(甘志国)谈谈高考数学江西卷理科压轴题
解答一道新题征解题
交流平台十?善幺．7(2009年第10期。
高中版)解答一道新题征解题430051湖北省武汉市汉阳区永丰街派出所武瑞新本刊“新题征展”栏目主持人甘志国先生由2004年中国西部数学奥林匹克竞赛中的一道题及2008年高考江西理科卷压轴题在《新题征展(107)中》提出了如下一道征解题：揪胁加志+志+焘㈠Ⅳ∈R+，舻=口，口是已知的正常数)的值域．本文将得到该题的完整答案是：当o<a≤蚩时，所，置求值域为(1焘】；当鲁<a<512时，所求值域为(1，2)；当a≥512时，所求值域为【焘’2)．定理1(I M P2—2)若茗，，，，二∈R+，舻=1，则占+占+占≥1．7而+而歹+万焉孔证明由均值不等式，得z3+茗43≥2石，2所以1+4xT+4xT≥l+8x，以了西≤l+2xT．同理，~／T-Z面≤I+2广2，新丽；≤1+k号．可设菇=冬，Y=雩，z=譬，得主土：了￡页≥丁岛，P3+2q3，3P3+q3+r3定理2设函数g(z，y，：)=丽1+丽1+歹若乏(石，，，，二E R+，栌=l，。
是已知的正常数)，则(1)当。
<口≤÷时，1<小肌孑’勺未；(2)当了5<口<8时，1<g(菇，，，，z)<2；(3)当o≥8时，古≤g(名，Y，石)<2．~／1+口证明(1)先证“毛儿。
嚆令X=甜，y=町，Z=∞，R=胡污，下证N0<R≤2时志X+志Y杀R，①~／l+~／1+~／1+令r=斩再i新再7，则T=门再翦—订丽≥万五刁瓦面：1+R，所以①成立舒(1+R)(2+X+y+2“丁i万订而)≤4(1+X)(1+Y)营(I+R)(1+严一砰+2T)≤4严学(尺-3)[r一(R+1)]卜等)妣②由o<R观得舞≤1峨由r≥l+冠，得r一(1+R)≥o，r一等兰暑≥o，又R一3<0，所以②成立，①成立．可不妨设x≤l，≤z，由j磁：口3，得z≥二，所以o<艘≤口2，o<胡再≤口≤丢<2．…=斋，所以志+志+南≤2．、K而i1因而，只需证丽2+焉杀，√1+√勺F矿√xy+口3彩l+口令万巧万：H，得1<u≤而，肼=(∥一1)2，所以∞吾+尚杀由柯西不等式，得『(2—1)2+口31(1+口)≥(z，一1+口2)2．③④而寺磊≤拦静，所以只需证吾+帮杀，11IIi正_2√俪(11,2一l+2)+(I+8)u(扩一1)≤3“(u2—1+a2)，趴口．2)(“一瓜)2[Ⅱ+堑学]观⑤由o<口≤÷，得【学】2。
江西省高考数学压轴试卷(理科)
江西省高考数学压轴试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·广东月考) 记复数的共轭复数为，已知复数满足，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·哈尔滨月考) 若集合，且，则集合可能是A .B .C .D .3. （2分） (2016高三上·长春期中) 当向量 = =（﹣2，2）， =（1，0）时，执行如图所示的程序框图，输出的i值为（）A . 5B . 4C . 3D . 24. （2分） (2017高二上·江门月考) 已知原命题：若，则，那么原命题与其逆命题的真假分别是（）．A . 真假B . 真真C . 假真D . 假假5. （2分） (2020高二下·广州期末) 已知随机变量服从正态分布，且，则（）A . 0.8B . 0.6C . 0.4D . 0.26. （2分） (2015高三下·湖北期中) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）A . 6B . 4C . 6D . 47. （2分）函数的零点位于（）A .B .C .D .8. （2分）(2020·梅河口模拟) 记其中表示不大于x的最大整数，若方程在在有7个不同的实数根，则实数k的取值范围（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·宜宾模拟) 的常数项为（）A . ﹣252B . 252C . ﹣210D . 21010. （2分）已知平面∥平面，点P∈平面,平面、间的距离为8，则在内到点P的距离为10的点的轨迹是（）A . 一个圆B . 四个点C . 两条直线D . 两个点11. （2分） (2016高二上·福田期中) 已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A .B . 3C . mD . 3m12. （2分）(2020·西安模拟) 已知函数，若数列满足，且对任意的都有，那么实数的值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·吴中月考) 设向量，若，则实数的值为________．14. （1分）(2017·河南模拟) 已知实数x，y满足条件若目标函数z=2x+y的最小值为3，则其最大值为________．15. （1分） (2016高二上·唐山期中) 已知抛物线y=x2的焦点为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到x轴的距离等于________．16. （1分） (2020高一下·温州期中) 已知，，与的夹角为，与的夹角为锐角，则的取值范围________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （15分） (2015高三上·盐城期中) 设各项均为正数的数列{an}满足 =pn+r（p，r为常数），其中Sn 为数列{an}的前n项和．（1）若p=1，r=0，求证：{an}是等差数列；（2）若p= ，a1=2，求数列{an}的通项公式；（3）若a2015=2015a1 ，求p•r的值．18. （10分）(2017·莱芜模拟) 甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．19. （5分） (2018高一下·临川期末) 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，PA＝PB ，且侧面PAB⊥平面ABCD ，点E是AB的中点.（Ⅰ）求证：PE⊥AD；（Ⅱ）若CA＝CB ，求证：平面PEC⊥平面PAB ．20. （10分） (2019高二上·田阳月考) 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆分别交于两点，且，试问点到直线的距离是否为定值，证明你的结论．21. （10分） (2019高二下·浙江期中) 已知函数（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）讨论函数在区间上的零点个数22. （10分） (2017高二下·定州开学考) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t 为参数），它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB 中点M的距离．23. （10分） (2018高三上·汕头期中) 已知函数．（1）解不等式；（2）设函数的最小值为c，实数a，b满足，求证：．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2025届江西省高中名校高考压轴卷数学试卷含解析
2025届江西省高中名校高考压轴卷数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12B ．21C ．24D ．362．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-3．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．124．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元{}{}A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤6．函数()2ln xf x x x =-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知双曲线22214x y b-=（0b >）的渐近线方程为30x y ±=，则b =（ ）A ．23B ．3C ．32D ．439．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．1410．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1B ．2C ．3D ．711．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >12．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体 B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2008年高考江西卷压轴题的简解及推广
2008年高考江西卷压轴题的简解及推广近11年全国i卷，11道理科压轴题中全部考查函数与导数。
“函数与导数”以其极强的综合性强，灵活多变的解法，屡屡承载压轴使命.也因此成为了高考数学是否可以达到+的关键因素。
压轴题为什么容易?难在题设条件多而杂，你能在第一遍审题的过程中就找到全部的条件?又能不能在看到条件的那一刻就反映出可能的做法?本文通过对近年来中考数学压轴题考情分析，及典型例题，概括了解题策略，一起来看。
(一)方法角度(1)函数的零点，极值点的问题：(i卷)，(i、ii卷)， ( ii卷，iii卷)(如何选取函数，如何取点)(2)恒设立谋参数范围问题：，，(i卷)(不含弁微分、拆分参数、化两个函数(一直一曲))(3)函数不等式(证明和利用解决问题)：(ii卷)，(i卷)， (iii卷)(函数不等式的等价变形、数列议和问题的函数不等式找寻)(4)函数的值域问题(包含任意存在、派生函数值域)：(ii卷)， (ii卷)(隐零点问题的整体赋值(虚设零点))(5)双变量问题：(i卷)， ( i卷)(极值点偏转问题，双变量问题的函数结构)(6)数值估计：(ii卷)(极值点附近的x值的挑选)(7)高等数学背景下的压轴题处理：(的定积分法议和，音速思想的应用领域(罗烜法则)，双变量中的拉格朗日中值定理) 二、中考数学解题分析：一、三角函数题特别注意归属于一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归属于一公式、诱导公式(奇变、偶维持不变;符号看看象限)时，很难因为贪玩，引致错误!一着不慎，满盘皆输!)。
二、数列题1、证明一个数列就是等差(等比)数列时，最后下结论时必须写下上以谁领衔项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2、最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。
2025届江西省抚州市第一中学高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷含解析
2025届江西省抚州市第一中学高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y =+的最大值等于( )A ．2B．C ．4D ．82．下列不等式正确的是（ ） A ．3sin130sin 40log 4>> B ．tan 226ln 0.4tan 48<< C ．()cos 20sin 65lg11-<<D ．5tan 410sin80log 2>>3．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD4．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(3)f =（ ） A ．18- B ．18C ．2-D ．25．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．i -C ．1D ．i6．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20B ．50C ．40D ．607．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π8．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-10．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1B ．2C ．3D ．711．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ） A ．()lg 1y x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =12．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x 2 ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．②③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2008年高考江西卷压轴题的简解及推广
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(2)问，且标答在证 f(x) >1时用两个正数的
算术平均值不小于儿何平均值的性质来证，体
现了考试不超纲的知识要求，但在证f 釭）＜ 2
时，对 a + b 分 a+b<? 及 a + b?::7 两种情形
作分类讨论，技巧性极高，这是一般考生难以在
短时间想象得到的．本文以下第(2)问的证法分
析虽是新解，但高中生也能理解，现分析如下：
1
结论＠厂k 1
＋
✓
1
1 ＋互＋1
＜
✓ ＋ 1, 又只 要证 l+x卢Xk+1 +XkXk +1
1
了了工言石已
勹 三，即
1 - ak+I
（
ak + l
)x釭k +I �Xk +Xk+I,由结 论＠知
（
1
-
ak+ \
1
)x1互 ,- ＋1�(
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(甘志国)商榷2015年高考题中表述欠严谨的11道题
商榷2015年高考题中表述欠严谨的11道题甘志国(已发表于 中学数学教学，2015(5)：55-59)一年一度的高考是考生、老师、家长、学校乃至全社会关注的重点话题．2015年的高考已尘埃落定，笔者作为一名高中数学老师，也抓紧时间认真钻研了本年度的高考数学真题(文理共计31套，其中江苏文理同卷)，发现了它们有试题常规、情景新颖、杜绝偏怪、难度在降低等特点，这也与新课改之精神、教育乃培养人的活动、数学本来应当是人人能够喜爱的美的科学合拍．但笔者发现有10道高考题在表述上欠严谨：虽然原题不会太影响考生正确答题，但作为高考题的权威性及引用的广泛性，还是要注意表述上的严谨．题1 (2015年高考湖北卷文科第4题)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 解 A.显然x 与y 负相关，又y 与z 正相关，所以x 与z 负相关.商榷 高中生是在普通高中课程标准实验教科书《数学3²必修²A 版》(人民教育出版社，2007年第3版)(下简称《必修3》)第86页接触到“正相关、负相关”这两个概念的：图1从散点图(如图1所示)可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系，这个图支持了我们从数据表(见《必修3》第85页的表2-3)中得出的结论.另外，这些点散布的位置也是值得注意的.它们散布在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.还有一些变量，例如汽车的重量和汽车每消耗1L 汽油所行驶的平均路程，成负相关，汽车越重，每消耗1L 汽油所行驶的平均路程就越短，这时的点散布在从左上角到右下角的区域内.由此论述可知，“正相关、负相关”是呈相关关系的两个变量之间的关系.而在本题中，满足关系y ＝－0.1x ＋1的两个变量x 和y 呈函数关系(即确定性关系)不是相关关系，在函数关系中，教科书中没有介绍两个变量之间“正相关、负相关”的含义(笔者在整个数学领域中也未听说过有此含义).建议把这道题的题干中的“y ＝－0.1x ＋1”改为“11.0+-=∧∧x y ”(改述后的解法及答案均不变).题2 (2015年高考全国卷II 理科第10题即文科第11题)如图2所示，长方形ABCD的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )图2解法1 B.当点P 在BC 边上时，PB ＝OB ·tan x ＝tan x ，P A ＝AB 2＋PB 2＝tan 2x ＋4，所以f (x )＝tan x ＋tan 2x ＋4(0≤x ≤π4)，显然f (x )单调递增且是非线性的，且f (π4)＝1＋ 5.当P 位于边CD 的中点时，x ＝π2，且f (π2)＝P A ＋PB ＝22，所以可知当点P 从点B 运动到点C 时，f (x )从2增到1＋5，当点P 从点C 运动到边CD 的中点时，f (x )从1＋5减到22，且增减都是非线性的，结合图象可知选B.解法2 B.由题意可知，f (π2)＝22，f (π4)＝1＋ 5.得f (π2)<f (π4)，排除选项C,D.当ππ≤≤x 43时，f (x )＝-tan x ＋tan 2x ＋4，可知其函数图象不是线段，排除选项A. 所以选B.商榷 建议把题2中的“长方形ABCD ”改成“矩形ABCD ”；“点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动”改成“动点P 从点B 开始沿着折线BCDA 运动到点A 停止”(原说法是不清楚的：动点P 从哪一点开始运动？运动到哪一点停止？是连续运动还是跳跃的运动？因为题目只说了“点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动”).作为选择题，题2是可以勉强解答的；要是作为非选择题，题2将无从解答.题3 (2015年高考浙江卷理科第6题)设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )．( ) A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立解 A.命题①显然成立，由图3可知d (A ，C )表示的区域不大于d (A ，B )＋d (B ，C )表示的区域，所以命题②也成立.图3商榷 建议把题干改述为(若不改述，则题意不清，会使考生很茫然；因为有不少高考选择题是要求选出错误的选项，比如2015年高考中的福建卷理科第10题、陕西卷理科第12题)：设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )． 则下列结论正确的是( )题4 (2015年高考浙江卷文科第8题)设实数a ，b ，t 满足|a ＋1|＝|sin b |＝t.( ) A ．若t 确定，则b 2唯一确定 B ．若t 确定，则a 2＋2a 唯一确定C ．若t 确定，则sin b2唯一确定 D ．若t 确定，则a 2＋a 唯一确定解 B.对于选项A ，取t ＝12，b 可取π6或5π6，得b 2不能唯一确定；对于选项B ，由|a＋1|＝|sin b |＝t ，得|a ＋1|2＝t 2，即a 2＋2a ＋1＝t 2，a 2＋2a ＝t 2－1，所以若t 确定，则t 2确定，所以a 2＋2a 唯一确定，得选项B 正确；若t 确定，由|sin b |＝t ，得sin 2b ＝t 2，所以cos b ＝±1－t 2，sin b2＝±1－cos b 2＝±1±1－t 22，不唯一确定，选项C 中的结论不正确；若t 确定，由|a ＋1|＝t ，得a ＋1＝±t ，所以a ＝－1±t ，所以a 2＋a ＝(－1±t )2－1±t ＝t 2∓2t ±t ＝t 2∓t ，不唯一确定．综上可知，只有选项B 正确．商榷 建议把题干改述为(改述的理由同上)：设实数a ，b ，t 满足|a ＋1|＝|sin b |＝t ，则下列结论正确的是( )题5 (2015年高考广东理科第8题)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5 解 B.正四面体符合要求，因此n 可以等于4. 下面证明n ＝5不可能．假设存在五个点两两距离相等，设为A ，B ，C ，D ，E .其中A ，B ，C ，D 构成空间的正四面体ABCD ，设其棱长为a .设G 为△BCD 的中心，则不难算出AG ＝63a ，BG ＝33a ，且AG ⊥平面BCD .如果点E 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等，那么点E 一定在直线AG 上，且EB ＝a .如果点E 在线段AG 上或线段GA 的延长线上，那么在Rt △EBG 中，EG ＝BE 2－BG 2＝63a ，AG ＝63a ，此时A ，E 重合. 如果点E 在线段AG 的延长线上，此时EG ＝63a ，EA ＝263a ≠a . 综上所述可得，正整数n 的取值至多是4.商榷 建议把选项A,B 中的“至多”均改为“最多”.中国社会科学院语言研究所词典编辑室编《现代汉语词典》(商务印书馆，2012年第6版)第1677页对“至少”的解释是“表示最小的限度”，所以“正整数n 至多等于4”的意思是“正整数4≤n ，但等号不一定能取到”，而在本题中“正整数4≤n ，等号一定能取到”，所以改动后的表述更准确(不改动也无错误)．而对于2014年高考上海卷理科第13题“某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若2.4)(=ξE ，则小白得5分的概率至少为 ．”若不把其中的“至少”改为“最少”，则答案可填闭区间[0,0.2]中的任一个数，就不一定是参考答案“0.2”.题6 (2015年高考江苏卷第9题)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解 7.设新的底面半径为r ，得13π³52³4＋π³22³8＝13πr 2³4＋πr 2³8 ，即283πr 2＝1003π＋32π，解得r ＝7.商榷 一般来说，在橡皮泥的重新制作过程中，体积会变化(但质量不变)，所以建议把题中的“若将它们重新制作”改述为“若将它们重新制作(假设重新制作的过程中，橡皮泥的体积不变)”.题7 (2015年高考陕西卷文科、理科第22题)如图4所示，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．图4解 (1)因为DE 为⊙O 的直径，得∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED . 又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ，得BA BC ＝ADCD ＝3，又BC ＝2，从而AB ＝3 2.所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，得AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，所以DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.商榷 建议把该题及其解答中的“直径”改为“直径的长”.题8 (2015年高考陕西卷文科、理科第24题)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)由柯西不等式，得at ＋12＋bt=－3t ＋12＋t ＝3²4－t ＋t ≤ [（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4当且仅当4－t 3＝t1即t ＝1时等号成立，所以(－3t ＋12＋ t )max ＝4. 商榷 第(2)问中的“t ”是变量还是常量呢？题目没作交代.若“t ”是变量，则解答同上；若“t ”是常量，则答案为“at ＋12＋bt ”(因为at ＋12＋bt 是常量).所以建议把该题第(2)问改述为：(2)求函数f (t )=at ＋12＋bt 的最大值．题9 (2015年高考全国卷II 理科第21题)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x . 若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )>0. 若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f （1）－f （0）≤e －1，f （－1）－f （0）≤e －1，即 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-≤--1e e 1e e m m mm① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，得g ′(t )＝e t －1.当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.所以g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0，所以当t ∈[－1，1]时，g (t )≤0.所以当m ∈[－1，1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①成立；当m >1时，由g (t )的单调性，知g (m )>0，即e m －m >e －1；当m <－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m >e －1.综上所述可得，m 的取值范围是[－1，1]．商榷 建议把第(1)问中的“(－∞，0)”，“(0，＋∞)”分别改述为“(－∞，0)上”，“(0，＋∞)上”.题10 (2015年高考广东卷理科第17题)某工厂36名工人的年龄数据如下表：到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解 (1)依题意知，所抽取的样本编号是一个首项为2公差为4的等差数列，得其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34，所以对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得9100,402==s x . (3)由(2)知，310=s ，所以3143,3236=+=-s x s x . 因为年龄在s x -与s x +之间的共有23人，所以其所占的百分比是%89.633623≈(精确到0.01%).商榷 解答第(3)问时，必须要知道x 与s 的值，而在大前提及第(3)问的题设中均找不到，考生(也包括所有的答题者)在万般无赖的情形下，只有在第(1)问或第(2)问中找出这两个数据：果真在第(2)问中找到了！而后也作出了所谓正确的解答，也得出了理想的分数.这好像就是出题者的意思.但这是不对的，也是完全错误的！可把此题第(3)问改述为：(3)36名工人中年龄在s x -与s x s x ,(+的值见第(2)问)之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?2011年高考广东卷理科第17题及2010年高考安徽卷理科第19题也都存在这种错误]1[. 笔者发表的文献[2],[3]均指出了2014年高考题中表述欠严谨的地方，读者可以浏览. 题11 (2015年高考广东卷文科、理科第20题)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)因为圆C 1的方程即4)3(22=+-y x ，所以圆C 1的圆心坐标是(3,0)． (2)设线段AB 的中点为),(y x M ，可得AB M C ⊥1即OM M C ⊥1. 得点M 在以OC 为直径的圆0322=-+x y x 上.又点M 在圆C 1内，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+4)3(032222y x x y x ，得两圆的交点为⎪⎭⎫⎝⎛±532,35，进而可得所求轨迹C 的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛>=-+350322x x y x . (3)存在实数k 满足题意.如图5所示，曲线C 是以⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23C 为圆心，23为半径的圆弧»EF (不包括端点)，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛532,35,532,35F E.图5当直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 相切时，得43,23104232±==+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k . 又直线L ：y ＝k (x －4)过定点D (4,0)，所以5724350532-=--=-=DFDE k k .再结合图5可得，当且仅当k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,43572,572时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点.注 本题源于普通高中课程标准实验教科书《数学²选修2-1²A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称《选修2-1》)第37页习题2.1的A 组第4题：过原点的直线与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于A ，B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．与《选修2-1》配套使用的《教师教学用书》(人民教育出版社,2007年第2版)第11页给出的《选修2-1》第40页给出的答案是“335,0322≤≤=-+x x y x ”.笔者认为，由“弦AB ”知点B A ,不能重合，所以答案应当是“335,0322≤<=-+x x y x ”，也即“⎪⎭⎫⎝⎛>=-+350322x x y x ”.(这道高考题的解答与笔者的这一观点是一致的.) 商榷 应注意交点与切点是有区别的]4[：直线与圆相交时的公共点叫做交点，直线与圆相切时的公共点叫做切点，交点和切点统称为公共点.所以建议把题10(即2015年高考广东卷文科、理科第20题)第(3)问中的“交点”改为“公共点”(改动后答案不变；若不改动，则答案为：当且仅当k 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-572,572时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点).参考文献1 甘志国.大前提、小前提的规范使用[J].数学教学，2014(7)：23-242 甘志国.商榷2014年高考题中表述欠严谨的六道题[J].数学教学研究，2014(12)：24-253 甘志国.高考数学真题解密[M].北京：清华大学出版社，2015：287-2924 甘志国.应区分“交点”与“公共点”[J].中学数学教学，2009(3)：37。
江西省高考压轴卷 数学理试题
(5)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (0, σ 2 ) ,若 P (ξ > 2) = 0.023 ，则 P ( −2 ≤ ξ ≤ 2) = (A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977
（6）样本中共有 5 个个体，其值分别为 a, 0,1, 2,3 .若该样本的平均值为 1，则样本方差为
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，
V = Sh
其中 S 表示棱锥底面积，h 表示棱锥的高 棱台的体积公式
1 V = Sh 3 1 V = Sh( S1 + S1S2 + S2 ) 3
其中 S1 , S 2 分别表示棱台的上、下底面积， h 表示梭台的高
那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 棱台的体积公式
(A) 3 【答案】D
(B) 1
(C)-1
(D) −3
【解析】由 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数可知 f (0) = 20 + b = 1 + b = 0, b = −1 ， 于是 f ( −1) = − f (1) = −(2 + 2 − 1) = −3 ，故选 D. (5)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (0, σ 2 ) ,若 P (ξ > 2) = 0.023 ，则 P ( −2 ≤ ξ ≤ 2) = (A)0.477 【答案】C 【 解 析 】 由 随 机 变 量 ξ 服 从 正 态 分 布 N (0, σ 2 ) 可 知 正 态 密 度 曲 线 关 于 y 轴 对 称 ， 而 则 P(ξ < −2) = 0.023， 故 P(−2 ≤ ξ ≤ 2) = 1 − P(ξ > 2) − p(ξ < −2) = 0.954 ， P(ξ > 2) = 0.023 ， 故选 C （6）样本中共有 5 个个体，其值分别为 a, 0,1, 2,3 .若该样本的平均值为 1，则样本方差为 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977
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谈谈2010年高考数学江西卷理科压轴题
甘志国(该文已发表 数理天地(高中版)，2010(9)：19，21)
本文将谈谈2010年的全国普通高考数学江西卷理科压轴题：
高考题 证明以下命题：
(1)对任一正整数a ，都存在正整数)(,c b c b <，使得222,,c b a 成等差数列；
(2)存在无穷多个互不相似的三角形n ∆，其边长n n n c b a ,,为正整数且2
22,,n n n c b a 成等差数列.
参考答案 (1)易知2227,5,1成等差数列，所以222)7(,)5(,a a a 也成等差数列，即对任一正整数a ，都存在正整数)(7,5c b a c a b <==，使得222,,c b a 成等差数列.
(2)若222,,n n n c b a 成等差数列，得 2222n n n n b c a b -=-
))(())((n n n n n n n n b c b c a b a b +-=+-①
选取关于n 的一个多项式，例如)1(42
-n n ，使得它可按两种方式分解因式，由于 )22)(22()22)(22()1(4222n n n n n n n n +-=-+=-
所以，可令
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=--=++=-n n b c n b c n n a b n a b n n n n
n n n n 2222222222
即 )4(121
12222≥⎪⎩
⎪⎨⎧-+=+=--=n n n c n b n n a n n n 易证n n n c b a ,,满足①，所以2
22,,n n n c b a 成等差数列.
当4≥n 时，n n n c b a <<，且0142>+-=-+n n c b a n n n ，所以以n n n c b a ,,为边长可以构成三角形，将此三角形记为)4(≥∆n n .
任取正整数),4,4(,n m n m n m ≠≥≥，若m ∆与n ∆相似，得
1
212111212222222-+-+=++=----n n m m n m n n m m 11
)
1()12()1()12(12121122222222--=+--++--+=-+-+=++n m n n n m m m n n m m n m 11
)
12()1()12()1(12121122222222++=---+---+=----=++n m n n n m m m n n m m n m n m n m n m =--=++,1
111 这与n m ≠矛盾！所以任意两个三角形m ∆与),4,4(n m n m n ≠≥≥∆互不相似.即欲证成立.
在本题第(2)问中，有222n n n c b a ≥≥或222n n n c b a ≤≤.若2
22n n n c b a ≥≥，又设),,(),,(y z x c b a n n n =，得z y x ,,是互质的正整数且
),(2222x z y y x z y x >+≥=+②
求方程②的正整数解就是解不定方程问题.
早在1995年，笔者就在文献[1]中给出了以下结论(也可见专著[2])：
定理1]1[方程z y x z y x ,,(22
22=+两两互质，)y x >的全部正整数解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=+-=22222222s r z rs
s r y rs s r x
其中∈s r ,N*2,,s r >†s r +(“†”表示不整除)1),(,=s r .
证明 有222y x +，因为1),(=y x ，所以y x ,均为奇数.
由y x >知，可设∈=-=+b a b y x a y x ,(2,2N*)，所以1),(,,=-=+=b a b a y b a x .
把它代入2
222z y x =+，得222z b a =+，且由1),(=b a 得z b a ,,两两互质，由勾股数组的求法(参见文献[3])，得
⎪⎩
⎪⎨⎧-=-==22222s r z s r b rs a 或
⎪⎩⎪⎨⎧-==-=22222s r z rs b s r a
其中∈s r ,N*2,,s r >†s r +1),(,=s r .所以
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=+-=22222222s r z rs
s r y rs s r x
因为在方程②中，“正整数z y x ,,两两互质”等价于“正整数z y x ,,互质”，所以由定理1可得以上高考题第(2)问的一些答案，比如选1),4(=≥=s n n r ，可得以上参考答案第(2)问，选1,2==s r ，可得以上参考答案第(1)问.
这道高考压轴题以整数性质为背景，实际上，有很多高考题喜欢考查整数性质，比如2010年高考江西卷文科压轴题、湖北卷理科第20(2)题，2007年湖北理科卷中的四道题]4[.
所以在高考复习备考中，应重视这方面的研究.
参考文献
1 甘志国.有理数集上不存在四连贯的二次多项式[J].数学通讯，1995(12)：23-26
2 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.117
3 魏万迪.整数入门[M].成都：四川教育出版社，1988.268
4 甘志国.2007年高考湖北卷的一大特色——整数性质[J].数学通讯，2007(18)：19-20,18。