3.1.1平均变化率及其求法资料讲解
3.1.1平均变化率及其求法
第三类问题
求已知函数的最大最小值。
十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角
发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题，但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线长、曲面面积、物体重心及物体之间的引力 （求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、
成交额随时间变化关系 Q = Q（t） 时间的改变量 t2- t1 成交额的改变量Q2-Q1 成交额差/时间差 成交额变化快慢 2-0=2(小时) 100-0=100(亿元) 21-2=19(小时) 300-100=200(亿元)
10.53(亿元/小时) 100/2 = 50(亿元/小时) 200/19
2013年11时间的成交额变化快,为什么?
C(21,300)
B(2,100)
A(0,0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
t
问：怎么量化0—2时与 2—21时成交额变化快 (图象陡峭)、慢(图象平缓)？
20
0 1
2
3
4
5 天数
四
本课小结
从“形”刻画
课后作业：
1、与同学交流你探究“气球膨胀率问题”及“跳水问题”的 心得。
课外作业： 1、搜寻有关微积分历史的资料，跟你的同学交流。 2、四人一小组，写一篇有关生活中变化率问题的小文章。
t(s)
0
3
7
14
20
平 均 变 化 率 是 曲 线 陡 峭 程 度 的 数 量 化
探究.拓展：
平均变化率的变化与函数图象的形状有何联系？
3.1.1平均变化率及其求法(教学设计)
问：0—2时与2—21时，哪段时间的成交额变化快,为什么?
问：怎么量化0—2时与2—21时成交额变化快(图象陡峭)、慢(图象平缓)？
结论：成交额Q(t)在区间[t 1,t 2]的平均变化率：
21()()
Q t Q t -
问：为什么0---t1图像比t1---t2“平缓”？ 如何量化图象“平缓（变化慢）” “陡峭（变化快）”？
结论：成交额S(t)在区间[t 1,t 2]的平均变化率：
21()()
S t S t -
这是平均变化率的几何意义
(1)求0s-3s的速度平均变化率？（2）求3s-7s的速度平均变化率？（3）求7s-14s的速度平均变化率？
结论：
y
x
∆∆减小⇔割线斜率|k|减小⇔曲线变“平缓”.
y
∆增大⇔割线斜率|k|增大⇔曲线
分析：对高度进行等分，看在均等的Δx 内，注水量大小，最后从变化率大小结合图象及瓶子选出B。
函数的平均变化率课件
目录 Contents
• 函数平均变化率的概念 • 函数平均变化率的应用 • 函数平均变化率的性质 • 函数平均变化率的实例分析 • 总结与思考
01
函数平均变化率的概念
平均变化率的定义
01
平均变化率是指在一定区间内函 数值的改变量与自变量改变量的 比值，通常表示为函数在区间两 端点处的函数值的差的商。
函数平均变化率的重要性
理解函数单调性的基础
数学分析的基础
平均变化率是判断函数单调性的重要 依据，通过研究平均变化率，可以深 入理解函数的单调性。
平均变化率是微积分学中的基本概念 ，对于后续学习微积分、导数等数学 知识具有重要意义。
指导实际应用
在工程、经济、生物等领域中，平均 变化率的概念有着广泛的应用，如预 测模型、成本分析等。
。
幂函数的平均变化率
幂函数形式
$y = x^n$
平均变化率公式
$frac{Delta y}{Delta x} = nx^{n-1}$
实例分析
对于函数$y = x^3$，当$Delta x = 1$时，$Delta y = 3x^2$ ，所以平均变化率为$nx^{n-1} = 3x^2$。
05
总结与思考
02
它反映了函数在区间内整体变化 的趋势和速度，是函数在区间内 的一种平均性质。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具之一。
通过计算平均变化率，可以了解函数 在区间内的整体变化趋势，从而对函 数的性质进行初步判断。
平均变化率的计算方法
01
02
03
04
计算平均变化率需要找到函数 在区间两端点处的函数值，然 后相减得到函数值的改变量。
第三章 3.1.1函数的平均变化率
§3.1 导 数3．1.1 函数的平均变化率学习目标 1.理解平均变化率的意义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．知识点 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？ 答案 自变量x 的改变量为x 2－x 1，记作Δx ，函数值y 的改变量为y 2－y 1，记作Δy . 思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 答案 对山路AB 来说，用Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画其陡峭程度． 思考3 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示什么？答案 观察图象可看出，ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率．梳理 (1)函数的平均变化率的定义已知函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，令Δx ＝x －x 0；Δy ＝y －y 0＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．则当Δx ≠0，比值f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝ΔyΔx 叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．(2)平均变化率的实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数在区间[x 0，x 0＋Δx ]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率ΔyΔx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率．(1)在平均变化率的定义中，自变量x 的增量Δx ＞0.( × )(2)对于函数f (x )在区间[x 1，x 2]内的平均变化率也可以表示为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.( √ )(3)Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 是f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率，也可以说是f (x )在x ＝x 0处的变化率．( × )类型一 求函数的平均变化率例1 已知函数y ＝f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)在0.1到0.2之间的平均变化率； (2)在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 考点 题点解 (1)因为f (x )＝3x 2＋5，所以在0.1到0.2之间的平均变化率为f (0.2)－f (0.1)0.2－0.1＝3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 20＋5)＝3x 20＋6x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3x 20－5＝6x 0Δx ＋3(Δx )2，函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx ＝6x 0Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx . 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.①求：当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx； ②求：当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx.(2)求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率解 (1)因为f (x )＝2x 2＋3x －5， 所以Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx Δx＝2Δx ＋4x 1＋3. ①当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1，Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2＋19＝21，ΔyΔx ＝21.②当x 1＝4，x 2＝4.1时，Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋4x 1＋3＝19.2. (2)在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大． 类型二 求物体的平均速度例2 一质点做直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝t 2＋1，求该质点在t ＝1,2,3附近，Δt ＝13时，平均速度的值，并比较在哪一时刻附近的平均速度最大．考点 题点解 s (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的位移增量为s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝(t 0＋Δt )2＋1－(t 20＋1)＝2t 0Δt ＋(Δt )2， Δs Δt ＝2t 0Δt ＋(Δt )2Δt＝2t 0＋Δt ， 将t 0＝1,2,3，Δt ＝13分别代入上式得，当t 0＝1时，平均速度Δs Δt ＝73；当t 0＝2时，平均速度Δs ＝133；当t 0＝3时，平均速度Δs Δt ＝193.由上面的计算知，t ＝3附近的平均速度最大． 引申探究若该质点在2到2＋Δt 之间的平均速度不大于5，则Δt (Δt ＞0)的取值范围是什么？解 s (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的位移增量为s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝(t 0＋Δt )2＋1－(t 20＋1)＝2t 0Δt ＋(Δt )2. Δs Δt ＝2t 0Δt ＋(Δt )2Δt＝2t 0＋Δt . 当t 0＝2时，由题意，得4＋Δt ≤5，得Δt ≤1. 又因为Δt ＞0，故Δt 的取值范围是(0,1]．反思与感悟 已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均变化率．跟踪训练2 动点P 沿x 轴运动，运动方程为x ＝10t ＋5t 2，式中t 表示时间(单位：s)，x 表示距离(单位：m)，求在20≤t ≤20＋Δt 时间段内动点的平均速度，其中 (1)Δt ＝1；(2)Δt ＝0.1；(3)Δt ＝0.01. 考点 题点解 动点在20≤t ≤20＋Δt 时间段内的平均速度为 v ＝10(20＋Δt )＋5(20＋Δt )2－10×20－5×202Δt＝210Δt ＋5(Δt )2Δt＝5Δt ＋210，(1)当Δt ＝1时，v ＝5×1＋210＝215(m/s)． (2)当Δt ＝0.1时，v ＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)．(3)当Δt ＝0.01时，v ＝5×0.01＋210＝210.05(m/s).1．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3 D ．0.2 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 B解析 s (2.1)－s (2)2.1－2＝3＋2×2.1－(3＋2×2)0.1＝2.2．如图，函数y ＝f (x )在1到3之间的平均变化率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 考点 题点 答案 B 解析 Δy Δx ＝1－33－1＝－1.3．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋2的图象上取一点(2,6)及邻近一点(2＋Δx ,6＋Δy )，则ΔyΔx 为( )A ．Δx ＋1Δx ＋4B ．Δx －1Δx －4C ．Δx ＋4D ．4＋Δx －1Δx考点 题点 答案 C解析 Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－4Δx＝Δx ＋4.4．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 考点 题点 答案 2解析 ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3. ∴m 2＋m ＋1＝7， ∴m ＝2或m ＝－3(舍)．理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．一、选择题1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在时间[2，2.1]内的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小． 所以乙厂的治污效果较好．3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及附近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x考点 题点 答案 B解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[2(1＋Δx )2－1]－1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx . 4．函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 中，Δx 不可能( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0考点 题点 答案 C5．函数y ＝f (x )＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( ) A ．Δx ＋2 B ．2Δx ＋(Δx )2 C ．Δx ＋3 D ．3Δx ＋(Δx )2 考点 题点 答案 C 解析Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－(12＋1)Δx＝Δx ＋3.6．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A ．k 1＜k 2 B ．k 1＞k 2 C ．k 1＝k 2 D ．无法确定考点 题点 答案 D解析 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝2x 0－Δx .又因为Δx 可正可负且不为0， 所以k 1，k 2的大小关系不确定．二、填空题7.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________________．(用“＜”连接)考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象知，k OA <k AB <k BC .8．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝________. 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f (t )－f (－2)t －(－2)＝t 2－t －(－2)2－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，所以t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5.9．在曲线y ＝2x 2＋1的图象上取一点(1,3)及邻近一点(1＋Δx ,3＋Δy )，则ΔyΔx ＝________.考点 题点 答案 2Δx ＋4解析 Δy Δx ＝2(1＋Δx )2＋1－3Δx＝2Δx ＋4.10．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆的面积S 的平均变化率为________．考点题点答案 2π＋πΔr解析 当r ∈[1,1＋Δr ]时，圆的面积S 的平均变化率为ΔS Δr ＝π(1＋Δr )2－πΔr ＝π＋2π·Δr ＋(Δr )2π－πΔr＝2π＋πΔr .三、解答题11．过曲线y ＝f (x )＝x 3＋2x 上两点P (1,3)和Q (1＋Δx ，3＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.2时割线的斜率．考点题点解 由条件可知，当Δx ＝0.2时，k PQ ＝3＋Δy －31＋Δx －1＝Δy Δx＝(1＋Δx )3＋2(1＋Δx )－(13＋2×1)Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋5＝0.22＋3×0.2＋5＝5.64.故当Δx ＝0.2时，割线的斜率为5.64.12．求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．考点题点解 函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2)Δx ＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx . 当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.13．以初速度v 0竖直向上抛一物体的位移s 与时间t 的关系为s (t )＝v 0t －12gt 2(g 为物体的重力加速度)．(1)求物体从时刻t 0到时刻t 0＋Δt 这段时间内的平均速度v ；(2)求物体在t ＝10 s 到10.4 s 这段时间内的平均速度．考点题点解 (1)由t 0到t 0＋Δt ，则改变量为Δt .因为Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20 ＝v 0Δt －gt 0·Δt －12g (Δt )2， 所以v ＝Δs Δt ＝v 0Δt －gt 0·Δt －12g (Δt )2Δt＝v 0－gt 0－12g Δt . (2)当t 0＝10 s 时，Δt ＝0.4 s ，则物体在t ＝10 s 到10.4 s 这段时间内的平均速度 v ＝v 0－10g －12×g ×0.4＝v 0－10.2g . 四、探究与拓展14．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则第二年婴儿体重的平均变化率为________千克/月．考点题点答案 0.25解析 第二年婴儿体重的平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)． 15．若函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围． 考点 平均变化率的概念题点 平均变化率的应用解 ∵函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞)．。
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明一、教学目标：1. 让学生理解平均变化率的定义及其几何意义。
2. 让学生掌握平均变化率的计算方法。
3. 让学生能够应用平均变化率解决实际问题。
二、教学内容：1. 平均变化率的定义2. 平均变化率的计算方法3. 平均变化率的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 教学难点：平均变化率的计算方法及应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 利用多媒体课件，直观展示平均变化率的图形，增强学生对概念的理解。
3. 开展小组讨论，让学生在合作中思考、交流，提高解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引出平均变化率的概念。
2. 讲解与演示：讲解平均变化率的定义，展示相关图形，让学生直观理解。
3. 自主学习：学生自主探究平均变化率的计算方法。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的方法，互相学习。
5. 练习与应用：布置练习题，让学生巩固所学知识，并应用到实际问题中。
6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考如何更好地运用平均变化率解决实际问题。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
教案说明：本教案以学生为主体，注重培养学生的自主学习能力、合作意识及解决问题的能力。
在教学过程中，充分利用多媒体课件，直观展示平均变化率的图形，有助于学生更好地理解概念。
通过生活中的实例，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
在练习与应用环节，注重让学生将所学知识运用到实际问题中，提高学生的数学素养。
本教案旨在让学生掌握平均变化率的知识，培养学生的数学思维能力。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问，了解学生对平均变化率定义的理解程度。
2. 练习题：收集学生的练习作业，评估学生对平均变化率计算方法的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生的合作能力和问题解决能力。
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解平均变化率的概念，掌握平均变化率的计算方法，并能应用于实际问题中。
通过本教案的学习，学生将能够：1. 理解平均变化率的定义和意义；2. 掌握平均变化率的计算公式；3. 应用平均变化率解决实际问题。
教案内容：一、引言1. 引入话题：讨论物体速度的变化，引导学生思考如何描述速度的变化。
2. 引入平均变化率的概念：速度的变化可以用平均变化率来描述，平均变化率的定义是速度的变化量与时间的比值。
二、平均变化率的定义与计算1. 讲解平均变化率的定义：平均变化率是变化量与变化时间的比值，表示变化的快慢。
2. 给出平均变化率的计算公式：平均变化率= 变化量/ 变化时间。
3. 举例说明：假设一个物体在时间t1时的速度为v1，在时间t2时的速度为v2，速度的平均变化率为(v2 v1) / (t2 t1)。
三、平均变化率的应用1. 问题情境：给出一个物体在不间点的速度，要求学生计算平均变化率。
2. 学生分组讨论：学生分组讨论并计算给定情境下的平均变化率。
3. 集体讨论：各组汇报计算结果，集体讨论并解释结果的意义。
四、巩固练习1. 给出一些实际问题，要求学生计算平均变化率。
2. 学生独立完成练习，教师进行解答和讲解。
五、总结与反思1. 总结平均变化率的定义、计算方法和应用。
2. 学生反思学习过程中的困难和问题，提出疑问并进行解答。
教学资源：1. 教学PPT：用于展示平均变化率的定义、计算公式和应用实例。
2. 练习题：用于巩固学生对平均变化率的理解和应用能力。
教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确性和解题思路。
3. 学生反馈：收集学生对教学内容的反馈和建议，以便进行教学改进。
六、实际情境分析1. 引入实际情境：讨论商品价格的变化，引导学生思考如何描述价格的变化。
2. 应用平均变化率的概念：商品价格的变化可以用平均变化率来描述，平均变化率的定义是价格的变化量与时间的比值。
课件3：3.1.1 函数的平均变化率
题型二 求物体运动的平均速度
【例 2】 以初速度 v0 竖直向上抛一物体的位移 s 与时间 t 的关 系为：s(t)＝v0t－12gt2.
(1)求物体从时刻 t0 到时刻 t0＋Δt 这段时间的平均速度 v； (2)求物体在 t＝10 s 到 10.4 s 这段时间的平均速度．
[思路探索]
由物体运动方程
题型三 平均变化率的实际应用 【例 3】 (12 分)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为 T(t) ＝t1＋205＋15，其中 T(t)为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时 间(单位：min)． 求：(1)从 t＝0 到 t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率． (2)体温 T(t)对时间 t 的变化率． 审题指导 利用平均变化率的定义求解．
题型一 求平均变化率 【例 1】 求函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均 变化率，并求当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均变化率的值． [思路探索] 解答本题可先求自变量的增量和函数值的增量，然 后代入公式求解．
解 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率 为 f（（x0＋x0＋ΔΔx）x）－－f（xx00）＝[3（x0＋Δx）2Δ＋x2]－（3x20＋2） ＝6x0·Δx＋Δ3x（Δx）2＝6x0＋3Δx. 当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 函数 y＝3x2＋2 在区间[2，2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.
(2)当 t0＝10 s 时，Δt＝0.4 s， 则物体在 t＝10 s 到 10.4 s 这段时间的平均速度 v＝v0－10g－12×g×0.4＝v0－10.2g.
已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与 时间的函数关系，求其在[t0，t0＋Δt]内的平均速度，根据平均 速度的意义可知就是求这个函数在[t0，t0＋Δt]内的平均变化 率．
3.1.平均变化率
f(x1) f(1)
A 1
x1
y=f(x) 34
x
o
变化率为 f ( x1 ) f (1)
x1 1
y
f(34)
C
[ 问题 ] 如果将上述气温
曲线看成是函数y = f(x)
的图象, 则函数y = f(x) 在区间 [1 ， 34] 上的平均 变化率为 f (34) f (1) 34 1 在区间 [1 ， x1] 上的平均
39 38 37 36
体温从0min到20min的平均变化率是： 解：
38.5 39 0.5 0.025 20 0 20
( C/min)
体温从20min到30min的平均变化率是： 38 38.5 0.05 ( C/min) 30 20
0.05 0.025
y
C1 C3
答案：是0
B A
O
C2
平均变化率的缺点:
它不能具体说明函 数在这一段区间上的变 化情况.
x1
x2
x
平均变化率 一般地,函数
的平均变化率为:
f ( x)
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
在 [ x1 , x2 ] 区间上
探索思考
5.变式四:已知函数f(x)=x2,分别计算在区间 [1，3] , [1，2], [1，1.1] ,[1，1.01] ,[1，1.001]上的平均变化率. 答案：在这5个区间上的平均变化率分别是:4、3、 2.1、2.01、2.001 规律： 当区间的右端点逐渐接近1 时，平均变化 率逐渐接近2.
x2-x1 =△x
0
2 平均变化率的几何意义：
( x2 , f ( x2 )) 连线的斜率. 曲线 y f ( x) 上两点 ( x1 , f ( x1 ))、
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微积分创立背景
微积分的创立主要与四类问题处理有关： 瞬时变化率、切线问题、函数极值、几何求积
第一类问题
求物体瞬时速度、加速度及运动距离 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体 任意时刻的速度和加速度；以及已知物体的加速度 作为困时难间在的于函：数十，七求世速纪度和所路涉程及。的速度和加速度每时 每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算 平均速度那样，用运动的距离除以运动的时间，因为 在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在 它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。
成交额变化快慢
快
慢
问题2 为什么该人的运动s-t图不是直线段？ 如何从该s-t图分析他路程随时间的变化快慢？
S(t2) S(t1)
B（24,100） A（21,70）
O（0,0）
t1 t2
问：为什么0---t1图像比t1---t2“平缓”？
如何量化图象“平缓（变化慢）” “陡峭（变化快）”？
路程随时间变化关系S= S（t ）
Q (t2 ) Q (t1 ) t2 t1
(2)路程在［t1 , t2］平均变化率(快慢)问题：
S (t2 ) S (t1 ) t2 t1
如何刻画一般的函数f(x)在区间[x1，x2]上 随x变化（增加或减少）的“快”与“慢”？
三 平均变化率的定义
平均变化率等于函数的增量与自变量的增量之比值。
第三类问题
求已知函数的最大最小值。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角 发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题，但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线长、曲面面积、物体重心及物体之间的引力 （求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、
时间的改变量 t2- t1 成交额的改变量T2-T1 成交额差/时间差
成交额变化快慢
2-0=2(小时)
21-2=19(小时)
100-0=100(亿元)
300-100=200(亿元)
> 100/2 = 50(亿元/小时) 200/19 10.53(亿元/小时)
快
慢
问题2
路程随时间变化关系S= S（t ）
(1) [1,1.0003] 4.0006 (2) [1,1.0002] 4.0004 (3) [1,1.0001] 4.0002
某物体的运动速度随时间的变化情况如下图所示
(1)求0s-3s的速度平均变化率？
例题2
（2）求3s-7s的速度平均变化率？
（3）求7s-14s的速度平均变化率？
V(m/s)
时间的改变量 Δt=t2- t1
路程的改变量Δs=S2-S1
路程差/时间差(Δs/Δt) 速度变化快慢
21-0=21(s)
24-21=3(s)
70-0=70(m)
100-70=30(m)
< 70/21=3.3 (m/s) 30/3= 10 (m/s)
慢
快
问题1
成交额随时间变化关系 Q = Q（t）
100
50
2013年11月11日淘宝天猫成交额随时间变 化趋势图如下： 问0—2时与2—21时，
哪段时间的成交额变化快,为什么?
C(21,300)
A(0,0) t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
问：怎么量化0—2时与 2—21时成交额变化快
时间的改变量 Δt=t2- t1
路程的改变量Δs=S2-S1
路程差/时间差(Δs/Δt) 路程变化快慢
9-0=9(s)
11-9=2(s)
60-0=60(m)
100-60=40(m)
< 60/9 6.7(m/s) 40/2=20(m/s)
慢
快
两个变化率（快慢）问题
(1)成交额［t1 , t2］平均变化率(快慢)问题：
（ x1 ， f(x1 ) ）
x1
x2
求函数f(x)平均变化率的步骤：
一、求自变量的增量Δx=x2-x1 二、求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)
已知f(x)=2x2+1，求：
例题1
(1)从x=1到x=2的平均变化率；
(2)从x1到x2的平均变化率。
变式训练:求函数 f(x)2x2 1在下列区间的平均变化率
（4）求14s-20s的速度平均变化率？
提示： (1)av1204(m/s2)
t 30
16
(2)av16121(m/s2)
12
t 73
8
(3 )a v8 1 6= 8 1 .1 4 (m /s2 )
6
t 1 4 7 7
03 7
(4 )a v6 8= 1 0 .3 3 (m /s2 ) t 2 0 1 4 3
第二类问题
求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问 题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体 在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。
困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个 没有解决的问题。
古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接 触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对 于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。
亦即：y / x.
思 考 ： 平 均 变 化 率 ： y f( x 2 ) f( x 1 )表 示 的 几 何 意 义 ？ x x 2 x 1
割线斜率 ky2y1f(x2)f(x1)
x2x1
x2x1
f(x2 )
这是平均变化率的几何意义
f(x1 )
x2-x1
f(x2 )-f(x1 ) （ x2 ， f(x2 ) ）
(图象陡峭)、慢(图象平缓)？
成交额随时间变化关系 Q = Q（t）
时间的改变量 t2- t1
2-0=2(小时)
21-2=19(小时)
成交额的改变量Q2-Q1 成交额差/时间差
100-0=100(亿元)
300-100=200(亿元)
> 100/2 = 50(亿元/小时) 200/19 10.53(亿元/小时)
一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。）
困难在于：欧y 多克斯的穷竭法虽然被阿基米德熟
练地用来求出了很多图形的面积及几何体的体积，但
它毕竟是一种有限且相当复杂的几何方法，已不能解
决第四类问题。 oa
bx
二 变化率问题
成交额Q(t) (亿元)
400
问题1
350
300
250
200
150
B(2,100)