基于有序子集加速拆分算法的三维CT图像重建_谌湘倩

∇ L( x)≈ ML1 ( x)≈ ML 2 ( x)≈ ⋯ ≈ ML M ( x)
有助于子集梯度近似 L 的梯度。由于 g 为二次型， 其近端映射为线性， 故简单闭合形式解可表示为： ρ (k + 1) (k + 1) (k) u = （11） ( Ax - d ) + 1 y ρ+1 ρ+1
d 的更新如下： u
0
引
言
惩罚型最小二乘内部问题， 再使用快速傅里叶变换 （FFT） 算 法 和 软 阈 值 l1 范 数 的 近 端 映 射 能 够 有 效 解 决 该问题。然而， 类似于 X 射线 CT 图像重建的应用程序 中， 统计加权的巨大动态范围造成了 Hessian 矩阵高度 平移， 导致内部最小二乘问题非常具有挑战性 [1]。为了 解决该问题， 文献 [3]引入了分离平移变量和加权二次数
质量的潜力， 图像重建的统计方法已广泛应用于计算机 计算时间长是实践应用中的最大瓶颈。为了加速统计 方法， 已经有很多学者研究其优化技术， 例如， 文献 [2]的 替方向变型） 使用两个拆分求解正则化逆问题， AL 方法
收稿日期： 2015⁃09⁃17
由于获取较低剂量 X 射线的 CT 扫描具有保持图像
数代替缩放增广拉格朗日中的二次型 AL 惩罚项， 得到一种简单有序子集 （OS） 加速型拆分算法 （OS⁃ASA） ， 避免了繁琐的参
Three⁃dimensional CT image reconstruction based on accelerated splitting algorithm
（1. Department of Computer Science and Technology，Henan Institute of Technology，Xinxiang 453002，China； 2. College of Information Engineering，Jiangnan University，Wuxi 210034，China）
scaled in the AL to obtain a simple accelerated splitting algorithm of ordered⁃subsets（OS⁃ASA） ，which can avoid the tedious pa⁃ rameter tuning and speed up the convergence rate. The experimental results show that the algorithm significantly accelerates the sets are used. convergence speed of CT image reconstruction. The OS artifacts can be reduced by CT image reconstruction when the more sub⁃ Keywords：three⁃dimensional image reconstruction；computed tomography；Lagrangian；ordered subset；least square
(k + 1)
（10）
迭代 ：
ρ 2 Ax - u - d 2 （3） 2 按照 d 的梯度增加， 产 生 下 列 AL 相对于 x 和 u ，
[2]
2 ρ - u - d ïx ∈ arg min x 2 2 ï ρ (k + 1) (k) í (k + 1) g(u) + Ax - u - d ïu ∈ arg min u 2 ï (k + 1) (k) (k + 1) (k + 1) îd = d - A x + u



2
（7）
ian Method， LALM） 求解正则化 （加权） 最小二乘问题， 优 OS 加速型拆分算法 （OS⁃ASA） 。为了进一步加速， 使用
化了二次 AL 惩罚项， 代替了平滑数据拟合项， 在缩放增
式 （7） 。当 S + = A ′A 时， LALM 则为标准 AL 方法， 优化对角 矩阵产生更加简单的 x ⁃更新， 对应的 LALM 迭代如下[8]：
2 ̂k ( x ; x(k) )≜ θ k ( x(k) ) + ∇ θ k ( x(k) ), x - x(k) + ρL x - x(k) θ 2 2 2 ρ (k) (k) (k) (k) = x - ( x - tA′( Ax - u - d )) + 2t 2 (constant independent of x) （6）
{
{
}

}
2 2
（8）
2 2
1
本文提出的 OS⁃加速拆分算法
即 g(u)≜(1 2) y - u ， 将 g 限制为二次损失函数， 则最小化问题 （1） 变为正则化最小二乘问题：
̂ ∈ arg min x Ψ ( x)≜ 1 y - A x + h( x) x 2 2
2
首先考虑一个普通复合凸优化问题： 式 （1） 的等效约束最小化问题为：
式 中 ，L > A 2 = λ max ( A ′A) 确 保 LI - A ′A > 0 和 t ≜1 L ， 该函数满足 “优化” 条件：
̂k ( x ; x ìθ ˉ) θ k ( x), ∀ x, x ˉ ∈ Dom θ k í̂ θ ( x ; x ) = θ ( x ), ∀ x ∈ ˉ Dom θ k k ˉ î k ˉ ˉ
̂k ( x ; x(k) ) ìx(k + 1)∈ arg min ϕ k ( x)≜ h( x) + θ x ï ï (k + 1) ρ (k + 1) (k) íu ∈ arg min g(u) + Ax - u - d u 2 ï ï (k + 1) (k) (k + 1) (k + 1) îd = d - A x + u
Abstract：Since the computing time of statistical method in CT （computed tomography） reconstruction process is long，a
The method takes full advantage of the fast convergence speed when the augmented Lagrangian （AL） method of the linear con⁃
三维 CT 图像重建方法。该方法充分利用线性约束凸优化问题的增广拉格朗日 （AL） 方法在较弱条件下的收敛速度快的优
数调整， 可快速收敛。实验结果表明， 该文算法显著加快了 CT 图像重建的收敛速度， 当使用子集较多时， CT 图像重建可以 减少 OS 伪影。 关键词：三维图像重建；计算机断层扫描；拉格朗日；有序子集；最小二乘 中图分类号：TN919⁃34；TP391 文献标识码：A 文章编号：1004⁃373X （2016） 06⁃0104⁃04
条件下的最小二乘问题。实验结果表明， 该方法显著加 在具有锥形束几何形状的 3⁃D CT 速了 2⁃D CT[3]。然而， 中， 为内部最小二乘问题构建预处理器更加困难。有序 子集 （Ordered⁃subsets， OS） 算 法 [4] 是 一 种 具 有 对 角 预 处
通过引入辅助变量可以分离非光滑 l1 正则项， 得到简单
基金项目： 河南省教育厅科学技术研究重点项目 （14A520046） ； 河南省高等学校重点科研项目 （15B520006）
理器的一阶方法， 使用较小的步长， 但非常简单， 适用于
第6期
谌湘倩 ， 等： 基于有序子集加速拆分算法的三维 CT 图像重建 可将二次代理 （SQS） 函数分离为：
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3⁃D CT。通过集合投影为满足 “子集平衡条件” 的M个 有序子集， 并使用 M 个子集梯度增量更新图像， 与标准 梯度下降方法的每次外部迭代的图像更新一样多， 从而 导致标准梯度下降法早期迭代 M 次加速。当在约束条 件下随机选择子集使子集梯度无偏置且具有有限方差 时， 也可以称为随机梯度方法 [5]。当 M 增加时， 快速 OS 但它可以通过使用松弛动量减小， 即增长的对角优化器 （或等价地， 递减步长） ， 以较慢的收敛速度为代价 [6]去除 差和近侧映射计算中对误差更敏感。 伪影。文献 [7]的研究表明， 加速近端梯度方法在梯度误 本文使用线性 AL 方法 （Linear Augmented Lagrang⁃ 算法有 “更大的” 限制周期， 并在重建图像中出现伪影，
谌湘倩 1，马绍惠 1，须文波 2
（1.河南工学院 计算机科学与技术系，河南 新乡 摘 453002； 2.江南大学 信息工程学院，江苏 无锡 210034） 要：针对计算机断层扫描 （CT） 重建过程中统计方法计算时间较长的问题， 提出一种利用有序子集加速拆分算法的
势； 同时针对内部最小二乘问题， 使用 AL 方法的线性变形求解加权正则化最小二乘问题， 该方法使用可分离二次型代理函
CHEN Xiangqian1，MA Shaohui1，XU Wenbo2
of ordered subsets
three⁃dimensional CT image reconstruction method based on accelerated splitting algorithm of ordered subsets （OS） is proposed. straint convex optimization is in weak condition. The weighted and regularized least square problems are solved with linear vari⁃ ant of AL method. The separable quadratic surrogate function is used in this method to replace the quadratic AL penalty term