寒假作业

宝泉岭高级中学高二学年寒假作业
数学必修二
一、选择题：（每题4分，共56分）
1、在直角坐标系中，已知A(－1，2)，B(3，0)，那么线段AB中点的坐标为()．
A、(2，2)
B、(1，1)
C、(－2，－2)
D、(
－1，－1)
2、右面三视图所表示的几何体是()．
A、三棱锥
B、四棱锥
C、五棱锥
D、六棱锥
3、如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为()．
A、2
B、
2
1
C、－2
D、－
2
1
4、一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为()．
A、1
B、2
C、3
D、4
5、下面图形中是正方体展开图的是()．
A B C D
6、圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的圆心坐标是()．
A、(－2，4)
B、(2，－4)
C、(－1，2)
D、(1，2)
7、直线y＝2x＋1关于y轴对称的直线方程为()．
A、y＝－2x＋1
B、y＝2x－1
C、y＝－2x－1
D、y＝－x－1
8、已知两条相交直线a，b，a∥平面 α，则b与α 的位置关系是()．
A、b⊂平面α
B、b⊥平面α
C、b∥平面α
D、b与平面α相交，或b∥平面α
9、在空间中，a，b是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b
的是()．
A、a⊂α，b⊂β，α∥β
B、a∥α，b⊂β
C、a⊥α，b⊥α
D、a⊥α，b⊂α
10、圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系是()．
A、外切
B、内切
C、外离
D、内含
11、如图，正方体ABCD—A'B'C'D'中，直线D'A与DB所成的角可以表示为()．
A、∠D'DB
B、∠AD' C'
C、∠ADB
D、∠DBC'
12、圆(x－1)2＋(y－1)2＝2被x轴截得的弦长等于()．
A、1
B、
2
3
C、2
D、3
13、如图，三棱柱A1B1C1—ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，
E是BC中点，则下列叙述正确的是()．
A、CC1与B1E是异面直线
B、AC⊥平面A1B1BA
C、AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D、A1C1∥平面AB1E
14、有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm，高为12 cm．现要为100个这种相同规
格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)．如果每0.5 kg涂料可以涂1 m2，那么
为这批笔筒涂色约需涂料（）
A、1.23 kg
B、1.76 kg
C、2.46 kg
D、3.52 kg
二、填空题（每题4分，共16分）。

15、坐标原点到直线4x＋3y－12＝0的距离为．
正视图侧视图
俯视图
A1
B1
C1
A
B
E
C
(第13题)
C
B
A
D
A'B'
C'
D'
(第11题)
16、以点A (2，0)为圆心，且经过点B (－1，1)的圆的方程是 ． 17、如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比
为_______________．
18、在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点________________________________．
三、解答题（共28分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19、（6分）已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角是60°；(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．
20、（10分）如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．
(1)求证：DE ∥平面PAC ；(2)求证：AB ⊥PB ；(3)若PC ＝BC ，求二面角P —AB —C
的大小．
21、（12分）已知半径为5的圆C 的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．
(1)求圆C 的方程； (2)设直线ax －y ＋5＝0与圆C 相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；
(3) 在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．
A B
C
D
D 1 B 1
A 1
C 1
(第17题)
A
C
P
B
D
E
(第20题)
高中数学必修2期末测试题参考答案
一、选择题（每题4分，共56分） 1—5：B 、D 、D 、C 、A ； 6—10：D 、A 、D 、C 、A ； 11—14：D 、C 、C 、D ；
二、填空题（每题4分，共16分）
15、
5
12
； 16、(x －2)2＋y 2＝10 ； 17、1:3 ； 18、到四个面的距离之和为定值．
三、解答题（共28分）
19、解：(1)因为直线l 的倾斜角的大小为60°；故其斜率为tan 60°＝3
又直线l 经过点(0，－2)，所以其方程为3x －y －2＝0． -----------2
分
(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是
3
2，－2，
所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝21
·3
2·2＝332．
--------6分
20、(1)证明：因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点，
所以DE ∥PA ．
因为PA ⊂平面PAC ，且DE ⊄平面PAC ，
所以DE ∥平面PAC ． ----------3分 (2)因为PC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，
所以AB ⊥PC ．又因为AB ⊥BC ，且PC ∩BC ＝C ． 所以AB ⊥平面PBC ． 又因为PB ⊂平面PBC ，
所以AB ⊥PB ． ---------6分
(3)由(2)知，PB ⊥AB ，BC ⊥AB ，
所以，∠PBC 为二面角P —AB —C 的平面角． 因为PC ＝BC ，∠PCB ＝90°， 所以∠PBC ＝45°，
所以二面角P —AB —C 的大小为45°． ----------10分
21、解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．
由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5，所以，5
294-m ＝5，
即|4m －29|＝25． 因为m 为整数，故m ＝1．
故所求的圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25． -------------3分 (2)、【方法一】：
直线ax －y ＋5＝0即y ＝ax ＋5．代入圆的方程，消去y 整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x
＋1＝0．
由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点， 故△＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)＞0， 即12a 2－5a ＞0，解得a ＜0，或a ＞
12
5
． 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(
12
5
，＋∞)． ------------7分
【方法二】
利用圆与直线相交的条件：圆心到直线的距离大于等于0，小于5；最终答
案一样。

(3)、设符合条件的实数a 存在，由(2)得a ≠0，则直线l 的斜率为－
a
1， l 的方程为y ＝－
a
1
(x ＋2)＋4， 即x ＋ay ＋2－4a ＝0． 由于l 垂直平分弦AB ，
A
C
P
B
D
E
(第20题)
故圆心M (1，0)必在l 上． 所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝4
3． 由于
43∈(125，＋∞)，故存在实数a ＝4
3
，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ．
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