初中数学第二章因式分解复习
初中数学《因式分解》12个常见答题方法
初中数学《因式分解》12个常见答题方法摘要：1.引言2.因式分解的概念和重要性3.12个常见答题方法详解a.提公因式法b.平方差公式法c.完全平方公式法d.分组法e.差平方公式法f.分解因式公式法g.归纳法h.轮换对称法i.添项法j.拆项法k.合并同类项法4.方法总结与实用案例5.结尾正文：【引言】在初中数学中，因式分解是一项重要的技能，它可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。
掌握一些常用的答题方法，能够让我们在解决因式分解问题时更加得心应手。
下面，我们就来详细介绍12个常见的答题方法。
【因式分解的概念和重要性】因式分解，指的是将一个多项式表达式转化为几个简单多项式的乘积形式。
它的重要性在于，可以将复杂的数学问题简化，便于我们理解和计算。
同时，因式分解也是后续学习高中数学、大学数学等课程的基础。
【12个常见答题方法详解】1.提公因式法：这是一种最基本的因式分解方法，通过提取多项式中的公因式，将原式不断简化，最终得到简单的乘积形式。
2.平方差公式法：适用于形如a-b的式子，可以通过平方差公式进行因式分解，即(a+b)(a-b)。
3.完全平方公式法：适用于形如a+2ab+b的式子，可以通过完全平方公式进行因式分解，即(a+b)。
4.分组法：适用于多项式中存在两项可以合并成一组的情况，将多项式分组，然后对每组进行因式分解，最后再将各组的因式相乘。
5.差平方公式法：适用于形如a-b的式子，可以通过差平方公式进行因式分解，即(a+b)(a-b)。
6.分解因式公式法：掌握一些常用的分解因式公式，如平方差公式、完全平方公式、立方差公式等，可以直接应用于题目中。
7.归纳法：通过观察多项式的规律，逐步进行因式分解，直至得到最简形式。
8.轮换对称法：适用于具有轮换对称性质的多项式，通过对称轴进行轮换，得到新的多项式，再进行因式分解。
9.添项法：在多项式中添加适当的项，使得原多项式变为可以进行因式分解的形式。
10.拆项法：将多项式中的某一项拆分为两项，然后再进行因式分解。
初中数学之因式分解知识点汇总
初中数学之因式分解知识点汇总因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
2. 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。
因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。
注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。
3. 公因式多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。
系数——取各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母；指数——取相同字母的最低次幂。
例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。
因式分解九大方法：(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
初中数学因式分解知识点复习
初中数学因式分解知识点复习一、选择题1．下列因式分解中：①32(2)x xy x x x y ++=+；②2244(2)x x x ++=+；③22()()x y x y y x -+=+-；④329(3)x x x x -=-，正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】【分析】将各项分解得到结果，即可作出判断．【详解】①322(2+1)x xy x x x y ++=+，故①错误；②2244(2)x x x ++=+，故②正确；③2222()()x y y x x y y x -+=-=+-，故③正确；④39(+3)(3)x x x x x -=-故④错误.则正确的有2个.故选：B.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．多项式x 2y （a -b ）-xy （b -a ）+y （a -b ）提公因式后，另一个因式为（ ） A ．21x x -+B ．21x x ++C ．21x x --D ．21x x +-【答案】B【解析】解：x 2y (a －b )－xy (b －a )＋y (a －b )= y (a －b )（x 2+x +1）．故选B ．3．已知4821-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）A ．61、63B ．61、65C ．61、67D ．63、65 【答案】D【解析】【分析】由()()()()()()24242412686421212121221121=+-=+++--，多次利用平方差公式化简，可解得.【详解】解：原式()()24242121=+-，()()()()()()()()()24121224126624122121212121212163652121=++-=+++-=⨯⨯++ ∴这两个数是63,65.选D.【点睛】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键.4．已知a ﹣b =2，则a 2﹣b 2﹣4b 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B【解析】【分析】原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】∵a ﹣b =2，∴原式=(a +b )(a ﹣b )﹣4b =2(a +b )﹣4b =2a +2b ﹣4b =2(a ﹣b )=4．故选：B ．【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )A ．2ab(a-b)=2a 2b-2ab 2B ．x 2+1=x(x+1x )C ．x 2-4x+3=(x-2)2-1D ．a 2-b 2=(a+b)(a-b)【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).分解因式与整式乘法为相反变形.【详解】解：A.不是因式分解，而是整式的运算B.不是因式分解，等式左边的x 是取任意实数，而等式右边的x ≠0C.不是因式分解，原式＝(x －3)(x －1)D.是因式分解.故选D.故答案为：D.【点睛】因式分解没有普遍适用的法则，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、配方法、待定系数法、拆项法等方法.6．下列各式分解因式正确的是（ ）A ．2112(12)(12)22a a a -=+-B ．2224(2)x y x y +=+C ．2239(3)x x x -+=-D ．222()x y x y -=- 【答案】A【解析】【分析】根据因式分解的定义以及平方差公式，完全平方公式的结构就可以求解．【详解】 A. 2112(12)(12)22a a a -=+-，故本选项正确； B. 2222224(2)(2)=+44x y x y x y x xy y +≠+++，，故本选项错误；C. 222239(3)(3)=69x x x x x x -+≠---+，，故本选项错误；D. ()22()x y x y x y -=-+，故本选项错误. 故选A.【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握平方差公式，完全平方公式.7．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．m （a +b ）＝ma +mbB ．a 2+4a ﹣21＝a （a +4）﹣21C ．x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1）D ．x 2+16﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）+16【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 不符合题意；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意；C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 符合题意；D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形式．8．把代数式2x 2﹣18分解因式，结果正确的是（ ）A ．2（x 2﹣9）B ．2（x ﹣3）2C ．2（x +3）（x ﹣3）D ．2（x +9）（x ﹣9）【答案】C【解析】 试题分析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：2x 2﹣18=2（x 2﹣9）=2（x+3）（x ﹣3）．故选C ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．9．下列分解因式，正确的是（ ）A ．()()2x 1x 1x 1+-=+B ．()()29y 3y y 3-+=+- C ．()2x 2x l x x 21++=++ D ．()()22x 4y x 4y x 4y -=+- 【答案】B【解析】【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答．【详解】A. 和因式分解正好相反，故不是分解因式；B. 是分解因式；C. 结果中含有和的形式，故不是分解因式；D. x 2−4y 2=(x+2y)(x−2y)，解答错误.故选B.【点睛】本题考查的知识点是因式分解定义和十字相乘法分解因式，解题关键是注意：（1）因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式．（2）因式分解一定要彻底，直到不能再分解为止．10．若△ABC 三边分别是a 、b 、c ，且满足（b ﹣c ）（a 2＋b 2）＝bc 2﹣c 3 ， 则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】试题解析：∵（b ﹣c ）（a 2+b 2）=bc 2﹣c 3，∴（b ﹣c ）（a 2+b 2）﹣c 2（b ﹣c ）=0，∴（b ﹣c ）（a 2+b 2﹣c 2）=0，∴b ﹣c=0，a 2+b 2﹣c 2=0，∴b=c或a2+b2=c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选D．11．下列因式分解结果正确的是( )．A．10a3+5a2=5a(2a2+a)B．4x2-9=(4x+3)(4x-3)C．a2-2a-1=(a-1)2D．x2-5x-6=(x-6)(x+1)【答案】D【解析】【分析】A可以利用提公因式法分解因式(必须分解到不能再分解为止)，可对A作出判断；而B符合平方差公式的结构特点，因此可对B作出判断；C不符合完全平方公式的结构特点，因此不能分解，而D可以利用十字相乘法分解因式，综上所述，即可得出答案.【详解】A、原式=5a2(2a+1)，故A不符合题意；B、原式=(2x+3)(2x-3)，故B不符合题意；C、a2-2a-1不能利用完全平方公式分解因式，故C不符合题意；D、原式=(x-6)(x+1)，故D符合题意；故答案为D【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法和十字相乘法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．12．某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy2+6x2y+3xy=-3xy•（4y-______）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（）A．2x B．-2x C．2x-1 D．-2x-l【答案】C【解析】【分析】根据题意，提取公因式-3xy，进行因式分解即可．【详解】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1．故选：C．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化．13．下列各因式分解的结果正确的是（ ）A ．()321a a a a -=-B ．2()b ab b b b a ++=+C ．2212(1)x x x -+=-D ．22()()x y x y x y +=+-【答案】C【解析】【分析】将多项式写成整式乘积的形式即是因式分解，且分解到不能再分解为止，根据定义依次判断即可．【详解】 ()321a a a a -=-=a （a+1）（a-1），故A 错误； 2(1)b ab b b b a ++=++，故B 错误；2212(1)x x x -+=-，故C 正确；22x y +不能分解因式，故D 错误，故选：C ．【点睛】此题考查因式分解的定义，熟记定义并掌握因式分解的方法及分解的要求是解题的关键．14．已知a b >，a c >，若2M a ac =-，N ab bc =-，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N <B ．M N =C ．M N >D ．不能确定 【答案】C【解析】【分析】计算M-N 的值，与0比较即可得答案．【详解】∵2M a ac =-，N ab bc =-，∴M-N=a(a-c)-b(a-c)=(a-b)(a-c)，∵a b >，a c >，∴a-b ＞0，a-c ＞0，∴(a-b)(a-c)＞0，∴M ＞N ，故选：C ．【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握运算法则并灵活运用“作差法”比较两式大小是解题关键．15．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a-2D ．(a+2)2-2(a+2)+1【答案】C【解析】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a 2﹣1=（a+1）（a ﹣1），a 2+a=a （a+1），a 2+a ﹣2=（a+2）（a ﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C ；故答案选C ．考点：因式分解.16．已知三个实数a ，b ，c 满足a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，则（ ）A ．b ＞0，b 2﹣ac ≤0B ．b ＜0，b 2﹣ac ≤0C ．b ＞0，b 2﹣ac ≥0D ．b ＜0，b 2﹣ac ≥0【答案】C【解析】【分析】根据a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，可以得到b 与a 、c 的关系，从而可以判断b 的正负和b 2﹣ac 的正负情况．【详解】∵a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，∴a +c ＝﹣2b ，∴a ﹣2b +c ＝（a +c ）﹣2b ＝﹣4b ＜0，∴b ＞0，∴b 2﹣ac ＝222222a c a ac c ac +++⎛⎫-= ⎪⎝⎭＝2222042a ac c a c -+-⎛⎫= ⎪⎝⎭…， 即b ＞0，b 2﹣ac ≥0，故选：C ．【点睛】 此题考查不等式的性质以及因式分解的应用，解题的关键是明确题意，判断出b 和b 2-ac 的正负情况．17．已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且满足222244a c b c a b -=-，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解．【详解】移项得，a2c2−b2c2−a4＋b4＝0，c2（a2−b2）−（a2＋b2）（a2−b2）＝0，（a2−b2）（c2−a2−b2）＝0，所以，a2−b2＝0或c2−a2−b2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选B．【点睛】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．18．把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（）．A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1)C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1)【答案】A【解析】【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．【详解】解：原式=x2-（y2+2y+1），=x2-（y+1）2，=（x+y+1）（x-y-1）．故选A．19．下列从左到右的变形属于因式分解的是()A．(x＋1)(x－1)＝x2－1 B．m2－2m－3＝m(m－2)－3C．2x2＋1＝x(2x＋1x) D．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)【答案】D 【解析】【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写出几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、（x+1）（x-1）=x 2-1不是因式分解，是多项式的乘法，故本选项错误； B 、右边不全是整式积的形式，还有减法，故本选项错误；C 、右边不是整式积的形式，分母中含有字母，故本选项错误；D 、x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)符合因式分解的定义，故本选项正确.故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．20．多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ ）A ．1x -B ．1x +C ．21x -D ．()21x - 【答案】A【解析】试题分析：把多项式分别进行因式分解，多项式2mx m -=m （x+1）（x-1），多项式221x x -+=()21x -，因此可以求得它们的公因式为（x-1）．故选A考点：因式分解。
初中数学知识点：因式分解考前复习
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因式分解
因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。
因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④
因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)
公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。
②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
提取公因式步骤：
①确定公因式。
②确定商式③公因式与商式写成积的形式。
分解因式注意；
①不准丢字母
②不准丢常数项注意查项数
③双重括号化成单括号
④结果按数单字母单项式多项式顺序排列
⑤相同因式写成幂的形式
⑥首项负号放括号外
⑦括号内同类项合并。
最新初中数学因式分解知识点总复习附答案解析(2)
最新初中数学因式分解知识点总复习附答案解析(2)一、选择题1．将2x 2a -6xab +2x 分解因式，下面是四位同学分解的结果：①2x （xa -3ab ）， ②2xa （x -3b +1）， ③2x （xa -3ab +1）， ④2x （-xa +3ab -1）． 其中，正确的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】C【解析】【分析】直接找出公因式进而提取得出答案．【详解】2x 2a-6xab+2x=2x （xa-3ab+1）．故选：C ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．若()()21553x kx x x --=-+，则k 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．8D ．-8【答案】B【解析】【分析】 利用十字相乘法化简()()253215x x x x -+=--，即可求出k 的值．【详解】∵()()253215x x x x -+=--∴2k -=-解得2k =故答案为：B ．【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握十字相乘法是解题的关键．3．下列多项式不能使用平方差公式的分解因式是( )A ．22m n --B ．2216x y -+C ．22b a -D ．22449a n -【答案】A【解析】【分析】原式各项利用平方差公式的结构特征即可做出判断．【详解】下列多项式不能运用平方差公式分解因式的是22m n --．故选A ．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．4．若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足22230a b a c b c b -+-=，则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形 【答案】D【解析】【分析】首先将原式变形为()()()0b c a b a b --+=，可以得到0b c -=或0a b -=或0a b +=，进而得到b c =或a b =．从而得出△ABC 的形状．【详解】∵22230a b a c b c b -+-=，∴()()220a b c b c b -+-=，∴()()220b c a b --=，即()()()0b c a b a b --+=，∴0b c -=或0a b -=或0a b +=(舍去)，∴b c =或a b =，∴△ABC 是等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法、平方差公式法在实际问题中的运用，注意掌握因式分解的步骤，分解要彻底．5．下列各式分解因式正确的是（ ）A ．22()()()(1)a b a b a b a b +-+=++-B ．236(36)x xy x x x y --=-C ．223311(4)44a b ab ab a b -=- D ．256(1)(6)x x x x --=+- 【答案】D【解析】【分析】 利用提公因式法、十字相乘法法分别进行分解即可．【详解】A. 22()()()(1)+-+≠++-a b a b a b a b ，故此选项因式分解错误，不符合题意；B. 23-6-(3-6-1)=x xy x x x y ，故此选项因式分解错误，不符合题意；C. 223211(4)44-=-a b ab ab a b ，故此选项因式分解错误，不符合题意； D. 256(1)(6)x x x x --=+-，故此选项因式分解正确，符合题意．故选：D【点睛】本题考查了提公因式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用其他方法进行分解．6．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．m （a +b ）＝ma +mbB ．a 2+4a ﹣21＝a （a +4）﹣21C ．x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1）D ．x 2+16﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）+16【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 不符合题意；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意；C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 符合题意；D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形式．7．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．2161x +B ．221x x +-C ．2224a ab b +-D ．214x x -+ 【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方和的形式，另一项是这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】A. 2161x +只有两项，不符合完全平方公式；B. 221x x +-其中2x 、-1不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；C. 2224a ab b +-，其中2a 与24b - 不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；D. 214x x -+符合完全平方公式定义， 故选：D.【点睛】此题考查完全平方公式，正确掌握完全平方式的特点是解题的关键.8．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 3﹣x ＝x （x 2﹣1）B ．x 2+y 2＝（x+y ）（x ﹣y ）C ．（a+4）（a ﹣4）＝a 2﹣16D ．m 2+4m+4＝（m+2）2 【答案】D【解析】【分析】逐项分解因式，即可作出判断．【详解】A 、原式＝x （x 2﹣1）＝x （x+1）（x ﹣1），不符合题意；B 、原式不能分解，不符合题意；C 、原式不是分解因式，不符合题意；D 、原式＝（m+2）2，符合题意，故选：D ．【点睛】此题主要考查了提公因式法，以及公式法在因式分解中的应用，要熟练掌握．9．若△ABC 三边分别是a 、b 、c ，且满足（b ﹣c ）（a 2＋b 2）＝bc 2﹣c 3 ， 则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】试题解析：∵（b ﹣c ）（a 2+b 2）=bc 2﹣c 3，∴（b ﹣c ）（a 2+b 2）﹣c 2（b ﹣c ）=0，∴（b ﹣c ）（a 2+b 2﹣c 2）=0，∴b ﹣c=0，a 2+b 2﹣c 2=0，∴b=c 或a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．故选D ．10．下列各因式分解正确的是（ ）A ．﹣x 2+（﹣2）2=（x ﹣2）（x+2）B ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2C ．4x 2﹣4x+1=（2x ﹣1）2D ．x 3﹣4x=2（x ﹣2）（x+2）【答案】C【解析】【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．【详解】A ．﹣x 2+(﹣2)2=(2+x)(2﹣x)，故A 错误；B ．x 2+2x ﹣1无法因式分解，故B 错误；C.4x 2﹣4x+1=(2x ﹣1)2，故C 正确；D 、x 3﹣4x= x(x ﹣2)(x+2)，故D 错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式以及分解因式的定义，熟练掌握相关公式是解题关键．11．若多项式3212x mx nx ++-含有因式()3x -和()2x +，则n m 的值为 （ ） A ．1B ．-1C ．-8D ．18- 【答案】A【解析】【分析】多项式3212x mx nx ++-的最高次数是3，两因式乘积的最高次数是2，所以多项式的最后一个因式的最高次数是1，可设为()x a +，再根据两个多项式相等，则对应次数的系数相等列方程组求解即可．【详解】解：多项式3212x mx nx ++-的最高次数是3，2(3)(2)6x x x x -+=--的最高次数是2，∵多项式3212x mx nx ++-含有因式()3x -和()2x +，∴多项式的最后一个因式的最高次数应为1，可设为()x a +，即3212(3)(2)()++-=--+x mx nx x x x a ，整理得：323212(1)(6)6++-=+--+-x mx nx x a x a x a ， 比较系数得：1(6)612m a n a a =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，解得：182m n a =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴811-==n m ，故选：A ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，运用待定系数法设出因式进行求解是解题的关键．12．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( )A ．x 2﹣16+6x =(x +4)(x ﹣4)+6xB ．10x 2﹣5x =5x (2x ﹣1)C ．a 2﹣b 2﹣c 2=(a ﹣b )(a +b )﹣c 2D ．a (m +n )=am +an【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个进行判断即可.【详解】解：A 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；B 、把多项式10x 2﹣5x 变形为5x 与2x ﹣1的积，是因式分解；C 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；D 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；故选：B ．【点睛】本题主要考察了因式分解的定义，理解因式分解的定义是解题的关键.13．下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是A ．8a 2b=2a ·4abB ．-ab 3-2ab 2-ab=-ab (b 2+2b )C ．4x 2+8x-4=4x 12-x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．4my-2=2(2my-1)【答案】D【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A 、是整式的乘法，故A 不符合题意；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意；C 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 不符合题意；D 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．14．下列分解因式错误的是（ ）.A ．()2155531a a a a +=+B ．()()22x y x y x y --=-+- C ．()()1ax x ay y a x y +++=++D ．()()2a bc ab ac a b a c --+=-+ 【答案】B【解析】【分析】利用因式分解的定义判断即可．【详解】解：A. ()2155531a a a a +=+，正确； B. ()2222x y x y --=-+，所以此选项符合题意；C. ()()()1ax x ay y a x y x y a x y +++=+++=++ ，正确；D. ()()2()()a bc ab ac a a b c a b a b a c --+=-+-=-+，正确 故选：B.【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15．将3a b ab -进行因式分解，正确的是( )A ．()2a a b b -B ．()21ab a -C ．()()11ab a a +-D ．()21ab a - 【答案】C【解析】【分析】多项式3a b ab -有公因式ab ，首先用提公因式法提公因式ab ，提公因式后，得到多项式()21x -，再利用平方差公式进行分解．【详解】()()()32111a b ab ab a ab a a -=-=+-，故选：C ．【点睛】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；16．将下列多项式因式分解，结果中不含因式x －1的是( )A ．x 2－1B ．x 2＋2x ＋1C ．x 2－2x ＋1D ．x(x －2)＋(2－x)【答案】B【解析】【分析】将各选项进行因式分解即可得以选择出正确答案．【详解】A. x 2﹣1=（x+1）（x-1）；B. x 2+2x+1=（x+1）2 ;C. x 2﹣2x+1 =（x-1）2;D. x （x ﹣2）﹣（x ﹣2）=（x-2）（x-1）；结果中不含因式x-1的是B ；故选B.17．下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A ．（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4B ．x 2﹣1＝1()x x x-C ．x 2﹣4+3x ＝（x +2）（x ﹣2）+3xD ．x 2﹣4＝（x +2）（x ﹣2）【答案】D【解析】【分析】直接利用因式分解的意义分别判断得出答案．【详解】A 、（x+2）（x-2）=x 2-4，是多项式乘法，故此选项错误；B 、x 2-1=（x+1）（x-1），故此选项错误；C 、x 2-4+3x=（x+4）（x-1），故此选项错误；D 、x 2-4=（x+2）（x-2），正确．故选D ．【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．18．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．()21x x x x -=- B ．()22121x x x x -+=-+ C ．()()21323x x x x -+=+- D ．()a b c ab ac -=-【答案】A【解析】【分析】根据因式分解的意义：把一个多项式转化成几个整式积的形式叫因式分解，可得答案．【详解】解：A 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，符合题意；B 、右边不是整式积的形式，不符合题意；C 、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；D 、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是解题关键．19．若n （）是关于x 的方程的根，则m+n 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-2 【答案】D【解析】【分析】将n 代入方程,提公因式化简即可.【详解】 解：∵是关于x 的方程的根， ∴，即n(n+m+2)=0, ∵∴n+m+2=0,即m+n=-2, 故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n 是解题关键.20．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．2(3)(2)6x x x x +-=+-B ．24(2)(2)x x x -=+-C ．2323824a b a b =⋅D ．1()1ax ay a x y --=-- 【答案】B【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A ．是整式乘法，故A 错误；B ．是因式分解，故B 正确；C ．左边不是多项式，不是因式分解，故C 错误；D ．右边不是整式积的形式，故D 错误．故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．。
初中数学专题复习资料-----多项式的因式分解
1、（08 年沈阳）
2、（08 年浙江绍兴）
3、(08 年山东）
【练习】
一、填空题：
1、分解因式 2x2 4x
； 4x2 9
； x2 4x 4
。
2、分解因式； a(x y)2 b( y x)2 _______________ ；
完 公 因 式 后 ， 另 一 因 式 的 项 数 与 原 多 项 式 的 项 数 相 同 ）； ③、将多项式写成等于两个因式相乘（公因式与余式的积）的形势。
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【例题 3】、把下列各式因式分解：
1、 14abc 7ab 49ab2c ；
2、 xx y yy x； 3、 mx y2 x y
①确定公因式的系数：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；
②确定公因式的字母：公因式的字母取各项都含有的相同的字母（相同的多项式）；
③ 确 定 公 因 式 的 指 数 ：各 字 母 的 指 数 取 各 项 中 字 母 次 数 最 低 的（ 多 项 式 的 次 数 取 最 低 的 ）。如
(1) x2 7x 6 ；
(2) x2 13x 36 ；
(3) x2 5x 24 ；
(4) x2 2x 15 ；
(5) x2 xy 6 y2 ；
(6) (x2 x)2 8(x2 x) 12
【例题 6】、把下列各式因式分解：
(1) 12x2 5x 2
(2) 8a 4a2 4;
初中数学专题复习资料-----多项式的因式分解
【知识点归纳 1】 一、因式分解的定义：
把 一 个 多 项 式 化 为 几 个 整 式 的 积 的 形 式 ，这 种 变 形 叫 做 把 这 个 多 项 式 因 式 分 解 ，也 叫 作 分 解 因 式。
初中数学代数复习二因式分解
代数复习二-----------因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一）、公式法【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==． 解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式：(1) 34381a b b -(2) 76a ab -分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++． (2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+二)、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式【例3】把2105-+-分解因式．ax ay by bx分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a与b-，这时另一个因式正好都是5-，x y这样可以继续提取公因式．解：21052(5)(5)(5)(2)-+-=---=--ax ay by bx a x y b x y x y a b 说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．【例4】把2222---分解因式．ab c d a b cd()()分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：22222222---=--+ab c d a b cd abc abd a cd b cd()()2222=-+-abc a cd b cd abd()()=-+-=-+()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．2．分组后能直接运用公式【例5】把22x y ax ay-++分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y+；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y+.解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a-++=+-++=+-+【例6】把222++-分解因式．2428x xy y z分析：先将系数2提出后，得到222++-，其中前三项作为一组，x xy y z24它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：222222++-=++-24282(24)x xy y z x xy y z22=+-=+++-2[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．三)、十字相乘法 1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例7】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-2 76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--． (2)3649,4913=⨯+=2 1336(4)(9)x x x x ∴++=++说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．【例8】把下列各式因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x --解：(1) 24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+ 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 【例9】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+- (2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【例10】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+3241-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．因式分解专练1．把下列各式分解因式： (1) 327a +(2) 38m -(3) 3278x -+2．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2) 33n n x x y +-(3) 2232(2)y x x y -+ 3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 2627x x --(3) 2245m mn n --4．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x -- (4) 2282615x xy y +- (5) 27()5()2a b a b +-+-5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +--(3) 251526x x xy y -+- (4) 22414xy x y +--(5) 432234ab b a b a b a --+ (6) 66321x y x --+ (7) 2(1)()x x y xy x +-+ 6．已知2,23a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值．7．证明：当n 为大于2的整数时，5354n n n -+能被120整除．8．已知0a b c ++=，求证：32230a a c b c abc b ++-+=．。
初中复习方略数学第二讲 整式、因式分解
第二讲整式、因式分解列代数式及求代数式的值1．代数式：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的__字母__连接起来的式子，叫做代数式．2．求代数式的值：用__数__代替字母，并按照运算关系求出结果．代数式求值的两种方法1．直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的顺序计算求值．2．整体代入法：观察已知条件和所求代数式的关系，将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值．整式的相关概念1．52的次数是2.(×)2．x3y2的系数是0，次数是5.(×)3．多项式3x2y－m2的次数是5.(×)1．同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．2．所有常数项都是同类项．3．只有同类项才能合并，如x2与x3不能合并．整式的运算1．整式的加减2.幂的运算3．整式的乘法4.整式的除法单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式 先用多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加5.整式混合运算的顺序先算__乘方__，再算__乘除__，最后算__加减__，同级运算按照从左到右的顺序计算．遇到幂的乘方时，需要注意：(1)当括号内有“－”号时，(－a m )n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a mn （n 为奇数）a mn （n 为偶数）； (2)当含有系数时，一定也要给系数进行乘方运算．1．3a(5a －2b)＝15a －6ab.(×)2．(1＋x)(－1＋x)＝x 2－1.(√)3．(－3a －2)(3a －2)＝9a 2－4.(×)1．6m÷3m＝2m.(×)2．(6a 2b －4a 2c)÷(－2a 2)＝－3b ＋2c.(√)3．(2a 3－a 2)÷(－a)2＝2a －1.(√)因式分解的定义1．因式分解的定义：把一个多项式化成几个__整式__的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解．2．基本方法：(1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝__m(a＋b＋c)__．(2)公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2.3．因式分解的步骤：(1)因式分解一定要分解到每个因式都不能再分解为止；(2)有数字因式时，不要忘记提取；(3)结果必须是乘积的形式．考点一列代数式及其求值【典例1】(2021·自贡中考)已知x2－3x－12＝0，则代数式－3x2＋9x＋5的值是(B)A．31 B．－31C．41 D．－41【思路点拨】由已知可得：x2－3x＝12，将代数式适当变形，利用整体代入的思想进行运算即可得出结论．【例题变式】(变换条件)(2020·连云港中考)按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是__－26__．【思路点拨】把x＝2代入程序中计算，当其值小于0时将所得结果输出即可．1．(2021·温州中考)某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米(a＋1.2)元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为(D)A．20a元 B．(20a＋24)元C．(17a＋3.6)元 D．(20a＋3.6)元2．(2021·金华中考)某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是(B)A.先打九五折，再打九五折B．先提价50%，再打六折C．先提价30%，再降价30% D．先提价25%，再降价25% 3．(2021·台州中考)已知(a＋b)2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝(C)A．24 B．48 C．12 D．2 6考点二整式的相关概念【典例2】(2021·青海中考)已知单项式2a4b－2m＋7与3a2m b n＋2是同类项，则m＋n＝__3__．【思路点拨】根据同类项的定义，列方程求解即可．1．单项式是表示省略了乘法符号的乘法运算．2．多项式是单项式之间的加减运算．1．(2020·日照中考)单项式－3ab的系数是(B)A．3 B．－3 C．3a D．－3a2．(2021·上海中考)下列单项式中，a2b3的同类项是(B)A．a3b2 B．3a2b3 C．a2b D．ab33．(2020·滨州中考)若8x m y与6x3y n的和是单项式，则(m＋n)3的平方根为(D)A．4 B．8 C．±4 D．±84．(2020·绵阳中考)若多项式xy|m－n|＋(n－2)x2y2＋1是关于x，y的三次多项式，则mn＝__0或8__．考点三整式的运算【典例3】(2021·自贡中考)下列运算正确的是(B)A．5a2－4a2＝1 B．(－a2b3)2＝a4b6C．a9÷a3＝a3 D．(a－2b)2＝a2－4b2【思路点拨】按照合并同类项的运算方法、整数指数幂的运算法则、完全平方公式逐个验证即可．【例题变式】(变化问法)(2021·北京中考)已知a2＋2b2－1＝0，求代数式(a－b)2＋b(2a＋b)的值．【思路点拨】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，进而把已知代入得出答案．【自主解答】原式＝a2－2ab＋b2＋2ab＋b2＝a2＋2b2，∵a2＋2b2－1＝0，∴a 2＋2b 2＝1，∴原式＝1.1．幂的运算要注意区分幂的乘方和同底数幂的乘法．2．单项式的乘法是利用交换律和结合律转化为幂的运算．3．多项式的乘法是利用分配律转化为单项式的乘法．4．整式的除法与乘法互为逆运算．5．乘法公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．1．(2021·连云港中考)下列运算正确的是(D)A ．3a ＋2b ＝5abB ．5a 2－2b 2＝3C ．7a ＋a ＝7a 2D ．(x －1)2＝x 2＋1－2x2．(2021·遂宁中考)若|a －2|＋a ＋b ＝0，则a b＝__14 __． 3.(2021·重庆中考A 卷)计算：(x －y)2＋x(x ＋2y).【解析】(x －y)2＋x(x ＋2y)＝x 2－2xy ＋y 2＋x 2＋2xy ＝2x 2＋y 2.4．(2021·长沙中考)先化简，再求值：(x －3)2＋(x ＋3)(x －3)＋2x(2－x)，其中x ＝－12. 【解析】原式＝x 2－6x ＋9＋x 2－9＋4x －2x 2＝－2x ， 当x ＝－12时， 原式＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝1. 考点四 因式分解【典例4】(2021·恩施中考)分解因式：a －ax 2＝__a(1＋x)(1－x)__．【思路点拨】直接提取公因式，再利用公式法分解因式．公因式的确定1．系数：取各项系数的最大公约数；2．字母：取各项相同的字母；3．指数：取各相同字母的最低次数．1．(2021·杭州中考)因式分解1－4y2＝(A)A．(1－2y)(1＋2y) B．(2－y)(2＋y)C．(1－2y)(2＋y) D．(2－y)(1＋2y)2．(2021·盐城中考)分解因式：a2＋2a＋1＝__(a＋1)2__．3．(2021·北京中考)分解因式：5x2－5y2＝__5(x＋y)(x－y)__．4．(2020·内江中考)我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n(m，n是正整数，且m≤n)，在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f(x)＝mn .例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18－1＞9－2＞6－3，所以3×6是18的最佳分解，所以f(18)＝36＝12.(1)填空：f(6)＝________；f(9)＝________．(2)一个两位正整数t(t＝10a＋b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数)，交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有符合条件的两位正整数；并求f(t)的最大值．(3)填空：①f(22×3×5×7)＝________；②f(23×3×5×7)＝________；③f(24×3×5×7)＝________；④f(25×3×5×7)＝________．【解析】(1)6可分解成1×6，2×3，∵6－1＞3－2，∴2×3是6的最佳分解，∴f(6)＝23 .9可分解成1×9，3×3，∵9－1＞3－3，∴3×3是9的最佳分解，∴f(9)＝33 ＝1.答案：23 1(2)设交换t 的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b ＋a ， 根据题意，得t′－t ＝(10b ＋a)－(10a ＋b)＝9(b －a)＝54， ∴b ＝a ＋6.∵1≤a≤b≤9，a ，b 为正整数，∴满足条件的t 为：17，28，39；∵f(17)＝117 ，f(28)＝47 ，f(39)＝313 ，∵47 >313 >117 ，∴f(t)的最大值为47 .(3)①∵22×3×5×7的最佳分解为20×21，∴f(22×3×5×7)＝2021 .答案：2021 ②∵23×3×5×7的最佳分解为28×30， ∴f(23×3×5×7)＝2830 ＝1415 . 答案：1415③∵24×3×5×7的最佳分解是40×42，∴f(24×3×5×7)＝4042 ＝2021 . 答案：2021④∵25×3×5×7的最佳分解是56×60，∴f(25×3×5×7)＝5660 ＝1415. 答案：1415人教版七年级上册 P112 T4先化简，再求值：(2x ＋3y)2－(2x ＋y)(2x －y)，其中x ＝13 ，y ＝－12 . 【思路点拨】利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．【自主解答】原式＝4x 2＋12xy ＋9y 2－4x 2＋y 2＝10y 2＋12xy ，当x ＝13 ，y ＝－12，原式＝0.5.(变换条件)(2021·南充中考)先化简，再求值：(2x＋1)(2x－1)－(2x－3)2，其中x＝－1.【解析】原式＝4x2－1－(4x2－12x＋9)＝4x2－1－4x2＋12x－9＝12x－10. ∵x＝－1，∴12x－10＝12×(－1)－10＝－22.(变换条件与问法)(2020·邵阳中考)已知：|m－1|＋n＋2 ＝0，(1)求m，n的值；(2)先化简，再求值：m(m－3n)＋(m＋2n)2－4n2.【解析】(1)根据非负性得：m－1＝0且n＋2＝0，解得：m＝1，n＝－2.(2)原式＝m2－3mn＋m2＋4mn＋4n2－4n2＝2m2＋mn，当m＝1，n＝－2，原式＝2×1＋1×(－2)＝0.人教版七年级上册P120 T10观察下列式子：2×4＋1＝9＝32；6×8＋1＝49＝72；14×16＋1＝225＝152；…你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？【思路点拨】式子可以整理为：(22－2)×21＋1＋1＝(22－1)2；(23－2)×22＋1＋1＝(23－1)2；(24－2)×23＋1＋1＝(24－1)2；…得到第n个式子的结论即可．【自主解答】(2n＋1－2)·2n＋1＋1＝(2n＋1－1)2.证明：(2n ＋1－2)·2n ＋1＋1＝22n ＋2－2n ＋2＋1＝(2n ＋1)2－2×2n ＋1＋1＝(2n ＋1－1)2.(变换条件)(2020·青海中考)观察下列各式的规律：①1×3－22＝3－4＝－1；②2×4－32＝8－9＝－1；③3×5－42＝15－16＝－1.请按以上规律写出第4个算式__4×6－52＝24－25＝－1__．用含有字母的式子表示第n 个算式为__n(n ＋2)－(n ＋1)2＝－1__．(变换条件与问法)(2021·眉山中考)观察下列等式：x 1＝1＋112＋122 ＝32 ＝1＋11×2 ； x 2＝1＋122＋132 ＝76 ＝1＋12×3 ； x 3＝1＋132＋142 ＝1312 ＝1＋13×4 ； …根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2 020－2 021＝__－12 021 __.。
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3
22281224y xy y x +--()()2
216y x y x --+a
a -3第二章 因式分解复习（编号：复02）
知识点回顾
1、因式分解的定义；把一个多项式化成几个整式的 的形式。
2、因式分解与整式乘法的关系： 。
根据箭头指向写出属于什么变形。
3、因式分解的方法；
（1）提公因式法，如：ma+mb+mc= 。
（2）公式法，平方差公式： 。
完全平方公式： 。
一、课堂练习（A 组题）
1、下列从左到右是因式分解的是（ ）
A. x(a －b)=ax －bx
B. x 2 －1+y 2=(x －1)(x+1)+y 2
C. x 2－1=(x+1)(x －1)
D. ax+bx+c=x(a+b)+c
2、下列因式分解中，正确的是（ ）
A ．3m 2－6m=m(3m －6)
B ．a 2b+ab+a=a(ab+b)
C ．－x 2+2xy －y 2=－(x －y)2
D ．x 2+y 2=(x+y)2
3、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（ ）
A 、42+-m
B 、22y x --
C 、122-y x
D 、()()2
2
a m a m +--
4.若x 2
+2(m-3)x+16是完全平方式，则m=( )
A.3
B.-5
C.7.
D.7或-1 5、若9x 2+axy+4y 2是完全平方式,则a= 6、 把下列各式因式分解.
(1) (2)
(3) （4）4p(1-q)3
+2(q -1)2
二、课堂练习（B 组题） 3、因式分解
（1） （2）)(2)(3x y y x a --- （3）
（4） （5）
4.已知x －y=1,xy=2， 5、利用因式分解说明：
求x 3y －2x 2y 2+xy 3的值. 127636-能被140整除。
6.计算：(1)（－2）101＋（－2）100 (1) 32004＋32003
32232ab b a b a ++22==+ab b a
课后作业
1、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是：（ ）
A 、()2
2
4168-=+-x x x B 、()()103252
-+=-+x x x x
C 、x x x x x 6)3)(3(692
+-+=+- D 、()()()()2332-+=+-x x x x
2、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A 、22)(b a -+；
B 、mn m 2052
-； C 、2
2y x --，D 、92
+-x ；
3、若x 2－8x+m 是完全平方式,则m= .
4、若9x 2+axy+4y 2是完全平方式,则a= . .c o m
5、
22
3,1,x y xy x y +=-=+=则 6、因式分解
（1） （2） （3）
（4） 2
1
222++x x （5）(m+n)2－6(m+n)+9
（6）4x 2－(y+z)2 （7）
7.
8、已知 求 的值.
9、
10、 11、
（4）你能根据所学知识找到上面算式的简便运算吗?请你利用你找到的简便方法计算下式:
()y x y x m +--2。