高一数学《函数的单调性与最值》第二课时教案

1 函数的单调性与最值

学习目标：

1. 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用。

2. 会用单调性求最值。

3. 掌握基本函数的单调性及最值。

知识重现

1、一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1） 对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；

（2） 存在x 0∈I,使得f(x 0)=M.

那么，我们称M 是函数y=f(x)的最大值（maximum value ）

2、一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（3） 对于任意的x ∈I ，都有f(x)≥ M ；

（4） 存在x 0∈I,使得f(x 0)=M.

那么，我们称M 是函数y=f(x)的最小值（minimum value ）

理论迁移

例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h 米与时间t 秒之间的关系为h(t )=-4.9t 2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1米）？

例2 已知函数f(x)=

1

x 2-(x ∈［2,6］),求函数的最大值和最小值。

归纳基本初等函数的单调性及最值

1. 正比例函数：f(x)=kx(k ≠0)，当k 0时,f(x)在定义域R 上为增函数；当k 0时,f(x)在

定义域R 上为减函数，在定义域R 上不存在最值，在闭区间［a,b ］上存在最值，当k 0时函数f(x)的最大值为f(b)=kb,最小值为f(a)=ka, 当k 0时, ,最大值为f(a)=ka ，函数f(x)的最小值为f(b)=kb 。

2. 反比例函数：f(x)=x

k (k ≠0)，在定义域（-∞，0） （0,+∞）上无单调性，也不存在最值。当k 0时，在（-∞，0），（0,+∞）为减函数；当k 0时，在（-∞，0），（0,+∞）

2 为增函数。在闭区间［a,b ］上，存在最值，当k 0时函数f(x)的最小值为f(b)= b k ,最大值为f(a)=a k , 当k 0时, 函数f(x)的最小值为f(a)= a k ，最大值为f(b)= b

k 。 3. 一次函数：f(x)=kx+b(k ≠0),在定义域R 上不存在最值，当k 0时，f(x)为R 上的增，

当k 0时，f(x)为R 上的减函数，在闭区间［m,n ］上，存在最值，当k 0时函数f(x)的最小值为f(m)=km+b,最大值为f(n)=kn+b, 当k 0时, 函数f(x)的最小值为f(n)=kn+b ，最大值为f(m)=km+b 。

4. 二次函数：f(x)=ax 2+bx+c,

当a 0时，f(x)在（-∞,-a b 2）为减函数，在（-a

b 2，+∞）为增函数，在定义域R 上有最小值f(a b 2)=a

b a

c 442

-,无最大值。 当a 0时，f(x)在（-∞,-a b 2）为增函数，在（-a

b 2，+∞）为减函数，在定义域R 上有最大值f(a b 2)=a

b a

c 442

-,无最小值。 函数单调性的应用

1.利用函数的单调性比较函数值的大小

例1 如果函数f(x)=x 2+bx+c,对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1)，f(2)，f(4)的大小。

例2 已知函数y=f(x)在［0,+∞）上是减函数，试比较f(

4

3)与f(a 2-a+1)的大小。

2.利用函数的单调性解不等式

例3 已知f(x)是定义在R 上的单调函数，且f(x)的图像过点A(0,2),和点B(3,0)

（1）解方程 f(x)=f(1-x)

(2) 解不等式 f(2x) f(1+x)

(3) 求适合f(x)≥2或f(x)≤0的x 的取值范围。

3

3．利用函数的单调性求参数的取值范围

已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题。这类问题能够加深对概念、性质的理解。

例3 已知f(x)=x 2-2(1-a)x+2在（-∞，4）上是减函数，求实数a 的取值范围。

例4 已知A ＝［1,b ］(b 1 ),对于函数f(x)=

21(x-1)2+1,若f(x)的定义域和值域都为A ，求b 的值。

练习：已知函数y=f(x)=-x 2+ax-

4a +2

1在区间[0,1]上的最大值为2,求实数a 的值。

求函数值域（最值）的一般方法

1.二次函数求最值，要注意数形结合

与二次函数有关的函数，可以用配方法求值域，但要注意函数的定义域。

例1：求函数y=2x -2++x 的最大值和最小值。

4 例2：求f(x)=x 2-2ax+x2,x ∈［-1,1］,求f(x)的最小值g(a).

4.利用单调性求值域：当函数图像不好作或作不出来时，单调性成为求值域的首选方法。 例3：求函数f(x)=1

x -x 在区间［2,5］上的最大值与最小值。

5. 分段函数的最值问题

分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数函数的最大或最小值，应该先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值。

例6：已知函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤-)21(,1)121(,x 2x x

x 求f(x)的最大最小值。