高中数学 球的概念与性质
高中数学必修二-球-
圆叫大圆；
3.当 d增大时，截面圆越来越小，
当 0 d 时 R，截面是小圆，
当 d时，R 截面圆缩为一个
点，这时截面与球相切．
O
Rd r O'
P
课堂练习
口答
1．A.B 为球面上相异两点，则通 过A.B两点可作球的D大圆有（ ）
A．一个 B．无穷多个
纬度—— P点的纬度，也是 或 POA 的度数，即:
某地的纬度就是经过这点的球半径和赤道平面所成的 角度．
球面距离
C D
A
B
两点间的球面距离
Q P
直观的发现：过P,Q的圆中，半径越大， 在P,Q之间的劣弧的长越小！
定义
球面距离
球面距离：球面上两点
A.B之间的最短距离，就
是经过A.B两点的大圆在
这两点间的一段劣弧AB
的长度，我们把这个弧长
叫做两点的球面距离
B
R
O RA
距离公式： l R
（其中R为球半径， 为A,B所对应的球心角的弧度数 ）
1.位于同一经线上两点的球面距离
例1.求东经 57线上, 纬度分别为北纬 38 和 68
的两地A ，B的球面距离.(设地球半径为R).
N
解 EOB EOA
球心
球的性质
性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去
截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心, 半径等于球半径；小圆--截面不过球心
性质2: 球心和截面圆心的连线垂 直于截面.
性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r
A
有下面的关系:
高考数学关于球的知识点
高考数学关于球的知识点在高考数学中，涉及到球体的知识点是较为常见和重要的内容之一。
球体作为一种几何体，具有独特的性质和特点，对于高考来说是必须掌握和理解的知识。
本文将针对高考数学中关于球的知识点进行详细的阐述，希望能够给广大考生带来一些帮助。
一、球的基本概念球是由空间中一点到距离不超过该点到一定正实数为半径的所有点组成的集合。
在数学中，我们用O表示球心，用r表示球的半径。
球表面的所有点到球心的距离都等于半径r，这就是球体的特点。
二、球的性质和运算1. 球的面积和体积球的表面积S和体积V是球的重要性质。
我们可以根据球的半径r计算球的表面积和体积。
球的表面积公式为：S = 4πr²球的体积公式为：V = 4/3πr³2. 球的三视图绘制球的三视图是常见的考点之一。
我们可以通过将球投影到不同的平面上，得到球的正视图、侧视图和俯视图。
球的正视图是一个圆，从正方向看，我们可以看到球的全貌。
球的侧视图是一个点，从侧方向看，只能看到球心。
球的俯视图也是一个圆，从上方向看，可以看到球正上方的面。
3. 球与平面的相交当球与平面相交时，几何问题的解决方法和技巧就会不同。
根据球与平面的相交情况，可以分为以下几种情况：当球与平面相交于一个圆时，我们可以通过求圆的面积和周长等性质来解决问题。
当球与平面相交于两个点时，我们可以通过求两点的距离来解决问题。
当球与平面相切时，我们可以通过求切点的坐标和距离来解决问题。
当球与平面没有交点时，我们可以通过球心到平面的距离来解决问题。
4. 球的旋转体当球沿着某条轴线进行旋转时，我们可以得到球的旋转体。
通过对球的旋转体进行计算，可以求出球的体积和表面积等值。
三、球的应用问题球的知识点在高考数学中有着广泛的应用，不仅在几何题目中常常出现，也涉及到其他学科和领域的问题。
1. 球的容器问题在物理学和工程学中，常常遇到需要计算球的容器问题。
例如，如何选择球形容器的大小，能够完美地容纳某种物质体积，又或者是球形容器与其他形状容器的比较等等。
高中数学中的球体表面积计算
高中数学中的球体表面积计算在高中数学中，我们学习了许多几何形体的性质和计算方法。
其中，球体是一个非常重要的几何形体，它在现实生活中有着广泛的应用。
而球体的表面积计算是我们在学习数学的过程中需要掌握的一个重要技巧。
首先，我们来回顾一下球体的定义。
球体是由所有与一个给定点的距离小于或等于一个给定常数的点组成的集合。
这个给定点被称为球心，给定常数被称为半径。
球体是一个三维的几何形体，具有很多独特的性质。
要计算球体的表面积，我们可以利用球体的性质和一些数学公式。
首先，我们知道球体的表面由无数个小的面元组成，这些面元可以看作是无数个小的三角形。
我们可以将球体划分为许多小的面元，然后计算每个面元的面积，最后将所有面元的面积相加，就可以得到球体的表面积。
为了计算每个面元的面积，我们可以利用球体的半径和一些三角函数。
假设球体的半径为r，我们可以将每个面元看作是一个等腰三角形，其中两边的长度为r，底边的长度为弧长。
根据三角函数的定义，我们可以得到等腰三角形的面积公式：面积 = 1/2 * 底边 * 高。
在球体中，底边就是弧长，而高可以通过勾股定理计算得到。
假设弧长为l，我们可以利用勾股定理得到高的长度：高= √(r^2 - (l/2)^2)。
现在，我们已经得到了每个面元的面积公式，即：面积= 1/2 * l * √(r^2 -(l/2)^2)。
为了计算整个球体的表面积，我们需要将所有面元的面积相加。
由于球体的表面由无数个小的面元组成，我们可以使用积分的方法来计算表面积。
通过对面积公式进行积分，我们可以得到球体的表面积公式：S = 2πr^2，其中S表示球体的表面积，π是一个常数，约等于3.14159。
这个表面积公式可以很方便地应用于实际问题的计算。
例如，如果我们知道球体的半径，我们可以直接将半径代入公式中，计算得到球体的表面积。
这个公式也可以用于解决一些有关球体表面积的问题，例如给定球体的表面积，求解球体的半径等。
高中数学 球的概念
B
二、球的截面
R C A r
d D B
性质：1.球心和截面圆心的连线垂直于截面； 2.球心到截面的距离d与球的半径R以及截面圆半径 r 有下面关系： R 2 = r 2 + d 2； 3.与球心距离相等的截面所截得的圆相等。距球心越近，截面圆越大。
三、球的大圆和小圆
d
o
大圆：球面被经过球心的平面所截得的圆 叫做大圆。（d=0 ） 小圆：球面被不经过球心的截面所截得的
2、已知球面上两点A与B的球面距离为5 cm，过这两点的 两条球半径的夹角为AOB=50o，则这个球的半径为______. 18cm 3、过半径为6cm的球的一条半径的中点作一个垂直于该半径
的平面，所得的截面面积为____________. 27 cm2
4、正方体的8个顶点在半径为1的球面上，则此正方体的棱 长为____________. 5、A、B是半径为R的球面上的两点，它们的球面距离为R/2， 则过A，B的平面中，与球心的最大距离为_______.
圆叫做小圆。（0dR ）
（附：当d=R时，平面与球相切）
练习：如果把地球看作是一个球体，请你说出由经纬线所构成的大圆有哪些？
四、球面距离
P O Q
练习： 1、判断正误：（对的打√，错的打×） （1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。 （2）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。 （3）球半径是5，截面圆半径为3，则球心到截面 所在平面的距离为4。 （√ ） （4）球的任意两个大圆的交点连线是球的直径。（√） ） × （ ） × （
球
一、球的概念：
1、球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。
（另一定义：与一定点的距离等于一定值的点的集合叫做球面。）
高中圆形知识点总结大全
高中圆形知识点总结大全圆形是几何形状中的一种，是由一系列点到一个固定距离的集合构成的。
在数学中，圆形是一个非常重要的概念，它有着许多重要的性质和应用。
本文将对圆形的相关知识点进行总结，涵盖了圆形的基本概念、性质、相关定理和实际应用等方面。
一、基本概念1. 圆的定义圆是平面上与一定点的距离相等的所有点的集合。
2. 圆的元素圆的元素包括圆心、半径、直径、弦、弧、切线等。
3. 圆的相关量圆的相关量包括圆的周长、面积等。
其中，圆的周长C和面积S的计算公式分别为C=2πr，S=πr²。
4. 圆的坐标表示圆可以用坐标系表示，通常以圆心为原点(0,0)、以半径r来表示。
圆的标准方程为x²+y²=r²。
5. 圆的方程圆的方程有标准方程、一般方程和参数方程等形式，它们可以描述不同情况下的圆。
6. 圆的切线和切点圆上的一条直线与圆只有一个公共点时，这条直线称为圆的切线，而公共点称为切点。
二、性质1. 圆的性质圆的性质包括对称性、等量性、直径的性质、圆心角及弧长的关系等。
2. 圆的交点两个圆的交点数可能为零、一个或两个，并且交点不一定在圆的周长上。
3. 圆内接四边形圆内接四边形的特点是其对角线互相垂直，而且两对角平分线相交于圆心。
4. 圆的中点定理圆上任意两点的连线经过圆心的垂直平分。
5. 圆的切线性质切线与半径的夹角为直角，并且切点与圆心与切线上的这三点在一条直线上。
6. 圆的相似相似圆的半径成正比，周长成正比，面积成正比。
7. 圆锥曲线与圆圆锥曲线与圆有着紧密的联系，如抛物线、椭圆、双曲线及其公共焦点等概念与圆有着重要的联系。
三、相关定理1. 弧长公式弧长公式为L=rθ，其中L为弧长，r为半径，θ为弧度。
2. 弧度制弧度是描绘圆周上弧所对的圆心角的测度单位，弧度制是角的度量单位。
3. 圆心角、圆周角和对应弧圆中可有无数的圆心角、圆周角，它们的性质对于研究圆形有着重要的意义。
解析高中数学中的球面几何与空间投影
解析高中数学中的球面几何与空间投影在高中数学中，球面几何与空间投影是一个重要的内容。
它们不仅有着广泛的应用，还有着深刻的数学原理和几何性质。
本文将对球面几何和空间投影进行解析，探讨它们的基本概念、性质以及应用。
一、球面几何的基本概念与性质球面几何是研究球面上的几何性质和变换的数学学科。
球面几何的基本概念包括球面、球心、球半径等。
球面上的点到球心的距离都相等，这是球面几何的基本性质之一。
另外，球面上的任意两点都可以通过球心连线确定一条弦，球面上的弦的长度是球心到球面的距离的两倍。
这些性质为我们研究球面上的几何变换提供了基础。
在球面几何中，我们经常遇到的一个问题是求球面上两点之间的最短距离。
根据球面上的弦的性质，我们可以通过求两点的弦长来得到最短距离。
当两点在球面上的连线通过球心时，最短距离为球面上的弦长；当两点在球面上的连线不通过球心时，最短距离为球面上的弦长与球心到连线的距离之和。
除了最短距离的求解，球面几何还有许多其他的应用。
例如，地理学中的地球表面的测量和地图的绘制，都涉及到球面几何的知识。
此外，球面几何还可以用于计算天体的运动轨迹、计算地球上两点之间的航线距离等等。
二、空间投影的基本概念与性质空间投影是指将三维空间中的点映射到二维平面上的过程。
在空间投影中，我们常常使用的是平行投影和中心投影。
平行投影是指将三维空间中的点沿着一个方向投影到平面上，投影后的点与原点之间的距离保持不变。
平行投影的基本性质是保持平行关系和长度比例不变。
例如，在地图绘制中，我们常常使用的是平行投影，将地球表面的点投影到平面地图上。
中心投影是指将三维空间中的点沿着一个点投影到平面上，投影后的点与原点之间的距离发生变化。
中心投影的基本性质是保持角度关系和长度比例不变。
例如，在透视画中，艺术家常常使用中心投影来表现空间的立体感。
空间投影在几何学、工程学和艺术等领域都有广泛的应用。
它不仅可以用于建筑设计、机械制图等实际问题的解决，还可以用于艺术作品的创作和视觉效果的表现。
高中数学中的球体体积计算
高中数学中的球体体积计算在高中数学中，我们经常会遇到求解球体体积的问题。
球体是一种非常特殊的几何体，它具有很多独特的性质和特点。
通过学习球体的体积计算方法，我们可以更好地理解几何学中的一些基本概念和原理。
首先，我们需要了解球体的定义和性质。
球体是由所有到一个给定点的距离不超过一个给定长度的点的集合组成的。
这个给定点叫做球心，给定长度叫做半径。
球体具有对称性，即球心到球体上任意一点的距离都相等。
接下来，我们来讨论如何计算球体的体积。
球体的体积可以通过以下公式来计算：V = (4/3)πr³，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示半径。
这个公式是由数学家阿基米德在古希腊时期首次提出的。
这个公式的推导过程相对复杂，但我们可以通过一些简单的方法来理解它。
首先，我们可以将球体划分为无数个小的体积元素，每个体积元素都是一个小的球体。
然后，我们可以通过求解这些小球体的体积之和来得到整个球体的体积。
当我们将这些小球体的体积之和求极限时，就可以得到球体的体积公式。
在实际应用中，我们经常需要计算球体的体积。
例如，在建筑设计中，如果我们需要设计一个球形的建筑物，就需要计算球体的体积来确定建筑物的大小和空间分配。
在物理学中，球体的体积计算也经常被用于计算物体的密度和质量。
除了球体的体积计算，我们还可以进一步探讨一些相关的问题。
例如，如果我们已知球体的体积，我们可以通过反推来计算球体的半径。
同样地，如果我们已知球体的体积和半径，我们也可以计算球体的表面积。
这些问题都可以通过数学公式和几何原理来解决。
在实际问题中，我们还经常遇到一些特殊的球体体积计算问题。
例如，如果一个球体被切割成两个部分，我们可以通过计算每个部分的体积之和来得到整个球体的体积。
同样地，如果一个球体被放置在一个容器中，我们可以通过计算容器的体积减去球体未被占据的部分的体积来得到球体的体积。
总之，高中数学中的球体体积计算是一个重要的概念和技巧。
通过学习球体的定义、性质和计算方法，我们可以更好地理解几何学中的一些基本原理和应用。
人教版高中数学必修二《球的体积及表面积》
证明:设球的半径为R,则圆柱的底面 半径为R,高为2R.
R
O
（1） S球 4 R 2
2
4 3 R S圆柱全 2 R +2 R 2 R （2） V球 3 2 6 R V圆柱 R 2 2R 2 R 3 2 S 球 S圆柱全 2 V球 V圆柱 3 3
A1
（ 3） D1 C1
O
（ 1）
（ 2）
B1
A （ 4） （ 5） （ 6） B
D
C
（ 7）
（ 8）
（ 9）
类型二、有关球的切、接问题
变式2、在三棱锥S ABC中，SA AB AC 1， BAC SAC =SAB 90, 则三棱锥的外接球的表面积为
S
？
O A C
B
球的体积及表面积
复习
球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半 圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
A O
（1）半圆的半径叫做球的半径。 半圆的直径叫做球的直径。 （2）半圆的圆心叫做球心。
半径
（3）球的表示： 用表示球心的字 球心 母表示，如球O
B
知识拓展
球的概念：在空间中 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合，叫做 球体 ？简称球． 与定点距离等于定长的 点的集合叫做 球面 ． C A R O
类型二、有关球的切、接问题
变式3、在三棱锥S ABC中，SA BC =2， SB=AC 3，SC=AB= 5 则三棱锥的外接球的体积为
A S B1
O
？ A A1 C S1 A D C
D1
C B
B
C
课堂小结
半径（直径） 球心 1、球： 表示：球O
高中内切球知识点总结
高中内切球知识点总结一、内切球概念及性质内切球通常指一个几何图形内部与该图形的每一条边或面都相切的球；或指一个凸多面体内与每个面都相切的球。
在高中数学中，我们通常研究的是平面图形的内切圆和立体图形的内切球。
1. 内切球的定义内切圆：对于一个给定的平面图形，如果存在一个圆，使得该圆恰好与这个图形的边界相切，那么我们称这个圆为这个图形的内切圆。
内切球：对于一个给定的凸多面体，如果存在一个球，使得该球恰好与这个多面体的每个面相切，那么我们称这个球为这个多面体的内切球。
2. 内切球的性质（1）内切球与多边形的关系内切圆与圆内接多边形的面积关系：对于一个正多边形，其内切圆的半径r、多边形的边长a和面积S的关系为：S = πr² = 1/2 * a * r * n（n为边数）内切球与圆锥体的关系：对于一个圆锥体，其内切球与底面和侧面的关系为：r = 1/3 * h （r为内切球的半径，h为圆锥体的高）内切球与立体图形的关系：对于一个立体图形，其内切球的体积一般为4/3πr³，而其立体图形的体积为（4/3πr³） = 1/3 * 原立体图形的体积（2）内切球的作用在实际生活中，内切球有很多实际应用，比如在工程结构中，内切球可以用来计算空心圆柱体的体积；在建筑设计中，内切球可以用来计算建筑物内部的空间利用率等。
二、内切球相关定理和性质内切球相关定理和性质是指与内切球相关的一些数学定理和性质，这些定理和性质在解决内切球问题时起到了重要的作用，通常在高中数学中会涉及到下面这些内切球相关定理和性质：1. 内切球定理关于内切圆和多边形的定理：对于一个正多边形，其内切圆的半径r、多边形的边长a和面积S的关系为：S = πr² = 1/2 * a * r * n（n为边数）。
2. 内切球性质关于内切球和圆锥体的性质：对于一个圆锥体，其内切球与底面和侧面的关系为：r = 1/3 * h（r为内切球的半径，h为圆锥体的高）。
高中数学中的解析几何中的球面
高中数学中的解析几何中的球面解析几何是数学中的一个重要分支，其中的球面是一个常见的几何图形。
本文将就高中数学中的解析几何中的球面进行探讨。
一、球面的定义和性质球面是以一个定点为球心，一个定数为半径所确定的空间图形。
球面上的每一个点到球心的距离都等于半径，这是球面的基本性质。
二、球面的方程和参数方程球面的方程可以用一元二次方程表示，其一般方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2其中，(a, b, c)为球心的坐标，r为半径。
这是球面的一般方程。
另外，球面还可以用参数方程来表示。
常见的参数方程有：x = a + r*sinθ*cosφy = b + r*sinθ*sinφz = c + r*cosθ其中，θ和φ分别是球面上的两个参数。
三、球面与其它几何图形的关系球面与直线的关系：若一条直线与球面相交，那么直线的方程必须满足球面方程。
球面与平面的关系：一个平面与一个球面相交得到的曲线被称为截折线，当平面与球面相切时，截折线就是一个点。
球面与球面的关系：两个球面的位置关系可以分为四种情况：相离、相切、相交和同心球。
四、球面的应用球面在现实生活中有着广泛的应用。
以下是球面在几个领域的具体应用：1. 天文学：地球可以近似看作一个球面，球面的性质和方程可以帮助我们研究地球的地理和气象现象。
2. 地图制作：地球的表面被投影到一个平面上来绘制地图，这就涉及到了球面与平面的关系，球面的几何性质也被用来进行地图的测量和计算。
3. 球体的表面积和体积：球面的性质可以帮助我们计算球体的表面积和体积，这在工程学和物理学中有着重要的应用。
4. 计算机图形学：计算机图形学中的三维建模和渲染需要用到球面的方程和参数方程，以及球面与其他几何图形的相交关系。
五、总结解析几何中的球面是一个重要的几何图形，具有许多有趣的性质和应用。
通过学习球面的方程和参数方程，以及与其他几何图形的关系，可以加深对解析几何的理解。
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半圆以它的直 与定点的距离 径为旋转轴，旋转 等于或小于定长的 与定点的距离 所成的曲面叫做 球 点的集合叫做 球体 ， 等于定长的点的集 面 。 简称 球。 合叫做 球面。
集合的定义
旋转的定义
球体与球
面的区别？
球的截面的
形状？
两点间的球面Biblioteka 离Q0P在球面上， 两点之间的最短 距离，就是经过 这两点的大圆在 这两点间的一段 劣孤的长度。
练习：
1. 在 120 的二面角内放一半径为5的球，分别切二 面角两个半平面于点A、B，那么这两个切点在球面 上的最短距离为__________________.
小结：
1：球的概念，球截面的性质 2：球面上两点间的距离 3：正确运用已有的知识发现 并归纳出球的概念和性质
地球的经度与纬度
例1．已知下列命题：
① 空间中，到一定点距离等于定长的点的集合 是球面； ② 过球面上不同的两点只能作一个大圆； ③ 球面上两点A，B间的最短距离是过A，B两点 的大圆的劣弧长。 其中假命题的个数是------------（ ）
（A）0.
（B）1.
（C）2.
（D）3.
例2. 有一地球仪的半径是8cm的球面上有A、B、C 三点，平面ABC∥赤道平面，AB=BC=CA=12cm,
① 求球心到经过这三点的截面的距离.
② 求点A所在的纬度.
③ 求A、B两点的经度差.
④ 求A、B两点的纬线长. ⑤ 求A、B两点的球面距离.
例3. 把地球当作半径为R的球，地球上的两点 ，A、B点间的球 A，B的纬度都是北纬
1 面距离为 πR ，A在东经 20 处，求B点 3
45
的位置及A、B两地间的纬线长.