高中物理竞赛高二竞赛班全套物理讲义(答案解析)高二竞赛班第12讲 万有引力和开普勒定律.教师版

导读和天体运动相关的内容几乎每年考一道，本讲先复习基本的知识。

计算万有引力的时候记得均匀球壳对内引力为0，相互作用能记得乘以1/2。

利用开普勒三定律的时候想明白，确定一个轨道只需要两个参数，例如椭圆的长短轴或者体系的能量+角动量。

利用三定律可以将二者互推。

利用开普勒定律，将对时间的计算转换为对面积的计算，可以避免一些暴力的积分。

例题精讲万有引力和引力势【例1】 有一个质量为m ，密度均匀，半径为R 的液态的静止的星体。

计算星体中心的压强。

【例2】 有一个质量为m ，密度均匀，半径为R 的静止的星体。

a) 求出距离星体中心为x 处的引力势()U xb) 计算庞大的星云聚集成为这颗星体的时候，最大能释放多少势能？（假设质量不变）第12讲万有引力和开普勒定律【例3】 三颗质量为m 的星体，两辆间距为r ，绕着其质心以恒定的角速度旋转。

a) 求出角速度ωb) 求出体系的总能量和总能量开普勒定律【例4】 对于太阳系中行星的运动，天文观测中发现了如下的事实（称为开普勒三定律）： （1）各个行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳的位置是椭圆的一个焦点。

（第一定律） （2）对于每个行星来说，太阳至行星的连线（图中的FP 线）在每单位时间内扫过的面积（称为面积速度）相等。

（第二定律）（3）行星椭圆轨道的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值，对于各个行星来说是相同的。

（第三定律）行星运动的轨道如图所示，P 为行星，F 为焦点（太阳），a 、b 、2c 分别为半长轴、半短轴和焦距，O 为椭圆的中心。

根据万有引力定律，行星和太阳间的引力势能为rGMmE P -=，其中G 为万有引力恒量，M 为太阳质量，m 为行星质量，r 为太阳至行星的距离。

试根据机械能守恒定律，开普勒第一、第二定律，分别导出行星运动的总机械能E 、面积速度S 、角动量L 和公转周期T 的公式（用G 、M 、m 、a 、b 表示），并证明开普勒第三定律。

【例5】 用极坐标可以表示表示椭圆为1cos pe ρθ=+。

试用焦半径p 和离心率e 表达体系的能量E 和角动量L 。

【例6】 质量为m 的人造地球卫星，在圆轨道上运行。

运行中受到大小恒为f 的微弱阻力作用。

以r 表示卫星轨道的平均半径，M 表示地球质量，求卫星在旋转一周的过程中： （1） 轨道半径的改变量r ∆=？ （2）卫星动能的改变量k E ∆=？【例7】 要发射一艘探测太阳的宇宙飞船，使其具有与地球相等的绕日运动周期，以便发射1年后又将与地球相遇而发回探测资料。

由地球发射这一般飞船时，应使其具有多大的绕日速度？已知地球绕日公转的速度为0v 。

如图所示。

【例8】 第28届复赛第一题如图所示，哈雷彗星绕太阳S 沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T 为76.1年，1986年它过近日点P 0时与太阳S 的距离r 0=0.590AU ，AU 是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P 点，SP 与SP 0的夹角θP =72.0°。

已知：1AU=1.50×1011m ，引力常量G=6.67×10－11Nm 2/kg 2，太阳质量m S =1.99×1030kg ，试求P 到太阳S 的距离r P 及彗星过P 点时速度的大小及方向（用速度方向与SP 0的夹角表示）。

一、参考解答：解法一取直角坐标系Oxy ，原点O 位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为22221x y a b += （1） a 、b 分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S 位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．以e T 表示地球绕太阳运动的周期，则e 1.00T =年；以e a 表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则e 1.00AU a =，根据开普勒第三定律，有3232a T a T =e e（2）设c 为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得c a r =-0 （3）22c a b -= （4）由图1可知，P 点的坐标cos P P x c r θ=+ （5） sin P P y r θ= （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得()2222222222sin cos 2cos 0P P P P P ab r b cr bc a b θθθ+++-= （7）根据求根公式可得SPP θP rab O0P xy 图1()22222cos sin cos P P P Pb ac r a b θθθ-=+ （8） 由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得0.896AU P r = (9) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 s2Gmm E =a-(10) 式中m 为彗星的质量．以P v 表示彗星在P 点时速度的大小，根据机械能守恒定律有2s s 122P P Gmm Gmm m r a ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭v （11） 得s 21P P Gm r a=⋅-v （12） 代入有关数据得414.3910m s P -⨯⋅v = (13) 设P 点速度方向与0SP 的夹角为ϕ(见图2)，根据开普勒第二定律[]sin 2P P P r ϕθσ-=v （14）其中σ为面积速度，并有πabTσ=（15） 由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得127ϕ= （16）解法二取极坐标，极点位于太阳S 所在的焦点处，由S 引向近日点的射线为极轴，极角为θ，取逆时针为正向，用r 、θ表示彗星的椭圆轨道方程为1cos pr e θ=+ （1）其中，e 为椭圆偏心率，p 是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a ，根据解析几何可知()21p a e =- （2）将（2）式代入（1）式可得图2SPP θP rab OP xyϕ()θcos 112e e a r +-= （3）以e T 表示地球绕太阳运动的周期，则e 1.00T =年；以e a 表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则e 1.00AU a =，根据开普勒第三定律，有3232a T a T =e e（4） 在近日点0=θ，由（3）式可得1r e a=-（5）将P θ、a 、e 的数据代入（3）式即得0.895AU P r = （6）可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能 s2Gmm E =a-(7) 式中m 为彗星的质量．以P v 表示彗星在P 点时速度的大小，根据机械能守恒定律有2s s 122P P Gmm Gmm m r a ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭v （8） 可得21P s P Gm r a=⋅-v （9） 代入有关数据得414.3910m s P -⨯⋅v = (10) 设P 点速度方向与极轴的夹角为ϕ，彗星在近日点的速度为0v ，再根据角动量守恒定律，有()sin P P P r r ϕθ-=v v 00 （11）根据（8）式，同理可得21s Gm r a=⋅-00v （12） 由（6）、（10）、(11)、(12)式并代入其它有关数据127ϕ= (13) 评分标准：本题20分解法一（2）式3分，（8）式4分，（9）式2分，（11）式3分，(13) 式2分,（14）式3分,（15）式1分，（16）式2分．解法二（3）式2分，（4）式3分，（5）式2分，（6）式2分，（8）式3分，(10) 式2分,（11）式3分,（12）式1分，（13）式2分．利开三算时间【例9】 以第一宇宙速度并与地面垂直方向往上空发射一枚导弹，后在离发射处不远的地方返回地面，计算导弹在空中飞行的时间。

地球半径R=6400公里。

【例10】 如图所示，一物体A 由离地面很远处向地球下落，落至地面上时，其速度恰等于第一宇宙速度。

已知地球半径R=6400km ，物体在地球引力场中的引力势能为rGMmE P -=（M 为地球质量，m 为物体的质量，r 为物体到地心的距离）。

若不计物体在运动中所受到的阻力，求此物体在空中运动的时间。

【例11】 质量为M 和质量为m 的物体相聚为l ，由于万有引力作用相互吸引，求其相遇时间。

几何【例12】 画出初一、十五、大潮、小潮时候太阳、月亮、地球的构型，说明日食、月食在农历发生的时间，并说明什么时候是上弦月，是什么时候是下弦月。

证明月食一年至多只能发生两次。

【例13】 2010年自主招生第三题设一天的时间为T ，地面上的重力加速度为g ，地球半径为0R ⑴ 试求地球同步卫星P 的轨道半径P R⑵ 赤道城市A 的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星P 。

（2.1）设P 的运动方向突然偏北转过45︒，试分析地判定而当地居民一天解有多少次机会可看到P 掠过城市上空。

（2.2）取消（2.1）问中偏转，设P 从原来的运动方向突然偏西北转过105︒，再分析地判定而经当地居民一天能有多少次机会可看到P 掠过城市上空。

（3）另一个赤道城市B 的居民，平均每三天有四次机会，可看到某卫星自东向西掠过该城市上空，试求Q 的轨道半径Q R 。

解：⑴由牛顿第二定律22p pGMmm R R ω= （3）由定义2GM gR =，2πTω= （2） 解得 220324P gR T R π=（2） （2.1）取地心不动的惯性参照系。

卫星运动方向偏北转过45︒，P 点就的大圆轨道绕圆心运动，A 城P 边赤道沿大圆，绕地心运动，经过半天，各转过半个大圆近日方向相遇。

再经过半天，各自又转过半个大圆，近日方向相遇。

故当地居民一天能有两次机会可看到P 掠过城市上空。

（2）（2.2）分析同（2.1），只是每经过半天，各转过半个大圆，经过半天相遇，结论仍为当地居民一天能有两次机会看到P 略过城市上空。

（2） （3）由题意得B 城Q 星：34天3414B Q ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩转过大圆转过大圆64天6434B Q ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩转过大圆转过大圆 94天9434B Q ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩转过大圆转过大圆12124444B Q ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩转过大圆天转过大圆故Q 的角速度Q ω为B （地球）的（自转）角速度B ω的三分之一，即有()333BQ Q B T T T ωω=⇒==周期 （2）….若得到34Q B T T =给1分同第（1）问，得：2e GM gR =，2πQ QT ω= 22Q Q QGMmm R R ω=（1）解得：1223294πe Q gR T R ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）【例14】 在地球的表面的展开图上，画出极地同步轨道卫星的地面投影的轨迹。

奇文共欣赏神人泡利1、这位先生是上个世纪少有的天才之一，Pauli 出生于维也纳一个研究胶体化学的教授的家中，他的教父是著名的马赫先生。

马赫先生被爱因斯坦称为相对论的先驱，虽然马赫先生并不给爱因斯坦这个面子，声称他对于相对论的相信程度，像他对分子论的相信程度一样。