！未找到引用源。 ，则 错误！未找到引用源。 ， 错误！未找到引用源。 ．
③所有的二面角中恰有 3 个是 错误！未找到引用源。 的二面角
P4
P3
D
其中 正确 的有（ ） A. ①②③ B. ②
C.③
D. ①②
2
第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（ 13）题 - 第（ 21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（ 题- 第（ 23）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分）。
（换数列，已经有了）数列的前项和为，满足 ,. （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在求出；若不存在则说明理由。
18. （本小题满分 12 分） 某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取 由测量结果得到如图频率分布直方图：
100 件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，
进行如下折叠操作：先将矩形沿折痕 错误！未找到引用源。 折起一定角度；再
广东省2021年数学高二下学期理数期末考试试卷(II)卷
广东省2021年数学高二下学期理数期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·宿迁期末) 若复数 ( 为虚数单位)为纯虚数，则实数的值为（）A . 1B . 0C .D . -12. （2分） (2016高一下·福建期中) 已知x与y之间的一组数据：x0123y m3 5.57已求得关于y与x的线性回归方程为 =2.1x+0.85，则m的值为（）A . 1B . 0.85C . 0.7D . 0.53. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) “中国梦”的英文翻译为“ ”，其中又可以简写为，从“ ”中取6个不同的字母排成一排，含有“ ” 字母组合（顺序不变）的不同排列共有（）A . 360种B . 480种C . 600种D . 720种4. （2分）(2020·温岭模拟) 已知，随机变量，n的分布列如表所示，则（）A . ，B . ，C . ，D . ，5. （2分）下列试验能构成事件的是（）A . 掷一次硬币B . 标准大气压下，水烧至100℃C . 从100件产品中任取3件D . 某人投篮5次，恰有3次投中6. （2分）(2017·鹰潭模拟) 用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a是实数，所以a的绝对值大于0”，你认为这个推理（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 是正确的7. （2分）在建立两个变量的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，他们的相关指数R2如下，其中拟合得最好的模型为（）A . R2=0.75的模型1B . R2=0.90的模型2C . R2=0.45的模型3D . R2=0.65的模型48. （2分）设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .9. （2分）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二下·沈阳期中) 下列函数求导运算正确的个数为（）① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分）(2020·江西模拟) 的展开式的各项系数之和为5，则该展开式中x项的系数为（）A . -66B . -18C . 18D . 6612. （2分） (2016高二下·肇庆期末) 若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·枣阳期中) 高二年级某班共有60名学生，在一次考试中，其数学成绩满足正态分布，数学平均分为100分，若P（x≤80）=0.1（x表示本班学生数学分数），求分数在[100，120]的人数________14. （1分）若在散点图中，所有的样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上，则相关指数R2=________ ．15. （1分）(2017·邵阳模拟) （x+3）（1﹣）5的展开式中常数项为________．16. （1分）(2014·陕西理) 观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）已知复数z满足 i(z+1)=-2+2i（ i 是虚数单位）（1）求z的虚部；（2）若求．18. （10分） (2017高二下·黑龙江期末) 为了了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名青少年进行调查，得到如下列联表：常喝不常喝总计肥胖2不肥胖18总计30已知从这30名青少年中随机抽取1名，抽到肥胖青少年的概率为．（1）请将列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关？独立性检验临界值表：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：，其中n=a+b+c+d ．19. （10分） (2018高二下·中山月考) 设数列满足，（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式（不需证明）；（2）记为数列的前项和，用数学归纳法证明：当时，有成立.20. （10分）(2020·南京模拟) 五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和3不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求的概率分布和数学期望．21. （15分）(2019·浙江模拟) 已知函数 .（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性；（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围.22. （10分） (2016高二下·南城期末) 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：sinθ=ρcos2θ，过点M（﹣1，2）的直线l：（t为参数）与曲线C相交于A、B两点．求：（1）线段AB的长度；（2）点M（﹣1，2）到A、B两点的距离之积．23. （5分）(2017·常德模拟) 已知函数f（x）=|x﹣1|，x∈R（Ⅰ）求不等式|f（x）﹣3|≤4的解集；（Ⅱ）若f（x）+f（x+3）≥m2﹣2m恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：。
广东省2020-2021年高二数学理科下学期期末考试试题(含解析)
高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.i 是虚数单位，则12ii-的虚部是（ ） A. -2 B. -1C. i -D. 2i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】由题意得221222i i i i i i--==--，所以复数12ii-的虚部是1-． 故选B ．【点睛】本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数z a bi =+的虚部为bi ，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．2.用反证法证明“方程()200++=≠ax bx c a 至多有两个解”的假设中，正确的是（ ）A. 至少有两个解B. 有且只有两个解C. 至少有三个解D. 至多有一个解【答案】C 【解析】分析：把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，即为所求． 详解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，命题：“方程ax 2+bx+c=0（a≠0）至多有两个解”的否定是：“至少有三个解”， 故选：C ．点睛：本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．3.已知函数()f x 导函数为'()f x ，且满足2()'(2)ln f x x f x =+，则'(2)f 的值为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】求出''1()2(2)f x x f x=+⋅，再把2x =代入式子，得到'(2)8f =. 【详解】因为''1()2(2)f x x f x =+⋅，所以'''1(2)4(2)(2)82f f f =+⋅⇒=.选C.【点睛】本题考查对'(2)f 的理解，它是一个常数，通过构造关于'(2)f 的方程，求得'(2)f 的值.4.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如表：则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】试题分析：由题表格；相关系数越大，则相关性越强。
广东省广州三校(广铁一中、广州外国语学校、广州大学附属中学)2023-2024学年高二下学期期末考试
广东省广州三校（广铁一中、广州外国语学校、广州大学附属中学）2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 为等差数列，且1492324a a a ++=，则11S =（ ） A ．33B ．44C ．66D ．882．已知随机变量X 的分布列为()1,1,2,3,2kP X k k ===L ，则()16P X <≤=（ ） A ．1732B ．1532C ．3364D ．31643．若()2ln f x a x bx x =++在1x =和2x =处有极值，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．(),1-∞B ．()2,+∞C ．()1,2D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦4．某学校校医研究温差x （℃）与本校当天新增感冒人数y （人）的关系，该医生记录了5天的数据，且样本中心点为()8,25．由于保管不善，记录的5天数据中有两个数据看不清楚，现用,m n 代替，已知1824m ≤≤，2634n ≤≤，则下列结论正确的是（ ）A ．在,m n 确定的条件下，去掉样本点()8,25，则样本的相关系数r 增大B ．在,m n 确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程ˆˆ2.6yx a =+，则ˆ4a = C ．在,m n 确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程ˆˆ2.6y x a =+，则当12x =时，残差为0.4D ．事件“20m =，28n =”发生的概率为155．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，O 为坐标原点，P 为双曲线C 右支上的一点，0PF OP PF OF ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，u u u r FO 在FP u u u r 上的投影向量的模为45OF u u u r ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．在x 的展开式中含3x 项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是（ ）A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第3项7．对于函数()f x ，当0x >时，()()f x f x '>.锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos cos cos b C c B a C c A +>+，设1a x b=，2sin sin A x B =，3A x B =，则（ ）A ．()()()312123e e e x x x f x f x f x >> B ．()()()312123e e e x x x f x f x f x << C ．()()()312123e e e x x x f x f x f x => D ．()()()312123e e e x x x f x f x f x =< 8．甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ） A ．209277B ．210277C ．211277D ．212277二、多选题9．已知随机变量()2,X B p :，且()23E X =，则下列说法正确的是（ ） A ．13p =B ．()89D X =C ．157229P X ⎛⎫≤≤= ⎪⎝⎭D ．()7213E X +=10．爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D 投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为34，则（ ）A ．事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥B ．“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为916C ．表演成功的环节个数的期望为3D ．在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为3411．函数ln ()ln x axf x b x x x=+++（a ，b ∈R ），下列说法正确的是（ ）A ．当0a =，不等式()0f x ≤恒成立，则b 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当0a =，函数()f x 有两个零点，则b 的取值范围是1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．当1a =，函数()f x 有三个不同的零点，则b 的取值范围是211,1e e ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D ．当1a =，函数()f x 有三个零点123,,x x x 且123x x x <<，则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为1．三、填空题12．在等比数列{}n a 中，123453116a a a a a ++++=，314a =，则1234511111a a a a a ++++=．13．某校数学建模社团对校外一座山的高度h (单位：m )进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a 米两处分别观测山顶的仰角α和β(βα>)，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型h =；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n 次测量，其误差n ε近似满足20,n N n ε⎛⎫~ ⎪⎝⎭，为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9973，至少要测量次.参考数据：若占()2,N ξμσ:，则(3,3)0.9973P μσξμσ-<+=.14．若12()e ln x x x x f x x x --=+-，设()f x 的零点分别为12,,,n x x x L ，则[]1ni i x ==∑.（其中[]a 表示a 的整数部分，例如：[2.1]2,[π]3==）四、解答题15．记()()23*2,n n S x x x x x x n =++++-∈∈R N L .(1)当2x =时，()2n S 为数列{}n a 的前n 项和，求{}n a 的通项公式；(2)记()2024S x '是()2024S x 的导函数，求()20242S '. 16．已知函数()2e xf x =，()()()21g x m x m =+∈R ，()()()h x f x g x =-.(1)当1m =时，求函数()h x 的最小值；(2)若直线()y g x =是曲线()y f x =的切线，求证：对任意的a b >，都有()()22e 2a h a h b a b-<--.17．已知四棱柱1111ABCD A B C D -如图所示，底面ABCD 为平行四边形，其中点D 在平面1111D C B A 内的投影为点1A ，且1AB AA ==2,120AD ABC ︒∠=．(1)求证：平面1A BD ⊥平面11ADD A ；(2)已知点E 在线段1C D 上（不含端点位置），且平面1A BE 与平面11BCC B的夹角的余弦值为1DE EC 的值．18．四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。
广东省2023年高二下学期数学(理)期末试卷
广东省高二下学期数学（理）期末试卷（试卷总分150分、考试时间120分钟）一、选择题（每小题5分共50分） 1.321i i =- ( ) A.1i + B.1i -C.1i -+D. 2、从211=、2231=+、23531=++、247531=+++、…、得到 ++312)12(n n =-+用的是（ ）（A ）归纳推理 （B ）演绎推理 （C ）类比推理 （D ）特殊推理3．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ） A ．25 B ．5 C ．215 D ．10 4．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．35．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种6．在8312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ） A.7 B ．7- C ．28 D ．28-7．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ） A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 8．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）A ．男生2人，女生6人B ．男生3人，女生5人C ．男生5人，女生3人D ．男生6人，女生2人.9、直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积是 （ ）A ．20B ．328 C ．332 D ． 343 10．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是 （ ）二、填空题（每小题5分共20分）11．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广州市高二下学期期末数学试卷（理科）（II）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）当＜m＜1时，复数z=（m﹣1）+（3m﹣2）i在复平面上对应的点位于（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
2. （2分） (2016高二下·海南期中) 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）
A . 0.09
B . 0.20
C . 0.25
D . 0.45
3. （2分）若P=， Q=， R=，则P，Q，R的大小关系是（）
A . P=Q>R
B . P=Q<R
C . P>Q>R
D . P<Q<R
4. （2分） (2016高二下·六安开学考) 已知命题p：＜1，q：x2+（a﹣1）x﹣a＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）
A . （﹣2，﹣1]
B . [﹣2，﹣1]
C . [﹣3，﹣1]
D . [﹣2，+∞）
5. （2分） (2016高二下·威海期末) 已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.6826，则P（X＜2）=（）
A . 0.1588
B . 0.1587
C . 0.1586
D . 0.1585
6. （2分）若函数在点P处取得极值，则P点坐标为（）
A . （2,4）
B . （2,4）、（－2，－4）
C . （4,2）
D . （4,2）、（－4，－2）
7. （2分）复数z=（i是虚数单位），则|z|=（）
A . 1
B .
C .
D . 2
8. （2分） (2016高二下·宁波期末) 把7个字符1，1，1，A，A，α，β排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A“也不相邻，则这样的排法共有（）
A . 12种
B . 30种
C . 96种
D . 144种
9. （2分）为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为
P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828
A . 0.1%
B . 1%
C . 99%
D . 99.9%
10. （2分）已知两条不同的直线m、n，两个不同的平面α、β，则下列命题中的真命题是（）
A . 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
B . 若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
C . 若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
D . 若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n
11. （2分） (2016高二下·郑州期末) 设（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x6则|a1|+|a2|+…+|a6|的值是（）
A . 665
B . 729
C . 728
D . 63
12. （2分） (2018高二下·雅安期中) 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足
，且，则不等式的解集为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2018·内江模拟) 的展开式中，的系数是________.（用数字作答）
14. （1分） (2017高一下·滨海期末) 容量为20的样本数据，分组后的频数如表：
分组[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）
频数234542
则样本数据落在区间[10，50）的频率为________．
15. （1分） (2017高三上·福州开学考) 曲线f（x）= +3x在点（1，f（1））处的切线方程为________．
16. （1分） (2016高一下·信阳期末) 某同学在求解某回归方程中，已知x，y的取值结果（y与x呈线性相
关）如表：
x234
y64m
并且求得了线性回归方程为 =﹣ x+ ，则m等于________．
三、解答题 (共6题；共80分)
17. （5分）(2020·茂名模拟) 设为椭圆：上任意一点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为上任意一点.
（Ⅰ）写出参数方程和普通方程；
（Ⅱ）求最大值和最小值.
18. （15分）(2018·河北模拟) 某葡萄基地的种植专家发现，葡萄每株的收获量（单位：）和与它“相近”葡萄的株数具有线性相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近葡萄的株数为1,2,3,4,5,6,7时，该葡萄每株收获量的相关数据如下：
123567
1513121097
（1）求该葡萄每株的收获量关于它“相近”葡萄的株数的线性回归方程及的方差；
（2）某葡萄专业种植户种植了1000株葡萄，每株“相近”的葡萄株数按2株计算，当年的葡萄价格按10元/ 投入市场，利用上述回归方程估算该专业户的经济收入为多少万元；（精确到0.01）
（3）该葡萄基地在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株葡萄，其中每个小正方形的面积都为，现在所种葡萄中随机选取一株，求它的收获量的分布列与数学期望.（注：每株收获
量以线性回归方程计算所得数据四舍五入后取的整数为依据）
19. （15分） (2017高二下·沈阳期末) 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（，Air Quality Inder简称）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级，为优；为良；为轻度污染；为中度污染；为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的的茎叶图如下：
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（）的天数；（按这个月总共30天计算）
（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；
（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为，求的概率分布列和数学期望.
20. （10分） (2017高一上·济南月考) 如图所示，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，己知，， .
（1）求证：
（2）求圆柱的侧面积．
21. （20分）(2016·南平模拟) 设函数f（x）=ln（1+x）．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=g（x），当x≥0时，f（x）≤ ，求t的最小值；
（2）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=g（x），当x≥0时，f（x）≤ ，求t的最小值；
（3）当n∈N*时，证明：．
（4）当n∈N*时，证明：．
22. （15分） (2017高二下·黑龙江期末) 已知函数；
（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；
（2）当时，求函数在上的最值；
（3）当时，对大于1的任意正整数，试比较与的大小关系．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、答案：略
2-1、答案：略
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、答案：略
8-1、
9-1、答案：略
10-1、答案：略
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、答案：略
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共80分) 17-1、答案：略
18-1、答案：略
18-2、答案：略
18-3、答案：略
19-1、答案：略
19-2、答案：略
19-3、答案：略
20-1、答案：略
20-2、答案：略
21-1、答案：略
21-2、答案：略
21-3、答案：略
21-4、答案：略
22-1、答案：略
22-2、答案：略
22-3、答案：略。