2015-2016学年高中数学 2.3.3直线与平面垂直的性质双基限时练 新人教A版必修2
高中数学2_3直线平面垂直的判定及其性质2_3.3直线与平面垂直的性质课时作业新人教A版必修2
第二章 2.3 2.3.3直线与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系一定是 ( C )A．平行B．异面C．垂直D．不相交[解析] ∵α∥β，b⊥β，∴b⊥α.又∵a∥α，∴b⊥a.2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面. ( C )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β[解析] ∵m∥n，m⊥α，则n⊥α，故选C．3.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC 所在平面，那么 ( C )A．PA＝PB＞PC B．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PC D．PA≠PA≠PC[解析] ∵PM⊥平面ABC，MC⊂平面ABC，∴PM⊥MC，PM⊥AB.又∵M为AB中点，∠ACB＝90°，∴MA＝MB＝MC.∴PA＝PA＝PC.4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G、H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是 ( B )A ．EF ⊥平面αB ．EF ⊥平面βC ．PQ ⊥GED ．PQ ⊥FH[解析] 因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG ⊥PQ .若EF ⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF ⊥PQ .又EG 与EF 为相交直线，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ ⊥GH ，故选B ．5．下列命题正确的是 ( A ) ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α. A ．①② B ．①②③C ．②③④D ．①②④[解析] 由性质定理可得(1)(2)正确．6．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 ( A )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 [解析] ∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴D 1D ⊥AC ，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDD 1， ∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C .而AP ⊥BD 1，∴AP ⊂平面AB 1C .又P ∈平面BB 1C 1C ，∴P 点轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C .故选A ． 二、填空题7．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为__4__.[解析] 如图，设AB 的中点为M ，分别过A 、M 、B 向α作垂线，垂足分别为A 1、M 1、B 1，则由线面垂直的性质可知，AA 1∥MM 1∥BB 1，四边形AA 1B 1B 为直角梯形，AA 1＝3，BB 1＝5，MM 1为其中位线，∴MM 1＝4.8．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积是__23__. [解析] 如图，由已知得PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ， ∴PA ⊥平面PBC .又PB ⊥PC ，PB ＝PC ，BC ＝2， ∴PB ＝PC ＝ 2.∴V P －ABC ＝V A －PBC ＝13PA ·S △PBC ＝13×2×12×2×2＝23.三、解答题9．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.证明：A1C⊥平面BB1D1D.[解析] ∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.又底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝2，且AC＝2，∴AC2＝AA21＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D.10.如右图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB ∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．[解析] (1)连接C1D.∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.∵AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，∴AD⊥平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.又AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1.又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)如图，连接AD1、AE、D1E，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN.∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，又M是AD1的中点，∴N是AE的中点．又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.即E是DC的中点．综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.B级素养提升一、选择题1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则 ( C )A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直2．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的命题是 ( D )A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°[解析] A中，△A1BD为等边三角形，∴四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；易知CD1∥BA1，CB1∥DA1，又CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，又BA1∩BD＝B，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，利用排除法选D．3．如图所示，PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥BC.其中正确的个数为 ( C )A．1 B．2 C．3 D．4[解析] ∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BC .∵PA 垂直于⊙O 所在的平面，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥AF ，∴③正确．又AF ⊥PC ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB ，∴①正确．又AE ⊥PB ，∴PB ⊥平面AEF ，∴EF ⊥PB ，∴②正确．若AE ⊥BC ，则由AE ⊥PB ，得AE ⊥平面PBC ，此时E 、F 重合，与已知矛盾，∴④错误．故选C ．二、填空题4．已知三棱锥P －ABC ，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝2，AC ＝BC ＝1，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为__6π__.[解析] 如图所示取PB 的中点O ，∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥PC .∴OA ＝12PB ，OC ＝12PB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OP ，故O 为外接球的球心．又PA ＝2，AC ＝BC ＝1， ∴AB ＝2，PB ＝6， ∴外接球的半径R ＝62. ∴V 球＝43πR 3＝4π3×(62)3＝6π.5．△ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且它们在α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为__3 cm__.[解析] 如图，设A 、B 、C 在平面α上的射影分别为A ′、B ′、C ′，△ABC 的重心为G ，连接CG 并延长交AB 于中点E ， 又设E 、G 在平面α上的射影分别为E ′、G ′，则E ′∈A ′B ′，G ′∈C ′E ′，EE ′＝12(A ′A ＋B ′B )＝52，CC ′＝4，CG ︰GE ＝2︰1，在直角梯形EE ′C ′C 中，可求得GG ′＝3.C 级 能力拔高1．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.[解析] (1)由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC . 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE ∥平面AA 1C 1C .(2)因为棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1，又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以B 1C ⊥AC .因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C . 因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC . 又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°.G 为线段PC 上的点.(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值； (3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PG GC的值． [解析] (1)设点O 为AC 、BD 的交点． 由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 垂直平分线段AC . 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥BD . 又PA ∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面APC .(2)连接OG .由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面PAC 所成的角．由题意得OG ＝12PA ＝32.在△ABC 中，因为AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，AO ＝CO ，所以∠ABO ＝12∠ABC ＝60°，所以AO ＝OC ＝AB ·sin60°＝ 3. 在Rt △OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2. 在Rt △OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433. 所以DG 与平面APC 所成角的正切值为433.(3)因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG . 在Rt △PAC 中，PC ＝32＋32＝15.所以GC ＝AC ·OC PC ＝2155. 从而PG ＝3155，所以PG GC ＝32.。
人教版高中数学必修二 2.3.3 直线与平面垂直的性质学案+课时检测
人教版高中数学必修二第2章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3 直线与平面垂直的性质学案【学习目标】1．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．(重点)2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．(重点、难点)3．理解并掌握“平行”与“垂直”之间的相互转化．(重点)【要点梳理 夯实基础】知识点 直线与平面垂直的性质定理阅读教材P 70的内容，完成下列问题． 文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 图形语言作用①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线[思考辨析 学练结合]1. (1)垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？[答案] 共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.(2)过一点有几条直线与已知平面垂直？[答案] 有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.2. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．( )(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．()(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．()[解析]由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．[答案](1)√(2)√(3)√【合作探究析疑解难】考点1 线面垂直性质定理的应用[典例1] 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．[分析](1)要证线线平行，则先证线面垂直，即证AD1⊥平面A1DC.(2)可证ON＝AM，ON＝12AB.[解答](1)∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1.∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC. 又∵MN⊥平面A 1DC，∴MN∥AD1.(2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.∴ON＝12DC＝12AB，∴ON∥AM.又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM.∵ON＝12AB，∴AM＝12AB，∴M是AB的中点．[方法总结]1．直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．2．当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．[跟踪练习]1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.[证明]因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.考点2 条件开放题[典例2] 如图，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1C⊥B1D1？(注：写出一个你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形)[解]因为BD∥B1D1，所以要使A1C⊥B1D1，需A1C⊥BD.又因为A1A⊥平面ABCD，A1A⊥BD，A1A∩A1C＝A1，所以BD⊥平面A1AC.因为AC⊂平面A1AC，所以AC⊥BD.由以上分析，知要使A1C⊥B1D1，需使AC⊥BD或任何能推导出AC⊥BD的条件，如四边形ABCD是正方形、菱形等.[解题感悟]此题是对条件开放的，因此解决此类问题时一般从结论入手，分析得到该结论所需的条件，逐步使问题简化，最终得证.这种解决问题的技巧在今后的学习中经常会用到，注意掌握.【学习检测巩固提高】1. 如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交. 求证：EF∥BD1.[证明]如图所示，连接AB1、B1D1、B1CC、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.2. 如图，已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R.求证：QR⊥AB.[证明]如图，因为α∩β＝AB，PO⊥β于点O，所以PO⊥AB.因为PQ⊥α于点Q，所以PQ⊥AB.因为PO∩PQ＝P，所以AB⊥平面PQO.因为OR⊥α于点R，所以PQ∥OR.因为PQ与OR确定平面PQRO，QR⊂平面PQRO，AB⊥平面PQRO，所以AB⊥QR.[解题感悟]证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 3．AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B－DEF的体积．(1)证明如图，设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连接EG，GH，由于H为BC的中点，故GH=12AB．又EF=12AB，∴EF綊GH．∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH．而EG⊂平面EDB，FH⊄平面EDB，∴FH∥平面EDB．(2)证明由四边形ABCD为正方形，得AB⊥BC．又EF∥AB，∴EF⊥BC．而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．∴EF⊥FH．∴AB⊥FH．又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC．∴FH⊥平面ABCD．∴FH⊥AC．又FH∥EG，∴AC⊥EG．又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB．(3)解∵EF⊥FB，∠BFC＝90°∴BF⊥平面CDEF．∴BF为四面体B－DEF的高．又BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝2．V B －DEF ＝13×12×1×2×2＝13．人教版高中数学必修二第2章 点、直线、平面之间的位置关系2.3.3 直线与平面垂直的性质课时检测一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥αB ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直[解析] 由线面垂直的定义知B 正确．[答案] B2．在空间中，下列命题正确的是( )A.垂直于同一条直线的两直线平行B.平行于同一条直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行[解析] A 项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交； B 项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C 项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D 项正确.[答案] D3．过平面外一点P ：①存在无数条直线与平面α平行；②存在无数条直线与平面α垂直；③有且只有一条直线与平面α平行；④有且只有一条直线与平面α垂直，其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B4．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )① ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒M ∥n ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] ①②③正确，④中n 与面α可能有：n ⊂α或n ∥α或相交(包括n ⊥α)．[答案] C5．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，在平面AB 1上任取一点M ，作ME ⊥AB 于E ，则( )A ．ME ⊥平面ACB ．ME ⊂平面ACC ．ME ∥平面ACD ．以上都有可能[解析] 由于ME ⊂平面AB 1，平面AB 1∩平面AC ＝AB ，且平面AB 1⊥平面AC ，ME ⊥AB ，则ME ⊥平面AC .[答案] A6．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ⊂α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( )A ．PE >PG >PFB ．PG >PF >PEC ．PE >PF >PGD ．PF >PE >PG[解析] 由于PG ⊥平面α于G ，PF ⊥EF ，∴PG 最短，PF<PE ，∴有PG<PF<PE ．故选C ．[答案] C7．P A 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( )A ．P A ⊥BCB ．BC ⊥平面P ACC ．AC ⊥PBD ．PC ⊥BC[解析] PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥BC ，A 正确；又BC ⊥AC ，∴BC ⊥面PAC ，∴BC ⊥PC ，B 、D 均正确．∴选C ．[答案] C8．关于直线m ，n 与平面α，β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n ；②若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n ；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A.①②B.③④C.①④D.②③[解析]①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误.[答案] D9．下列命题：①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两平面平行．其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4[解析]由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，选B．[答案] B10．在△ABC所在的平面α外有一点P，且P A＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心[解析]设P在平面α内的射影为O，易证△PAO≌△PBO≌△PCO⇒AO＝BO＝CO．[答案] C11．已知三条相交于一点的线段P A、PB、PC两两垂直，点P在平面ABC外，PH⊥面ABC于H，则垂足H是△ABC的()A．外心B．内心C．垂心D．重心[解析]如图所示，由已知可得PA⊥面PBC，PA⊥BC，又PH⊥BC，∴BC⊥面APH，BC⊥AH．同理证得CH⊥AB，∴H为垂心．[答案] C12．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段[解析]连接AC，AB1，B1C，∵BD⊥AC，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥面BDD1，∴AC⊥BD1，同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥面AB1C．∴P∈B1C时，始终AP⊥BD1，选A．[答案] A二、填空题13．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．[解析]由直线与平面垂直的性质定理知AB中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．[答案] 414．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．[解析]正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．[答案]3615．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．[解析]①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．[答案]①②③16．如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝________.[解析]因为AF⊥平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，所以△EDC为直角三角形，CE＝ED2＋CD2＝13.[答案]1317．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．[解析]由题意知CO⊥AB，∴CO⊥面ABD，∴CO⊥OD，∴直角三角形为△CAO，△COB，△ACB，△AOD，△BOD，△COD．[答案] 6三、解答题18．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．[证明](1)∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D．又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1．∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1．(2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC．∴ON綊12CD綊12AB，∴ON∥AM．又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM．∵ON＝12AB，∴AM＝12AB，∴M是AB的中点．19．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．[证明]连接AG并延长交BC于D，连接A′G′并延长交B′C′于D′，连接DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．∵D、D′分别为BC和B′C′的中点，∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，∵G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，∴AGGD＝A′G′G′D′，∴GG′∥AA′，又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．20．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点.求证：平面DMN∥平面ABC．[证明]∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC．21．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N 分别是A1B，B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．(1)[证明]如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．(2)解如图所示，因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝22a，BC1＝2a．在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝C1DBC1＝12，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°．。
高中数学 2.3(3+4)直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质课时训练 新人教版必修2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3（3+4）直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质课时训练新人教版必修2一、选择题1．如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．A．①③B．②C．②④D．①②④【解析】由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面．对于②④图形中的两边不一定是相交直线，故该直线与它们所在的平面不一定垂直．【答案】 A2．如图2－3－5，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的( )图2－3－5A．∠PAD B．∠PDA C．∠PDB D．∠PDC【解析】∵PA⊥平面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD上的射影，故∠PDA是PD与平面ABCD所成的角．【答案】 B3．(2013·德州高一检测)空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交【解析】取BD的中点E，连接AE，CE.可证BD⊥AE，BD⊥CE，而AE ∩CE ＝E ，即得BD ⊥平面AEC .得BD ⊥AC ，故选C.【答案】 C4．若斜线段AB 是它在平面α内的射影长的2倍，则AB 与平面α所成角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【解析】 设AB 与平面α所成的角为θ，由题意可知cos θ＝12，∴θ＝60°.【答案】 C5．(2013·汕头高一检测)已知三条相交于点P 的线段PA ，PB ，PC 两两垂直，P 在平面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于H ，则垂足H 是三角形ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心【解析】 如图，∵PA 、PB 、PC 两两垂直，∴PA ⊥平面PBC ，∴PA ⊥BC . 又BC ⊥PH ，PA ∩PH ＝P ， ∴BC ⊥平面PAH ， ∴BC ⊥AH .同理AB ⊥CH ，AC ⊥BH . ∴点H 为△ABC 的垂心．【答案】 C 二、填空题6．如图2－3－6所示：直角△ABC 所在的平面外一点S ，SA ＝SB ＝SC ，点D 为斜边AC 的中点．则直线SD 与平面ABC 的位置关系为________．图2－3－6【解析】 ∵SA ＝SC ，点D 为斜边AC 的中点，∴SD ⊥AC . 则在Rt △ABC 中，AD ＝DC ＝BD ， ∴△ADS ≌△BDS ， ∴SD ⊥BD .又AC ∩BD ＝D ， ∴SD ⊥平面ABC . 【答案】 垂直7．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在的平面，若PC ⊥BD ，则平行四边形一定是________．【解析】 如图，PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA ，又BD ⊥PC ，PA ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面PAC .AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥AC .∴ABCD 为菱形． 【答案】 菱形8．如图2－3－7，∠ACB ＝90°，平面ABC 外有一点P ，PC ＝4 cm ，点P 到角的两边AC 、BC 的距离都等于2 3 cm ，那么PC 与平面ABC 所成角的大小为________．图2－3－7【解析】 过P 作PO ⊥平面ABC 于O ，连接CO ，则CO 为∠ABC 的平分线，且∠PCO 为PC 与平面ABC 所成的角，设其为θ，连接OF ，易知∠CFO 为直角三角形，又PC ＝4，PF ＝23，∴CF ＝2，∴CO ＝22，在Rt △PCO 中，cos θ＝COPC ＝22，∴θ＝45°.【答案】45°三、解答题9．(2013·临沂高一检测)如图2－3－8，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC.图2－3－8【证明】∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又AC∩SA＝A，∴BC⊥平面SAC.∵AD⊂平面SAC，∴BC⊥AD.又SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC.10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角．【解】(1)如图所示，连接DB，∵D1D⊥平面ABCD，∴DB是D1B在平面ABCD内的射影．则∠D1BD即为D1B与平面ABCD 所成的角．∵DB＝2AB，D1B＝3AB，∴cos∠D1BD＝DBD1B＝63，即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为6 3.(2)∵E是A1A的中点，A1A⊥平面A1B1C1D1，∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△EA1F中，∵F是A1D1的中点，∴∠EFA1＝45°.11．如图2－3－9，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由．图2－3－9【解】假设存在点Q，使得PQ⊥QD.由已知PA⊥平面ABCD，且DQ⊂平面ABCD，∴PA⊥DQ.又∵PQ⊥DQ，且PQ∩PA＝P，PQ，PA⊂平面PAQ，∴DQ⊥平面PAQ.∵AQ⊂平面PAQ，∴AQ⊥DQ.设BQ＝x，则CQ＝a－x，AQ2＝x2＋1，DQ2＝(a－x)2＋1.∵AQ2＋DQ2＝AD2，∴x2＋1＋(a－x)2＋1＝a2，即x2－ax＋1＝0.(*)方程(*)的判别式Δ＝a2－4.∵a>0，∴当Δ<0，即0<a<2时，方程(*)无实根；当Δ＝0，即a＝2时，方程(*)有唯一实根，此时x＝1；当Δ>0，即a>2时，方程(*)有两个不等实根，设两个实根分别为x1，x2.由于x1＋x2＝a>0，x1x2＝1>0，则这两个实根均为正数．因此，当0<a<2时，BC边上不存在点Q使PQ⊥QD；当a＝2时，BC边上存在唯一一点Q(即BC中点)，使PQ⊥QD；当a>2时，BC边上存在不同的两点Q，使PQ⊥QD.。
高中数学2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质限时规范训练新人教A版必修2
2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质【基础练习】1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 上任取一点E ，作EF ⊥A 1B 1于F ，则EF 与平面A 1B 1C 1D 1的关系是 ( )A ．平行B ．EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1 C ．相交且垂直 D ．相交但不垂直【答案】C【解析】平面ABB 1A 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，又EF ⊥A 1B 1，EF ⊂平面ABB 1A 1，平面ABB 1A 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1B 1，故EF ⊥平面A 1B 1C 1D 1.2．(2019年北京模拟)已知平面α，β和直线m ，l ，则下列命题中正确的是( ) A ．若α⊥β，α∩β＝m ，l ⊥m ，则l ⊥β B ．若α∩β＝m ，l ⊂α，l ⊥m ，则l ⊥β C ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βD ．若α⊥β，α∩β＝m ，l ⊂α，l ⊥m ，则l ⊥β 【答案】D【解析】选项A 缺少了条件：l ⊂α；选项B 缺少了条件：α⊥β；选项C 缺少了条件：α∩β＝m ，l ⊥m ；选项D 具备了面面垂直的性质定理的全部条件．3．设α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则下列能得出m ⊥β的是( ) A ．α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l B ．α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γ C ．α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α D ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α 【答案】D【解析】对于A ，α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m ⊂α，故不正确；对于B ，α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m 与β不一定垂直，故不正确；对于C ，α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m 与β不一定垂直，故不正确；对于D ，n ⊥α，n ⊥β，则α∥β，又m ⊥α，则m ⊥β，故正确，故选D ．4．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α，β所成的角分别为π4和π6，过A ，B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则AB ∶A ′B ′等于 ( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3【答案】A【解析】如图，由已知得AA ′⊥平面β，∠ABA ′＝π6，BB ′⊥平面α，∠BAB ′＝π4，设AB ＝a ，则BA ′＝32a ，BB ′＝22a ，在Rt △BA ′B ′中，A ′B ′＝12a ，所以AB A ′B ′＝21.5．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ，直线m ⊥α，则直线m 与n 的位置关系是________.【答案】平行【解析】∵α⊥β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l, ∴n ⊥α.又m ⊥α，∴m ∥n .6．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AA ′⊥A ′B ′，BB ′⊥A ′B ′且AA ′＝3，BB ′＝4，A ′B ′＝2，则三棱锥A － A ′BB ′的体积V ＝________.【答案】4【解析】∵α⊥β，α∩β＝A ′B ′，AA ′⊂α，AA ′⊥A ′B ′，∴AA ′⊥β.∴V ＝13S △A ′BB ′·AA ′＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12A ′B ′×BB ′×AA ′＝13×12×2×4×3＝4. 7．如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，已知PA ⊥AC ，PA＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线PA ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .【证明】(1)在△PAC 中，D ，E 分别为PC ，AC 中点， 则PA ∥DE .又PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， ∴PA ∥平面DEF .(2)△DEF 中，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4，DF ＝5，∴DF 2＝DE 2＋EF 2，即DE ⊥EF .又PA ⊥AC ，即DE ⊥AC . ∴DE ⊥平面ABC .∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC .8．如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F .求证：BC ⊥SA .【证明】因为平面SAB ⊥平面SBC 且交线为SB ， 又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ， 所以AF ⊥平面SBC .因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ，AB ⊂平面SAB ， 所以BC ⊥平面SAB .因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .【能力提升】9．(2019年广西柳州期末)如图，直二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足，若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则CD 的长为( )A ． 2B ． 3C ．2D ．3【答案】A【解析】如图，连接BC .∵二角面α－l －β为直二面角，AC ⊂α，且AC ⊥l ，∴AC ⊥β.又BC⊂β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3.又BD⊥CD，∴CD＝BC2－BD2＝ 2.10．(2019年广东肇庆校级月考)如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝( )A．3∶2B．3∶3C．5∶2D．5∶3【答案】C【解析】由题意，两个矩形的对角线长分别为AC＝5，BF＝25，可得CF＝29，所以cosα＝525＋4＝529，cos β＝2529，所以cos α∶cos β＝5∶2.11．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同的直线，给出4个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中3个论断为条件，余下1个论断为结论，写出你认为正确的一种说法：________(用序号表示)．【答案】②③④⇒①或①③④⇒②【解析】由题意可构造出四种说法(1)①②③⇒④；(2)①②④⇒③；(3)①③④⇒②；(4)②③④⇒①.只有(3)(4)是正确的．12．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)求证：平面AEC⊥平面BED.(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．【解析】(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE . 又BD ∩BE ＝B ，故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中， 可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 三棱锥E －ACD 的体积V E －ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63. 故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝6，所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E －ACD 的侧面积为3＋2 5.。
高中数学必修2课后限时训练15 直线与平面垂直的判定
高中数学必修2课后限时训练15直线与平面垂直的判定一、选择题1．下列命题中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个B．3个C．4个D．5个答案：C解析：②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．2．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的面的个数是()A．1 B．2C．3 D．6答案：B解析：仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直．3．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于()A．40° B．50°C．90° D．150°答案：B解析：根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.4．给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案：C解析：①中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；②中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；③根据射影定义知正确．故选C.5．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直答案：C解析：因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC，又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD 的位置关系是垂直但不相交．6．(09·四川文)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面P AB⊥平面PBCC．直线BC∥平面P AED．直线PD与平面ABC所成的角为45°答案：D解析：设AB长为1，由P A＝2AB得P A＝2，又ABCDEF 是正六边形，所以AD 长也为2，又P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥AD ，所以△P AD 为直角三角形．∵P A ＝AD ，∴∠PDA ＝45°，∴PD 与平面ABC 所成的角为45°，故选D.二、填空题7．空间四边形ABCD 的四条边相等，则对角线AC 与BD 的位置关系为________．答案：垂直解析：取AC 中点E ，连BE 、DE .由AB ＝BC 得AC ⊥BE .同理AC ⊥DE ，所以AC ⊥面BED .因此，AC ⊥BD .8．已知P A 垂直于平行四边形ABCD 所在的平面，若PC ⊥BD ，则平行四边形ABCD 一定是________．答案：菱形解析：由于P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .又PC ⊥BD ，且PC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，PC ∩P A ＝P ，所以BD ⊥平面P AC .又AC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥AC .又四边形ABCD 是平行四边形，所以四边形ABCD 是菱形．9．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为________．答案：π3解析：设三棱柱的高为h ，则34×(3)2×h ＝94，解得h ＝ 3.设三棱柱中底面ABC 的中心为Q ，则PQ ＝3，AQ ＝23×32×3＝1.在Rt △APQ 中，∠P AQ 为直线P A 与平面ABC 所成的角，且tan ∠P AQ ＝3，所以∠P AQ ＝π3. 三、解答题10．如图所示，已知P A 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过点A 作AE ⊥PC 于点E .求证：AE ⊥平面PBC .证明：∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC .又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC .而P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .又∵AE ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AE .又∵PC ⊥AE ，且PC ∩BC ＝C ，∴AE ⊥平面PBC .[点评] 利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：①在这个平面内找两条直线，使它和已知直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交直线；③根据判定定理得出结论．11．S 为直角△ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC .D 为斜边AC 的中点，(1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若直角边BA ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .证明：(1)D 是Rt △ABC 斜边AC 的中点⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫⇒BD ＝AD SB ＝SA SD ＝SD ⇒△SDB ≌△SDA ⇒∠SDA ＝∠SDB ⎭⎪⎬⎪⎫ SA ＝SC D 是AC 的中点⇒SD ⊥AC ⇒SD ⊥BD SD ⊥AC ，BD ∩AC ＝D ⇒SD ⊥平面ABC .⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫(2)BA ＝BCD 是AC 的中点⇒BD ⊥AC BD ⊥SD (已证)SD ∩AC ＝D ⇒BD ⊥平面SAC . 12．如图所示，在矩形ABCD 中，AB＝33，BC ＝3，沿对角线BD 将△BCD 折起，使点C 移到C ′点，且C ′点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上．(1)求证：BC ′⊥平面AC ′D ；(2)求直线AB 与平面BC ′D 所成角的正弦值．解析：(1)证明：∵点C ′在平面ABD 上的射影O 在AB 上，∴C ′O ⊥平面ABD ，∴C ′O ⊥DA .又∵DA ⊥AB ，AB ∩C ′O ＝O ，∴DA ⊥平面ABC ′，∴DA ⊥BC ′.又∵BC ⊥CD ，∴BC ′⊥C ′D .∵DA ∩C ′D ＝D ，∴BC ′⊥平面AC ′D .(2)如图所示，过A 作AE ⊥C ′D ，垂足为E .∵BC ′⊥平面AC ′D ，∴BC ′⊥AE .又∵BC ′∩C ′D ＝C ′，∴AE ⊥平面BC ′D .连接BE ，则BE 是AB 在平面BC ′D 上的射影，故∠ABE 就是直线AB 与平面BC ′D 所成的角．∵DA ⊥AB ，DA ⊥BC ′，∴DA ⊥平面ABC ′，∴DA ⊥AC ′. 在Rt △AC ′B 中，AC ′＝AB 2－BC 2＝3 2.在Rt △BC ′D 中，C ′D ＝CD ＝3 3. 在Rt △C ′AD 中，由面积关系，得AE ＝AC ′·AD C ′D ＝32×333＝ 6. ∴在Rt △AEB 中，sin ∠ABE ＝AE AB ＝633＝23， 即直线AB 与平面BC ′D 所成角的正弦值为23.。
导与练2016高中数学第二章2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质课件
2.3.4 平面与平面垂直的性质
自主预习 课堂探究
自主预习
课标要求
理解直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质,并能运用性质定理解决 一些简单问题.
知识梳理
1.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 符号语言 垂直于同一个平面的两条直线 平行
a ⇒ a∥b b
(1)证明:如图,取 PB 中点 M,连接 MF,AM. 因为 F 为 PC 中点,故 MF∥BC 且 MF= 由已知有 BC∥AD,BC=AD. 又由于 E 为 AD 中点,因而 MF∥AE 且 MF=AE, 故四边形 AMFE 为平行四边形,所以 EF∥AM. 又 AM⊂ 平面 PAB,而 EF⊄平面 PAB,所以 EF∥平面 PAB.
证明: (1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD, 所以PA⊥底面ABCD. (2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点, 所以AB∥DE,且AB=DE.所以四边形ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BE∥平面PAD.
所以平面BEF⊥平面PCD.
题后反思 直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系,当已 知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,要证线面、面面垂直或平 行时要用判定定理进行论证.
即时训练 3 1: (2015 宿州市高二期中)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2BC,P,Q 分 别为线段 AB,CD 的中点,EP⊥平面 ABCD. (1)求证:AQ∥平面 CEP; (2)求证:平面 AEQ⊥平面 DEP.
所以,直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为
2 11 . 11
【思维激活】 (2014 高考天津卷)如图,四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是平行 四边形,BA=BD= 2 ,AD=2,PA=PD= 5 ,E,F 分别是棱 AD、PC 的中点. (1)证明:EF∥平面 PAB; (2)若二面角 P AD B 为 60°, ①证明:平面 PBC⊥平面 ABCD; ②求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.
高三数学(理)一轮复习之双基限时训练：直线、平面垂直的判定及性质(人教新课标).pdf
巩固双基,提升能力一、选择题 1．(2013·大连、沈阳联考)设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“la，lb”是“lα”的( ) A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 解析：由判定定理可知la，lb，推不出lα，但lα，一定能够得到la，lb.故选C. 答案：C 2．(2013·许昌四校联考)下列命题中错误的是( ) A．如果平面α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α平面γ，平面β平面γ，α∩β＝l，那么l平面γ D．如果平面α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析：借助正方体很容易判断出A、B、C是正确的，只有D是错误的． 答案：D 3．(2013·河北百校联考)三棱锥P－ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形，AC＝a，则二面角A－PB－C的大小为( )A．90° B． 30° C．45° D．60° 解析：取PB的中点为M，连接AM、CM，则AMPB，CMPB，AMC为二面角A－PB－C的平面角，易得AM＝CM＝a，则AMC为正三角形，AMC＝60°. 答案：D 4．(2013·中山联考)设m，n，l表示不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若ml，nl，则mn B．若mβ，mα，则αβ C．若αγ，βγ，则αβ D．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，mn，则αβ 解析：借助正方体易知A、C、D都是错误的．对于B，m∥α，α内一定存在一条直线cm，由mβ知cβ，故αβ. 答案：B 5(2013·菱湖中学月考)已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是( ) A. B. C. D. 解析：过点D作DGAE于点G，由三垂线定理知，D1GAE，DGD1即为所求二面角的平面角，设正方体的棱长是1，易求得DG＝，D1G＝＝， sin∠DGD1＝＝. 答案：C 6．(2012·浙江)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( ) A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 解析：在矩形ABCD中，作AEBD于E，连接CE.在翻折过程中，AEBD，假设存在某个位置使ACBD，则BD平面AEC，则BDCE，由条件知BD与CE不垂直，故A错；对于C，若ADBC，则AD平面ABC，ADAC，ACD为直角三角形，CAD＝90°，而CD＜AD，这种情况是不可能的，故C错；对于ABCD，因为BCCD，由线面垂直的判定可得CD平面ACB，则有CDAC，而AB＝CD＝1，BC＝AD＝，可得AC＝1，那么存在AC这样的位置，使得ABCD成立，故B正确，D错误． 答案：B 二、填空题 7．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则 棱AB与PD所在的直线垂直； 平面PBC与平面ABCD垂直； PCD的面积大于PAB的面积； 直线AE与直线BF是异面直线． 以上结论正确的是______．(写出所有正确结论的编号) 答案： 8．如图，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA平面ABCD，PA＝2，现有数据：a＝；a＝1；a＝；a＝2；a＝4，当在BC边上存在点Q，使PQQD时，a可以取__________(填上一个你认为正确的数据序号即可)． 答案：(或) 9．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝__________时，CF平面B1DF. 答案：a或2a 三、解答题 10．(2012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB＝60°，FC平面ABCD，AEBD，CB＝CD＝CF. (1)求证：BD平面AED； (2)求二面角F－BD－C的余弦值． 解析：(1)因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB＝60°所以ADC＝BCD＝120°. 又CB＝CD，所以CDB＝30°， 因此ADB＝90°，ADBD. 又AEBD，且AE∩AD＝A，AE，AD平面AED. 所以BD平面AED. (2)方法一： 由(1)知ADBD，所以ACBC.又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直． 以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设CB＝1. 则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D，F(0,0,1)， 因此＝，＝(0，－1,1)．设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则m·＝0，m·＝0，所以x＝y＝z， 取z＝1，则m＝(，1,1)． 由于＝(0,0,1)是平面BDC的一个法向量． 则cos〈m，〉＝＝＝， 所以，二面角F－BD－C的余弦值为. 方法二：取BD的中点G，连接CG，FG， 由于CB＝CD，因此，CGBD. 又FC平面ABCD，BD平面ABCD， 所以FCBD. 由于FC∩CG＝C，FC，CG平面FCG， 所以BD平面FCG，故BDFG， 所以FGC为二面角F－BD－C的平面角． 在等腰三角形BCD中，由于BCD＝120°， 因此CG＝CB， 又CB＝CF，所以GF＝＝CG， 故cosFGC＝， 因此，二面角F－BD－C的余弦值为. 11．(2012·广东)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE. (1)证明：BD平面PAC； (2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值． 解析：方法一： (1)因为PA平面ABCD，BD平面ABCD， BD⊥PA，又因为PC平面BDE，BD平面BDE， BD⊥PC，而PA∩PC＝P，所以BD平面PAC. (2)由(1)知BD平面PAC，所以BDAC，又四边形ABCD为矩形，所以四边形ABCD是正方形． 设AC交BD于O点，连接OE，因为PC平面BDE，所以PCOE，BEO是二面角B－PC－A的平面角． ∵PA＝1，AD＝2，AC＝2，OB＝OC＝， PC＝＝3， 又＝＝，OE＝. 在RtBEO中，tanBEO＝＝＝3. 所以二面角B－PC－A的正切值为3. 方法二： (1)同解法一．(2)建立如图所示的空间直角坐标系． 由(1)知BD平面PAC，BD⊥AC. ∴四边形ABCD是正方形． P(0,0,1)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)， ＝(0,2,0)，＝(－2,0,1)． 设平面BPC的一个法向量为m＝(x，y，z)． 则即 令x＝1，则m＝(1,0,2)． 易知平面PAC的一个法向量为＝(－2,2,0)， cos〈m，〉＝＝－， sin〈m，〉＝， tan〈m，〉＝－3，由图易知二面角B－PC－A是锐二面角，故其正切值为3. 12．(2012·北京)如图，在RtABC中，C＝90°，BC＝3，AC＝6.D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE＝2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图. 图 图 (1)求证：A1C平面BCDE； (2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小； (3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由． 解析：(1)因为ACBC，DEBC，所以DEAC. 所以DEA1D，DECD. 所以DE平面A1DC.所以DEA1C，又因为A1CCD， 所以A1C平面BCDE. (2)如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz， 设A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)． 设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，又＝(3,0，－2)，＝(－1,2,0)， 所以令y＝1，则x＝2，z＝. 所以n＝(2,1，)． 设CM与平面A1BE所成的角为θ， 因为＝(0,1，)， 所以sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝. 所以CM与平面A1BE所成角的大小为. (3)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下： 假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p[0,3]． 设平面A1DP的法向量为m＝(x，y，z)，则 m·＝0，m·＝0. 又＝(0,2，－2)，＝(p，－2,0)，所以科_网Z_X_X_K] 令x＝2，则y＝p，z＝. 所以m＝， 平面A1DP平面A1BE，当且仅当m·n＝0，即4＋p＋p＝0. 解得p＝－2，与p[0,3]矛盾． 所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直． 。
直线与平面垂直性质定理练习题
2.3.3 直线与平面垂直的性质一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥αB ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直2．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )① ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒M ∥n ；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ⊂α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( )A ．PE >PG >PFB ．PG >PF >PEC ．PE >PF >PGD ．PF >PE >PG4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( )A ．PA ⊥BCB ．BC ⊥平面PAC C ．AC ⊥PBD ．PC ⊥BC 5．下列命题：①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两平面平行． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且PA ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心二、填空题7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a ∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．9．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD 是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC 和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．2.3.4 平面与平面垂直的性质1．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内________于________的直线与另一个平面垂直．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a⊄α，a⊥β，那么________(a与α的位置关系)．一、选择题1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )A．a⊥βB．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )A．l∥γB．l⊂γC．l与γ斜交 D．l⊥γ3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条4．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么( )A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行5．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( ) ①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面A ．4B ．3C ．2D ．16．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3 二、填空题7．若α⊥β，α∩β＝l ，点P ∈α，PD /∈l ，则下列命题中正确的为________．(只填序号)①过P 垂直于l 的平面垂直于β； ②过P 垂直于l 的直线垂直于β； ③过P 垂直于α的直线平行于β； ④过P 垂直于β的直线在α内． 三、解答题8．如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥AB ．9．如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．10．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．。
2.3.3 直线与平面垂直的性质(优秀经典公开课教案及练习答案详解)
2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质学科：数学年级：高一班级【学习目标】1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面与平面垂直的性质定理．2.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质，并能运用性质定理解决一些简单问题．3.掌握平行与垂直之间的转化【学习重难点】重点：两个性质定理的证明.难点：两个性质定理的证明.【预习指导】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．( )(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．( )(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．( )(4)两个平面垂直，一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．( )(5)两个平面垂直，一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．( )2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系( ) A．b∥α B．b⊥αC．b⊂αD．b⊂α或b∥α3．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直4．如图2-3-28所示，三棱锥S －ABC 中，平面SBC⊥底面ABC ，且SA ＝SB ＝SC ，则△ABC 是________三角形．图2328【合作探究】一、直线与平面垂直的性质定理1．问题：已知直线a 、b 和平面α，如果,a b αα⊥⊥，那么直线a 、b 一定平行吗？已知,a b αα⊥⊥求证：b ∥a .证明：假定b 不平行于a ，设b α=0b ′是经过O 与直线a 平行的直线∵a ∥b ′，a α⊥∴b ′⊥a 即经过同一点O 的两线b ，b ′都与α垂直这是不可能的，因此b ∥a .2．直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行简化为：线面垂直⇒线线平行二、平面与平面垂直的性质定理1．问题黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？2．例1 设αβ⊥，αβ=CD ，AB α⊂，AB ⊥CD ，AB ⊥CD = B 求证AB β⊥证明：在β内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角CDαβ--的平面角.由αβ⊥知，AB⊥BE,又AB⊥CD,BE与CD是β内的两条相交直线，所以AB⊥β3．平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直简记为：面面垂直⇒线面垂直.例2 如图，已知平面,αβ，αβ⊄，⊥，aα⊥，直线a满足aβ试判断直线a与平面α的位置关系解：在α内作垂直于α与β交线的直线b，因为aβ⊥⊥，所以bβ因为aβ⊥，所以a∥b.又因为aα⊄，所以a∥α.即直线a与平面α平行.例3 设平面α⊥平面β，点P作平面β的垂线a，试判断直线a与平面α的位置关系？证明：如图，设αβ= c，过点P在平面α内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理有bβ⊥.因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b垂合，因此aα⊂.【巩固练习】1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”错误的画“×”.（1）a．垂直于同一条直线的两个平面互相平行. （√）b．垂直于同一个平面的两条直线互相平行. （√）c．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. （√）（2）已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是 .答案：b∥α或b⊂α2．（1）下列命题中错误．．的是（ A ）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线垂直于平面β.B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β.C．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，lαβ=，那么lγ⊥.（2）已知两个平面垂直，下列命题（ B ）①一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03．设直线a，b分别在正方体ABCD–A′B′C′D′中两个不同的面所在平面内，欲使a∥b，a，b应满足什么条件？答案：不相交，不异面4．已知平面α，β，直线a，且αβαβ=，a∥α，a⊥AB，试判⊥，AB断直线a与直线β的位置关系.答案：平行、相交或在平面β内【当堂检测】1．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是( )A ．若l∥α，m⊥l，则m⊥αB ．若l⊥m，m⊥n，则m∥nC ．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD ．若l⊥α，l∥a，则a⊥α2．下列命题中错误的是( )A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β3．已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：① ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m⊥βn⊥β⇒m ∥n ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥β⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n. 其中的正确命题序号是( )A ．③④B ．②③C ．①②D ．①②③④4．(2014·江门市调研)已知平面α、β和直线m ，若α⊥β，m ⊥α，则( )A ．m ⊥βB ．m ∥βC ．m ⊂βD ．m ∥β或m ⊂β5．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，n ⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m 与n 的位置关系是________．6.图2336如图2336，▱ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE ＝________.【拓展延伸】如图2-3-35所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝3 a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角．求证：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD.图2-3-35【课堂小结】1．直线和平面垂直的性质2．平面和平面垂直的性质3．面面垂直，线面垂直，线线垂直的关系【课外作业】习题2.3第8、9题【教学反思】。
高中数学必修二2.3.3-2.3.4(第2课时)直线与平面、平面与平面垂直的性质习题新人教A版必修2
一、选择题
1．已知 l ，m，n 为两两垂直的三条异面直线，过 l 作平面 α 与直线 m垂直，则直线 n 与平
面 α 的关系是 ( )
A． n∥ α B ． n∥ α 或 n? α C． n? α 或 n 与 α 不平行 D．n? α
(2) 过 P 作 PO⊥AD，垂足为 O.
∵平面 PAD⊥平面 ABCD， ∴ PO⊥平面 ABCD， 即 PO为四棱锥 P－ ABCD的底面 ABCD上的高． 又△ PAD是边长为 4 的等边三角形，
∴ PO＝2 3. 在底面四边形 ABCD中， AB∥ DC， AB＝ 2DC， ∴四边形 ABCD为梯形．
已知 BD＝ 2AD＝ 8， AB＝ 2DC＝4 5.
(1) 设 M是 PC上的一点，证明：平面 MBD⊥平面 PAD； (2) 求四棱锥 P－ ABCD的体积． 解： (1) 证明：在△ ABD中，∵ AD＝4， BD＝8， AB＝ 4 5， ∴ AD2＋ BD2＝ AB2，∴ AD⊥ BD.
又∵平面 PAD⊥平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝ AD， BD? 平面 ABCD， ∴ BD⊥平面 PAD. 又 BD? 平面 MBD， ∴平面 MBD⊥平面 PAD.
2 设 CA＝ CB＝ a，则 AB＝ BD＝ AD＝ 2a， CO＝ 2 a.
13
6
∴ OH＝ 2× 2 × 2a＝ 4 a.
2
CO 2 a 2 3
∴ tan ∠ CHO＝OH＝
＝ 6
3
.
a
4
23 答案：
3 三、解答题 9．如图，在四棱锥 P－ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD， AB∥ DC，△ PAD是等边三角形，
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【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学 2.3.3直线与平面垂直的性质双基限时练新人教A版必修2 1．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内( )
A．不存在与l垂直的直线
B．存在一条与l垂直的直线
C．存在无数条与l垂直的直线
D．任意一条都与l垂直
答案C
2．如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，下列结论中不正确的是( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PO⊥CD D．PA⊥BD
解析易证BC⊥平面PBA，CD⊥平面PDA，∴BC⊥PB，CD⊥PD.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，故A、B、D正确．
答案C
3．已知直线l，m，平面α，β，l⊥α，m⊥β，α∥β，则直线l与m的位置关系是( )
A．相交B．异面
C．平行D．不确定
解析l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又m⊥β，∴l∥m.
答案C
4．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β
B．若l∥α，α∥β，则l⊂β
C．若l⊥α，α∥β则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
答案C
5．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是()
①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析①、③、④正确，②不正确．因此选C.
答案C
6．圆O的半径为4，PO垂直圆O所在的平面，且PO＝3，那么点P到圆上各点的距离是________．
解析依题意知P到圆O上各点的距离都相等，由勾股定理算得其值为5.
答案 5
7．二面角α－l－β的大小为120°，直线AB⊂α，直线CD⊂β.且AB⊥l，CD⊥l，则AB与CD所成角的大小为________．
解析由两条直线所成角通常是指两直线的夹角，因此应答60°(当AB，CD为异面直线时)而不是120°.
答案60°
8．如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝________.
解析由AF⊥平面ABCD，知DE⊥面ABCD.
∴DE⊥C D，在Rt△CDE中，CE＝CD2＋DE2＝22＋32＝13.
答案13
9．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别为CD，DA和AC的中点．
求证：平面BEF⊥平面BGD.
证明如题图，
∵AB＝BC，G为AC的中点，∴BG⊥AC.
同理DG⊥AC，又DG∩BG＝G，
∴AC⊥平面BGD.
又E，F分别为CD，DA的中点，
∴EF∥AC.
∴EF⊥平面BGD.
又EF⊂平面BEF.
∴平面BEF⊥平面BGD.
10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点D，E分别是AA1，CC1的中点．
(1)求证：AE∥平面BC1D；
(2)证明：平面BC1D⊥平面BCD.
证明(1)在矩形ACC1A1中，由C1E∥AD，C1E＝AD，
得AEC1D是平行四边形，∴AE∥DC1.
又AE⊄平面BC1D，C1D⊂平面BC1D，
∴AE∥平面BC1D.
(2)直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC⊥CC1，AC⊥BC，CC1∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
而C1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥C1D.
在矩形ACC1A1中，DC＝DC1＝2，CC1＝2，
从而DC2＋DC21＝CC21，
∴C1D⊥DC.
又DC∩BC＝C ， ∴C 1D⊥平面BCD ， 而C 1D ⊂平面BC 1D ， ∴平面BC 1D⊥平面BCD.
11．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．
(1)求证：MN ∥平面PAD. (2)求证：MN⊥CD.
(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PDC.
证明 (1)取PD 中点Q ，连接NQ ，AQ. ∵N，Q 分别为PC ，PD 的中点， ∴NQ 綊1
2CD 綊AM.
∴AMNQ 为平行四边形． ∴AQ ∥MN.
又AQ ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD. (2)∵PA⊥平面ABCD ， ∴PA⊥AB.
又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥AQ，即AB⊥MN.
又CD∥AB，∴MN⊥CD.
(3)∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD.
又∠PDA＝45°，Q为PD的中点，∴AQ⊥PD.
∴MN⊥PD.
又由(2)知MN⊥CD，且PD∩CD＝D，∴MN⊥平面PCD.。