球的题型分类

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2025数学大一轮复习讲义人教版第七章球的切、接问题

＋(1－OO1)2，解得 OO1＝4(舍去)；
当球心 O 不在线段 O1O2 上时，R2＝42＋OO22＝32＋(1＋OO2)2，解得 OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π. 综上，该球的表面积为100π.
(2)在平面四边形 ABCD 中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝ 2，BD⊥CD.将其
五、正三棱柱的外接球
球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心.R2＝h2柱2＋23AD2.
六、圆柱的外接球
R＝ 2h2＋r2(R 是圆柱外接球的半径，h 是圆柱的高，r 是圆柱底面圆的半径).
七、圆锥的外接球
R2＝(h－R)2＋r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).
第七章
§7.2 球的切、接问题
重点解读
与球的切、接问题是历年高考的热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算能力.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决.
内容索引
第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型
跟踪训练3 (1)已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上，上、下底面正方形的外接圆半径分别为1和2，圆台的两底面
28 2－14 5 在球心的同侧，则此正四棱台的体积为______3_______.
由题知，正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上，取正四棱台上底面一点为A，正方形中心为O1，下底面一点为B，正方形中心为O2，正四棱台外接球球心为O，连接AO1，OO1，BO2，OA，OB，如图所示，记正四棱台高O1O2＝h，OO1＝m，在Rt△AOO1中，AO＝3，AO1＝1，OO1＝m，

高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型

高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型，其中第一种类型为墙角模型，即三条棱两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径。

具体方法是找到三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。

例如，在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16的情况下，可以求出该球的表面积为32π。

第二种类型为对棱相等模型，补形为长方体。

在这种情况下，需要找到对棱相等的空间几何体，并补成长方体。

例如，如果三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为36π。

除此之外，文章还给出了一些具体的例子，如正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。

同时，文章还提到了一些需要注意的引理，如正三棱锥的对棱互相垂直等。

需要注意的是，文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除或修改。

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）首先，我们可以画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱，如图2-1所示。

设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2根据墙角模型，我们可以得到2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，化简得到R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，求出R即可。

例2（1）如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。

2）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。

3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为。

高考数学复习考点题型专题讲解17 球的切、接、截问题

高考数学复习考点题型专题讲解专题17 球的切、接、截问题1.球的切接问题(1)长方体的外接球①球心：体对角线的交点；②半径：r＝a2＋b2＋c22(a，b，c为长方体的长、宽、高).(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球(a为正方体的棱长)①外接球：球心是正方体中心，半径r＝32a，直径等于体对角线长；②内切球：球心是正方体中心，半径r＝a2，直径等于正方体棱长；③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心，半径r＝22a，直径等于面对角线长.(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分，a为正四面体的棱长)①外接球：球心是正四面体的中心，半径r＝64a；②内切球：球心是正四面体的中心，半径r＝612a.2.平面截球平面截球面得圆.截面圆的圆心与球心的连线与截面圆圆面垂直且R2＝d2＋r2(R为球半径，r为截面圆半径，d为球心到截面圆的距离).类型一外接球问题考向1 墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R.则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝a2＋b2＋c2.常见的有以下三种类型：例1 已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )A.86πB.46πC.26πD.6π答案 D解析因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB.因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P－ABC放在正方体中如图所示. 因为AB＝2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对角线长为6，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径R＝6 2，所以球O的体积V＝43πR3＝43π⎝⎛⎭⎪⎫623＝6π，故选D.考向2 对棱相等模型对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(长方体的长、宽高分别为a，b，c)，即R2＝18(x2＋y2＋z2)，如图.例2 在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，则三棱锥A －BCD 外接球的表面积为________. 答案29π2解析构造长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长方体的长宽高分别为a ，b ，c ，则a 2＋b 2＝9，b 2＋c 2＝4，c 2＋a 2＝16，所以2(a 2＋b 2＋c 2)＝9＋4＋16＝29，即a 2＋b 2＋c 2＝4R 2＝292，则外接球的表面积为S ＝4πR 2＝29π2.考向3 汉堡模型汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下，由对称性可知，球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2的连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝h2，所以R 2＝r 2＋h 24.例3(2022·金华调研)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AC ，侧棱AA 1⊥底面ABC ，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O 的表面上，且球O 的表面积的最小值为4π，则该三棱柱的侧面积为( ) A.63B.3 3 C.32D.3 答案 B解析如图，设三棱柱上、下底面中心分别为O 1，O 2，则O 1O 2的中点为O ，设球O 的半径为R ，则OA ＝R ，设AB ＝BC ＝AC ＝a ，AA 1＝h ，则OO 2＝12h ，O 2A ＝23×32AB ＝33a .在Rt△OO 2A 中，R 2＝OA 2＝OO 22＋O 2A 2＝14h 2＋13a 2≥2×12h ×33a ＝33ah ，当且仅当h ＝233a 时，等号成立，所以S 球＝4πR 2≥4π×33ah ，所以43π3ah ＝4π，所以ah ＝3，所以该三棱柱的侧面积为3ah＝3 3.考向4 垂面模型垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝h2，则R＝r2＋h24.例4(2022·广州模拟)已知四棱锥S－ABCD的所有顶点都在球O的球面上，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD且满足AB＝2AD＝2DC＝2，且∠DAB＝π3，SC＝2，则球O的表面积是( ) A.5π B.4πC.3πD.2π答案 A解析依题意，得AB＝2AD＝2，∠DAB＝π3，由余弦定理可得BD＝3，则AD2＋DB2＝AB2，则∠ADB＝π2.又四边形ABCD是等腰梯形，故四边形ABCD的外接圆直径为AB，半径r＝AB2＝1，设AB的中点为O1，球的半径为R，因为SD ⊥平面ABCD ，所以SD ＝SC 2－CD 2＝1， R 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫SD 22＝54，则S ＝4πR 2＝5π. 考向5 切瓜模型切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥模型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，设三棱锥的高为h ，外接球的半径为R ，球心为O ，△BCD 的外心为O 1，O 1到BC 的距离为d ，O 与O 1的距离为m ，△BCD 和△ABC 外接圆的半径分别为r 1，r 2，则⎩⎨⎧R 2＝r 21＋m 2，R 2＝d 2＋（h －m ）2，解得R ，可得R ＝r 21＋r 22－l 24(l 为两个面的交线段长).例5(2022·济宁模拟)在边长为6的菱形ABCD 中，∠A ＝π3，现将△ABD 沿BD 折起，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为________. 答案 60π解析边长为6的菱形ABCD ，在折叠的过程中，当平面ABD ⊥平面BCD 时，三棱锥的体积最大；由于AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝6， ∠C ＝∠A ＝π3.所以△ABD 和△CBD 均为正三角形，设△ABD 和△CBD 的外接圆半径为r ，则2r ＝BDsin C，所以r ＝2 3.△ABD 和△CBD 的交线段为BD ，且BD ＝6. 所以三棱锥A －BCD 的外接球的半径R ＝（23）2＋（23）2－624＝15.故S 球＝4·π(15)2＝60π.训练1 (1)(2022·青岛一模)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A.5π B.π C.113π D.73π (2)在三棱锥P －ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面ABC ，且PA ＝4，底面△ABC 的外接圆的半径为3，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为________. 答案 (1)D (2)52π解析 (1)由三棱柱所有棱的长a ＝1，可知底面为正三角形，底面三角形的外接圆直径2r ＝1sin 60°＝233，所以r ＝33，设外接球的半径为R ，则有R 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝13＋14＝712，所以该球的表面积S ＝4πR 2＝73π，故选D.(2)因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC .设三棱锥P －ABC 的外接球的半径为R ，结合底面△ABC 的外接圆的半径r ＝3，可得R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 2＝22＋33＝13，所以三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为S 表＝4πR 2＝52π. 类型二内切球问题内切球问题的解法(以三棱锥为例)第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －PAB ＋V O －PAC ＋V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13S △ABC ·r ＋13S △PAB ·r ＋13S △PAC ·r ＋13S PBC ·r ＝13(S △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC )r ；第三步：解出r ＝3V P －ABCS △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC.例6 (1)(2022·成都石室中学三诊)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P －ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA ＝BC ＝4，AB ＝3，AB ⊥BC ，若三棱锥P －ABC 有一个内切球O ，则球O 的体积为( ) A.9π2B.9π4 C.9π16D.9π (2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝6，BC ＝8，AC ＝10，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是( ) A.16π B.24π C.36π D.64π答案(1)C (2)A解析(1)设球O的半径为r，则三棱锥P－ABC的体积V＝13×12×3×4×4＝13×(12×3×4＋12×4×3＋12×5×4＋12×4×5)×r，解得r＝34，所以球O的体积V＝43πr3＝9π16，故选C.(2)由题意，球的半径为底面三角形内切圆的半径r，因为底面三角形的边长分别为6，8，10，所以底面三角形为直角三角形，r＝AB＋BC－AC2＝6＋8－102＝2.又因为AA1＝6，2r＝4<6，所以该三棱柱内能放置的最大球半径为2，此时S表面积＝4πr2＝4π×22＝16π.训练 2 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.答案2 3π解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆.在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝22，△PEO∽△PDB，故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22，故内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝23π.类型三球的截面问题解决球的截面问题抓住以下几个方面：(1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).例7(2022·杭州质检)在正三棱锥P －ABC 中，Q 为BC 中点，PA ＝2，AB ＝2，过点Q 的平面截三棱锥P －ABC 的外接球所得截面面积的取值范围为________. 答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2解析因为正三棱锥P －ABC 中，PB ＝PC ＝PA ＝2，AC ＝BC ＝AB ＝2，所以PB 2＋PA 2＝AB 2，即PB ⊥PA ，同理PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，因此正三棱锥P －ABC 可看作正方体的一角，如图.记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，点O 即是正方体的外接球球心，所以点O 也是正三棱锥P －ABC 外接球的球心，记外接球半径为R ，则R ＝122＋2＋2＝62，因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过点Q 的平面截三棱锥P －ABC 的外接球所得截面的面积最大为S max ＝πR 2＝3π2. 又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得OQ ＝12PA ＝22；由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过点Q 的截面时，截面圆半径最小为r ＝R 2－OQ 2＝1，所以S min ＝πr 2＝π.因此，过Q 的平面截三棱锥P －ABC 的外接球所得截面面积的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2. 训练3 (1)设球O 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体棱的中点作球O 的截面，则最小截面的面积为( ) A.3π B.4π C.5π D.6π(2)(2022·武汉质检)已知棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，球O 与该正方体的各个面相切，则平面ACB 1截此球所得的截面的面积为________. 答案 (1)B (2)2π3解析 (1)当球O 到截面圆心连线与截面圆垂直时，截面圆的面积最小，由题意，正方体棱的中点与O 的距离为22，球的半径为23， ∴最小截面圆的半径为12－8＝2， ∴最小截面面积为π·22＝4π.(2)∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，球O 与该正方体的各个面相切，则球O 的半径为1，设E ，F ，G 分别为球O 与平面ABCD 、平面BB 1C 1C 、平面AA 1B 1B 的切点，则等边三角形EFG 为平面ACB 1截此球所得的截面圆的内接三角形，由已知可得EF ＝EG ＝GF ＝2， ∴平面ACB 1截此球所得的截面圆的半径r ＝22sin 60°＝63，∴截面的面积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫632＝2π3.一、基本技能练1.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A.π B.3π4C.π2D.π4 答案 B解析如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球的半径R ＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12.∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4.2.若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A.12π B.24π C.36π D.144π 答案 C解析由题意知球的直径2R ＝（23）2＋（23）2＋（23）2＝6， ∴R ＝3，∴S 球＝4πR 2＝36π.故选C.3.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( ) A.3π B.4π C.33π D.6π 答案 A解析构造棱长为1的正方体，该四面体的外接球也是棱长为1的正方体的外接球，所以外接球半径R ＝32，所以外接球表面积为S ＝4πR 2＝3π.4.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B.210C.132D.310 答案 C解析将直三棱柱补为长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1，则球O 是长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1的外接球. ∴体对角线BC 1的长为球O 的直径. 因此2R ＝32＋42＋122＝13，则R ＝132.5.(2022·南阳二模)已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的∠BDC ＝π2，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( )A.3πB.4πC.5πD.6π 答案 C解析折后的几何体构成以D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1，1，3，所以2R ＝1＋1＋3＝5，球的表面积S ＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝5π.6.(2022·青岛模拟)如图是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，其所有顶点都在球O 的球面上，若十四面体的棱长为1，则球O 的表面积为( )A.2πB.4πC.6πD.8π 答案 B解析根据图形可知，该十四面体是由一个正方体切去八个角得到的，如图所示，十四面体的外接球球心与正方体的外接球球心相同，建立空间直角坐标系，∵该十四面体的棱长为1，故正方体的棱长为2， ∴该正方体的外接球球心的坐标为O ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，22，设十四面体上一顶点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，0，所以十四面体的外接球半径R ＝OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－222＝1，故外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π.故选B.7.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 上且AB ＝AC ＝BC ＝BD ＝CD ＝4，AD ＝26，则球O 的表面积为( )A.70π3B.80π3C.30πD.40π答案 B解析如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由题意可知，△ABC和△BCD都是边长为4的等边三角形. ∵M为BC的中点，∴AM⊥BC，且AM＝DM＝23，又∵AD＝26，∴AM2＋DM2＝AD2，∴AM⊥DM，∵BC∩DM＝M，BC，DM⊂平面BCD，∴AM⊥平面BCD，∵AM⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，△ABC与△BCD外接圆半径r＝23DM＝433，又△ABC与△BCD的交线段BC＝4. 所以四面体外接球半径R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4332－424＝2153，四面体ABCD 的外接球的表面积为4π×R 2＝803π. 8.已知三棱锥P －ABC 的棱AP ，AB ，AC 两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心，2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A.2π3B.5π6C.πD.3π2答案 D解析如图，∠APC ＝π4，AP ＝3，AN ＝1，∠APN ＝π6，∠NPM ＝π12，MN ︵＝π12×2＝π6，同理GH ︵＝π6，HN ︵＝π2，GM ︵＝2π3，故四段弧长之和为π6＋π6＋π2＋2π3＝3π2.9.(多选)(2022·石家庄调研)已知一个正方体的外接球和内切球上各有一个动点M 和N ，若线段MN 长的最小值为3－1，则( ) A.该正方体的外接球的表面积为12π B.该正方体的内切球的体积为π3C.该正方体的棱长为1D.线段MN长的最大值为3＋1 答案AD解析设该正方体的棱长为a，则其外接球的半径R＝32a，内切球的半径R′＝a2，该正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，由于两球球心相同，可得MN的最小值为3a2－a2＝3－1，解得a＝2，故C错误；所以外接球的半径R＝3，表面积为4π×3＝12π，故A正确；内切球的半径R′＝1，体积为43π，故B错误；MN的最大值为R＋R′＝3＋1，故D正确.故选AD.10.(多选)设圆锥的顶点为A，BC为圆锥底面圆O的直径，点P为圆O上的一点(异于B，C)，若BC＝43，三棱锥A－PBC的外接球表面积为64π，则圆锥的体积为( ) A.4π B.8πC.16πD.24π答案BD解析如图，设圆锥AO的外接球球心为M，半径为r，则M在直线AO上，4πr2＝64π，解得r＝4.由勾股定理得BM2＝OM2＋OB2，即42＝(23)2＋OM2，可得OM＝2，即OM＝|AO－r|＝|AO－4|＝2，解得AO＝6或AO＝2.当AO＝6时，圆锥AO的体积为V＝13π×(23)2×6＝24π；当AO＝2时，圆锥AO的体积为V＝13π×(23)2×2＝8π.故选BD.11.在三棱锥A－BCD中，△BCD和△ABD均是边长为1的等边三角形，AC＝2，则该三棱锥外接球的表面积为________.答案2π解析取AC的中点O，连接OB，OD，在△ABC中，AB＝BC＝1，AC＝2，所以∠ABC＝90°，所以OA＝OB＝OC＝2 2，同理得OD＝22，故点O为该三棱锥外接球的球心，所以球O的半径r＝22，S球＝4πr2＝2π.12.如图，已知球O是棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为________.答案3π2解析根据题意知，平面ACD 1是边长为9＋9＝32的正三角形，且所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD 1内切圆的半径r ＝13（32）2－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝62，所以平面ACD 1截球O 的截面面积为 S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝3π2.二、创新拓展练13.(多选)(2022·华大新高考联考)已知三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AC ＝2，点E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点，直线AF ，CE 相交于G ，则过点G 的平面α截三棱锥S －ABC 的外接球O 所得截面面积可以是( ) A.23π B.89π C.π D.32π答案 BCD解析因为AB 2＋BC 2＝AC 2，故AB ⊥BC ，故三棱锥S －ABC 的外接球O的半径R ＝2＋2＋22＝62，取AC 的中点D ，连接BD 必过G ，因为AB ＝BC ＝2，故DG ＝13BD ＝13，因为OD ＝22，故OG 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1118，则过点G 的平面截球O 所得截面圆的最小半径r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622－1118＝89，故截面面积的最小值为89π，最大值为πR 2＝32π，故选BCD.14.(多选)(2022·济南模拟)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点都在球O 上，AB ＝BC ＝AC ＝1，∠APC ＝π6，平面PAC ⊥平面ABC ，则( )A.直线OA 与直线BC 垂直B.点P 到平面ABC 的距离的最大值为1＋32C.球O 的表面积为13π3D.三棱锥O －ABC 的体积为18答案 ACD解析设△ABC 外接圆的圆心为O 1，连接OO 1，O 1A . 因为O 为三棱锥P －ABC 外接球的球心，所以OO 1⊥平面ABC ，所以OO 1⊥BC ，因为AB ＝BC ＝AC ＝1，所以O 1A ⊥BC ，所以BC ⊥平面OO 1A ，所以OA ⊥BC ，故A 选项正确；设△PAC 外接圆的圆心为O 2，AC 的中点为D ，连接O 2D ，由于AC ＝1，∠APC ＝π6，所以圆O 2的半径r 2＝12×1sinπ6＝1，则易知O 2D ＝32，所以点P 到平面ABC 的距离的最大值为1＋32(此时P ，O 2，D 三点共线)，故B 选项错误；由于AB ＝BC ＝AC ＝1，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，所以圆O 1的半径r 1＝12×1sin π3＝33，圆O 2的半径r 2＝1，△ABC 与△PAC 的交线段AC ＝1，所以三棱锥P －ABC 外接球半径R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋12－14＝1312.故球O 的表面积S ＝4π×1312＝13π3，故C 选项正确；由于OO 1⊥平面ABC ，且OO 1＝O 2D ＝32，S △ABC ＝34，所以三棱锥O－ABC的体积为13×OO1×S△ABC＝13×32×34＝18，故D选项正确，故选ACD.15.(多选)(2022·湖州调研)已知正四面体ABCD的棱长为3，其外接球的球心为O.点E 满足AE→＝λAB→(0<λ<1)，过点E作平面α平行于AC和BD，设α分别与该正四面体的棱BC，CD，DA相交于点F，G，H，则( )A.四边形EFGH的周长为定值B.当λ＝12时，四边形EFGH为正方形C.当λ＝13时，平面α截球O所得截面的周长为13π4D.四棱锥A－EFGH的体积的最大值为22 3答案ABD解析将正四面体ABCD放入正方体中.因为正四面体ABCD的棱长为3，所以正方体的棱长为322.如图所示，过点E作平面α平行于AC和BD，平面α与正方体的棱交于M，N，P，Q四点.因为AE→＝λAB→，故AH→＝λAD→，即有EH＝λBD，同理FG＝λBD，EF＝(1－λ)AC，HG＝(1－λ)AC，且EH∥BD，EF∥AC，故四边形EFGH 为平行四边形.因为AC ⊥BD ，故EF ⊥EH ，则四边形EFGH 为矩形.对于A ，四边形EFGH 的周长为2(EF ＋EH )＝2[(1－λ)AC ＋λBD ]＝2[(1－λ)AC ＋λAC ]＝2AC ＝6，为定值，故A 选项正确；对于B ，当λ＝12时，E 为AB 的中点，故EF ＝EH ，所以四边形EFGH 为正方形，故B 选项正确；对于C ，当λ＝13时，球心O 到平面EFGH 的距离即球心到平面MNPQ 的距离，即BC 中点到MF 的距离，经计算为24，球半径为322×32＝364，故截面圆的半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫3642－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝132，所以截面圆的周长为132×2π＝13π，故C 选项错误；对于D ，四棱锥A －EFGH 的高为AQ ，所以其体积V ＝13×322λ×3(1－λ)×3λ＝922λ2(1－λ)，0<λ<1，令f (λ)＝922λ2(1－λ)，则f ′(λ)＝922(2λ－3λ2)，令f ′(λ)＝0得λ＝23，故当λ＝23时，四棱锥A －EFGH 的体积最大，最大值为922×49×13＝223，故D 选项正确，故选ABD.16.(多选)(2022·嘉兴测试)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2BC ＝2CD ＝4.现将△DAC沿对角线AC所在的直线翻折成△D′AC，记二面角D′－AC－B的大小为α(0<α<π)，则( )A.存在α，使得D′A⊥BCB.存在α，使得D′A⊥平面D′BCC.存在α，使得三棱锥D′－ABC的体积为3 3D.存在α＝π2，使得三棱锥D′－ABC的外接球的表面积为20π答案ACD解析如图1，取AB的中点E，连接DE交AC于点F.因为AB＝2CD，所以CD＝EB＝AE，所以四边形AECD为菱形，四边形EBCD为菱形，所以△AED，△DEC，△EBC均为等边三角形，所以AC⊥ED，∠DAC＝∠BAC＝π6，∠ACB＝π2，在翻折过程中，如图2，AC⊥D′F，AC⊥FE，所以∠D′FE为二面角D′－AC－B的平面角，所以∠D′FE＝α.对于A，当α＝π2时，平面D′AC⊥平面ABC.因为BC⊥AC，所以BC⊥平面D′AC.又因为D′A⊂平面D′AC，所以D′A⊥BC，所以存在α，使得D′A⊥BC，故A选项正确；对于B，假设存在α，使得D′A⊥平面D′BC.因为D′C⊂平面D′BC，所以D′A⊥D′C，与∠AD′C＝2π3矛盾，故B选项不正确；对于C，由分析可得，D′F＝12DE＝12AD＝1，AC＝2AF＝2×32×AD＝2 3.设D′到平面ABC的距离为d，则V三棱锥D′－ABC＝13×S△ABC×d＝13×12×AC×BC×d＝13×12×23×2×d＝33，解得d＝1 2，所以sin α＝dD′F＝12，所以α＝π6或5π6，故C选项正确；对于D，当α＝π2时，平面D′AC⊥平面ABC，所以BC⊥平面D′AC，D′F⊥平面ABC.如图2所示，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，且EF＝12BC＝1，所以EF⊥平面D′AC.设△D′AC外接圆圆心为O1，则O1A＝O1D′＝AD′＝2.因为E是Rt△ABC斜边的中点，所以E为Rt△ABC的外心.过O1作平面D′AC的垂线，过点E作平面ABC的垂线，则两垂线的交点O即为三棱锥D′－ABC外接球的球心，显然四边形EFO1O是矩形，所以OO1＝EF＝1.设三棱锥D′－ABC的外接球半径为R，则在Rt△OO1D′中，R＝OD′＝O1O2＋O1D′2＝1＋4＝5，所以三棱锥D′－ABC的外接球的表面积S＝4πR2＝20π，故D选项正确.综上所述，故选ACD.17.在菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，若将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为60°的二面角B－AC－D，则四面体DABC的外接球球O的体积为________.答案5239π27解析如图，设M，N分别为△ABC，△ACD的外心，E为AC的中点，则EN＝EM＝13BE＝1，在平面BDE内过点M作BE的垂线与过点N作DE的垂线交于点O. ∵BE⊥AC，DE⊥AC，BE∩DE＝E，∴AC⊥平面BDE.∵OM⊂平面BDE，∴OM⊥AC，∵OM⊥BE，BE∩AC＝E，∴OM⊥平面ABC，同理可得ON⊥平面ACD，则O为四面体DABC的外接球的球心，连接OE，∵EM＝EN，OE＝OE，∠OME＝∠ONE＝90°，∴△OME≌△ONE，∴∠OEM＝30°，∴OE＝EMcos 30°＝233.∵AC⊥平面BDE，OE⊂平面BDE，∴OE⊥AC，∴OA＝OE2＋AE2＝39 3，即球O的半径R＝39 3.故球O的体积V＝43πR3＝5239π27.18.(2022·湖南三湘名校联考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1＝4，M 为棱AB的中点，N是棱BC的中点，O是三棱柱外接球的球心，则平面MNB1截球O所得截面的面积为________.答案8π解析如图1，将直三棱柱补形成正方体ABCD－A1B1C1D1，连接BD1，则直三棱柱的外接球也是正方体的外接球，球心O是BD1的中点，半径R＝2 3. 连接BD交MN于点E，连接B1E交BD1于点F，过点O作OO1⊥B1E于点O1，连接B1D1，因为MN∥AC，AC⊥平面BB1D1D，所以MN⊥平面BB1D1D，所以OO1⊥MN，所以OO1⊥平面MNB1.如图2，31 / 31 在矩形BB 1D 1D 中，BF FD 1＝BE B 1D 1＝14，所以BF OF ＝23，过点B 作BG ⊥B 1E 于点G ，则BG ＝BE ·BB 1B 1E ＝43，BGOO 1＝BF OF ＝23，所以OO 1＝2，设截面圆的半径为r ，则r 2＝R 2－OO 21＝(23)2－22＝8，所以截面的面积为8π.。

高中数学人教A版必修学案：球的体积和表面积 Word版含解析

球心和球的半径是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置，道了球的半径就可求出球的体积和表面积．在许多有关球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，但我们可以通过构造多面体或取球的截面，把球的问题转化为多面体或平知识点球的表面积与体积公式1.一个关键掌握好球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．掌握好公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”：3，则其表面积之比为：9.(经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) ．如果两个球的体积之比为：，那么两个球的表面积之比．：．：3 ．：．：9解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫43π：⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3＝：27r ：R ＝：3，∴S 1：S ＝：9. 答案：C．一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为直线的距离为 )．13 13－12＝5.．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的，则此球的表面积为3圆柱形玻璃容器内盛有高度为12 cm球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球________cm.R，则由已知得，截面圆的圆心为.5 cm，OO1＝为半径，O1为圆心的截面圆的面积为为圆心的截面圆的面积为8π，球的半径为OO＝x，O A如图，设球的半径为R，由题可知球心在圆柱的中心处，下底面圆的半径B.1.3.2已知两个球的半径之比为：3)．：．：．：．：解析：设两球的半径分别为112：r＝：3，∴1：S21：4π21：r＝：1A.答案：A[2019·安徽省合肥市检测]平面截球O所得截面圆的半径为1，到平面，则此球的体积为(是与冰面垂直的一条球半径，的一条直径，设球的半径为：：设三个球的半径分别为R1，R2，R三个球的表面积之比为：：9，21：4π22：4π＝：：921：R22：R＝：：∴1：R2：R3＝：：3，∴1：V2：V3＝43πR31：43πR32：4331：R32：R＝：：27.10．已知球心O到过球面上三点A，B的截面的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝3 cm，求球的体积．B，C三点的截面为圆，的中心，：1R2：R＝：2：1：S2：S21：R22：R＝：：3.即这三个球的表面积之比为：：3.14．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求：作出轴截面，则等腰三角形πR3＝972π，。

2020版人教A数学必修2：1.3.2 球的体积和表面积

解析:(1)根据几何体的三视图,得该几何体是后部为半径等于2的半球体,前部为正方体,棱长为2;所以该几何体的表面积是S=4×22+2π·22+ 22π=16+12π.故选C. 答案:(1)C
(2)如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为
.
解析:(2)由三视图可知该几何体是一个组合体,上半部分是半径为 1 的球的
(D)3 倍
解析:设小球半径为 1,则大球的表面积 S 大=36π,S 小+S 中=20π, 36π = 9 . 20π 5
解得 R= 6 ;所以外接球的体积为 V = 外接球 4π ×( 6 )3=8 6 π.故选 B
答案:(1)B
3
(2)(2018·广东靖远县高一期末)在三棱锥 S-ABC 中,SA=BC= 41 ,SB=AC=5,
SC=AB= 34 ,则三棱锥 S-ABC 外接球的表面积为
.
解析:(2)将三棱锥补成一个长、宽、高分别为a,b,c的长方体,
以AB,BD和CD为棱,把三棱锥A-BCD补充为长方体, 则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球,且长方体的对角线是外接球的直径; 所以(2R)2=AB2+BD2+CD2=1+2+1=4,所以外接球O的表面积为4πR2=4π. 故选D. 答案:(1)D
(2)(2018·安徽六安高一期末)球内切于正方体的六个面,正方体的棱长为
(A) 9 π +12 2
(C)9π +42
(B) 9 π +18 2
(D)36π +18
解析:(1)由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为 3 的球,下面一个底面为正方形且边长为 3,高为 2 的长方体所构成的几何体,则其体积为:

几何体的内接球与外接球,阿氏球等17类题型汇总(学生版)

几何体的外接球与内接球，阿氏球等17类题型热点题型解读（目录）【题型1】球的截面问题【题型2】可以补成长方体的外接球模型【题型3】直棱柱和圆柱外接球模型【题型4】正四面体的内切球和外接球结论【题型5】直棱锥外接球模型(一条侧棱垂直底面)【题型6】球心在高上(圆锥形)【题型7】圆台，棱台外接球模型【题型8】棱锥外接球之切瓜模型(一个面垂直外接圆直径)【题型9】两个外心+中垂线确定球心【题型10】外接球之共斜边拼接模型【题型11】外接球之二面角模型【题型12】内切球之棱锥，圆锥模型【题型13】内切球之圆台，棱台模型【题型14】多球相切问题【题型15】棱切球问题【题型16】构造球解决空间中动点构成的直角问题【题型17】阿氏球问题题型归类【题型1】球的截面问题球体的相关计算关键是找出球心到相关平面的距离，再结合勾股定理计算求值1.(2020·全国2卷T11)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O 的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A.3B.32C.1 D.322.(24-25高二上·贵州遵义·阶段练习)已知A，B，C，D四点都在球O的球面上，且A，B，C三点所在平面经过球心，AB=43，∠ACB=π3，则点D到平面ABC的距离的最大值为，球O的表面积为.3.(23-24高三下·广东江门·阶段练习)已知正四面体A-BCD的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A-BCD，则所得截面的面积为．4.已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为28π，则点O到平面ABC的距离为．5.已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=1,AC=3，则球的表面积是．6.(2024·辽宁丹东·一模)已知球O的直径为AB，C，D为球面上的两点，点M在AB上，且AM=3MB，AB⊥平面MCD，若△MCD是边长为3的等边三角形，则球心O到平面BCD的距离为．【题型2】可以补成长方体的外接球模型一、长方体外接球：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．二、补成长方体(1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如下图所示．(2)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示注：《九章算术》中的三棱锥均可补为长方体7.我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，P A ⊥平面ABCD ，P A =5，AB =3，BC =4，则该“阳马”外接球的表面积为()A.1252π3B.50πC.100πD.500π38.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角△ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，AB =3,AC =4，现将△ABD 沿AD 翻折成△AB D ，使得四面体AB CD 为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为9.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△AED ，△BEF ，△DCF 分别沿DE ，EF ，DF 折起，使得A ,B ,C 三点重合于点A ，若三棱锥A -EFD 的所有顶点均在球O 的球面上，则球O 的体积为()A.32π B.364π C.6πD.463π10.在四面体ABCD 中，若AB =CD =3，AC =BD =2，AD =BC =5，则四面体ABCD 的外接球的表面积为()A.2πB.4πC.6πD.8π11.(24-25高三上·江苏泰州·期中)在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．在直角△ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，AB =1，AC =3，现将△ABD 沿AD 翻折成△AB D ，使得四面体AB CD 为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为()A.5π2B.5πC.3πD.13π412.将边长为23的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为13.(2024·广东揭阳·高二校联考期中)在三棱锥S -ABC 中，SA =BC =5，SB =AC =41，SC =AB =34，则该三棱锥的外接球表面积是()A.50πB.100πC.150πD.200π【题型3】直棱柱和圆柱外接球模型汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)图1图2图3第一步：确定球心O的位置，O1是ΔABC的外心，则OO1⊥平面ABC；第二步：算出小圆O1的半径AO1=r，OO1=12AA1=12h(AA1=h也是圆柱的高)；第三步：勾股定理：OA2=O1A2+O1O2⇒R2=h22+r2⇒R=r2+h2 2，解出R14.已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为()A.48πB.60πC.64πD.84π15.设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且AB=AC=AA1,∠BAC=120°，则此直三棱柱的表面积是()A.16+83B.8+123C.8+163D.16+12316.(24-25高三上·安徽亳州·开学考试)已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为2035π的球面上，该圆柱的侧面积为()A.8πB.6πC.5πD.4π17.在三棱锥P-ABC中，P A⊥面ABC，△ABC为等边三角形，且P A=AB=3，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为．18.已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O，球O的表面积为8π，则该圆柱的体积为()A.22π B.2π C.2π D.22π【题型4】正四面体的内切球和外接球结论在棱长为a 的正四面体中设正四面体ABCD 的的棱长为a ，则有1、正四面体的高为h =63a2、正四面体外接球半径为R =64a3、正四面体内切球半径为r =612a4、正四面体体积V =212a 319.(2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测)已知正四面体ABCD 的表面积为23，且A ，B ，C ，D 四点都在球O 的球面上，则球O 的体积为．20.(24-25高三上·广东·开学考试)外接球半径为6的正四面体的体积为()A.1623B.24C.32D.48221.正四面体的外接球与内切球的半径比为()A.1:1B.2:1C.3:1D.4:122.已知正三棱锥A -BCD ，各棱长均为3，则其外接球的体积为()A.938π B.81216π C.928π D.9316π23.正四面体P -ABC 中，其侧面积与底面积之差为23，则该正四面体外接球的体积为.24.一个正四面体的棱长为2，则它的外接球与内切球体积之比为()A.3:1B.3:1C.9:1D.27:1【题型5】直棱锥外接球模型(一条侧棱垂直底面)题设：如图，P A⊥平面ABC，求外接球半径.(一条侧棱垂直底面)解题步骤：第一步：将ΔABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：O1为ΔABC的外心，所以OO1⊥平面ABC，算出小圆O1的半径O1D=r(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得asin A =bsin B=csin C=2r)，OO1=12P A；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2=P A2+(2r)2⇔2R=P A2+(2r)2；②R2=r2+OO12⇔R=r2+OO12.25.已知三棱锥P-ABC的底面ABC为直角三角形，且∠ACB=π2.若P A⊥平面ABC，且AB=3，P A=4，三棱锥P-ABC的所有顶点均在球O的球面上，记球O的体积和表面积分别为V，S，则VS=()A.512B.56C.53D.5226.已知三棱锥P-ABC的底面ABC为直角三角形，且∠ACB=π2.若P A⊥平面ABC，且AB=3，P A=4，三棱锥P-ABC的所有顶点均在球O的球面上，记球O的体积和表面积分别为V，S，则VS=()A.512B.56C.53D.5227.已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=1，BC=2，若球O的表面积为4π，则SA=()A.22B.1C.2D.328.2023年高考全国乙卷数学(文)T16已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA =．29.已知三棱锥S-ABC所在顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=2,∠BAC=120°，则球O的体积为()A.205π3B.32π3C.20π3D.325π3【题型6】球心在高上(圆锥形)如图5-1至5-8这七个图形，P的射影是ΔABC的外心⇔三棱锥P-ABC的三条侧棱相等⇔三棱锥P-ABC的底面ΔABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ΔABC 的外心O 1，则P ,O ,O 1三点共线；第二步：先算出小圆O 1的半径AO 1=r ，再算出棱锥的高PO 1=h (也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：OA 2=O 1A 2+O 1O 2⇒R 2=(h -R )2+r 2，解出R =r 2+h 22h方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.【注意】：若是已知外接球半径R 和小圆半径r 求圆锥的高，则有2个解30.(2024·浙江台州·高二校联考期末)已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体积为.31.已知三棱锥P -ABC 的各侧棱长均为23，且AB =3,BC =3,AC =23，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为.32.已知球O 的体积为36π，圆锥SO 1的顶点S 及底面圆O 1上所有点都在球面上，且底面圆O 1半径为22，则该圆锥侧面的面积为()A.62πB.46π或62πC.83π或46πD.83π33.在三棱锥P -ABC 中，P A =PB =PC =3,AB =AC =2,BC =22，则三棱锥P -ABC 的外接球的半径为．34.已知三棱锥S -ABC 中，顶点S 在底面的射影恰好是△ABC 内切圆的圆心，底面△ABC 的最短边长为6．若三个侧面面积分别为329，429，529，则顶点S 到底面ABC 的距离为；三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为．【题型7】圆台，棱台外接球模型圆台，棱台外界球R 2=r 22+r 22-r 21-h 22h 2，其中r 1,r 2,h 分别为圆台的上底面、下底面、高．基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主注：若球心位置不确定，也可以直接设OO 2=x ，若解出来x 为负数则说明球心在O 2另一侧35.(2024·云南·高三校联考开学考试)已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为52，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O 的球面上，则球O 的体积为()A.2503π B.5003π C.1003π D.1253π36.2022年新高考II 卷T 7--台体外接球已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.B.C.D.37.在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台ABCD -A B C D 是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中AB =2A B =2，BC =2B C =23，则该“刍童”外接球的表面积为()A.20πB.203π C.2053π D.55π38.(2024·辽宁·高三校联考期末)正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为()A.32πB.33πC.34πD.35π39.已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O 的球面上，则球O 的体积为()A.2503π B.5003π C.1003π D.1253π40.我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点E到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积为．【题型8】棱锥外接球之切瓜模型(一个面垂直外接圆直径)如图4-1，平面P AC⊥平面ABC，且AB⊥BC(即AC为小圆的直径)，且P的射影是ΔABC的外心⇔三棱锥P-ABC的三条侧棱相等⇔三棱P-ABC的底面ΔABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ΔABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径AO1=r，再算出棱锥的高PO1=h(也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：OA2=O1A2+O1O2⇒R2=(h-R)2+r2，解出R；事实上，ΔACP的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R.2．如图4-2，平面P AC⊥平面ABC，且AB⊥BC(即AC为小圆的直径)，且P A⊥AC，利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R )2=P A 2+(2r )2⇔2R =P A 2+(2r )2；②R 2=r 2+OO 12⇔R =r 2+OO 123．如图4-3，平面P AC ⊥平面ABC ，且AB ⊥BC (即AC 为小圆的直径)OC 2=O 1C 2+O 1O 2⇔R 2=r 2+O 1O 2⇔AC =2R 2-O 1O 24．题设：如图4-4，平面P AC ⊥平面ABC ，且AB ⊥BC (即AC 为小圆的直径)第一步：易知球心O 必是ΔP AC 的外心，即ΔP AC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC =2r ；第二步：在ΔP AC 中，可根据正弦定理a sin A=b sin B =c sin C =2R ，求出R .41.(2024·广东·惠州一中校联考)已知三棱锥P -ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，△P AC 为边长是2的等边三角形，且平面ABC ⊥平面P AC ，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为()A.163π B.213π C.212π D.8π42.(2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测)已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为8π，该圆锥内接于球O，则球O的表面积为.43.(2024·安徽安庆·校联考模拟预测)三棱锥P-ABC中，P A=PB=PC=23，AB=2AC=6，∠BAC=π3，则该三棱锥外接球的表面积为．44.在三棱锥P-ABC中，平面ABC⊥平面P AB,AC⊥BC，点D是AB的中点，PD⊥PB,PB=PD=2，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.【题型9】两个外心+中垂线确定球心垂面模型如图1所示为四面体P-ABC，已知平面P AB⊥平面ABC，其外接球问题的步骤如下：(1)找出△P AB和△ABC的外接圆圆心，分别记为O1和O2．(2)分别过O1和O2作平面P AB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．(3)过O1作AB的垂线，垂足记为D，连接O2D，则O2D⊥AB．(4)在四棱锥A-DO1OO2中，AD垂直于平面DO1OO2，如图2所示，底面四边形DO1OO2的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．45.如图，三棱锥A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是边长为2的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°.若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为.46.(2024·四川乐山·高二期末)已知正△ABC 边长为1，将△ABC 绕BC 旋转至△DBC ，使得平面ABC ⊥平面BCD ，则三棱锥D -ABC 的外接球表面积为．47.(2024·全国·高三校联考开学考试)在三棱锥P -ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，底面△ABC 是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为15π，则该三棱锥体积的最大值为.48.在四棱锥P -ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，∠DP A =π2，AD =23，AB =2，P A =PD ，则四棱锥P -ABCD 的外接球的体积为()A.163πB.323πC.643πD.16π49.在三棱锥P -ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ⊥PB ，且P A =PB =32，△ABC 是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．50.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为棱A 1D 1的中点，则四棱锥P -ABCD 的外接球表面积为()A.3π2 B.3π C.41π16 D.41π6451.(2024·湖北十堰·高一统考期末)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ADB =∠ABC =π2,BD =BC =4，沿对角线BD 将△ABD 折起，使平面ADB ⊥平面BDC ，连接AC ，得到三棱锥A -BCD ，则三棱锥A -BCD 外接球表面积的最小值为.【题型10】外接球之共斜边拼接模型两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型题设：如图，∠APB=∠ACB=90°，求三棱锥P-ABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点O，连接OP,OC，则OA=OB=OC=OP=12AB，∴O为三棱锥P-ABC外接球球心，然后在OCP中求出半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.52.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为()A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π53.(河北唐山·三模)把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角D-AC-B，则三棱锥D-ABC的外接球的球心到平面BCD的距离为()A.33B.22C.63D.1254.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为83，则球O的体积为()A.4πB.20π3C.6πD.32π355.在平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，2AB 2+BD 2=1，将此平行四边形沿对角线BD 折叠，使平面ABD ⊥平面CBD ，则三棱锥A -BCD 外接球的体积是．【题型11】外接球之二面角模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)第一步：先画出如图6所示的图形，将ΔBCD 画在小圆上，找出ΔBCD 和ΔA BD 的外心H 1和H 2；第二步：过H 1和H 2分别作平面BCD 和平面A BD 的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OE ,OC ；第三步：解ΔOEH 1，算出OH 1，在Rt ΔOCH 1中，勾股定理：OH 21+CH 21=OC 2注：易知O ,H 1,E ,H 2四点共面且四点共圆，证略.56.在四面体P ABC 中，，是边长为2的等边三角形，若二面角P -AB -C 的大小为，则四面体的外接球的表面积为()A. B.26π9C. D.104π957.(2024·四川南充·二模)已知菱形ABCD 中，对角线BD =2，将△ABD 沿着BD 折叠，使得二面角A -BD -C 为120°，AC =3，则三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为.58.长沙市雅礼中学2024届高三月考(二)T 16已知菱形ABCD 中，对角线BD =23，将△ABD 沿着BD 折叠，使得二面角A -BD -C 为120°，AC =33，则三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为.59.在四面体ABCD 中，△ABC 与△BCD 都是边长为6的等边三角形，且二面角A -BC -D 的大小为60°，则四面体ABCD 外接球的表面积是()A.52π B.54π C.56π D.60π60.(2024·广东·校联考模拟预测)已知四棱锥S -ABCD ,SA ⊥平面ABCD ,AD ⊥DC ,SA =33,BC =4，二面角S -BC -A 的大小为π3.若点S ,A ,B ,C ,D 均在球O 的表面上，则该球O 的表面积为()A.152π3 B.52π C.160π3 D.54π61.(23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A =PB =5，CA ⊥AB ，AB =AC =2，二面角P -AB -C 的大小为120°，则三棱锥P -ABC 的外接球表面积为.62.(2024·湖南岳阳·统考三模)已知三棱锥D -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥BD ,AC ⊥BC ,∠DAB =∠CBA =30°，二面角D -AB -C 的大小为60°，若球O 的表面积等于36π，则三棱锥D -ABC 的体积等于()A.3B.2738C.7D.273【题型12】内切球之棱锥，圆锥模型锥体的内切球问题1．题设：如图，三棱锥P -ABC 上正三棱锥，求其内切球的半径.第一步：先现出内切球的截面图，E ,H 分别是两个三角形的外心；第二步：求DH =13CD ，PO =PH -r ，PD 是侧面ΔABP 的高；第三步：由ΔPOE 相似于ΔPDH ，建立等式：OE DH =PO PD ，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥P -ABC 是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P ,O ,H 三点共线；第二步：求FH =12BC ，PO =PH -r ，PF 是侧面ΔPCD 的高；第三步：由ΔPOG 相似于ΔPFH ，建立等式：OG HF =PO PF，解出3．题设：三棱锥P -ABC 是任意三棱锥，求其的内切球半径(最优法)方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：V P -ABC =V O -ABC +V O -P AB +V O -P AC +VO -PBC ⇒V P -ABC =13S ΔABC ⋅r +13S P AB ⋅r +13S P AC ⋅r +13S PBC ⋅r =13(S ΔABC +S ΔP AB +S P AC +S ΔPBC )⋅r 第三步：解出r =3V P -ABC S O -ABC +S O -P AB +S O -P AC +S O -PBC63.(2024·天津·统考二模)已知一个圆锥的高为4，底面直径为6，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为()A.12πB.9πC.92πD.3π64.圆锥(其中为顶点，D 为底面圆心)的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球(即顶点在球面上且底面圆周也在球面上)的体积比为A. B. C.D.65.已知圆锥的底面半径为2，高为42，则该圆锥的内切球表面积为()A.4πB.42πC.82πD.8π66.(2020·全国·统考高考真题)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．67.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为π2的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为()A.12π5 B. C.14π5 D.256π15【题型13】内切球之圆台，棱台模型首先需要明确，并不是所有的圆台都有内切球，如果一个圆台又矮又胖，最多只能找到一个与上下底面相切的球，无法做到与所有母线相切，圆台内切球指的是与圆台上下底面和每条母线均相切的球。

球的表面积和体积

答案：B.
题型4：
球与多面体的内切、外接
观察：
外接球
内切球
棱切球
球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
小结:常见的补形
正四面体常常补成正方体求外接球的半径三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体
§圆柱与球
例9：如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径（球内切于圆柱）.求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. (3)球的体积等于圆柱体积的三分之二.
正方体表面积之比为
(
)
答案:D
例4．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铜球熔制成一个较大的铜球，再把球削成一个棱长最大的正方体，求此正方体的体积．
4 3 3 3 4 3 解：设熔制后的大铜球半径为 r，则3π(3 ＋4 ＋5 )＝3πr ， ∴r＝6 cm. 据题意：正方体为球的内接正方体，球的直径即为正方 2r 12 体对角线的长，故正方体的棱长 a＝＝＝4 3 cm. 3 3 ∴V 正方体＝a3＝(4 3)3＝192 3 cm3.
三、正方体的外接球
2R
3a
球直径等于正方体的（体）对角线
正方体的内切球, 棱切球,外接球三个球心合一半径之比为： 1: 2 : 3
§长方体与球
一、长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，则 l a b c 2R

多面体与外接球的三种题型

多面体与外接球的三种题型题型一（直接找直径） 1、在三棱锥S-ABC 中，SA=AC=，SB=，BC=1，则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是。

2、若三棱锥S-ABC 的所有顶点都在同一个球O 的球面上，SA 面ABC ，SA=，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，求球O 的体积。

题型二（作轴截面构造Rt △）1、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且SC=2，求此棱锥的体积。

2、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为。

题型三（补形法）1、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为2、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图是腰长为4的两个全等直角三角形，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为。

3、已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的一点，SA 面ABC ，AB BC ，SA=AB=1，BC=，则球O 的表面积等于。

23⊥3233⊥⊥24、四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截的线段长为，则该球的表面积为5、在三棱锥S -ABC 中，SA=BC=2，SB=AC=3，SC=AB=，则该三棱锥外接球的体积是。

题型四（割补法）1、如图所示的四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为a的正方形，PD 底面ABCD ，且PD=a ，PA=PA=a ，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径是。

2、已知正四面体的外接球的半径为1，则此正四面体的体积为。

3、已知三棱锥D -ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=4，BC=3，AB BC ，AD=12，且DA 平面ABC ，则三棱锥A -BOD 的体积是。

数学-一个公式搞定外接球问题10种题型(解析版)

外接球问题10种题型总结【题型目录】题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）题型三：圆柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面圆的半径，h 为圆柱的高）题型四：直棱柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，h 为棱柱的高）题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（2222r P A R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，P A 为棱锥垂直于底面的棱）题型六：圆锥的外接球题型七：棱台圆台的外接球题型八：正棱锥的外接球题型九：侧面垂直于底面外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）题型十：多面体外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【典型例题】题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）【例1】若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（）A ．π2B ．3π4C ．3πD ．12π【例2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（）A．9π2B．C．9πD．27π【题型专练】1．长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（）A．9πB．18πC．36πD．48π2．已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于_____________．题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）设长方体相邻的三条边棱长分别为a ，b ，c．图1墙角体图1鳖臑图3挖墙角体图4对角线相等的四面体图1侧面（侧棱）两两垂直，图2所有面均为直角三角形，（线面垂直+线线垂直）；图3俯视图是一矩形，AC 为虚线，主视图和左视图为直角三角形，图4若是长方体则为对棱相等的四面体，若是正方体则是正四面体（所有棱长均相等）图4中（长方体），2222222222222222222a b BC AD BC AB CD b c AC a b c R AC BD c a AB ααβγβγ⎧+===⎫⎪++⎪=⇒+==⇒++=⇒=⎬⎨⎪⎪=+==⎭⎩abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-．【例1】_______________．可得该正方体的外接球就是三棱锥设球半径为R ，可得正方体的对角线长等于球直径【例2】已知三棱锥-P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，E F ，分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A B ．6πC ．24πD ．又1cos 2AD EAC PA x ∠==，∴2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，PA ∴，即三棱锥-P ABC 是以PA ，所以球O 的直径则球O 的体积333V R =π=π⨯【例3】表面积为）A ．B ．12πC ．8πD ．【例4】设,,,A B C D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0=⋅AD AC ，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC 、ACD 、ABD △的面积，则123S S S ++的最大值是______.【例5】我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，且3PA =，2BC =，AC =则该四面体的外接球的表面积为__________．则长方体的外接球的半径为22229344R PA AC BC =++=++=故2R =所以三棱锥-P ABC 外接球的表面积为故答案为：16π【例6】如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠己作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点A ，B ，C ，D 满足AB CD ==，BD AC ==，5cm AD BC ==，则该“鞠”的表面积为____________.令此长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则有222222251320a b b c ca ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，即有22229a b c ++=，令该长方体的外接球的半径为R ，因此2222(2)29R a b c =++=，该“鞠”的表面积为2429S R ππ==.故答案为：29π【题型专练】1．四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，,,AB AC AD 两两垂直，且AB =2AC =，3AD =，则球O 的表面积为________.2．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，且543PA AB BC ===，，，则这个“阳马”的外接球表面积为（）A ．5πB ．200πC ．50πD ．100π【答案】C【分析】把四棱锥P ABCD -补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥P ABCD -的外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积．【详解】把四棱锥P ABCD -补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥P ABCD -的外接球直径，设球半径为R ，则2222(2)50R PA AB BC =++=，球表面积为24π50πS R ==．故选：C ．3．正四面体S ABC -内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（）A ．4B ．3C 3D 【答案】C【分析】设正四面体的棱长为2a ，由正四面体几何性质得出a 与外接球半径R 的关系式，即可求比值M 4．在四面体ABCD 中，已知点E ，F 分别为棱AB ，CD 中点，且EF AB ⊥，EF CD ⊥，若2AB CD ==，2EF =，则该四面体外接球半径为__________．【答案】2【分析】根据四面体的对棱性质，结合长方体面对角线的性质，即可将四面体的外接球问题转化为长方体外接球问题，即可得半径.【详解】解：根据长方体的面对角线特点，则可构造长方体使得四面体ABCD 设长方体的长、宽、高分别为则2224b c AB +==，a EF ==的外接球半径为5．在半径为R 的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且直线,,AB AC AD 两两垂直，若,ABC ACD ADB △△，△的面积之和为6，则此球体积的最小值为______________．6．已知三棱锥A BCD -中，⊥AB 面902BCD BCD AB BC CD ∠==== ，，，则三棱锥的外接球的体积为___________.【详解】,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点，7.四面体A ﹣BCD 中，AB ＝CD ＝5，AC BD ==AD BC ==A ﹣BCD 外接球的表面积为_____．题型三：圆柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面圆的半径，h 为圆柱的高）【例1】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【题型专练】1.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为___________.故答案为：328.题型四：直棱柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，h 为棱柱的高）【例1】设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且1,120AB AC AA BAC ∠=== ，则该直三棱柱的体积是（）A．B．3C ．D ．3【例2】在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，AC =BC =14AA =，则该直三棱柱的外接球的表面积为_________.___________．圆柱12O O 的底面圆直径为2r 柱12O O 外接球的球心，设球可作出正六棱柱ABCDEF A -可将正六棱柱1ABCDEF A B -连接11O A 、11O B ，则111A O B ∠=则圆1O 的半径为111r O A A B ==正六棱柱1111ABCDEF A B C D E -设正六棱柱111ABCDEF A B C D -π【题型专练】1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,90AB BC AA ABC ===∠=︒，则此直三棱柱的外接球的体积是___________.2．若三棱柱111ABCA B C ﹣的底面是以AB 为斜边的直角三角形，1AA ⊥平面ABC，AB =14AA =，则三棱锥1A ABC -的外接球的表面积为_____．3．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,6BB BC BAC π∠===，则该三棱柱外接球的体积为__________.4．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，2BC =，AB BC ⊥，则点1A 到平面11AB C 的距离为______；若三棱锥111A A B C -的顶点都在同一个球面上，则该球体积为______．【详解】由题意，点1A 到平面11AB C 的距离可以看作三棱锥由于直三棱柱111ABC A B C -，故AA 11111111332A B C AA S =�创创22111162AA A C ,AB ,B +==1111122332AB C d S d =⨯=⨯⨯⨯ 题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（2222r P A R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，P A 为棱锥垂直于底面的棱）【例1】已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，ABC AD ⊥平面ABC ，AD ＝2，则球O 的表面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．8π【答案】D【分析】由正弦定理可得ABC 外接圆的半径，作图利用勾股定理可得四面体D ABC -的外接球的半径，即可求出球O 的表面积.【详解】ABC为等边三角形且其面积为1 2ABC的边长为3，设ABC外接圆的半径为由正弦定理可得322sin60r==，1r=平面ABC，AD＝2，1//O O AD，且取11= 2O O AD，【例2】已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，BC=PB＝PC＝3，PA⊥平面PBC，则三棱锥P－ABC 的外接球的表面积是（）A．40πB．43πC．45πD．48π故选：B.【例3】三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为直角三角形，AB BC ⊥，1AB BC ==，2PA =，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π则体对角线PC 所以2R PC ==故三棱锥-P ABC 故选：D 【题型专练】1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB DC ，AD AB ⊥，2DC =，1AD AB ==，直线PA 与平面ABCD 成45︒角.设四面体PBCD 外接球的圆心为O ，则球的体积为__________.66【分析】先证明出△PCD 和△PBC 均为直角三角形，得到O 点位置，可求得外接球的半径，可求其体积．∵直线PA 与平面ABCD 则∠PAD ＝45°，∴PD ＝又22PC CD PD =+=∴四面体PBCD 外接球的半径为2．在三棱锥A BCD -中，BD ⊥平面ADC ，2BD =，AB =AC BC ==，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________．AD 因为BD ⊥平面ADC ，AD ⊂所以BD AD ⊥，BD CD ⊥.因为2BD =，22AB =，所以因为2BD =，22BC =，所以在ADC △中，2AD =，CD =3．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，2AD =，3AB =，则该球的表面积为______.故答案为：16π4．我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，且3PA =，2BC =，AC =__________．则长方体的外接球的半径为22229344R PA AC BC =++=++=故2R =所以三棱锥-P ABC 外接球的表面积为故答案为：16π题型六：圆锥的外接球【例1】一个圆锥母线长为6，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为______________．【答案】43π【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而由题意可得，22()h R r -+所以，34R 433V ππ==．故答案为：43π．【例2】已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为4R ，该圆柱的全面积为（）A ．22R πB ．294RπC ．283RπD ．252Rπ易知△~CAB CPO ，故可得故圆锥的内接圆柱的全面积为：故选：B .【题型专练】1.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π设球的半径为R，则3432 33 Rππ=所以，1BD=，3AD=，CD AB⊥，则CAD ACD∠+∠又因为ADC BDC∠=∠，所以，所以，AD CDCD BD=，CD AD∴=因此，这两个圆锥的体积之和为题型七：棱台圆台的外接球【例1】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π【例2】已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为100π，则此圆台的体积为（）A ．84πB ．86πC ．2593πD ．2623π【答案】C【分析】根据旋转体的特点得到圆台的外接球的球心为圆台轴截面外接圆的圆心，然后结合题意得到7AB =，5OC =，4AC =，利用勾股定理得到3BD =，最后利用圆台的体积公式求体积即可.【详解】如图为圆台及其外接球的轴截面，O 为外接球球心，A ，B 为等腰梯形的下底和上底的中点，所以7AB =，【题型专练】1．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知侧棱都相等的四棱锥P ABCD -底面为矩形，且3AB =，BC =2，用一个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为1的刍童，该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（）．A ．16πB ．18πC ．20πD ．25π【答案】C【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】如图1，设棱台为1111ABCD A B C D -，如图2，该棱台外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意121O O =，22AO =，111A O =，1OA OA R ==，当O 在12O O 下方时，设2OO h =，则在2AOO 中，有：224R h =+（1），在11A OO 中，有：()2211R h =++（2），联立（1）、（2）得1h =，25R =，所以刍童外接球的表面积为20π．同理，当O 在12O O 中间时，设1OO h =，则有221R h =+，()2214R h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述：当刍童外接球的表面积为20π．故选：C2．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124A B AB ==，12AA =，则该棱台外接球的半径为（）A ．B ．3C D ．设0,2OG m ⎡⎤=∈⎣⎦，则()222228m R m ⎧+=⎪⎨-+⎪⎩设2OGm =>，则()222228m R m R ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩所以10=R ,故选：C.[解法2]同解法1，求得12CG GG ==则1CNC 为等腰直角三角形，四边形CGG 3．正四棱台高为2，上下底边长分别为，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．【答案】80π【分析】画出图形，设出未知数，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积【详解】如图所示，AB AD BC ==O 为外接球球心，设外接球半径为故答案为：80π题型八：正棱锥的外接球【例1】已知底面为正三角形、侧棱都相等的三棱锥的体积为2，其各顶点都在同一球面上．则该球的表面积为__________________．【答案】9π【分析】如图设底面边长为a ，根据锥体体积公式求a ，设1O 为正三角形ABC 的中心，则1SO ⊥平面ABC ，正三棱锥S ABC -的外接球的球心O 在1SO 上，在1Rt O AO V 中利用勾股定理即可求出R 的值，从而得到球O 的表面积．【详解】由条件可得该三棱锥为正三棱锥，作出其图象，如图所示：设AB a =，则AC a =，CAB ∠=【例2】已知正四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，其内切球的体积为6，则该正四棱锥的高为___________，外接球的表面积为___________.因为球O 与四棱锥相内切，所以由等体积法得：在PAD 中，22PA h =+，122PAD S =⨯⨯ 简得：2121h h +=-，解得，43h =，设正四棱锥外接球的半径为R ，外接球的球心为所以正四棱锥外接球的表面积为24π4πS R ==4289π【例3】点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为_____________．设BC a =，AH h =，OA R =根据题意可得133BCD S h ⨯=【题型专练】1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π2.正四面体S ABC -内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（）A4B 3C 3D 【答案】C【分析】设正四面体的棱长为2a ，由正四面体几何性质得出a 与外接球半径R 的关系式，即可求比值【详解】设正四面体的棱长为2a ，正四面体的外接球心为O ，ABC 的内心为M ，则SM ⊥平面ABC ，由AM ⊂平面ABC ，则SM AM ⊥，3．已知正四棱锥的侧棱长l为3，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，则该正四棱锥的体积是（）A．274B．814C．18D．27【答案】A【分析】根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可求解长度，进而由体积公式即可求解.【详解】如图，设正四棱锥的底面边长4.（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤）A ．8118,4⎡⎤⎢⎥B ．2781,44⎡⎤⎢⎥C ．2764,43⎡⎤⎢⎥D ．[18,27][方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a ，高为则2222l a h =+，2232(3a =+所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积13V Sh =题型九：侧面垂直于底面外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【例1】已知空间四边形ABCD的各边长及对角线BD的长度均为6，平面ABD⊥平面CBD，则空间四边形ABCD外接球的表面积为______.由平面ABD⊥平面CBD故AE⊥平面CBD，AE的投影为△【例2】）矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将ABCD 矩形折起，使面BAC ⊥面DAC ，则四面体A BCD-的外接球的体积为（）A ．1256πB ．1259πC ．12512πD ．1253π矩形ABCD 中，因为43AB BC ==，，所以5DB AC ==，设DB 交AC 于O ，则O 是Rt ABC 和Rt V 所以O 到点,,,A B C D 的距离均为52，所以5【例3】已知在三棱锥中，S ABC -中，BA BC ⊥，2BA BC ==，SA SC ==B AC S --的大小为5π6，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（）A ．56π3B ．58π3C ．105π4D ．124π9【题型专练】1.在三棱锥A BCD -中，平面⊥ABC 平面BCD ，ABC 与BCD △都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.【详解】的中点为,,M E F 分别是正三角形ABC 是该三棱锥外接球的球心，连接,AM DM 分别在,AM DM 上，OF ⊥平面BCD ABC ⊥平面BCD ，AM BC ⊥，平面⊥平面BCD ，所以//AM OF ，同理可得2．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，AM PC ⊥，M 为垂足，则下列命题正确的是（）A ．三棱锥M ABC -的外接球的表面积为8π.B ．三棱锥M ABC -的外接球的体积为C ．三棱锥P MAB -的外接球的体积为D ．三棱锥P MAB -的外接球的表面积为16π【答案】AC【分析】根据给定条件，取AC 中点1O ，证明点1O 到点,,,M A B C 的距离相等，计算判断A ，B ；取PB ，PC 的中点D ，E ，证明DE ⊥平面PAB ，再确定三棱锥P MAB -的外接球球心位置，并计算半径作答.【详解】在三棱锥-P ABC 中，取AC 中点1O ，连接11,BO MO ，如图，于是得DE ⊥平面PAB ，而因此该球的球心O 在直线令OD d =，即有R OM =在Rt PAC △中，12PE PC =在OEM △中，cos OEM ∠题型十：多面体外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【例1】半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体.它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它的棱长为2，则下列说法错误的是（）A ．该二十四等边体的外接球的表面积为16πB ．该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E ，满足关系式2V F E +-=C ．直线AH 与PN 的夹角为60°D ．QH ⊥平面ABE 记正方体体心为O ，取下底面ABCD 易知112OO BO ==，则外接球半径所以外接球的表面积2=416S R π=由欧拉公式可知：顶点数+面数又因为PN ∥AD ，易知直线AH 直线AH 与PN 的夹角为60 ，故故选：D【例2】如图，已知正方体的棱长为1，1O ，2O 分别为正方体中上、下底面的中心，3O ，4O ，5O ，6O 分别为四个侧面的中心，由这六个中心构成一个八面体的顶点，则（）A ．直线13O O 与直线24O O 所成角为60︒B ．二面角1345O O O O --CD ．这个八面体外接球的体积为π6【答案】ACD 【分析】A.根据几何关系，将异面直线所成角，转化为相交直线所成角；B.构造二面角的平面角，再根据余弦定理求解，转化为正切值；C.根据几何体的特征，计算一个等边三角形的面积，再求八面体的表面积；D.由几何体确定外接球的球心和半径，再求外接球的体积.【详解】A.连结1235O O O O ，，交于点O ，由正方体的性质可知，点O 平分1235O O O O ，，所以四边形1325O O O O 是平行四边形，所以1325//O O O O ，所以直线13O O 与直线24O O 所成角为425O O O ∠,因为八面体的由8个全等的等边三角形构成，所以42560O O O ∠= ，故A 正确；B.取34O O 的中点M ，56O O 的中点由图可知，八面体的表面是所以134O M O O ⊥，MN O ⊥所以1O MN ∠是二面角1O O -2【例3】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（）A ．DE ⊥平面ABCB ．直线DE 与GH 所成的角为60°C ．该截角四面体的表面积为D ．该截角四面体的外接球半径为4选项B ，由题意//,//DE AJ GI 与GH 所成角为60 ，正确；选项C ，由题意，截角四面体由所以其表面积为23414S =⨯⨯选项D ，如下图所示，取上下底面的中心分别为故选：BCD【题型专练】1．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，EF 平面,4ABCD EF =，其余棱长都为2，则这个几何体的外接球的体积为（）A ．3B ．16π3C ．D ．32π3【答案】D【分析】由题意可知直线EF 在底面ABCD 上的射影即为,AD BC 的中点,N G 的连线所在直线,连接,AC BD 交于点M ，取EF 的中点O ，计算求得2OA OB OC OD OE OF ======，说明几何体的外接球的球心为O ，确定半径，根据球的体积公式即可求得答案.【详解】由题意在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，EF 平面,4ABCD EF =，其余棱长都为2，可知直线EF 在底面ABCD 上的射影即为,AD BC 的中点,N G 的连线所在直线,2NG =,连接,AC BD 交于点M ，则为,AC BD 的中点，取EF 的中点O ，四边形,ABFE CDEF 为全等的等腰梯形，则,OA OC OB OD ==，故,OM AC OM BD ⊥⊥,,,AC BD M AC BD =⊂ 平面ABCD ,由题意得，11()(42)21,2HF EF NG=-=-= 22312,HG FG HF OM HG∴=-=-=∴=222OA OM AM∴=+=，同理OB OC==2,OE OF OA OB OC OD OE==∴====2．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列说法正确的是（）A．勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是(8πB．勒洛四面体ABCD内切球的半径是4C．勒洛四面体的截面面积的最大值为2π-D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-对于B ，由对称性知,勒洛四面体正BCD △外接圆半径1O B ABCD 的外接球半径为R 在1Rt BOO 中,2263R ⎛= ⎝此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：对于C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，由对()max 223Sπ=-截，故C正确；对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的面体ABCD能够容纳的最大球的半径为。

高考数学第一轮复习第39讲球与球面距离

第39讲球与球面距离[基础篇]一、球：将圆心为O 的半圆绕其直径AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，把点O 称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径．补充：（1）球的表面积：24S r π=（r 是球的半径）（2）球的体积：343V r π=球（r 是球的半径）二、球面距离：（1）概念：球面上联结两点最短路径的长度就是球面上两点的球面距离；【补充】① 球心到球面上任意点的距离都相等；② 任意平面与球面的交线都是圆；当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆.【补充】求体积的常见方法有：①直接法（公式法）；②割补法；③转化法（等体积法）；割补思想和转化思想是解决体积问题的常用技巧. 其中，等体积法还经常用来求点到平面的距离或几何体的高.【补充】在联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两点的球面距离；所以，求两点之间的球面距离，首先要找到经过这两点的大圆，然后求大圆的劣弧长，而这往往需要求出两点之间的线段距离.三、球面距离：1、球的截面：用一个平面去截一个球，截面是圆面.过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆。

2、经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。

纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。

[技能篇]题型一：球的概念：例题1-1（1）已知球的直径为8cm ，那么它的表面积为__________，体积为___________（2）已知球的表面积为144π2cm ，那么它的体积为___________（3）已知球的体积为36π，那么它的表面积为__________（4）如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为__________例题1-2（1）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的体积为（2）已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积。

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则正三棱锥 S − ABC 外接球的表面积是
.
3、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6 、 4 、 3 ，那么它的外接球的表面积是
第二节侧棱垂直于底面位置关系：如图，可补成柱体求解。
数据关系：设三棱锥的底面外接圆半径为 r （用正弦定理可求得），侧棱长即高为 h，球的半
径为 R，这时有2�� = √4��2 + ℎ2。例题
。
2
3、《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 P − ABC 为鳖臑，
PA ⊥ 平面 ABC ， PA = AB = 2 ， AC = 4 ，三棱锥 P − ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O
的表面积为
。
第三节对棱相等的三棱锥位置关系：如图 2-1，可补成长方体求解。数据关系：设出长方体的长宽高分别为 a, b, c ， AD = BC = x ，
第一讲球与柱体
第一节球与正方体（1）正方体的内切球，如图 1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为 a ，球的半径为 R，这时有 2R= a .
（2）正方体的外接球，如图 2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为 a ，球的半径为 R，这时有2�� = √3��.
第三节球与直柱体
直柱体的外接球，如图.
A1
位置关系：直棱柱的所有顶点在同一个球面上；直棱柱的外接球与该
棱柱外接圆柱体有相同的外接球；数据关系：设直柱体的底面外接圆半径为 r （用正弦定理可求得），侧 A
棱长即高为 h，球的半径为 R，这时有2�� = √4��2 + ℎ2。
C1
O2
B1Fຫໍສະໝຸດ OO1 BC E
图3-1
例题
1、棱长为 1 的正方体内有一个球与正方体的 12 条棱都相切，则球的体积为
。
2、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积为（）.
A. 16π
B. 20π
C. 24π
D. 32π
3、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
P
P
P
c
c
c
c
A
b
C
a
B
A
C
b
a
B
C
b
A
a
B
B
b
a
A
C
图1-1
图1-2
图1-3
图1-4
数据关系：找三条两两垂直的线段，直接用公式 (2R)2 = a2 + b2 + c2 ，这时有 2R = a2 + b2 + c2 。例题
1、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是
2、在正三棱锥 S − ABC 中，M、N 分别是棱 SC、BC 的中点，且 AM ⊥ MN ,若侧棱 SA = 2 3 ,
（3）正方体的棱切球，如图 3. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为 a ，球的半径为 R，这时有2�� = √2��..
第二节球与长方体长方体的外接球，如图 2. 位置关系：长方体的八个顶点在同一个球面上；长方体中心与球心重合；数据关系：设长方体的长宽高分别为��、��、��，球的半径为 R，这时有2�� = √��2 + ��2 + ��2。
球
一、有关定义 1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球. 2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个
球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球
在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. 2.结论：结论 1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论 2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论 3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆
且该六棱柱的高为，底面周长为 3，那么这个球的体积为 _________ ．
4、直三棱柱 ABC − A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若 A=B A=C A= A1 2 , ∠BAC =120° ，则
此球的表面积等于
.
第二讲
第一节三条棱两两垂直位置关系：如图，可补成长方体求解。
柱体模型
P
的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 二、外接球的有关知识与方法 1.性质：
性质 1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质 2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质 3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质 4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质 5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：
心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论 4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论 5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论 6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论 7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论 8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论 9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 3.求边角关系：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；
1、已知球 O 的面上四点 A 、B 、C 、D ，DA ⊥ 平面 ABC ，AB ⊥ BC ，A=D A=B B=C 3 ，
则球 O 的体积为
。
2、四棱锥 P − ABCD 的底面为正方形 ABCD ， PA ⊥ 底面 ABCD ， AB = 2 ，若该四棱锥的所
有顶点都在体积为 9 π 的同一个球面上，则 PA 的长为