7第七讲 基于Monte Carlo模拟法的VaR计算
4风险管理专题(CVaR与VaR)
第三步，计算组合的日损益率
R
PA P0
1 P0
n
P0,i Ri
i 1
最后，得到组合的日损益率R的分布
A
1 P0
n
P0,i i
i 1
2 A
Var(R)
1 P02
n i 1
n
P0,i P0, j ij i j
j 1
15
ห้องสมุดไป่ตู้
日相对VaRR VaR R P0 1(c) R
4.907
4.9706
1.7166
4.8985 4.9505 4.9575
r55=(.1.994).4＝49613r887(50+)＋4.9r3(1710.56.)6-－66435.r98(86-518)
6.0028
1.6622
4.9375
5.9488
1.66315
32
情景
1 2 3 4 5
风险因子可能值
25
2. 定义以下符号：
S ：以美元表示的英镑的即期价格； K ：货币远期合约中的约定价格，K=1.65； f ：远期合约的市场价值； r ：用年化的百分率表示的3个月的美元利率； r*：用年化的百分率表示的3个月的英镑利率； τ：合约的到期期限，τ=92/365年；
P 1 (1 r )： 3个月的美元折现因子； P* 1 (1 r* )：3个月的英镑折现因子。
21
(二) 一般计算步骤
假设证券组合的价值为V(t)，受n个风险因子 fi t
的影响，其中，i=1,2,…,n。t=0表示现在时刻，t>0 表示将来时刻，-t<0表示过去时刻。用标准历史模 拟法计算置信度c下的VaR：
基于蒙特卡罗模拟法的投资项目VaR风险分析
第12卷第2期集美大学学报(哲学社会科学版)Vol .12,No .2 2009年4月Journal of J i m eiUniversity (Phil os ophy and Social Sciences )Ap r .,2009 [收稿日期]2009-01-10 [修回日期]2009-02-07[基金项目]福建省自然科学基金资助(Z0511041)[作者简介]吴开微(1963-),男,江西玉山人,副教授,主要从事项目评估、工程风险研究。
基于蒙特卡罗模拟法的投资项目VaR 风险分析吴开微1,陈 娟2(1.集美大学工程技术学院,福建厦门361021;2.集美大学理学院,福建厦门361021)[摘要]投资项目评价要考虑各种市场因素(包括产品价格、原材料价格、利率、汇率等)的影响,风险分析也就成为项目评价的重要组成部分。
论述了项目评价中的风险分析方法,并将V aR 这一金融风险管理的新方法引入项目风险分析中,采用蒙特卡罗模拟法以提高项目风险估测的精确度。
[关键词]项目风险;V aR ;蒙特卡罗模拟法[中图分类号]F 28[文献标识码]A[文章编号]10082889X (2009)02244204 投资项目具有一次性、整体性、多目标性、复杂性等特征,面临着比其他经济活动大得多的不确定性,其风险的可预测性较低。
在项目的寿命周期中,无论是产品的产量、价格,还是利率、汇率及经济形势波动,都有可能给项目带来巨大的损失,从而导致项目的整体失败。
因此,进行项目的风险分析具有重要的理论及现实意义。
目前项目风险估测常用的方法有盈亏平衡分析、敏感性分析、概率分析、风险调整贴现率法等。
盈亏平衡分析建立在过于简化的假设基础上,不能充分体现项目面临的风险;敏感性分析没有考虑各因素之间的相关关系与事件发生的概率;概率分析假设未来情形是离散的,而且并没有对其风险因素进行详细的分析;风险调整贴现率法需要大量的历史数据,其参数的确定具有一定的主观性,无法客观估测项目风险。
var计算蒙特卡罗模拟法
var计算蒙特卡罗模拟法
蒙特卡洛模拟是一种常用的计算VaR的方法，用于估计科学现象的统计分布，广泛应用于理工学科和金融学中。
该方法的基本思想是，用户可以根据分布的统计特征制定自己的假设，并使用这些特征来生成随机结果，这些结果代表了具有指定特征的投资组合假设回报。
在计算VaR时，蒙特卡洛模拟法利用历史数据对未来进行多次模拟，以求未来股价结果的概率分布。
该方法认为股票的价格波动可以分为两部分，第一部分为drift，即股票会根据收益率波动，第二部分为shock，即随机波动。
相比于其他计算VaR的方法，蒙特卡洛模拟法在处理大量资产和复杂的风险因子相互作用时具有优势，并且不需要受到正态分布假设的约束。
7第七讲 基于Monte Carlo模拟法的VaR计算.ppt [兼容模式]
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右边有两项组成： 第一项， a ( S , t ) dt 称为漂移项， a ( S , t ) 称为漂移率
第二项， b( S , t )dω 称为扩散项， b( S , t ) 称为扩散率或波动率
Jeffrey Huang
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几何布朗运动
特别地，当 a ( S , t ) = µ S ，b ( S , t ) = σ S 时，上式变为：
三、多变量资产价格的随机 模拟
Jeffrey Huang
风险因子不相关
假设资产组合价值受 m 个风险因子Sj，t的影响， Sj，t仍服从几何布朗 运动，j = 1，2，…，m 如果 m 个风险因子不相关，那么我们按照上文的单变量资产价格随 即模拟的步骤和方法分别独立地对每个风险因子变量进行模拟
S j ,t +(i +1) ∆t = S j ,t +i∆t + µ j S j ,t +i∆t ∆t + σ j S j ,t +i∆t ε j ,i ∆t j = 1， ⋅⋅⋅，m; i = 0， ⋅⋅⋅，n − 1 2， 1， 2，
Jeffrey Huang
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确定矩阵 R
以 m = 2 为例介绍Cholesky因子分解法 假设二维协方差矩阵： R = 1 满足 R = TT ′的下三角矩阵：
ρ
ρ 1
a11 0 T = a a 12 22
其中，ρ为两个服从均值为0的正态随机向量的相关系数，于是，根 据Cholesky因子分解法，二维协方差矩阵 R 可以按照如下形式分解
Jeffrey Huang
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用Monte Carlo模拟法计算VaR
用Monte Carlo模拟法计算VaR，几乎都是随机性问题 用Monte Carlo模拟法计算VaR，是否成功取决于以下三个要素： 第一，用以模拟随机变量未来变化路径的随机模型的准确性 第二，每次模拟的独立性（时间区间分割数 n） 第三，足够多的模拟次数（模拟次数 N ）
金融风险管理的VaR方法及其应用
综合来看，可以确定 应该理解为一负值，即所遭受的损失， 则表示其发生的概率。
三、VaR的计算
所谓Value At Risk ,按字面意思解释,就是“处于风险中的价值”。VaR值就是在一定的持有期及一定的置信度内,某金融投资工具或投资组合所面临的潜在的最大损失金额。例如,银行家信托公司(BankersTrust )在其1994年年报中披露,其1994年的每日99%VaR值平均为3500万美元。这表明,该银行可以以99 %的可能性保证, 1994年每一特定时点上的投资组合在未来24小时之内,由于市场价格变动而带来的损失平均不会超过3500万美元。通过把这一VaR值与该银行1994年6. 15亿美元的年利润及47亿美元的资本额相对照,该银行的风险状况即可一目了然，可见该银行承受风险的能力还是很强的，其资本的充足率足以保证银行应付可能发生的最大损失值。为计算VaR值,我们首先定义ω。为某初始投资额, R为其在设定的全部持有期内的回报率。则该投资组合的期末价值为ω=ω。(1 + R)。
七var的优缺点优点var是一种用规的统计技术来全面综合地衡量风险的法较其它主观性艺术性较强的传统风险管理法能够更加准确地反映金融机构面临的风险状况1var把对预期的未来损失的大小和该损失发生的可能性结合起来不仅让投资者知道发生损失的规模可以得到不同置信水平上的var这不仅使管理者能更清楚地了解到金融机构在不同可能程度上的风险状况也便了不同的管理需要
在全部金融风险中,市场风险和信用风险是最主要的两种。过去,在金融市场价格比较稳定的背景下,人们更多地注意的是金融市场的信用风险,而几乎不考虑市场风险的因素。例如, 70年代的金融风险管理几乎全部是对信用风险的管理。然而,自70年代初布雷顿森林体系崩溃以来,浮动汇率制下汇率、利率等金融产品价格的变动日益趋向频繁和无序。80年代以来金融创新及信息技术日新月异的发展,以及世界各国金融自由化的潮流使金融市场的波动更加剧烈由于分散金融风险的需要,金融衍生工具（Financial derivative instrument）便应运而生并且得到了迅猛发展。人们通常所说的金融衍生工具,是指以杠杆或信用交易为特征,以货币、债券、股票等传统金融工具为基础而衍生发展出来的新金融产品。它既指一类特定的交易方式,也指由这种交易方式形成的一系列合约。金融期货、金融期权、远期外汇交易、利率互换等都属于衍生金融商品。1995年,金融衍生工具的名义市场价值为70万亿美元,相比之下,全球股票市场的市值仅为15万亿美元。然而,随着全球经济的发展，金融业也越来越深入到各个领域，金融衍生工具的使用也涉及到各个方面，人们更多的是利用金融产品进行投资和货币升值，而不是单纯的期望保值。当金融衍生工具越来越多地被用于投机而不是保值的目的时,出于规避风险的需要而产生的金融衍生工具本身也就孕育着极大的风险。近年来美国奥伦治县政府破产案、巴林银行倒闭案、日本大和银行巨额交易亏损案等,无不与金融衍生工具有关。于是,如何有效地控制金融市场尤其是金融衍生工具市场的市场风险,就成为银行和公司管理人员、投资人以及金融监管当局所面临的亟待解决的问题。金融衍生产品是一把“双刃剑”,它既是重要的风险规避工具,但是在实际操作中往往却适得其反。因此如何加强对金融衍生工具的风险监管成为值得关注的问题。在这个大背景下, VaR方法就应运而生了。
VaR方法
第五讲VaR方法一、VaR方法的基本概念VaR 的起源J.P. Morgan 总裁Dennis Weatherstone 对他每天收到冗长的风险报告非常不满意，报告中的大量信息是关于不同风险暴露的敏感度报告（希腊值），这些报告对于银行的整体风险管理的意义不大Dennis Weatherstone 希望收到更为简洁的报告，报告应该阐明银行的整体交易组合在今后24小时所面临的风险报告这Dennis Weatherstone管理人员最终建立了VaR 报告，这一报告被称为“16:15报告”，因为这一报告要在每天16:15呈现在J.P. Morgan 前总裁Dennis Weatherstone 的办公室上VaR 的定义VaR 是指在给定的置信度下，资产组合在未来持有期内所遭受的最大可能损失用数学公式表示为：其中表示概率度量P =P t+-Pr 1ob P VaR c∆≤-=-（）其中，Prob 表示概率度量，ΔP P （t+ Δt ）P（t ）表示组合在未来持有期Δt 内的损失，P （t ）表示组合在当前时刻t 的价值（也可以是收益率），c 为置信度水平，VaR 为置信度水平c 下组合的在险价值例如，未来一周内（持有期）损失不超过1000万元的概率为95%，我们可以表示为：Pr 10000.05ob P ∆≤-=（万元）VaR 的定义（续）1-cV R 损失收益-VaRVaR的基本特点•VaR方法仅在市场处于正常波动的状态下才有效，而无法准确度量极端情形的风险•VaR是在某个综合框架下考虑了所有可能的市场风险来源后得到的一个概括性的风险度量值，而且在置信度和持有期给定的条件下，VaR值越大，说明组合面临的风险就越大，反之则说明组合面临的风险越小•由于VaR可以用来比较分析由不同的市场风险因子引起的、不同资产组合之间的风险大小，所有VaR是一种具有可比性的风险度量指标•在市场处于正常波动的状态下，时间跨度越短，收益率就越接近于正态分布，此时，假定收益率服从正态分布计算的VaR比较准确、有效•置信度和持有期是影响VaR值的两个基本参数置信度和持有期的选择和设定（）∆≤-=-Pr1ob P VaR c从上式可以看到，VaR值实质上可以看作是持有期Δt 和置信度c 的函数，而且，持有期越长、置信度越大，此时计算出来的VaR也就越大，反之亦是因此，在其他因素不变的情况下，VaR值由持有期和置信度这两个参数决定换句话说要得到值就首先确定持有期和置信度这两个参决定，换句话说，要得到VaR值，就首先确定持有期和置信度这两个参数那，那么，应如何正确地选择和设定持有期和置信度呢？巴塞尔委员会要求计算交易账户中的市场风险采用：10天持有期及99%置信度微软公司采用：20天持有期及97.5%置信度持有期的选择和设定一般来说，在其他因素不变的情况下，持有期越长，组合面临的风险就越大，从而计算出的VaR值就越大，同时，持有期的选择还对VaR值的越大从而计算出的值就越大同时持有期的选择还对可靠性也产生很大影响，持有择常因此，持有期的选择和设定非常重要持有期的选择和设定应考虑以下两个因素：•组合收益率分布的确定方式•组合的市场流动性和头寸交易频繁程度组合收益率分布的确定方式要计算VaR，应先确定组合收益率的概率分布概率分布的确定一般有两种方式：•直接假定收益率服从某一概率分布–通常假定收益率服从正态分布–实际分布往往不符合正态分布，但持有期越短，正态分布假设下计算的VaR值就越有效、可靠–因此，在正态分布假设下应选择较短的持有期•用组合的历史样本数据来模拟收益率的概率分布–应考虑数据的可得性和有效性–持有期越长，需要考察的历史数据的时间跨度就越长，出现的问题和困难就越多–因此，此时也应选择较短的持有期组合的市场流动性和头寸交易频繁程度由于计算VaR时一般都假定持有期内组合的头寸保持不变，所以无视持有期内组合头寸的变化而得到的VaR值并不可靠因此，持有期的选择必须考察交易头寸的变动情况：•市场流动性越强，交易就越容易实现，金融交易者越容易适时调整资产组合，头寸变化的可能性也就越大，此时，为保证VaR值的可靠性，应选择较短的持有期•市场流动性较差，金融交易者调整头寸的频率和可能性比较小，则宜选择较长的持有期•金融交易者一般会在很多不同的市场上持有资产头寸，而不同市场的流动性差异很大，此时，金融交易者应根据组合中比重较大的头寸的流动性来设定持有期置信度的选择和设定置信度的选择和设定，应考虑以下三个因素：•历史数据的可得性和充分性•VaR的用途•比较分析的方便性历史数据的可得性和充分性在实际应用中，我们常常要以历史数据为基础来计算VaR置信度设定得越高，意味着VaR值就越大，为保证VaR计算的可靠性和有效性，所需要的历史样本数据就越多然而，过高的置信度使损失超过VaR的事件发生的可能性很小，因而，损失超过VaR的历史数据就很少因此，为保证VaR的可靠性、有效性和可计算性，必须根据历史样本数据的可得性和充分性，选取一个合适的置信度VaR的用途如果只是将VaR作为比较不同部门或公司所面临的市场风险，或者同一部门或公司所面临的不同市场风险的尺度，那么所选择的置信度是大是部门或公司所面临的不同市场风险的尺度那么所选择的置信度是大是小本身并不重要，重要的是所选择的置信度能否确保VaR的可靠性和有效性，而这就取决于之前说的历史数据的可得性和充分性效性而这就取决于之前说的历史数据的可得性和充分性如果金融机构是以VaR为基础确定经济资本需求，则置信水平的选择和设定极为重要，这主要依赖于金融机构对风险的厌恶程度和损失超过设定极为重要这主要依赖于金融机构对风险的厌恶程度和损失超过VaR的成本风险厌恶程度越高，损失成本越大，则弥补损失所需要的经济资本量越风险厌恶程度越高损失成本越大则弥补损失所需要的经济资本量越大，因而所选择的置信度也应越高，反之则可以选择较低的置信度比较分析的方便性由于人们经常要利用VaR对不同金融交易者的风险进行比较分析，而不同置信度下的VaR值的比较没有意义，所以置信度的选择和设定，还需V R值的比较没有意义所以置信度的选择和设定还需要考虑比较分析的方便性然如存在着准的式（如益率态分布）地当然，如果存在着标准的转换方式（如收益率正态分布），可以方便地将不同置信度下的VaR值转换成同意置信度下的VaR值，则置信度的选择就变得不那么重要算二、VaR的计算方法VaR 的计算方法概括Pr 1ob P VaR c∆≤-=-（）从上式可以看出，计算VaR的核心问题是组合未来损益ΔP 的概率分布或统计分布的估计若某组合在未来持有期内的损益ΔP 服从概率密度函数为f（r）的连续分布，则可得：1Pr ()VaRc ob P VaR f r dr--∞-=∆≤-=⎰（）VaR的计算方法概括（续）ΔP分布的确定方法收益率映射估值法风险因子映射估值法风险因子映射估值模拟法风险因子映射估值分析法（全部估值法）（局部估值法）基于历史模拟法Monte Carlom模拟法Delta、Gamma等灵敏度指标的方法率三、收益率映射估值法基于收益率映射估值法由于金融资产价格序列常常缺乏平稳性，而收益率序列则一般满足平稳性，所以人们普遍使用收益率的概率分布来考察组合的未来损益变化考察一个初始价值为P0、在持有期Δt内投资收益率为R 的组合，假设R 的概率分布已知，其期望收益率与波动率分别为μ和σ，于是，该组合期末价值为P = P0（1 + R），P的预期价值为：期末价值为P=P（1+R）P的预期价值为：E（P）= E（P0（1+R））= P0（1+E（R））=P0（1+μ）根据组合价值变化的确定方式不同，有两种VaR：根据组价变的确式有种•绝对VaR–以组合的初始值为基点考察持有期内组合的价值变化•相对VaR–以持有期内组合的预期收益为基点考察持有期内组合的价值变化以组合的初始值为基点考察持有期内组合的价值变化，即此时根据下式计算所得的记为00A P P P P R∆=-=此时，根据下式计算所得的VaR 称为绝对VaR ，记为VaR APr 1ob P VaR c∆≤-=-（）以持有期内组合的预期收益为基点考察持有期内组合的价值变化，即此时根据下式计算所得的记为0()()R P P E P P R μ∆=-=-此时，根据下式计算所得的VaR 称为相对VaR ，记为VaR RPr 1ob P VaR c∆≤-=-（）正态分布下的VaR计算在实际计算中，最常用的是正态分布为简单和清楚起见，我们设定持有期，置信度为Δt = 1c作业：计算组合收益率服从正态分布的相对VAR初始价值为P 0、日收益率为R 的组合假设R 假设：R 服从正态分布N （μ，σ2）设定：持有期Δt = 1，置信度为c 请计算相对VaR RV R -Φ10R VaRP c σ=（）组合中资产收益率服从正态分布的相对VAR 计算计算相对VaR 时，资产i 的日损益ΔP R, i = P 0,i （R i -μi ）于是组合的日损益率为于是，组合的日损益率为：nn∑∑,0,11()R R iii i i i P PPR μ==∆=∆=-根据正态分布的可加性的△P R 服从正态分布N （0，σR 2），而且直接验证可知σR 2= σA 210R AVaR P c σ-=Φ（）资产组合的VaR 计算要计算的资产组合ω=（ω1，ω2，…ωn ）T 的VaRn1i ω=∑相当于计算初始价值为1的资产组合ω的VaR ，即取资产i 的初始价值为P 0i = ω，于是：i 1=0, i i ，于是ni iμωμ=∑i 1=n2n可求得：0, 0, 1j 1i j ij i ji σωωρσσ===∑∑求得101A VaR P c σμ--=Φ-（（））0R VaR P c σ=Φ（）四、VaR的扩展边际VaR、增量VaR、成分VaR尽管VaR可以有效地描述组合的整体风险状况，但对金融交易者来说，可能还远远不够，因为实际中的金融交易者经常要根据市场情况不断地可能还远远不够因为实际中的金融交易者经常要根据市场情况不断地对组合中各资产的头寸进行调整这就需要金融交易者进一步了解构成组合的每项资产头寸以及每项资产解头寸的调整变化对整个组合风险的影响于是，我们将VaR扩展到：边际VaR、增量VaR、成分VaR增量VaR （Increment VaR ，I-VaR ）增量VaR 是指一个新交易的出现或者现存交易的退出对组合的VaR 的影响假设在资产组合ω=（ω1，ω2，…，ωn ）T 中，新增加另一个资产组合（d ω=（d ω1 ，d ω2 ，…，d ωn ）调整后的资产组合的VaR 记做VaR （ω+d ω）资产组合d ω中的各个分量d ωi 可以取正值、0和负值于是，d ω的VaR ，即增量VaR 为：，，即I-VaR d VaR d VaR ωωωω=+-（）（）（）成分VaR （Component VaR ，C-VaR ）假设资产组合ω=（ω1，ω2，…ωn ）T ，成分VaR 是指第i 种资产对组合V R 的贡献量即VaR 的贡献量，即C V nV R R 1()C-V ii VaR aR ω==∑成分VaR的特征资产组合中所有资产的成分VaR之和恰好等于资产组合的VaR资产i 的成分VaR恰好为资产i 对组合VaR的贡献份额，即在一个大的资产组合中，成分VaR等于增量VaR资产组合中成分V R V R。
VaR的定义及算法
VaR的定义及算法当前应用广泛的VaR技术（V alue-at-risk)是1993年J·P·Morgon,G30集团在考察衍生产品的基础上提出的一种风险测度方法。
VaR方法一经提出便受到广泛欢迎：巴塞尔银行监管委员会于1996年推出的巴塞尔协议的补充规定中，明确提出基于银行内部VaR 值的内部模型法，并要求作为金融机构计量风险的基本方法之一；美国证券交易委员会(SEC)1997年1月规定上市公司必须及时披露其金融衍生工具交易所面临风险的量化信息，指出VaR方法是可以采用的三种方法之一；目前美国一些较著名的大商业银行和投资银行，甚至一些非金融机构已经采用VaR方法。
V AR之所以具有吸引力是因为它把银行的全部资产组合风险概括为一个简单的数字，并以美元计量单位来表示风险管理的核心——潜在亏损。
VaR的基本含义是在某一特定的持有期内，在给定的置信水平下，给定的资产或资产组合可能遭受的最大损失值。
这一含义体现了VaR 度量技术的综合性。
JP.Morgan定义为：V aR 是在既定头寸被冲销（be neutraliged）或重估前可能发生的市场价值最大损失的估计值；而Jorion则把VaR定义为：“给定置信区间的一个持有期内的最坏的预期损失”。
其数学定义式为：Prob(△p≥-VaR)=1-α其中：△p 表示在△t时间内，某资产或资产组合的损失；α为给定的置信水平。
对某资产或资产组合，在给定的持有期和给定的置信水平下，VaR给出了其最大可能的预期损失。
VaR计算主要涉及两个因素：目标时段和置信水平。
目标时段是指我们计算的是未来多长时间内的VaR，它的确定主要依赖于投资组合中资产的流动性而定，一般取为1天，1周，10天或1月；置信水平的确定主要取决于风险管理者的风险态度，一般取90％一99.9％。
为了更好的理解VaR的概念，可举例说明，例如J.P .M organ公司1994年年报披露，1994年该公司一天的95%VaR值为1500万美元。
Monte-Carlo(蒙特卡洛方法)解析
常用的线性同余生成器
Modulus m 2^31-1
=2147483647
2147483399 2147483563
Multiplier a 16807
在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P(A) 的估计，即 pˆ fn ( A) 。
然后取 ˆ
2l afn ( A)
作为
的估计。根据大数定律，当 n 时，
pˆ
fn ( A) a.s.
p.
从而有ˆ 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上 afn ( A)
(2) 计算 X F -1(U ) ,则 X 为来自 F(x) 分布的随机数.
例 1 ：设 X ~ U (a,b) ，则其分布函数为
0
F
(
x)
x b
a a
1,
xa a xb
xb
F -1( y) a (b a) y ， 0 y 1
生成 U (0,1) 随机数 U，则 a (b - a)U 是来自
算法实现
许多程序语言中都自带生成随机数的方法, 如 c 中的 random() 函数, Matlab中的rand()函数等。 但这些生成器生成的随机数效果很不一样, 比如 c 中的函数生成的随机数性质就比较差, 如果用 c , 最好自己再编一个程序。Matlab 中的 rand() 函数, 经过了很多优化。可以产生性质很好的随 机数, 可以直接利用。
U (a,b) 的随机数。
例 2：
设 X ~ exp( ) 服从指数分布，则 X 的分布函数为：
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随机性问题
随机性问题，指你要研究的问题中含有还未发生的随机性成分 这类问题一般须借助于随机数来对一些还没有发生的随机现象进行模拟 ，最后的求解结果也常常是对拟要研究的随机问题的未来变化分布的预 测 首先，针对待求解问题中的随机现象建立相应的随机模型 然后，对随机模型中的随机变量确定抽样方法，再通过计算机的模拟实 验产生所需要的随机数，得到模型中随机变量的有关特征数字 最后，根据随机模型所确定的解和相关随机变量的某些特征数字之间的 函数关系，计算出所求问题的近似解
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确定性问题
确定性问题，指对那些已经存在的事实或现象进行研究的问题 这类问题往往很难直接求解，而借助于Monte Carlo模拟法对已经存在的 事实或现象进行模拟、观测、求解 首先，针对所要研究的确定性问题中已经存在的事实或现象，建立一个 概率模型或随机过程，使模型或过程的参数等于问题的解 然后，通过对模型或过程的反复观察或抽样试验来计算所求参数的统计 特征 最后，输出所求解的近似值，并估计解的精度
其中，对于j = 1，2，…，m，εj 的取值相互独立，与时间次序也没 有关系
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风险因子相关
遗憾的是，m 个风险因子相关的情况更加多见。那么，如何处理风 险因子相关的情况呢？ 我们以均值向量为0，协方差矩阵为 R 的 m 维正态随机向量 ξ 为例 ，说明产生多变量随机数的方法 首先，产生一个 m 维相互独立的标准正态随机向量 ε 然后，假设协方差矩阵 R 是正定的，则可用Cholecky因子分解法把 矩阵 R 表示为 R = T T′，其中T是下三角矩阵， T′是T的转置矩阵 最后，由 m 维相互独立的标准正态随机向量 ε 和下三角矩阵 T ，可 构造出随机向量为: η = T ε
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基于Monte Carlo模拟法计算VaR的基本步骤
第一步，识别风险因子变量Sj，t，其中j = 1，2，…，m；建立资产组 合价值V与风险因子变量 Sj，t 之间的映射关系 ，不妨设为: Vt = V（ S1，t， S2，t ，…，Sm，t） 第二步，对风险因子未来变化进行随机模拟，得到各个风险因子 变量Sj，t 未来变化的一条样本轨道，并计算出 Sj，t， Sj，t+Δt， …， Sj，t+iΔt， …，Sj，t+nΔt = Sj，T，其中 j = 1，2，…，m 第三步，利用第一步给出的估值公式计算组合价值 Vt = V（ S1，T， S2，T ，…，Sm，T）与ΔVT = VT - Vt 第四步，不断重复第三步和第四步N次，就可以得到资产组合损益分
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确定矩阵 R
以 m = 2 为例介绍Cholesky因子分解法 假设二维协方差矩阵： R 1 满足 R = TT ′的下三角矩阵：
1
a11 0 T a a 12 22
其中，ρ为两个服从均值为0的正态随机向量的相关系数，于是，根 据Cholesky因子分解法，二维协方差矩阵 R 可以按照如下形式分解
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二、单变量资产价格的随机 模拟
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Itô过程
Itô过程，即随机变量﹛St﹜t≥0遵循：
dS a ( S , t )dt b( S , t )d
其中， d
dt ，ε 是一个均值为0，方差为1的正态随机变量
右边有两项组成： 第一项， a ( S , t ) dt 称为漂移项， a ( S , t ) 称为漂移率
μ 与 σ 为常数，此时的随机过程称为几何布朗运动 在Monte Carlo模拟中，几何布朗运动是最常见的用以描述股票价格未来 走势的随机模型 该模型也是Black-Scholes期权定价理论的基础 我们就以几何布朗运动为例，介绍在Monte Carlo模拟中如何采用离散化 方法模拟出股票价格未来变化的一条样本轨道或路径
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风险因子相关（续）
根据正态分布随机变量的性质可知，η 是均值向量为0的 m 维正态 随机向量，并且其协方差矩阵为： E[(Tε)(Tε) ′] = TE [εε ′]T ′= TT ′= R 由于新构造的随机向量 η 和随机向量 ξ 具有相同的联合分布函数 ，从而就可以把随机变量 η 的模拟样本作为 ξ 的模拟样本 而要模拟随机向量 η 的样本，只需要首先独立地生成一个 N 维的标 准正态随机向量再乘以下三角矩阵 T 即可 于是，问题就变成了：如何将协方差矩阵 R 进行Cholesky因子分解 以确定矩阵 T
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第五步
第五步，不断重复第三步和第四步N次，就可以得到资产价格未来变 化的 N 条样本轨道以及资产价格在到期时刻T的变化分布 St
(i)
(i)
：i =
1，2，…，N，St 表示第 i 次模拟的资产在到期时刻的价格
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三、多变量资产价格的随机 模拟
(N) (1) (2) VT 布 VT ， ，…，VT
第五步，基于损益分布计算置信度 c 下的VaR，这与标准历史模拟法 相同
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Monte Carlo模拟法的优点
第一，采用Monte Carlo模拟法可以产生大量的关于风险因子未来取值 的模拟样本，最大限度地将风险未来变化的各种可能情景模拟出来， 而且不必受到历史数据在数量与质量等方面所存在的种种制约，因此 ，与历史模拟法相比，基于该法所得的结果往往更加精确可靠 第二，Monte Carlo模拟法是一种完全估值法，可以处理非线性、非正 态问题 第三，Monte Carlo模拟法通过选择和建立随机模型，既可以模拟风险 因子未来变化的不同分布和不同行为特征，还可以深入、充分地挖掘 风险因子的历史数据中所包含的各种有益信息，并通过对模型中相关 参数的估计和修正反映到模型中去，从而使得随机模型对风险因子变 化的模拟更加贴近于现实 第四，Monte Carlo模拟法都可以借助于计算机来完成，从而可以大大 提高Monte Carlo模拟法的有效性和精确性
第七讲
基于Monte Carlo模拟法的VaR计算
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VaR的计算方法
ΔP分布的确定方法
收益率映射估值法
风险因子映射估值法
风险因子映射估值模拟法 （全部估值法）
风险因子映射估值分析法 （局部估值法）
历史模拟法
Monte Carlo模拟法
基于Delta、Gamma等 灵敏度指标的方法
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一、Monte Carlo模拟法
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随机抽样统计分析法与Monte Carlo模拟法
随机抽样统计分析法的基本特点是对实际数据进行抽样分析 Monte Carlo模拟法是从计算机随机模拟出的而非实际存在的数据进行抽 样、统计，又称随机模拟方法 尽管抽样的数据来源不同，但采用Monte Carlo模拟法与随机抽样统计分 析法的重复抽样的原理相同，所以人们在很多情况下并不对两者加以区 分，而常常把这种一次又一次不断重复的随机抽样方法，统称为Monte Carlo模拟法 Monte Carlo模拟法可以同时用于求解确定性问题和随机性问题
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风险因子不相关
假设资产组合价值受 m 个风险因子Sj，t的影响， Sj，t仍服从几何布朗 运动，j = 1，2，…，m 如果 m 个风险因子不相关，那么我们按照上文的单变量资产价格随 即模拟的步骤和方法分别独立地对每个风险因子变量进行模拟
S j ,t ( i 1) t S j ,t it j S j ,t it t j S j ,t it j ,i t j 1， 2， ，m; i 0， 1， 2， ，n 1
第二项， b( S , t )d 称为扩散项， b( S , t ) 称为扩散率或波动率
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几何布朗运动
特别地，当 a( S , t ) S ，b ( S , t ) S 时，上式变为：
dS dS Sdt Sd ， dt d S
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第三步
第三步，利用计算机生成 n 个相互独立的标准正态随机数，不妨记 为﹛εi：i =0， 1，2，…，n-1﹜，于是由上式可得：
St ( i 1) t S t it S t it t S t it i t i 0， 1，， 2 ， n 1
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用Monte Carlo模拟法计算VaR
用Monte Carlo模拟法计算VaR，几乎都是随机性问题 用Monte Carlo模拟法计算VaR，是否成功取决于以下三个要素： 第一，用以模拟随机变量未来变化路径的随机模型的准确性 第二，每次模拟的独立性（时间区间分割数 n） 第三，足够多的模拟次数（模拟次数 N ）
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第四步
第四步，现在上述的迭代方程中，令 i = 0，于是由资产价格的初始 值 St 得到 St+Δt，再由 St+Δt生成 St+2Δt，以此递推，直到 St+nΔt = ST， 于是可生成资产价格离散时间序列﹛ St+iΔt ：i = 1，2，…，n﹜，在 二维平面上可以绘出集合﹛ t+iΔt ， St+iΔt ：i = 0，1，2，…，n﹜中 的各点即可得到一个散点图，用线段依次将这些点连接起来就得到 连续几何布朗运动方程的一个近似的样本轨道，也可以说得到资产 价格未来变化的一个样本轨道
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