变化率问题
变化率问题
当空气容量V从1L增加到2L时, 气球的平均膨胀率为
r 2 r 1 2 1 0.16 dm / L .
可见 0.62>0.16
这就说明： 随着气球体积逐渐变大,气球的平均膨胀率 请用用一句话描述得到的结论 逐渐变小。
思考：一般地，当空气容量从V1增加到V2时, 气球的平均膨胀率是多少?
继续观察平均变化率的代数表达式: 由式子你还会想到什么？
f x 2 f x1 x 2 x1
，
几何意义
观察函数f(x)的图 象 f(x y
x
2
) f ( x1 )
y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A f(x1) O
x 2 x1
Y=f(x)
平均变化率 表示：
T (℃) C (34, 33.4) B (32, 18.6)
30
20 （注： 3月18日
为第一天）
10 A (1, 3.5)
2
思考
0
2
10
20
30
34
t(天)
你能从图中观察出各时间段的温度变化情况吗？ 温度快慢的变化情况怎么刻画？
问题二 气球膨胀率
这是一段吹气球的视频，细细体会气球 的膨胀过程，你有什么发现？随着气球内空 气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢. 怎样从数学角度描述这种现象呢?
状态有什么问题吗 ?
四．课堂小结
三个实际变 化率问题
函数的平均变化率
代数表示 意义（实际、
几何）
思想方法
平均速度
从特殊到一般
瞬时速度
如何求瞬时速度， 课下你怎么去做？
五、作 业
应用：
求函数 y 率.
《变化率问题》课件
从以上的例子中，我们可以了解到，平均变化率 是指在某个区间内数值的平均变化量. 如果上述问题中的函数关系用 f ( x) 表示，那么问 f x2 f x1 题中的变化率可用式子： 表示。 x2 x1
函数f ( x)从x1到x2的平均变化率
f x2 f x1 平均变化率： x2 x1
习惯上：用 x表示x2 -x1，即：x x2 x1
注意：x是一个整体符号，而不是与x相乘。
可把x看作是相对于x1的一个增量， 可用x1 x代替x2 ;
“增量”：x
x2 x1
令“增量” x x2 x1
f f x2 f x1
可以看出： 随着气球体积逐渐变大，它的 平均膨胀率逐渐变小。
思 考 ？
当空气பைடு நூலகம்量从V1增加到V2时，气
球的平均膨胀率是多少？
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把
这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均
变化率:
r (V2 ) r (V1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) V2 V1 x2 x1
3.1.1 变化率问题
很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程。
发现：
随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加 的越来越慢。 从数学的角度，如何描述这种现象呢？
气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm)之 间的函数关系是：
4 3 3V 3 V (r ) r r (V ) 3 4
f x2 f x1 f x1 x f x1 f x x2 x1 x
f 于是：平均变化率可以表示为： x
《变化率问题教学》课件
详细描述
在变化率问题中，建立数学模型是解决问题的第一步。首先需要对问题进行抽象 和简化，然后使用数学符号和公式来表示问题中的变量、参数和关系。通过建立 数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，便于进行定量分析和求解。
导数的计算和运用
总结词
导数在变化率问题中具有重要应用，通过计算导数可以分析函数的变化趋势和极值点。
变化率与函数图像的关系
单调性
如果一阶导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果一阶 导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
凹凸性
如果二阶导数大于0，则函数在该区间内是凹的；如果二阶导 数小于0，则函数在该区间内是凸的。
04
变化率问题解决策略
建立数学模型
总结词
通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，便于分析和求解。
学Байду номын сангаас参与度与反馈
分析学生在课堂上的参与 情况，以及他们对变化的 反应和反馈，以便更好地 调整教学方法和内容。
学生自我评价与反馈
学生自我评价
引导学生反思自己在本次教学中 对变化率问题的理解程度，以及 自己的学习方法和态度是否有所
改进。
学习困难与问题
鼓励学生提出自己在理解变化率问 题时遇到的困难和问题，以便教师 更好地了解学生的学习需求和困难 。
变化率的应用场景
要点一
总结词
变化率的应用场景非常广泛，包括物理、工程、经济、生 物等领域。
要点二
详细描述
在物理学中，变化率用于描述速度、加速度等物理量的动 态变化。在工程领域，变化率可以用于预测和优化系统的 性能，如机械振动、流体动力学等。在经济领域，变化率 用于分析经济增长、通货膨胀等经济指标的变化趋势。在 生物领域，变化率可以用于描述物种数量、种群动态等生 态现象的变化趋势。
5.1.1变化率问题
合作探究
曲线割线的斜率
记∆ = − ，则点P的坐标是( + ∆, + ∆ ).
则割线 的斜率
−
+∆ −
=
=
−
+ ∆ −
= ∆ +
合作探究
切线的斜率
−
+ ∆ −
=
=
= ∆ +
=
∆
∆
+ ∆ + − +
=
∆
= + ∆
课堂练习
3 某河流在一段时间 x min内流过的水量为y ，y是x的函数， = =
问：当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
解：
当 x 从 1 变到 8 时，y 关于 x 的平均变化率是
因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
新知讲解
探究
瞬时速度与平均速度有什么关系？
求运动员在 t=1 s 时的瞬时速度？
不断缩短时间间隔，得到如下表格.
设 在 时刻附近某一时间段内
5.1.1 变化率问题
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调
性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的
差异，知道“对数增长”是越来越慢，“指数爆炸”比“直线上升”
快得多.
进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们
变化率 问题
(x1, f(x1)) A
x O x1 x2
问题2
这是某市2007年3月18日至4月20日每天最高气温 的变化图，
T (℃ )
C (34, 33.4) 30
20
10
B (32, 18.6)
A (1, 3.5) 10 20 30 34 t(d)
2 0 2
t=1到t=32与t=32到t=34这两段时间,哪段气温变化大?
例题讲解
小远从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试分别计算小远从出生到第3个月与第6个月到 第12个月体重的平均变化率。 比较这两个时间段小远体重变化的快慢情况。
W(kg)
11 8(月)
例2 在高台跳水运动中,运动
员相对于水面的高度h(单位：
m)与起跳后的时间t（单位：s）
“形” 曲线“陡峭”程度
2.平均变化率的几何意义. 曲线上A、B两点连线的斜率。
“数” 平均变化率
已知函数 f ( x) x 2 ，分别计算 f ( x) 在下列区 间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。
4
3 2.1
2.001
34 t(天)
（1）t=32到t=34这两天的温差达到了多少？
(2)t=1到t=32与t=32到t=34这两段时间,哪段气温变化大?
定义:
f ( x2 ) - f ( x1 ) 平均变化率: 式子 x2 - x1
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 分别计算运动员在0到0.5秒时 间段,1秒到2秒时间段,以及 65 时间段内的平均 0到 秒 49 速度. (1)运动员在这段时间里是静止的吗?
变化率问题 课件
【解题探究】1.函数平均变化率计算式子中，Δx,Δy分别表 示什么？ 2.求函数平均变化率的关键是什么？ 探究提示： 1.Δx是自变量的改变量，即Δx=x2-x1.Δy是函数值的改变 量，即Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1). 2.关键是求函数值的改变量与自变量的改变量之比, 即 y.
x0
2x
x0
2x
均为函数f(x)在x=a处的导数的表达式.
【类题试解】(2013·杭州高二检测)已知函数y=f(x)在区间
(a,b)内可导，且x0∈(a,b)，则 lim f (x0 h) f (x0 h)
h0
h
的值为( )
A.f′(x0) C.-2f′(x0)
B.2f′(x0) D.0
【解析】选B.方法一：由题意，得
2
2.一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明 它的意义(重力加速度为9.8 m/s2).
【解题探究】1.运动物体的平均速度与瞬时速度有什么关系? 2.题2中“下落3秒时的速度”的含义是什么？ 探究提示： 1.运动物体在某一时刻的瞬时速度是这一时刻平均速度的极 限. 2.其含义是求此小球在下落3秒时的瞬时速度.
变化率问题 导数的概念
一、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
1.定义式: y = f (x2 ) f (x1) .
x
x2 x1
2.实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
3.意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
思考:(1)函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的大小与曲 线y=f(x)在区间[x1,x2]上的“陡峭”程度有什么关系? 提示:平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上越 “陡峭”,否则相反. (2)平均变化率可以是零吗?举例说明. 提示:可以为零,如常数函数f(x)=a(a为常数).
变化率问题(教学课件)
湖南省长沙市雷锋学校 廖维猛
姚明身高变化曲线图(部分 姚明身高变化曲线图 部分) 部分
身高 2.26 2.12
● ● ●
1.61
● ●
●
0.8
●
●
●
●
●
●
●
●
4
7
10
13
16
19
22
年龄
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢?
f (x2 ) − f (x1) ∆ y = x2 − x1 ∆x
理解
∆y 1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 的值可正、可负， 、式子中△ ∆x 值不能为0， 的值可以为0 的△x值不能为 ， △ y 的值可以为 值不能为
∆ y f (x2 ) − f (x1) = ∆x x2 − x1
2、若函数f (x)为常函数时， △ y =0 、若函数 为常函数时， 为常函数时 3、变式: 、变式
f (x2 ) − f (x1) f (x1 + ∆ x) − f (x1) = x2 − x1 ∆x
思考
f ( x2 ) − f ( x1 ) 观察函数f(x)的图象平均变化率 观察函数 的图象 x2 − x1
谢谢指导
教学设计： 教学设计：廖维猛
在高台跳水运动中, 在高台跳水运动中 运动员相对于水面 单位:m) 的高度 h (单位 单位 与起跳后的时间
t
( 单位 s) 存在 函数 单位: 关系: 关系
播放 暂停 停止
5.1.1变化率问题教学设计
5.1.1变化率问题教学设计【教学内容】平均速度的极限，瞬时速度【教学目标】1.经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，认识瞬时速度的本质是平均速度的极限，初步体会极限思想.2.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.3.能用数学解释“变化快慢”的生活现象，通过具体实例，体会数学与其他学科的联系.【教学重难点】重点：瞬时速度和微分思想.难点：在瞬时速度的计算过程中体会极限思想.【教学过程设计】视频展示微积分产生的背景引导语：为了解决视频中提到的四类问题，十七世纪中叶，牛顿和莱布尼茨分独别立地创立了微积分。
导数是微积分的核心内容之一，借由视频最后提到的两类变化率问题，开启我们的导数之旅。
一.创设情境提出问题问题1 高台跳水运动员的速度在高台跳水运动中，假设全红婵在运动过程中的重心，相对于水面的高度，与起跳后的时间存在函数关系：2=-++.() 4.9 2.811h t t t如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？师生活动：给出问题后，教师启发学生可以用平均速度近似描述运动员的运动状态；复习平均速度的概念，计算对应时间段的平均速度，师生共同完成，此处可让学生投影展示化简过程，简述化简技巧。
在00.2t ≤≤这段时间里：(1.5)(1)1.51h h v -=-9.45(/)m s =- 在11t m ≤≤+这段时间里：()(1)(1)(1)(1)11h m h h m h v m m +-+-==+-追问：一般的，在12t t t ≤≤这段时间里：2121()()h t h t v t t -=-124.9() 2.8.t t =-++设计意图：此处设计了三个不同的时间段，第一个是常规的时间段，对接学生已学知识，帮助学生及时回顾平均速度的概念，第二个时间段换了一种表达方式，为引出()1,1t +∆做铺垫，第三个是归纳总结平均速度的一般求法，进而归纳求平均变化率的一般方法。
教学设计5.1变化率问题
5.1导数的概念及其几何意义第一课时 变化率问题导数的产生摘要:以瞬时变化率的概念为例，从选择恰到好处的情境、提出促进思维的问题、遵循数学抽象的过程三个方面设计课堂教学，促进学生数学抽象素养生成，提升学生运算素养。
（一）教学内容平均速度的极限→瞬时速度 割线斜率→切线斜率 平均变化率→瞬时变化率（二）教学目标1.通过实例分析，经历由平均速度过度到瞬时速度的过程，理解平均速度与瞬时速度的概念及关系.（数学运算）2.通过几何观察，经历用割线位置逼近切线位置的过程，认识切线的本质是割线位置的极限.（直观想象）3.体会用“运动变化的观点”研究问题,逼近（极限）等微积分的重要思想方法.（数学抽象）（三）教学重点与难点重点：瞬时速度、切线斜率和极限思想.难点：在求瞬时速度、切线斜率的具体案例中体会极限思想.（四）、学生学情分析学生学习过瞬时速度（切线斜率），对瞬时速度（切线斜率）有初步的描述性理解，但对于瞬时速度的算法比较模糊;同时在高一年级的函数零点的学习过程中，体会过利用二分法逼近函数的零点，现行的高中数学教科书在给出导数概念之前并没有介绍严格的极限概念及其运算．另一个认知障碍是对极限符号及其意义的理解，原因在于极限符号的=具有高度抽象性．（五）教学过程设计【预备导学】1、匀变速直线运动的位移公式：.2、过),(),,(2211y x B y x A )21x x ≠（两点的直线的斜率公式： .教学过程：引导语：请同学们欣赏一段视频,这是我国运动员全红婵在2020年东京奥运会10米台跳水夺冠的精彩瞬间,看见后你的感受是什么?（学生的感性认知动作优美，水花小······）.伟大的英国物理学家牛顿他思考的是运动员的运动变化规律之美！伟大的德同数学家莱布尼茨观察到的是身体划过的曲线之美！他们都是微积分的缔造者。
微积分是17世纪数学史上最重大的研究成果，它改变了物理和数学的发展,微积分分为微分学和积分学,本节课让我们跟随两个科学家的脚步,探索微分中最重要的内容导数的探索之旅吧!【情境创设】在一次高台跳水运动中，已知某运动员初始速度为向 2.8m/s,重心距离水面高度为11m ，求在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单 位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在的函数关系式.问题1:如何描述运动员从起跳到入水的过程中运功的快慢变化程度呢?师生活动：（1）引导学生感性认知:先上升,速度越来越慢，后下降,速度越来越快.（2）建立物理模型:根据所学物理知识知道,运动员近似看成是匀变速直线运动，其位移公式为2021)(at t v t s +=，推得运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后时间t (单位: s)存在函数关系118.29.4)(2++-=t t t h .（3）启发学生可以用平均速度近似刻画运动员的运动状况.（4）复习平均速度概念及运算方法，学生分组计算以下时间段内的平均速度，并描述运动员的运动状况：0≤t ≤0.5，0.5≤t ≤1，1≤t ≤1.5，1.5≤t <2，师生共同给出t 1≤t ≤t 2任意区间内平均速度的计算公式：8.2)(9.421++-=t t v ，并利用公式计算得到0≤t ≤47这段时间内平均速度为0.追问：你认为用运动员在740≤≤t 这段时间内的平均速度，近似描述这段时间内运动员的运动状态有什么问题？师生活动：引导学生得出，运动员几乎一直处于运动状态，从而引起认知冲突，进而引入瞬时速度概念，更能准确刻画物体运动状态. 【新知生成】 瞬时速度：物体在某一时刻的速度，称为瞬时速度设计意图：让学生发现用平均速度不能准确的反映自由落体运动物体的运动状态，仅用一个时间段内的平均速度难以准确的描述在刻时间段内变速运动的过程，如何精确的对整个过程进行描述，可以调整逐步缩小时间段，调整时间间隔，越来越小，以至于在某一时刻时的速度，引出研究瞬时速度的必要性。
5-1-1变化率问题 课件【共33张PPT】
解：∵在 t＝2 s 时，瞬时速度为
v＝ lim
Δt→0
s2＋Δt－s2 Δt
＝ lim
Δt→0
a2＋Δt2－3－a×22－3 Δt
＝ lim
Δt→0
4aΔt＋ΔtaΔt2＝Δlit→m0
(4a＋aΔt)＝4a(m/s)
，
∴4a＝16，解得 a＝4.
类型二
抛物线的切线的斜率
[例 2] 求曲线 f(x)＝x2＋3x＋1 在点 P(1，f(1))处的切线的斜率，以及切线方程. [思路分析] 首先计算出切线的斜率，然后根据点斜式列方程，代入运算即可．
Δt→0
st＋Δt－st Δt
＝ lim
Δt→0
2＋34＋Δt－32－2－34－32 Δt
＝ lim
Δt→0
3ΔtΔ2＋t 6Δt＝Δlit→m0
(3Δt＋6)＝6.
∴物体在 t＝2 和 t＝4 时瞬时速度分别为 12 和 6.
[解] 因为 f(1)＝12＋3×1＋1＝5，所以点 P 的坐标为(1,5)．
因为点 P(1,5)在曲线上，所以切线的斜率为
k＝ lim
Δx→0
f1＋Δt－f1 Δt
＝ lim
Δx→0
1＋Δt2＋31＋Δt＋1－12＋3×1＋1 Δt
＝ lim
Δx→0
Δt2＋Δt5Δt＝Δlxi→ m0
(Δt＋5)＝5.
[变式训练 2] 求函数 f(x)＝x2－2x＋1 在 x＝4 处切线的斜率．
解：因为 f(x)＝x2－2x＋1，
故曲线在 x＝4 处切线的斜率为 lim
Δx→0
f4＋Δx－f4 Δx
＝ lim
Δx→0
4＋Δx2－24＋Δx＋1－42－2×4＋1 Δx