1.3探索三角形全等的条件(8) 课件(苏科版八年级上)
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苏科版数学八年级上册探索三角形全等的条件(8)HL课件
A
D
EB
拓展延伸
2.如图，AB=AC，点D、E在AC、AB上， AG⊥BD于G，AF⊥CE于F，且AG＝AF，说明： AD＝AE
A
E F
D
G
B
C
8.如图,△ABC和△EFG中 ，AD 、EH 分别是高,AD=EH，AB=EF，AC=EG， 求证：△ABC≌△EFG
E
D
F
HG
1．直角三角形全等的判定方法有四种根据：
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). 又 ∠DE课堂练习
1.如图，AB=DF，CF=EB，AC⊥ CE， DE⊥CE，垂足分别为C、E. 问：△ABC与△DFE全等吗？为什么？
A
F
E
C
B
D
（2）AC＝A′C′，BC＝B′C′ （ 对）SAS （3）AB＝A′B′，∠A＝ ∠ A′ （ 对） AAS （4）∠A＝∠A′, ∠B＝∠B′ （ ）错
（5）AC＝A′C′，AB＝A′B′ （ 对 ）HL （6）∠A＝∠A′, AB＝ B′C′ （ 错）
➢例题讲授
例1 如图，在△ABC中，已知：BD⊥AC， CE⊥AB，BD=CE.试说明△EBC≌ △DCB。
(1)若 ∠A＝∠D，AB＝DE，
A
D
则△ABC≌△DEF .（ ASA） (2)若∠A＝∠D，BC＝EF，
则△ABC≌△DEF. （ AAS） B
CE
F
(3)若AB＝DE，BC＝EF，则△ABC≌△DEF. （ SAS ）
上面的每一小题，都只添加了两个条件，就使两个直
角三角形全等，你还能添加哪两个不同的条件使这两个直
A
1.3 探索三角形相似的条件课件 (苏科版八年级上)
A
B
E
C
DFຫໍສະໝຸດ 典型例题如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝2cm.
A
(1)在AB上取一点D,当AD＝_____ 1 时,
△ACD∽△ABC;
B C
(2)在AC的延长线上取一点E,当CE＝_____ 6 时,
△AEB∽△ABC;
E
问题情境
类比全等三角形的SSS判定方法，猜想如何判定 两个三角形相似？
时间是个常数，但对勤奋者来说，这是个“变 数”。用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算 时间的人时间多59倍。 -----雷巴柯夫
知识回顾
各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形 叫做相似三角形。 如图在△ABC和△A′B′C′中, B 若∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′； AB BC AC = = =k B′ A'B' B'C' A'C' 则△ABC与△ 与△ A′B′C′相似。 记作:△ABC ∽△ A′B′C′ 其中k叫做△ABC与△A′B′C′的相似比.
A
C A′ C′
注意：表示两个三角形相似应把表示对应顶点的字 母写在对应的位置上。
知识回顾
三角形相似的判定: 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角 对应相等，那么这两个三角形相似. 简记为:两角对应相等,两三角形相似.
D
A
在△ABC和△DEF中, 因为∠A＝∠D,∠B＝∠E,
B
C
E
F
所以△ABC∽△DEF.
知识回顾
三角形相似的判定 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延 长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
A D
1
见平行，想相似
B
E
C
DFຫໍສະໝຸດ 典型例题如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝2cm.
A
(1)在AB上取一点D,当AD＝_____ 1 时,
△ACD∽△ABC;
B C
(2)在AC的延长线上取一点E,当CE＝_____ 6 时,
△AEB∽△ABC;
E
问题情境
类比全等三角形的SSS判定方法，猜想如何判定 两个三角形相似？
时间是个常数，但对勤奋者来说，这是个“变 数”。用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算 时间的人时间多59倍。 -----雷巴柯夫
知识回顾
各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形 叫做相似三角形。 如图在△ABC和△A′B′C′中, B 若∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′； AB BC AC = = =k B′ A'B' B'C' A'C' 则△ABC与△ 与△ A′B′C′相似。 记作:△ABC ∽△ A′B′C′ 其中k叫做△ABC与△A′B′C′的相似比.
A
C A′ C′
注意：表示两个三角形相似应把表示对应顶点的字 母写在对应的位置上。
知识回顾
三角形相似的判定: 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角 对应相等，那么这两个三角形相似. 简记为:两角对应相等,两三角形相似.
D
A
在△ABC和△DEF中, 因为∠A＝∠D,∠B＝∠E,
B
C
E
F
所以△ABC∽△DEF.
知识回顾
三角形相似的判定 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延 长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
A D
1
见平行，想相似
《探索三角形全等的条件》三角形PPT教学课件(第1课时)
AC=AD（已知）， AB=AE（已知）， BC=ED（已证），
所以△ABC≌△AED（SSS）.
=× × =
课堂检测
基础巩固题
4.已知: 如图,点B，E，C，F在同一直线上 , AB = DE , AC = DF ,BE = CF .
试说明: （1）△ABC ≌ △DEF；
（2）∠A=∠D.
解: （1）因为BE = CF，
巩固练习
变式训练
如图, C是BF的中点，AB =DC,AC=DF.试说明:△ABC ≌ △DCF.
解：因为C是BF中点，
所以BC=CF.
在△ABC 和△DCF中， AB = DC， (已知) AC = DF， (已知) BC = CF， (已证) 所以 △ABC ≌ △DCF
(SSS).
探究新知 素养考点 2 利用三角形全等说明线段或角相等
D是BC的中点
探究新知
指明范 围
摆齐根 据
解：因为D 是BC中点， 所以BD =DC． 在△ABD 与△ACD 中，
准备条件
AB =AC (已知）
BD =CD （已证）
B
AD =AD （公共边）
所以 △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
A C
D 写出结论
探究新知
书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来； ④写出结论：写出全等结论.
例 工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常如图中所示，钉上两条斜拉的 木条，这样做的原理是根据三角形的______性. 解稳析定：门框钉上斜拉的木条构成三角形，三角形具有稳定性.
巩固练习
变式训练
所以△ABC≌△AED（SSS）.
=× × =
课堂检测
基础巩固题
4.已知: 如图,点B，E，C，F在同一直线上 , AB = DE , AC = DF ,BE = CF .
试说明: （1）△ABC ≌ △DEF；
（2）∠A=∠D.
解: （1）因为BE = CF，
巩固练习
变式训练
如图, C是BF的中点，AB =DC,AC=DF.试说明:△ABC ≌ △DCF.
解：因为C是BF中点，
所以BC=CF.
在△ABC 和△DCF中， AB = DC， (已知) AC = DF， (已知) BC = CF， (已证) 所以 △ABC ≌ △DCF
(SSS).
探究新知 素养考点 2 利用三角形全等说明线段或角相等
D是BC的中点
探究新知
指明范 围
摆齐根 据
解：因为D 是BC中点， 所以BD =DC． 在△ABD 与△ACD 中，
准备条件
AB =AC (已知）
BD =CD （已证）
B
AD =AD （公共边）
所以 △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
A C
D 写出结论
探究新知
书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来； ④写出结论：写出全等结论.
例 工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常如图中所示，钉上两条斜拉的 木条，这样做的原理是根据三角形的______性. 解稳析定：门框钉上斜拉的木条构成三角形，三角形具有稳定性.
巩固练习
变式训练
1.3探索三角形全等的条件第8课时 苏科版八年级数学上册
角边角（ASA） 角角边（AAS）
的
的
判
判
定
三条边
边边边（SSS）
定
三条边
边边边（SSS）
1、求证边或角相等，常用方法是证明它们所在的三角形全等。
2、证明三角形全等需要寻找三组相等条件。
3、在相等条件不满三组的情况下，可考虑二（多）次全等或 作辅助线间接得到所需条件。
(4)若∠B=∠DEF=90°要以“HL”为依据，还缺
条件＿AC＿=DF
例题解析
改成：∠BAD=∠BCD=90°，AB=CB
例1、已知：如图,△ABD≌△CBD，P是BD上的任意一点
求证: PA=PC
A
分析：1、根据已知条件可以得到什么结论？
2、要求证的结论，有哪几种途径可供选择？
B
P
D
解： ∵△ABD≌△CBD
∴∠ABP=∠CBP，AB=CB
在△ABP与△CBP中
C
在Rt△A=CB
∠ABP=∠CBP
AB=CB
BP=BP
BD=BD
∴△ABP≌△CBP（SAS）
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）
∴PA=PC
例题解析
例2、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、
苏科版八年级上册 数学
1.3探索三角形全等的条件 （第八课时）
知识结构
证明两个三角形全等时，一共需要三组条件，且其中 至少需要有一组对应边相等.
普通三角形
直角三角形
全
两边一角 边角边（SAS）
等
全 等
两边一角
边角边（SAS） 斜边直角边（HL）
三
三
角 形
两角一边
角边角（ASA） 角角边（AAS）
1.3探索三角形全等的条件(8)HL
（1）操作（尺规作图）． 用直尺和圆规作Rt△ABC，使∠C＝90°，CB＝a=4cm， AB＝c=6cm.
（2）思考、交流
你作的直角三角形和其他同学所作的三角形能完 全重合吗？
（3）讨论、证明 在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，
AB＝A′B′，AC＝A′C′
如何证明△ABC ≌△A′B′C′？
据． （ 1） （2 ） （3） （4）
B
A
C
D C
（ （ （ （
） ） ） ）
A
D
3．如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E， AF⊥CD，F为垂足，求证：CF＝DF．
A
B
E
C
F
D
1.3 探索三角形全等的条件（8）
温故知新
1．判定两个三角形全等的方法： ____.
、
、
、
2．如下图在Rt△ABC中， ∠B＝90°，则直角边 A 是 、 ， 斜边是____.
B
C
问题探究
（1）判断下列命题真假，若假命题画出反例图 命题：两边及其中一边的对角对应相等的两个三 角形全等。
探索活动一
B B′
A
C
A′
C′
探索活动二
（1）如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，能否判定 △ACB ≌△BDA？若不能，请增加一个条件使得△ACB ≌△BDA，把它们分别写出来，并注明你所用的判定方法.
D C
A
B
（2）开放、拓展 如上图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，若AC、BD相交 于点O，AC＝BD，你能发现哪些结论？并给出证明.
检测〃反馈 12 ．已知：如图，△ ABC 中，AB＝AC， ．如图，∠C ＝∠D＝ 90°，请你再添加 B AD 是高，则______≌______，依据是 一个条件，使△ABD ≌ △BAC，并在添加 ______. BD＝______ ，∠BAD＝______. 的条件后的（ ）内写出判定全等的依
苏科版八年级数学上册全等三角形课件
全等三角形的对应元素 阅读课本本课时“操作”之前的内容，通过视察图形，找 出全等三角形的对应元素.
预习导学
思考 (1)图中的两个三角形全等吗？若全等，如何用符号 表示这两个三角形全等？
(2)全等三角形有几组对应顶点、有几组对应边、有几组对 应角？
(3)对应边之间有什么数量关系呢？对应角呢？ 答:(1)图中的两个三角形全等，记作“△ABC≌△A'B'C'”， 读作“△ABC全等于△A'B'C'”.表示两个三角形全等时，通常把 对应顶点的字母写在对应的位置上.
合作探究
(2)已知BC＝7，AD＝5，求AF的长. 解:(2)∵△ABD≌△CFD，∴AD＝DC＝5，BD＝DF.∵BC ＝7，∴BD＝BC－CD＝7－5＝2，∴AF＝AD－DF＝5－2＝3. 方法归纳交流 通过全等三角形证明垂直的基本思路是根 据“全等三角形对应角相等”，再结合“相等且 互补 的两
预习导学
归纳总结 只改变图形的 位置 ，而不改变其形状、大小
的变换叫做全等变换，常见的全等变换有 平移、
翻折、
三种情势.
旋转
预习导学
已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 60° .
合作探究
判定两直线平行 1.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，
△ACE≌△DBF，求证:CE∥BF，AE∥DF.
◎难点:能够用图形运动的方法辨认复杂图形中的全等三角 形.
预习导学
在上节课我们学习了全等图形，想一想全等图形具有怎样 的性质？那么能完全重合的两个三角形具有哪些性质呢？这节 课我们就来探讨全等三角形的性质.
预习导学
·导学建议· 回忆旧知，唤醒学生的记忆，从而导入新课. (准备直尺、白纸)
预习导学
思考 (1)图中的两个三角形全等吗？若全等，如何用符号 表示这两个三角形全等？
(2)全等三角形有几组对应顶点、有几组对应边、有几组对 应角？
(3)对应边之间有什么数量关系呢？对应角呢？ 答:(1)图中的两个三角形全等，记作“△ABC≌△A'B'C'”， 读作“△ABC全等于△A'B'C'”.表示两个三角形全等时，通常把 对应顶点的字母写在对应的位置上.
合作探究
(2)已知BC＝7，AD＝5，求AF的长. 解:(2)∵△ABD≌△CFD，∴AD＝DC＝5，BD＝DF.∵BC ＝7，∴BD＝BC－CD＝7－5＝2，∴AF＝AD－DF＝5－2＝3. 方法归纳交流 通过全等三角形证明垂直的基本思路是根 据“全等三角形对应角相等”，再结合“相等且 互补 的两
预习导学
归纳总结 只改变图形的 位置 ，而不改变其形状、大小
的变换叫做全等变换，常见的全等变换有 平移、
翻折、
三种情势.
旋转
预习导学
已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 60° .
合作探究
判定两直线平行 1.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，
△ACE≌△DBF，求证:CE∥BF，AE∥DF.
◎难点:能够用图形运动的方法辨认复杂图形中的全等三角 形.
预习导学
在上节课我们学习了全等图形，想一想全等图形具有怎样 的性质？那么能完全重合的两个三角形具有哪些性质呢？这节 课我们就来探讨全等三角形的性质.
预习导学
·导学建议· 回忆旧知，唤醒学生的记忆，从而导入新课. (准备直尺、白纸)
苏科版八上数学课件1.3探索三角形全等的条件(角边角)
60°
40°
判定方法3
两角和其中一角的对边对应 相等的两个三角形全等，简 写成“角角边”或“AAS”
已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D
求证：AC=AD
D
1
A2 B
C
练一练：
1、完成下列推理过程：
在△ABC和△DCB中，A
∠∠A3＝BC∠=4∠DCB 3
∵BC∠=C2＝B ∠1
C∠B2＝=B∠C1
练习1
.已知：如图，AB=A’C，∠A=∠A’，∠B=∠C
求证：△ABE≌△A’CD
证明：在______和_______中
________（） ________（）
A
A'
________（）
∴△_____≌△_____（）
ED
B
C
例题讲解：
例1. 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相 交于点O，AB=AC，∠B=∠C。
E
D
B＝∠CB（＝已∠知C ）
B
C
AB＝∠ACA（＝已∠知A ）
A＝AAD（＝公AE共角）
∴△ABD≌△ACE（AASAAS ）
A 2
1 BD
E 如图，已知 ∠C＝∠E，∠1＝∠2， AB＝AD，△ABC和 C △ADE全等吗？为什么？
解：△ABC和△ADE全等。
∵∠1
＝∠2（已知）
在△____和△____中 A 2
——（） ——（） ——（） ∴△____≌△_____（） ∴AC=BD（全等三角形对应边相等）
D
3
B4
C
已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D
求证：AC=AD
D
1
A2 B
苏科版初中八年级数学上册第一章《全等三角形》PPT课件
C
BC＝EF，
CA＝FD，
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）．
E
F
1.3 探索三角形全等的条件（6）
二、自主探究
如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角 形的形状和大小就完全确定．三角形的这个性质叫做 三角形的稳定性．
1.3 探索三角形全等的条件（6）
三、知识应用
1.下列图形中，哪两个三角形全等？
分别以点C、 D为圆心，大 于为半12 径CD作的弧长， 两弧在 ∠AOB的内部 交于点M．
画射线OM 作射线OM
C
M
D
∴射线OM就是所求作的图形.
1.3 探索三角形全等的条件（7）
3．证 请对你的作法进行证明． 证明：在△MOC和△MOD中，
OC＝OD，
4．用 用直尺和圆规完成以下作图：OM＝OM，
四、尝试练习
1.已知：如图，AB＝CD，AD＝CB，
求证：∠B＝∠D.
D
C 证明：连结AC，
在△ABC 和△CDA中,
A
B
AB＝CD(已知),
BC＝DA(已知),
AC＝CA(公共边),
∴ △ABC≌△CDA(SSS)，
∴∠B＝∠D .
1.3 探索三角形全等的条件（6）
四、尝试练习
2．如图，AC、BD相交于点O，且AB＝DC， AC＝BD．求证：∠A＝∠D．
1.3 探索三角形全等的条件(1)
探索活动：
（二）如图，△ABC与△DEF、 △MNP能完全重合
吗？
A
1.5
45
B
3
D
1.5 60
M
3
E C
F
3
N
45
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A
C B′
A′
C′
1.3 探索三角形全等的条件（8）
展示· 探究
3. 探索活动二
（1）如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，能否判定 △ACB≌△BDA？若不能，请增加一个条件使得 △ACB≌△BDA，把它们分别写出来，并注明你所 用的判定方法. D C （2）反思、交流 判定两个直角三角形全等有 哪些方法？本次解题你有何收获？ A
B C
E F
（3）若AB＝DE，BC＝EF，则△ABC≌△DEF （ ）． 上面的每一小题，都只添加了两个条件，就使两个直角三角 形全等，你还能添加哪两个不同的条件使这两个直角三角形全等？
1.3 探索三角形全等的条件（8）
展示· 探究
1.讨论、展示
（1）判定两个直角三角形全等，还需要几个条件？ 可以是哪些条件？ （2）直角三角形是特殊的三角形，判定两个三角形 全等，有没有特殊的方法？
1.3 探索三角形全等的条件（8）
1.3 探索三角形全等的条件（8）
学习准备：
1．判定两个三角形全等的方法： 、 、 、____. 、 ， 2．如下图在Rt△ABC中， ∠B＝90°，则直角边是 斜边是____.
3．如何将一个等腰三角形变成两个全等的直角三角形？
4．如图，在Rt△ABC与Rt△DEF 中，∠B＝∠E＝90°， D A （1）若 ∠A＝∠D，AB＝DE， 则△ABC≌△DEF （ （2）若∠A＝∠D，BC＝EF， 则△ABC≌△DEF （ ）． ）．
A D
B
P
C
E
Q
F
思考：能否改变题中的某个条件，上面的结论 仍然成立？小组交流一下！
1.3 探索三角形全等的条件（8）
展示· 探究
4.探索活动三
变式1：若把∠BAC＝∠EDF，改为BC＝EF， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路． 变式2：若把∠BAC＝∠EDF，改为AC＝DF， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路． 变式3：请你把原题中的∠BAC＝∠EDF改 为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍 能全等．试证明． 变式4：如果将原题中的如图二字去掉， 对结果是否有影响？
A
1.3 探索三角形全等的条件（8）
检测· 反馈
3．如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E， AF⊥CD，F为垂足，求证：CF＝DF．
AA
提示：连接AC、AD．
EE
BB
C C
F F
D D
1.3 探索三角形全等的条件（8）
体会· 交流
1．“HL”定理是：有________相等的两个_____ 三角形全等． 2．在应用“HL”定理时，必须先得出两个_____ 三角形，然后证明___________对应相等．
你有怎样的猜想？
1.3 探索三角形全等的条件（8）
展示· 探究
2. 探索活动一
（1）操作（尺规作图） 用直尺和圆规作Rt△ABC，使∠C＝90°，CB＝a，AB＝c.
（2）思考、交流 ①△ABC就是所求作的三角形吗？ ②你作的直角三角形和其他同学所作的三角形能完全重合吗？ ③交流之后，你发现了什么？ ④想一想，在画图时是根据什么条件？它们重合的条件是 什么？
B
（3）开放、拓展 如上图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，若AC、BD相交 于点O，AC＝BD，你能发现哪些结论？并给出证明.
1.3 探索三角形全等的条件（8）
展示· 探究
4.探索活动三
已知：如图，在△ABC和△DEF中，AP、DQ分别是 三角形的高，并且AB＝DE，AP＝DQ，∠BAC＝∠EDF， 图中有全等三角形吗？若有，请写出所有的全等三角形 并写出判断过程；若没有，请说明理由.
展示· 探究
2. 探索活动一
（4）归纳、整理 请你用文字语言归纳你证明的结论？ 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. B 简写为：“斜边、直角边”或“HL”． 用几何语言表述你的结论 ∵∠C＝∠C′＝90°， ∴在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， AB＝A′B′ BC＝B′C′ ∴Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′（HL）．
1.3 探索三角形全等的条件（8）
展示· 探究
2. 探索活动一
（3）讨论、证明 在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，
AB＝A′B′，AC＝A′C′
如何证明△ABC≌△A′B′C′？ 你有何经验？ 用前面的判定两个三角形全等的基本事实，还缺少什么条件？
怎样构造？
1.3 探索三角形全等的条件（8）
1.3 探索三角形全等的条件（8）
检测· 反馈
1．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高， A 则______≌______，依据是______. BD＝______，∠BAD＝______.
B D C
2．如图，∠C ＝∠D＝90°，请你再添加一个条件，使 △ABD ≌ △BAC，并在添加的条件后的（ ）内写出 B 判定全等的依据． C （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ） D
这节课你有什么收获，还有什么疑惑？ 与你的同伴进行交