(整理)解析几何的综合应用
三角函数平面解析几何与空间几何的综合应用
三角函数平面解析几何与空间几何的综合应用在数学中，三角函数是一组基本的数学函数，它们在平面解析几何和空间几何中有着广泛的应用。
本文将通过一些具体的例子，探讨三角函数在这两个领域中的综合应用。
一、平面解析几何中的三角函数应用1. 直角三角形在平面解析几何中，直角三角形是研究三角函数最常见的情况之一。
三角函数中的正弦函数、余弦函数和正切函数，都可以用于求解直角三角形中的各种问题。
以一个直角三角形ABC为例，其中∠C为90度。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下关系：正弦函数sin(A) = 边BC/斜边AC余弦函数cos(A) = 边AB/斜边AC正切函数tan(A) = 边BC/边AB这些关系可以用于求解各种直角三角形中的未知量，例如已知两个角和一个边，可以求解出其他两个边的长度。
2. 三角函数的周期性三角函数具有周期性，这个性质在平面解析几何中也有一些应用。
例如，在计算圆的周长和面积时，我们可以用到正弦函数和余弦函数的周期性。
对于一个半径为r的圆，其周长C等于2πr，而面积S等于πr^2。
我们可以通过应用三角函数的周期性，用正弦函数或余弦函数的性质，将圆的周长和面积表示为三角函数的形式。
二、空间几何中的三角函数应用1. 三维坐标系中的角度计算在空间几何中，我们常常需要计算三维坐标系中的角度。
三角函数可以帮助我们计算空间中两条直线或两个平面之间的夹角。
例如，对于两条直线l1和l2，我们可以将它们的方向向量表示为三维坐标系中的向量，然后通过计算这两个向量的点积和模的乘积，得到它们夹角的余弦值。
进一步，可以利用反余弦函数来求解夹角的度数。
2. 空间中的向量运算在空间几何中，三角函数可以用于向量的运算。
例如，两个向量的夹角可以通过计算它们的点积和模的乘积得到。
另外，可以利用正弦函数和余弦函数来表示向量的投影和分解。
对于给定的两个向量a和b，它们的夹角θ可以通过以下公式表示：cos(θ) = (a·b) / (|a|·|b|)其中，a·b表示两个向量的点积，|a|和|b|分别表示向量的模。
几何与空间解析几何的应用
几何与空间解析几何的应用几何与空间：解析几何的应用简介：解析几何是数学中一门研究几何图形与代数方程之间关系的学科，它通过数学符号和坐标系来描述几何图形，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将探讨几何与空间中解析几何的应用，从直线、圆与曲线的方程表示，到平面与空间中的位置关系分析，以及几何图形的变换等方面进行论述。
一、直线的方程表示解析几何中最常见的问题之一是如何确定直线的方程。
我们知道，直线可以通过两点确定，因此可以使用点斜式或者两点式来表示直线的方程。
以直线上的一点A(x1, y1)和直线的斜率k为例，点斜式的方程表示为：y - y1 = k(x - x1)。
而两点式的方程表示为：(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
通过这两种方法，我们可以轻松地表示直线的方程，并且进行直线的相关计算。
二、圆的方程表示圆是一个具有特定半径和圆心的几何图形，解析几何通过坐标系中的圆心点和半径来表示圆。
给定圆的圆心C(h, k)和半径r，我们可以得到圆的标准方程：(x - h)² + (y - k)² = r²。
通过这个方程，我们可以确定圆心和半径，进而进行圆的相关计算和分析。
三、曲线的方程表示解析几何中还研究了曲线的方程表示，比如抛物线、椭圆和双曲线等。
以抛物线为例，抛物线的标准方程是：y = ax² + bx + c。
其中a、b、c是常数，通过这个方程我们可以确定抛物线的形状和位置。
四、平面与空间中的位置关系在解析几何中，我们还可以利用代数方法来分析平面与空间中的位置关系。
例如，已知平面ABC和平面DEF的方程，可以求解它们的交线或者判断它们是否平行。
同样地，对于空间中的两个平面，我们也可以利用它们的方程进行分析。
这种方法在几何学和物理学等领域都有广泛应用。
五、几何图形的变换解析几何中的另一个应用是对几何图形进行变换。
解析几何在高考数学中的应用
解析几何在高考数学中的应用高考数学是一门重要的学科，其中涉及的解析几何是一门非常重要的数学分支，在数学的应用中有着广泛的应用和重要性。
在这篇文章中，我们将探讨解析几何在高考数学考试中的应用。
一、解析几何的基本概念解析几何又称为坐标几何，它是几何和代数的结合，通过引入坐标系和代数方程的方法，研究几何对象以及它们之间的关系。
在解析几何中，最基本的概念是点、直线和平面，它们分别对应着二元一次方程、一元一次方程和常数方程。
我们可以通过这些方程来表达和理解几何对象，从而使几何的研究更加简单和严格。
二、解析几何的基本应用1、坐标系的建立在解析几何中，建立坐标系是非常重要的一个环节。
在一个坐标系中，我们可以用坐标来表示几何对象，从而对几何对象进行图形化和计算。
在高考数学考试中，建立坐标系是解决几何问题的第一步，只有建立了坐标系，我们才能利用代数的方法解决几何问题。
2、曲线的方程在解析几何中，我们可以利用方程来表示曲线，通过分析曲线的方程，可以得到很多曲线的性质。
例如，一元二次方程可以表示二次曲线，我们可以通过对方程求根，来得到曲线在坐标系中的交点、对称轴等信息。
高考数学考试中，要求考生掌握各种曲线的方程，能够快速分析曲线的性质和几何意义。
3、直线的性质在解析几何中，我们可以利用两点间的距离公式和斜率公式来分析直线的性质。
例如，两点间的距离公式可以用来求两条直线之间的距离。
考生在高考数学中，必须掌握这些公式，并能够灵活运用于各种直线问题。
4、平面上点的位置关系在解析几何中，我们可以通过坐标系统，来分析平面上点的位置关系。
例如，两点的位置关系、三角形各点的位置关系等。
考生需要熟练地掌握点的位置关系，从而可以解决各种几何问题。
三、解析几何在高考数学考试中的应用在高考数学考试中，解析几何的应用占据了很大的比重，主要测试考生对解析几何概念和应用的掌握情况。
下面以一些例题来说明解析几何在高考数学中的应用。
例1：已知直线L1:x+y=2和直线L2:2x+y-6=0，点P在L1上，点Q在L2上，且OP垂直L1，OQ垂直L2，O为坐标原点，则点P、Q坐标分别为（）。
数学基础——解析几何及其应用
数学基础——解析几何及其应用解析几何是数学中的一个分支，它将几何问题用代数符号表示，通过代数分析和计算，找到几何性质的规律。
解析几何的发展史可以追溯到古希腊时期，但是真正的解析几何理论是在17世纪由法国数学家笛卡尔所发明的。
解析几何十分重要，它在计算机图像学、物理学和许多其他科学领域中都有广泛的应用。
一、解析几何的基本概念解析几何有一些很重要的基本概念，例如平面直角坐标系，直线的方程和曲线的方程等。
在平面直角坐标系中，每个点都由它的横坐标和纵坐标确定，横坐标和纵坐标分别代表了一个点在 x轴和 y 轴上的位置。
对于一个点 (x,y)，它在直角坐标系中的位置可以用一个有序数对表示，即 (x,y)。
同样，解析几何中的直线也可以用一个方程来表示。
例如y=mx+b 是一条直线的标准方程，其中 m 是斜率，b 是 y 轴截距。
如果两个点 (x1,y1) 和 (x2,y2) 在这条直线上，那么它们必须满足y2-y1=m(x2-x1)。
曲线的方程更加复杂，但是它们的基本思想和直线方程类似，它们将曲线上每个点的坐标转化为代数表达式。
例如圆的方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中 (a,b) 代表圆心的坐标，r 代表半径的长度。
二、解析几何的应用解析几何的应用非常广泛，下面我们介绍一些应用情况。
1. 图像处理图像处理是一种计算机技术，它将图像转化为数字信号，然后通过数学计算来处理这些信号。
解析几何在图像处理中非常重要，它可以用数字表示出图片上的所有像素点，并且通过对这些像素点进行分析和处理，可以实现很多不同的目的。
例如，通过解析几何，我们可以在一张图片中识别出所有的直线和曲线。
这对于制作图表、程序设计等很有用处。
2. 物理学解析几何在物理学中也有广泛的应用。
例如，通过计算物体的运动轨迹，我们可以预测物体在未来某一时刻的位置。
这对于研究行星运动、地球旋转等方面都有重要的作用。
此外，解析几何还可以用于求解对称结构、波动方程、电动力学等领域的问题。
解析几何在实际中的应用
x x2 y y2 z z2 CD : l2 m2 n2
试求直线AB与CD的距离。 先过直线CD作平行于直线AB的平面， 则其方程为 x x y y z z
2 2 2
l1 l2
m1 m2
n1 0 n2
将上式左端的三阶行列式按第1行展开，得
m1 m2 n1 n2 x l1 l2 n1 n2 y l1 l2 m1 m2 z
x2ห้องสมุดไป่ตู้
m1 m2
n1 n2
y2
l1 l2
n1 n2
z2
l1 l2
m1 m2
0
因为直线AB平行于平面，故直线AB上任意 一点到平面的距离即是两直线AB与CD的公 垂线的长度。
因此，直线AB上的点 离为
Ax1 By1 Cz1 D A2 B 2 C 2 n1 n1 ( y2 y1 ) n2 n2 m1 m2 n1 n2
r01 u r00 r11 1 u r10
r01 r11
(0 u, v 1)
六、生产规划问题 某厂生产A和B两种产品，生产A一吨要 用煤9t，电力4kW，劳动力3个（以工作日计 算）；生产B一吨要用煤4t，电力5kW，劳动 力10个。已知生产A一吨的经济价值为7千元； 生产B一吨的经济价值为1万2千元。现在该 厂有煤360t，电力200kW，劳动力300个。问 应该生产A和B各多少t，才使所创造的经济价 值最大？
150 A 150B 300C 0
A 2, B 0, C 1
于是求得平面DAE的方程为 2 x z 1200 0 类似的可求得平面BAE的方程为2 y z 1200 0 及平面FBE的方程为3x 13.5 y 11.25 z 8100 0
数学课解析几何的应用
数学课解析几何的应用
解析几何是数学的一个分支，它将几何问题与代数问题相结合，在
许多领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍解析几何在实际中的应用，以及在数学课中学习解析几何的重要性。
一、解析几何在物理学中的应用
物理学是自然科学的一个分支，它研究物质、能量和它们之间的相
互作用。
在研究物体的运动和位置时，解析几何被广泛地应用。
例如，通过解析几何的方法可以求解物体的轨迹和速度，并在实际中用于卫
星和航空器的导航。
二、解析几何在工程中的应用
工程学是实际应用科学的一种，它涉及到各种各样的领域，如土木
工程、机械工程和电气工程等。
解析几何在工程学中的应用包括确定
机器人的运动轨迹和机械零件的设计等领域。
三、解析几何在计算机科学中的应用
计算机科学是一门涉及计算机技术和计算机系统的研究领域。
在图
像处理和计算机图形学等领域，解析几何被广泛地应用。
例如，在三
维计算机图形学中，解析几何用于描述和渲染实际物体和场景。
四、学习解析几何的重要性
在数学课中，解析几何是一个重要的主题。
学习解析几何可以帮助
学生更好地理解几何和代数之间的关系。
此外，解析几何的基础知识
是进一步学习高阶数学领域的关键。
因此，学习解析几何可以为学生打下坚实的数学基础，并为他们未来在科学和技术领域的发展提供支持。
综上所述，解析几何是一个广泛应用于许多科学领域的重要数学分支。
学习解析几何将有助于学生更好地理解几何和代数之间的关系，并为未来的科学和技术发展奠定坚实的数学基础。
平面解析几何与概率统计的综合应用
平面解析几何与概率统计的综合应用在数学领域中，平面解析几何和概率统计是两个重要的分支。
平面解析几何涉及到点、直线、圆等几何要素的分析和运用，而概率统计则关注随机事件的概率和统计推断。
本文将探讨平面解析几何和概率统计的综合应用。
1. 直线与概率在平面解析几何中，直线是常见的几何要素之一。
概率统计在研究随机事件时，同样也涉及到事件发生的可能性。
而直线与概率的综合应用主要体现在线性回归分析中。
线性回归是一种常见的统计分析方法，通过拟合一条直线来描述自变量和因变量之间的关系。
在线性回归模型中，通过求解最小二乘法来确定直线的斜率和截距。
这里的斜率代表了两个变量之间的变化趋势，而截距则表示了当自变量为零时，因变量的预测值。
2. 圆与概率圆是平面解析几何中的重要概念，概率统计中也常用到圆的相关知识。
圆的相关概念如圆心、半径等可以用于概率统计的概率计算和实际问题的建模。
在概率统计中，常用的一个概念是正态分布曲线，也称为高斯曲线。
正态分布曲线呈钟形，其概率密度函数关联到圆的形状。
圆的面积公式和正态分布曲线的概率密度函数可以相互转化，从而可以进行概率计算和统计推断。
3. 平面解析几何与概率统计的联合应用除了直线和圆这些基本几何要素，平面解析几何和概率统计的联合应用还在其他方面有着广泛的应用。
例如，在市场营销中，可以通过平面解析几何的平移、旋转和缩放等操作来确定市场分析的定位和目标群体。
结合概率统计的方法，可以对市场调查的结果进行分析，得出市场目标的可能性和风险。
另外，在工程领域中，平面解析几何可以用于设计建筑物的平面布局和结构分析。
而概率统计的方法可以用于分析结构的安全性以及使用寿命的评估。
两种方法的综合应用可以提高工程设计的精确性和可靠性。
4. 应用案例分析为了更好地理解平面解析几何与概率统计的综合应用，以下是一个简化的实际案例分析：假设某超市销售数据显示，某商品的销售量在工作日和周末存在差异。
平面解析几何可以通过绘制工作日和周末的销售量的散点图，分析两者之间的差异。
解析几何与数列函数的综合应用
解析几何与数列函数的综合应用解析几何和数列函数是高等数学中两个重要的概念。
它们在实际问题中有着广泛而深入的应用。
本文将通过几个实例来解析几何与数列函数的综合应用。
一、平面几何中的数列函数应用在平面几何中，数列函数可以被广泛地应用于研究图形的性质以及求解相关问题。
以等差数列函数为例，我们可以借助它来推导等差数列图形的一些性质。
假设有一个等差数列 {an}，其中公差为 d，首项为 a1。
我们可以通过数列函数的方法来求解等差数列图形中的一些问题。
比如，给定一个等差数列的前 n 项和 Sn，我们可以通过等差数列的求和公式来得到一个关于 n 的数列函数，从而求解出 n 的取值范围。
另外，我们还可以通过数列函数来研究等差数列图形中的对称性问题。
例如，如果一个等差数列图形在直角坐标系中关于 x 轴对称，那么可以通过数列函数推导出数列中的对称性条件，并进一步求解出数列中的特殊项。
二、空间几何中的数列函数应用在空间几何中，数列函数同样具有广泛的应用。
以等比数列函数为例，我们可以利用它来研究等比数列图形的性质以及求解相关问题。
假设有一个等比数列 {bn}，其中公比为 r，首项为 b1。
利用数列函数的方法，我们可以得到等比数列图形的一些性质。
例如，我们可以通过等比数列的通项公式来推导等比数列图形中的特殊项和位置。
此外，空间几何中的数列函数还可以用于求解等比数列图形中的体积和表面积等问题。
通过将等比数列的项代入到空间图形的相关公式中，可以得到关于数列的函数表达式，从而进一步求解出几何体的体积和表面积。
三、解析几何和数列函数综合应用举例在实际问题中，解析几何和数列函数往往需要结合使用，以求解更加复杂且多变的问题。
下面以一个示例来说明解析几何和数列函数的综合应用。
假设有一座塔楼，高度为 H 米。
一球从塔楼顶端自由落下，每次落地后弹起的高度都是前一次的一半。
求球总共弹起的高度。
我们可以通过数列函数的方法来建立等比数列函数 {hn} 来描述球弹起的高度。
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专题20 解析几何的综合应用一、复习目标1．熟练掌握圆锥曲线的定义,几何性质,利用它们解决有关范围问题； 2．通过数与形的结合,学会圆锥曲线知识的内在联系和综合应用． 二、基础训练1．设12,F F 为椭圆2214x y +=的焦点，P 在椭圆上，当12F PF Δ的面积为1时，12PF PF 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．122．已知12(F F 动点P 满足||,2||||121F PF PF=-的最小值是（ ）A 1B ．1C 1D ．2 3．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，以AB 为直径作圆，则圆与抛物线的准线的位置关系 （ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．位置不定4．如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.三、典型例题1．（1）设e 为双曲线1222=-my x 的离心率,且()2,1∈e ,则实数m 的取值范围是 ( ) A ． ()0,6- B ． ()6,0 C ．()1,4-- D ． ()1,6-- （2）以下四个关于圆锥曲线的命题中①设A 、B 为两定点，k 为非零常数，若k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线； ②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ④过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为原点，若1()2OP OA OB =+,则动点P 的轨迹为椭圆；其中真命题的序号为___________．2．若椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y =1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为22，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程.3．若抛物线21y ax =-上存在关于直线0x y +=对称的两点，求实数a 的取值范围．4设抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O . 、四、课堂练习1．设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为A. 3－1B.2－3C.22 D.23 2．过双曲线22221(0,>0)x y a b a b-=>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ,N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的左顶点，则双曲线的离心率等于_________． 3如图，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b （a >0，b ≠0），且交抛物线y 2=2px （p >0）于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点.（1）写出直线l 的截距式方程；（2）证明：11y +21y =b1； （3）当a =2p 时，求∠MON 的大小.五、巩固练习1．已知A 、B 分别是椭圆2212y x +=的左、右顶点，P 是椭圆上第一象限的任一点，若,PAB αPBA β∠=∠=则必有 （ ）A ．2tan cot 0αβ+=B ．2tan cot 0αβ-=C ．tan 2cot 0αβ+=D ．tan 2cot 0αβ-=2．已知12,F F 是双曲线22221(0,>0)x y a b a b -=>的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （）A ．4+B 1CD 13．已知双曲线22221(0,>0)x y a b a b-=>的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF Δ的面积为22a ，则两条渐近线的夹角为 （ ）A ．30°B ．90°C ．60°D ．45°4．设M 为椭圆221164x y +=上一点，12,F F 为焦点，且直线1MF 与直线2MF 的夹角为60°，则12ΔMF F 的面积是 ．5．设P 是椭圆22143x y +=上的点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠的最小值是 ．6．设椭圆中心在原点，长轴在x 轴上，离心率e =，已知点3(0,)2P 到这个椭圆上的点P 的点的坐标．7．设椭圆方程为2214y x +=，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 是坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+，N 的坐标为11(,)22，当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）求||NP 的最大值与最小值．8．过定点(,0)(0)A m m <作一直线l 交抛物线)0(22>=p px y 于P ，Q 两点，Q 关于x 轴的对称点Q 1，连结PQ 1交x 轴于点B ． （1）求证：直线PQ 1恒过一定点； （2）若AP AQ λ=，求证：1PB BQ λ=．专题20二．1．A,2．C,3．B,4．0＜k ＜1．三．1．（1）B ，（2）②③，2．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （221x x +，221y y +）.x +y =1， ax 2+by 2=1，∴221x x +=b a b +，221y y +=1－221x x +=b a a+. ∴M （b a b +，b a a+）.∵k OM =22，∴b =2a .①∵OA ⊥OB ，∴11x y ·22x y=－1. ∴x 1x 2+y 1y 2=0.∵x 1x 2=ba b +-1，y 1y 2=（1－x 1）（1－x 2）， ∴y 1y 2=1－（x 1+x 2）+x 1x 2=1－b a b +2+b a b +-1=b a a +-1.∴b a b +-1+b a a +-1=0. ∴a +b =2.②由①②得a =2（2－1），b =22（2－1）. ∴所求方程为2（2－1）x 2+22（2－1）y 2=1.3．解：设),((),,(2211y x B y x A 是抛物线线上关于直线0x y +=对称的两点，设AB ：y x m =+，代入21y a x =-，得212121110,max x m x x x x a a-----=∴+==，14(1)0(*)a m Δ=++>，AB 的中点11(,)22m a a+ 在直线0x y +=上，所以110m m a a +=∴=-代入（*）得1314(1)0,4a a a +-+>∴>． 4．解：证法一：设AB ：x =my +2p，代入y 2=2px ，得y 2－2pmy －P 2=0. 由韦达定理，得y A y B =－p 2，由 ∴（a +b ）x 2－2bx +b －1=0.即y B =－Ay p 2.∵BC ∥x 轴，且C 在准线x =－2p上， ∴C （－2p，y B ）. 则k OC =2p y B -=A y p 2=A Ax y =k OA .故直线AC 经过原点O .证法二：如下图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D .则AD ∥EF ∥BC .连结AC 交||||AB BF ，BC NF ||=||||AB AF .∵|AF |=|AD |，|BF |=|BC |，∴|EN |=||||||AB BF AD ⋅=||||||AB BC AF ⋅=|NF |，四．1．A, 2.2,3. （1）解：直线l 的截距式方程为a x +by =1. ① （2）证明：由①及y 2=2px 消去x 可得by 2+2pay －2pab =0.②点M 、N 的纵坐标y 1、y 2为②的两个根，故y 1+y 2=bpa2-，y 1y 2=－2pa .所以11y +21y =2121y y y y +=pa b pa22--=b1.（3）解：设直线OM 、ON 的斜率分别为k 1、k 2， 则k 1=11x y ，k 2=22x y. 当a =2p 时，由（2）知，y 1y 2=－2pa =－4p 2， 由y 12=2px 1，y 22=2px 2，相乘得（y 1y 2）2=4p 2x 1x 2， x 1x 2=22214)(p y y =2224)4(pp =4p 2， 因此k 1k 2=2121x x y y =2244pp -=－1.所以OM ⊥ON ，即∠MON =90°.五．1．D ，2．D ，3．B ，4．，5．12， 6．解：设椭圆方程为22222231(0)42x y a b e a b a b+=>>=∴=设M （x ，y ）为椭圆上一点，则222222222391()4(1)33()43242y PM x y b y y y b b =+-=-+-+=-+++．b y b -≤≤，故当12b <时，y b =-，2PM 最大，当11,22b y ≥=-时，2PM 最大为2224371,4b b a +=∴==，故椭圆方程为2214x y +=把12y =-代入椭圆方程中，得1()2P ±-．7．解：设:1,l y kx =+1122(,),(,)A x y B x y ．由221,41,y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(4)230,k x kx ++-=12122228,,44k x x y y k k ∴+=-+=++ 22122214()(,)(,),22244x x y y k OP OA OB k k++-∴=+==++ 设22,4(,),4,4k x k P x y y k ⎧=-⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩消去参数k 得2240,x y y +-=当k 不存在时，AB 的中点为原点，也满足上式， 所以点P 的轨迹方程是2240x y y +-=．)4141(127)61(3213)21()21(||22222≤≤-++-=+--=-+-=x x x x y x PN ，当61-=x 时，621||max =PN ，当41=x 时，41||min =PN ．8．解：（1）设1122(,),(,)P x y Q x y ，而Q 与Q 1关于x 轴对称，则122(,)Q x y -，直线PQ 的方程为11(),y y k x x -=-其中2121212,y y pk x x y y -==-+则1221212:,y y px PQ y y y y y =+++同理12112122:,y y px PQ y y y y y --=-又直线PQ 过点A ，1212212120,2y y pmy y pm y y y y =+∴=-++，因此直线PQ 1的方程可写为121222,px pm y y y y y =+--即122()py x m y y =+-．因此直线PQ 1恒过定点(,0)m -．（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，而Q 与Q 1关于x 轴对称，112211122(,),(,),(,),(,),B B AP x m y AQ x m y PB x x y BQ x x y =-=-=--=--由AP AQ λ=，1212,,y y y y λλ∴=∴-=-而点P ，B ，Q 1在同一直线上，1PB BQ λ∴=．。