高中物理竞赛高二竞赛班全套物理讲义(答案解析)高二竞赛班第12讲 万有引力和开普勒定律.教师版

导读

和天体运动相关的内容几乎每年考一道，本讲先复习基本的知识。 计算万有引力的时候记得均匀球壳对内引力为0，相互作用能记得乘以1/2。 利用开普勒三定律的时候想明白，确定一个轨道只需要两个参数，例如椭圆的长短轴或者体系的能量+角动量。利用三定律可以将二者互推。 利用开普勒定律，将对时间的计算转换为对面积的计算，可以避免一些暴力的积分。

例题精讲

万有引力和引力势

【例1】 有一个质量为m ，密度均匀，半径为R 的液态的静止的星体。计算星体中心的压强。

【例2】 有一个质量为m ，密度均匀，半径为R 的静止的星体。

a) 求出距离星体中心为x 处的引力势()U x

b) 计算庞大的星云聚集成为这颗星体的时候，最大能释放多少势能？（假设质量不变）

第12讲

万有引力和开普勒定律

【例3】 三颗质量为m 的星体，两辆间距为r ，绕着其质心以恒定的角速度旋转。

a) 求出角速度ω

b) 求出体系的总能量和总能量

开普勒定律

【例4】 对于太阳系中行星的运动，天文观测中发现了如下的事实（称为开普勒三定律）： （1）各个行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳的位置是椭圆的一个焦点。（第一定律） （2）对于每个行星来说，太阳至行星的连线（图中的FP 线）在每单位时间内扫过的面积（称为面积速度）相等。（第二定律）

（3）行星椭圆轨道的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值，对于各个行星来说是相同的。（第三定律）

行星运动的轨道如图所示，P 为行星，F 为焦点（太阳），a 、b 、2c 分别为半长轴、半短轴和焦距，O 为椭圆的中心。

根据万有引力定律，行星和太阳间的引力势能为r

GMm

E P -

=，其中G 为万有引力恒量，M 为太阳质量，m 为行星质量，r 为太阳至行星的距离。

试根据机械能守恒定律，开普勒第一、第二定律，分别导出行星运动的总机械能E 、面积速度S 、角动量L 和公转周期T 的公式（用G 、M 、m 、a 、b 表示），并证明开普勒第三定律。

【例5】 用极坐标可以表示表示椭圆为1cos p

e ρθ

=

+。试用焦半径p 和离心率e 表达体系的能量E 和角

动量L 。

【例6】 质量为m 的人造地球卫星，在圆轨道上运行。运行中受到大小恒为f 的微弱阻力作用。以r 表示

卫星轨道的平均半径，M 表示地球质量，求卫星在旋转一周的过程中： （1） 轨道半径的改变量r ∆=？ （2）卫星动能的改变量k E ∆=？

【例7】 要发射一艘探测太阳的宇宙飞船，使其具有与地球相等的绕日运动周期，以便发射1年后又将与地球

相遇而发回探测资料。由地球发射这一般飞船时，应使其具有多大的绕日速度？已知地球绕日公转的速度为0v 。如图所示。

【例8】 第28届复赛第一题

如图所示，哈雷彗星绕太阳S 沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T 为76.1年，1986年它过近日点P 0时与太阳S 的距离r 0=0.590AU ，AU 是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P 点，SP 与SP 0的夹角θP =72.0°。已知：1AU=1.50×1011m ，引力常量G=6.67×10－

11Nm 2/kg 2，太阳质量m S =1.99×1030kg ，试求P 到太阳S 的距离r P 及彗星过P 点时速度的大小及方向（用速度方向与SP 0的夹角表示）。

一、参考解答：

解法一

取直角坐标系Oxy ，原点O 位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为

22

22

1x y a b += （1） a 、b 分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S 位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．

以e T 表示地球绕太阳运动的周期，则e 1.00T =年；以e a 表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则e 1.00AU a =，根据开普勒第三定律，有

32

32a T a T =e e

（2）

设c 为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得

c a r =-0 （3）

22c a b -= （4）

由图1可知，P 点的坐标

cos P P x c r θ=+ （5） sin P P y r θ= （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得

()2

2222

22222sin cos 2cos 0P P P P P a

b r b cr b

c a b θθθ+++-= （7）

根据求根公式可得

S

P

P θ

P r

a

b O

0P x

y 图1

()

222

22cos sin cos P P P P

b a

c r a b θθθ-=+ （8） 由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得

0.896AU P r = (9) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 s

2Gmm E =a

-

(10) 式中m 为彗星的质量．以P v 表示彗星在P 点时速度的大小，根据机械能守恒定律有

2s s 122P P Gmm Gmm m r a ⎛⎫

+-=- ⎪

⎝

⎭v （11） 得

s 21

P P Gm r a

=⋅

-v （12） 代入有关数据得

4

1

4.3910m s P -⨯⋅v = (13) 设P 点速度方向与0SP 的夹角为ϕ(见图2)，根据开普勒第二定律

[]sin 2P P P r ϕθσ-=v （14）

其中σ为面积速度，并有

πab

T

σ=

（15） 由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得

127ϕ

= （16）

解法二

取极坐标，极点位于太阳S 所在的焦点处，由S 引向近日点的射线为极轴，极角为θ，取逆时针为正向，用r 、θ表示彗星的椭圆轨道方程为

1cos p

r e θ

=

+ （1）

其中，e 为椭圆偏心率，p 是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a ，根据解析几何可知

()21p a e =- （2）

将（2）式代入（1）式可得

图2

S

P

P θ

P r

a

b O

P x

y

ϕ