2009年高考二轮复习精品专题-填空攻略(详解详析共57页)
2009高考数学填空题技巧2
数学怎样解填空题【考点梳理】一、题型特点填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。
不过填空题和选择题也有质的区别。
首先，表现为填空题没有备选项。
因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些，长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因。
其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。
在对题目的阅读理解上，较之选择题，有时会显得较为费劲。
当然并非常常如此，这将取决于命题者对试题的设计意图。
填空题与解答题比较，同属提供型的试题，但也有本质的区别。
首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明。
填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确。
其次，试题内涵，解答题比起填空题要丰富得多。
填空题的考点少，目标集中，否则，试题的区分度差，其考试信度和效度都难以得到保证。
这是因为：填空题要是考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正原因。
有的可能是一窍不通，入手就错了，有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在答卷上表现出来的情况一样，得相同的成绩，尽管它们的水平存在很大的差异。
对于解答题，则不会出现这个情况，这是因为解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演和论证过程，分情况评定分数，用以反映其差别，因而解答题命题的自由度，较之填空题大得多。
由此可见，填空题这种题型介于选择题与解答题这两种题型之间，而且确实是一种独立的题型，有其固有的特点。
二、考查功能1．填空题的考查功能大体上与选择题的考查功能相当。
2009全国高考(Ⅱ)卷评析及部分试题巧解
09年全国高考（Ⅱ）卷评析及部分试题解答甘肃正宁一中 李永卿（一）试题分析：09全国二卷数学试题的总体特点是:题目稳中求变，以稳为主，以变为辅。
以常规题为主，思路直观，无偏题、怪题，课本以外的题目几乎没有。
难度较去年大体持平，稍有降低。
保持了试卷结构、试题类型的相对稳定。
整体感觉上手比较快，题比较亲切，有利于考生的发挥。
但计算量大，注重对数学方法的考查，因方法不当造成大量的时间浪费。
小题起步较低，难度缓缓上升，除两个解几题有难度外，其他都较平和。
解答题中两道“中等题”的难度较08年有较大的降低，其中数列仍是递推数列，第(1)问证明，是一个“导向”，容易入手。
概率题的背景、题意更贴近考生。
两道压轴题较去年更有利于分步得分。
虽然个别题目在设置的方式上，在情景的设置上有一定的新意，但解决问题的知识和方法，仍然是大家所熟悉的。
今年数学要得高分，需要扎扎实实的数学功底。
一是数学概念要清晰。
二是要有较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力。
总之，不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本技能基本方法)”，是以不变应万变的硬道理。
下面就部分选择、填空题和解答题不同于标准答案的解法进行探究。
（二）部分试题解答 （理）2：正解：直接解不等式即可。
故选B.妙解：排除验证. 因求A B I ∴x ＞3 排除A 、 C . 只需代入一个值验证（如5、6等）即可。
（理）3：正解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈. 2212cos 1351tan 1()12A A =-=-=-++- 故选D. 妙解：由条件知,作角A 的对边为5，邻边12，斜边为13的直角三角形，即知选D 。
另解：因为在直角坐标系中角A 终边在第二象限，利用三角函数定义可设x =-12，y =5后即可求出。
（理）4：正解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B. 另解1：因21x y x =-的图像是双曲线。
2009届高三二轮专项复习-单选及解析9-12
2009届高三二轮专项复习——单选及解析(9)1. Not until Dec. 2003 _____ caught by the US soldiers, and it was a great victory for the USA.A. was Saddam HusseinB. Saddam Hussein wasC. had Saddam Hussein beenD. Saddam Hussein had been选A。
not until位于句首时，句子要部分倒装。
而时间状语Dec. 2003暗示了要用一般过去时，故此只能选A。
2. Be careful with such things. If you _____, you’ll drop them.A. don’tB. aren’tC. won’tD. do选B。
本题考查学生运用省略语法的做题能力。
完整的句子为：If you aren’t (careful)，you’ll drop them. 另外，条件状语从句用现在时表将来，所以排除了won’t。
3. — Excuse me!---- _____----How can I get to the nearest post office?A. Yes?B. That’s OK.C. What’s wrong?D.Pardon?选A。
由于Excuse me没有说明具体事情，所以就被反问“Yes?”“什么事？”4. ___________ a fine day, Shenzhou VI will be launched on time according to its planned time.A. BeingB. It beingC. To beD. It is选B。
本题考查独立主格结构。
前一分句和后一分句在逻辑上存在因果关系，可以排除答案D。
因为前面的分词的逻辑主语不可能是后面一个分句的逻辑主语，故前一分句要有一个逻辑主语it表示天气。
安徽省2009年高考语文试卷逐题详析(下)
安徽省2009年高考语文试卷逐题详析（下）淮南市中学语文学科中心组第Ⅱ卷（表达题共84分）四、（24分）该大题为语言运用部分，也就是大纲卷的第一大题与第六大题的合并，题目数6题，选择题3题，简答题3题。
分别考查了字形、成语、病句、图文转换（要点概括）、对联（修辞）和仿写（含阐释）六个点。
三个选择题没有什么特点，字形重新进入试卷，也只是考点的轮流考查而已。
后三题也没有什么创新的试题，这也是今年安徽卷没有亮点的地方，三个点都是常规题型。
对联只是排列组合的问题，只要具备一些对联的基本知识就可容易作答。
第20题也只是在内容上联系新课程，考查的形式上也很常规。
15．下列各句中，没有．．错别字的一句是（3分）A．黄山以其巍峨奇特的石峰、苍劲多姿的青松、水质清净的温泉和波滔起伏的云海闻名于世，不愧是誉满全球的旅游胜地。
B．合肥新机场建设如火如荼，它的建成将使我省交通枢纽地位更加凸显，有助于安徽在中部地区的新一轮竞争中夺得头酬。
C．电影《梅兰芳》真实再现了京剧大师梅兰芳截然不同的两面人生：舞台上神采飞扬光鲜亮丽，生活中木讷寡言不黯世事。
D．从南方的冰天雪地到汶川的断壁残垣，2008年．我们艰难跋涉；从奥运圆梦到“神七”翱翔太空，2008年，我们激情飞扬。
【答案】D【解析】本题吸取了浙江卷的考查形式，应该说更具理性化。
因为当今学生用错字主要是在语言的具体运用中，不辨析词义而乱用同音字词造成误用。
A项的“波滔”是“波涛”的误用，B项的“头酬”为“头筹”的误用，“凸显”“突显”只是词义有区别（前为“清楚地显露”，后为“突出地显露”），字形都是正确的。
C项“不黯世事”应为“不谙世事”。
16．下列各句中，加点的成语使用恰当的一句是（3分）A．李娟、楚金玲等5人在这次全国选拔中脱颖而出．．．．，以主攻手人选的身份进入中国排协公布的新一届国家女排20人大名单。
B．现在少数媒体放着有重要新闻价值的素材不去挖掘，反倒抓住某些明星的一点逸闻就笔走．．龙蛇．．，这种做法真是令人费解。
广州2009年高考数学2轮复习资料二
2009年高考数学一轮复习资料二11、题目高中数学复习专题讲座综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题高考要求函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力重难点归纳在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件学法指导怎样学好函数学习函数要重点解决好四个问题准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识(一)准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑高考试题涉及5个方面(1)原始意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中(三)把握数形结合的特征和方法函数图像的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图像的平移变换、对称变换(四)认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决 纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识 典型题例示范讲解例1设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0(1)求f (21)、f (41);(2)证明f (x )是周期函数； (3)记a n =f (2n +n21),求).(ln lim n n a ∞→命题意图 本题主要考查函数概念，图像函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力知识依托 认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1+x 2)＝ f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口错解分析 不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形技巧与方法 由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为()()()()2222x x x xf x f f f =+=⋅是解决问题的关键(1) 解 因为对x 1,x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=()()()02222x xx xf f f +=≥, x ∈［0,1］ 又因为f (1)=f (21+21)=f (21)·f (21)=［f (21)］2f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2又f (1)=a >0 ∴f (21)=a 21, f (41)=a 41(2)证明 依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1－x ),即 f (x )=f (2－x ),x ∈R又由f (x )是偶函数知 f (－x )=f (x ),x ∈R∴f (－x )=f (2－x ),x ∈R将上式中－x 以x 代换得f (x )=f (x +2)，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期(3)解 由(1)知f (x )≥0,x ∈［0,1］∵f (21)=f (n ·n21)=f (n21+(n －1)n21)=f (n21)·f ((n －1)·n21)=……=f (n 21)·f (n21)·……·f (n21)=［f (n21)］n=a 21∴f (n21)=a n 21又∵f (x )的一个周期是2 ∴f (2n +n21)=f (n21),∴a n =f (2n +n21)=f (n21)=an21因此a n =an21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n例2甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ,固定部分为a 元(1)把全程运输成本y (元)表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？命题意图 本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力知识依托 运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法 错解分析 不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件技巧与方法 四步法 (1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价解法一 (1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vS ,全程运输成本为y =a ·vS +bv 2·vS =S (va +bv )∴所求函数及其定义域为y =S (va +bv ),v ∈(0,c ](2)依题意知，S 、a 、b 、v 均为正数 ∴S (va +bv )≥2S ab ①当且仅当va =bv ,即v =ba 时，①式中等号成立若ba ≤c 则当v =ba 时，有y min ＝2S ab ；若ba >c ,则当v ∈(0,c ]时，有S (va +bv )－S (ca +bc )=S ［(va －ca )+(bv －bc )］=vcS (c －v )(a －bcv )∵c －v ≥0,且c >bc 2, ∴a －bcv ≥a －bc 2>0 ∴S (va +bv )≥S (ca +bc ),当且仅当v =c 时等号成立，也即当v =c 时，有y min ＝S (ca +bc )；综上可知，为使全程运输成本y 最小，当bab ≤c 时，行驶速度应为v =bab , 当bab >c 时行驶速度应为v =c解法二 (1)同解法一(2)∵函数y =S (va +bv ), v ∈(0,+∞),当x ∈(0,ba )时，y 单调减小，当x ∈(ba ,+∞)时y 单调增加，当x =ba 时y 取得最小值，而全程运输成本函数为y =Sb (v +vb a),v ∈(0,c ]∴当ba ≤c 时，则当v =ba 时，y 最小，若ba >c 时，则当v =c 时，y 最小 结论同上例3 设函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y ),当x >0时f (x )<0且f (3)=－4(1)求证 f (x )为奇函数；(2)在区间［－9，9］上，求f (x )的最值 (1）证明 令x =y =0,得f (0)=0令y =－x ,得f (0)=f (x )+f (－x ),即f (－x )=－f (x ) ∴f (x )是奇函数(2）解 1°,任取实数x 1、x 2∈［－9,9］且x 1＜x 2,这时，x 2－x 1>0, f (x 1)－f (x 2)=f ［(x 1－x 2)+x 2］－f (x 2)=f (x 1－x 2)+f (x 2)－f (x 1)=－f (x 2－x 1) 因为x >0时f (x )＜0,∴f (x 1)－f (x 2)>0 ∴f (x )在［－9，9］上是减函数故f (x )的最大值为f (－9),最小值为f (9)而f (9)=f (3+3+3)=3f (3)=－12,f (－9)=－f (9)=12∴f (x )在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12 学生巩固练习1 函数y =x +a 与y =log a x 的图像可能是( )2定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图像与f(x)的图像重合，设a>b>0,给出下列不等式①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)其中成立的是( )A①与④B②与③C①与③D②与④3若关于x的方程22x+2x a+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是____ 4设a为实数，函数f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值5设f(x)=x++lg11(1)证明f(x)在其定义域上的单调性；(2)证明方程f-1(x)=0有惟一解；(3)解不等式f［x(x－21)］6定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f(xyyx++1);②当x∈(－1,0)时，有f(x)>0求证)21()131()111()51(2fnnfff>+++++7某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价8已知函数f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定义，且在(0,+∞)上是增函数，f(1)=0,又g(θ)=sin2θ－m cosθ－2m,θ∈［0,2π］,设M={m|g(θ)<0,m∈R },N ={m |f ［g (θ)］<0},求M ∩N 参考答案:1 解析 分类讨论当a >1时和当0＜a ＜1时 答案 C2 解析 用特值法，根据题意，可设f (x )=x ,g (x )=|x |,又设a =2,b =1, 则f (a )=a ,g (a )=|a |,f (b )=b ,g (b )=|b |,f (a )－f (b )=f (2)－f (－1)=2+1=3 g (b )－g (－a )=g (1)－g (－2)=1－2=－1 ∴f (a )－f (－b )>g (1)－g (－2)=1－2=－1 又f (b )－f (－a )=f (1)－f (－2)=1+2=3g (a )－g (－b )=g (2)－g (1)=2－1=1,∴f (b )－f (－a )=g (a )－g (－b ) 即①与③成立 答案 C3 解析 设2x =t >0，则原方程可变为t 2+at +a +1=0 ①方程①有两个正实根，则⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>-=+≥+-=∆0100)1(421212a t t a t t a a解得 a ∈(－1,2－22]答案 (－1，2－22]4 解 (1)当a =0时，函数f (－x )=(－x )2+|－x |+1=f (x ),此时f (x )为偶函数；当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (－a )=a 2+2|a |+1,f (－a )≠f (a ),f (－a )≠－f (a ) 此时函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数(2)①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2－x +a +1=(x －21)2+a +43,若a ≤21,则函数f (x )在(－∞,a ]上单调递减，从而，函数f (x )在(－∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1若a >21,则函数f (x )在(－∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ,且f (21)≤f (a )②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x －a +1=(x +21)2－a +43;当a ≤－21时，则函数f (x )在［a ,+∞)上的最小值为f (－21)=43－a ,且f (－21)≤f (a )若a >－21, 则函数f (x )在［a ,+∞)上单调递增，从而，函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (a )=a 2+1综上，当a ≤－21时，函数f (x )的最小值是43－a ,当－21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1;当a >21时，函数f (x )的最小值是a5 (1)证明 由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+-02011x xx得f (x )的定义域为(－1，1)，易判断f (x )在(－1，1)内是减函数(2)证明 ∵f (0)=21,∴f -－1(21)=0,即x =21是方程f -－1(x )=0的一个解若方程f -－1(x )=0还有另一个解x 0≠21,则f -－1(x 0)=0,由反函数的定义知f (0)=x 0≠21,与已知矛盾，故方程f -－1(x )=0有惟一解(3)解 f ［x (x －21)］＜21,即f ［x (x －21)］＜f (0).415121041510)21(1)21(1+<<<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-<-∴x x x x x x 或6 证明 对f (x )+f (y )=f (xyy x ++1)中的x ,y ,令x =y =0,得f (0)=0,再令y =－x ,又得f (x )+f (－x )=f (0)=0,即f (－x )=－f (x ), ∴f (x )在x ∈(－1,1)上是奇函数设－1＜x 1＜x 2＜0,则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=f (21211x x x x --),∵－1＜x 1＜x 2＜0,∴x 1－x 2＜0,1－x 1x 2>0 ∴21211x x x x --＜0,于是由②知f (21211x x x x --) >0,从而f (x 1)－f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),故f (x )在x ∈(－1,0)上是单调递减函数 根据奇函数的图像关于原点对称，知f (x )在x ∈(0,1)上仍是递减函数，且f (x )＜02111(1)(2)()[][]131(1)(2)11(1)(2)n n f f f n n n n n n ++==++++--++111112()()()1112112n n f f f n n n n -++==-++-⋅++2111()()()51131f f f n n ∴+++++11111111[()()][()()][()()]()(),23341222f f f f f f f f n n n =-+-++-=-+++ 1101,()0,22f n n <<<++ 时有111()()(),.222f f f n ∴->+故原结论成立7 解 (1)因污水处理水池的长为x 米，则宽为x200米，总造价y =400(2x +2×x200)+248×x200×2+80×200=800(x +x324)+1600,由题设条件⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<162000,160x x解得12 5≤x ≤16,即函数定义域为［12 5，16］(2)先研究函数y =f (x )=800(x +x324)+16000在［12 5,16］上的单调性，对于任意的x 1,x 2∈［12 5,16］,不妨设x 1＜x 2,则f (x 2)－f (x 1)=800［(x 2－x 1)+324(1211x x -)］=800(x 2－x 1)(1－21324x x ),∵12 5≤x 1≤x 2≤16∴0＜x 1x 2＜162＜324,∴21324x x >1,即1－21324x x ＜0又x 2－x 1>0,∴f (x 2)－f (x 1)＜0,即f (x 2)＜f (x 1), 故函数y =f (x )在［12 5,16］上是减函数∴当x =16时，y 取得最小值，此时，y min =800(16+16324)+16000=45000(元)，16200200=x=12 5(米）综上，当污水处理池的长为16米，宽为12 5米时，总造价最低，最低为45000元8 解 ∵f (x )是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数， ∴f (x )在(－∞,0)上也是增函数又f (1)=0,∴f (－1)=－f (1)=0,从而，当f (x )＜0时，有x ＜－1或0＜x ＜1, 则集合N ={m |f ［g (θ)］＜θ＝}={m |g (θ)＜－1或0＜g (θ)＜1}, ∴M ∩N ={m |g (θ)＜－1}由g (θ)＜－1,得cos 2θ>m (cos θ－2)+2,θ∈［0,2π］,令x =cos θ,x ∈［0,1］得 x 2>m (x －2)+2,x ∈［0,1］， 令① y 1=x 2,x ∈［0,1］及②y 2=m (m －2)+2,显然①为抛物线一段，②是过(2，2)点的直线系， 在同一坐标系内由x ∈［0,1］得y 1>y 2∴m >4－22,故M ∩N ={m |m >4－22}课前后备注12、题目 高中数学复习专题讲座等差数列、等比数列性质的灵活运用 高考要求等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申 应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视 高考中也一直重点考查这部分内容 重难点归纳1 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用2 在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形3 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=412-x(x <－2)(1)求f (x )的反函数f -－1(x ); (2)设a 1=1,11+n a =－f－-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由命题意图 本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力知识依托 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题错解分析 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{21n a }为桥梁求a n ,不易突破技巧与方法 (2)问由式子41121+=+nn a a 得22111nn a a -+=4,构造等差数列{21na },从而求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想解 (1)设y =412-x,∵x <－2,∴x =－214y+,即y =f－-1(x )=－214y+ (x >0)(2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴an(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n ,设g (n )=1425+n ,∵g (n )=1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m 成立例2设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)命题意图 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力知识依托 本题须利用等比数列通项公式、前n 项和公式合理转化条件，求出a n ;进而利用对数的运算性质明确数列{lg a n }为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解错解分析 题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方技巧与方法 突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n 是n 的二次函数，也可由函数解析式求最值解法一 设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a mm化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 ),1(9114121a q q q a q q解得设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg a 1q 2+…+lg a 1q n －1=lg a 1n ·q 1+2+…+(n －1) =n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3=(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5,故{lg a n }的前5项和最大解法二 接前，⎪⎩⎪⎨⎧==311081q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg31,∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 31为公差的等差数列，令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0, ∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5 5由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大例3 等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________解法一 将S m =30,S 2m =100代入S n =na 1+2)1(-n n d ,得11(1)3022(21)21002m m m a d m m m a d -⎧+= ⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩ ① ②2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S mma md m 解得解法二 由]2)13([32)13(33113dm a m d m m ma S m -+=-+=知，要求S 3m 只需求m ［a 1+2)13(dm -］,将②－①得ma 1+2)13(-m m d =70,∴S 3m =210解法三 由等差数列{a n }的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n =An 2+Bn (A 、B 是常数）将S m =30,S 2m =100代入，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+m B mA mB m A Bm Am 1020 1002)2(30222,∴S 3m =A ·(3m )2+B ·3m =210解法四S 3m =S 2m +a 2m +1+a 2m +2+…+a 3m =S 2m +(a 1+2md )+…+(a m +2md ) =S 2m +(a 1+…+a m )+m ·2md =S 2m +S m +2m 2d由解法一知d =240m,代入得S 3m =210解法五 根据等差数列性质知 S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列， 从而有 2(S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m ) ∴S 3m =3(S 2m －S m )=210解法六 ∵S n =na 1+2)1(-n n d ,∴nS n =a 1+2)1(-n n d∴点(n , nS n )是直线y =2)1(dx -+a 1上的一串点，由三点(m ,mS m ),(2m ,mS m 22),(3m , mS m 33)共线，易得S 3m =3(S 2m －S m )=210解法七 令m =1得S 1=30，S 2=100，得a 1=30,a 1+a 2=100,∴a 1=30,a 2=70 ∴a 3=70+(70－30)=110 ∴S 3=a 1+a 2+a 3=210 答案 210 学生巩固练习1 等比数列{a n }的首项a 1=－1,前n 项和为S n ,若3231510=S S ，则lim ∞→n S n等于( )32 B. 32A.-C 2D－22 已知a ,b ,a +b 成等差数列，a ,b ,ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是_________3 等差数列{a n }共有2n +1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________4 已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则yc xa +=_________5 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0 (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1、S 2、…、S 12中哪一个值最大，并说明理由6 已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列a 1b ,a 2b ,…,a nb ,…为等比数列，其中b 1=1,b 2=5,b 3=17(1)求数列{b n }的通项公式；(2)记T n =C 1n b 1+C 2n b 2+C 3n b 3+…+C nn b n ,求nnn n bT +∞→4lim7 设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,分别求出{a n }及{b n }的前n 项和S 10及T 108 {a n }为等差数列，公差d ≠0,a n ≠0,(n ∈N *),且a k x 2+2a k +1x +a k +2=0(k ∈N *)(1)求证 当k 取不同自然数时，此方程有公共根； (2)若方程不同的根依次为x 1,x 2,…,x n ,…,求证 数列11,,11,1121+++n x x x 为等差数列参考答案:1 解析 利用等比数列和的性质依题意，3231510=S S ，而a 1=－1,故q ≠1,∴3213232315510-=-=-S S S ,根据等比数列性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10,…,也成等比数列， 且它的公比为q 5,∴q 5=－321,即q =∴.321lim 1-=-=∞→qa S n n答案 B2 解析 解出a 、b ,解对数不等式即可 答案 (－∞,8)3 解析 利用S 奇/S 偶=nn 1+得解答案 第11项a 11=29 4 解法一 赋值法解法二 b =aq ,c =aq 2,x =21(a +b )=21a (1+q ),y =21(b +c )=21aq (1+q ),yc xa +=)1(41)1(21)1(2122222q q a q q a q q a xycx ay ++++=+=2答案 25 (1)解 依题意有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+==+=0212131302111212,12211311213d a S d a S d a a解之得公差d 的取值范围为－724＜d ＜－3(2)解法一 由d ＜0可知a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13,因此，在S 1，S 2，…，S 12中S k 为最大值的条件为 a k ≥0且a k +1＜0,即⎩⎨⎧<-+≥-+0)2(0)3(33d k a d k a∵a 3=12,∴⎩⎨⎧-<-≥122123d kd d kd ，∵d ＜0,∴2－d12＜k ≤3－d12∵－724＜d ＜－3,∴27＜－d12＜4,得5 5＜k ＜7因为k 是正整数，所以k =6,即在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大 解法二 由d ＜0得a 1>a 2>…>a 12>a 13，若在1≤k ≤12中有自然数k ,使得a k ≥0,且a k +1＜0, 则S k 是S 1，S 2，…，S 12中的最大值 由等差数列性质得，当m 、n 、p 、q ∈N *,且m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q 所以有2a 7=a 1+a 13=132S 13＜0,∴a 7＜0,a 7+a 6=a 1+a 12=61S 12>0,∴a 6≥－a 7>0,故在S 1，S 2，…，S 12中S 6最大解法三 依题意得 )(2)212()1(221n nd d n d n n na S n -+-=-+=222)]245(21[,0,)245(8)]245(21[2dn d dd dn d --∴<----=最小时，S n 最大；∵－724＜d ＜－3,∴6＜21(5－d24)＜6 5从而，在正整数中，当n =6时，［n －21 (5－d24)］2最小，所以S 6最大点评 该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易 第(2)问难度较高，为求{S n }中的最大值S k ,1≤k ≤12,思路之一是知道S k 为最大值的充要条件是a k ≥0且a k +1＜0，思路之三是可视S n 为n 的二次函数，借助配方法可求解 它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点 而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解6 解 (1)由题意知a 52=a 1·a 17，即(a 1+4d )2=a 1(a 1+16d )⇒a 1d =2d 2,∵d ≠0,∴a 1=2d ,数列{nb a }的公比q =11154a d a a a +==3,∴nb a =a 1·3n －1①又nb a =a 1+(b n －1)d =121a b n +②由①②得a 1·3n －1=21+n b ·a 1 ∵a 1=2d ≠0,∴b n =2·3n －1－1(2)T n =C 1n b 1+C 2n b 2+…+C nn b n=C 1n (2·30－1)+C 2n ·(2·31－1)+…+C n n (2·3n －1－1) =32(C 1n +C 2n ·32+…+C n n ·3n )－(C 1n +C 2n +…+C nn )=32［(1+3)n －1］－(2n －1)=32·4n －2n +31,.32)41()43(211)41(31)21(32lim 1324312432lim4lim11=-⋅++-=-⋅++-⋅=+∴-∞→-∞→∞→n n nn n n nnnn nnn n b T7 解 ∵{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，∴a 2+a 4=2a 3,b 2·b 4=b 32,已知a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,∴b 3=2a 3,a 3=b 32,得b 3=2b 32,∵b 3≠0,∴b 3=21,a 3由a 1=1,a 3=41，知{a n }的公差d =－83,∴S 10=10a 1+2910⨯d =由b 1=1,b 3=21,知{b n }的公比q =22或q =－22,).22(32311)1(,22);22(32311)1(,221011010110-=--=-=+=--==qq b T q q q b T q 时当时当8 证明 (1）∵{a n }是等差数列，∴2a k +1=a k +a k +2, 故方程a k x 2+2a k +1x +a k +2=0可变为(a k x +a k +2)(x +1)=0, ∴当k 取不同自然数时，原方程有一个公共根－1(2）原方程不同的根为x k =kkk kk a d a d a a a 2122--=+-=-+1,12k k a x d∴=-+111111()()1122222k k k k k k a a a a d x x dddd+++---=---===-++常数11{}.12k x ∴-+是以为公差的等差数列课前后备注13、题目 高中数学复习专题讲座数列的通项公式与求和的常用方法 高考要求数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法 重难点归纳1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性2 数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式 a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n3 求通项常用方法①作新数列法 作等差数列与等比数列 ②累差叠加法 最基本形式是a n =(a n －a n －1+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1 ③归纳、猜想法4 数列前n 项和常用求法 ①重要公式1+2+…+n =21n (n +1)12+22+…+n 2=61n (n +1)(2n +1)13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=41n 2(n +1)2②等差数列中S m +n =S m +S n +mnd ，等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n③裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项1111,!(1)!!,ctg ctg 2,(1)1sin 2n n n n ααn n nn α=-⋅=+-=-++11111C C C ,(1)!!(1)!n r rnnn n n n -+=-=-++等④错项相消法 ⑤并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法 典型题例示范讲解例1已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)，(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，都有nn c c b c b c +++2111=a n +1成立，求lim∞→n nn 212+命题意图 本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力知识依托 本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n 项和，实质上是该数列前n 项和与数列{a n }的关系，借助通项与前n 项和的关系求解c n 是该条件转化的突破口错解分析 本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a 1、b 1、d 、q ，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键技巧与方法 本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{d n }运用和与通项的关系求出d n ，丝丝入扣解 (1)∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2， ∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)； 又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(qq b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，()2!!x ar n r →∞→∞-∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 (2)令nn b c =d n ，则d 1+d 2+…+d n =a n +1,(n ∈N *),∴d n =a n +1－a n =2, ∴nn b c =2,即c n =2·b n =8·(－2)n －1；∴S n =38［1－(－2)n ］∴2lim ,1)21(2)21()2(1)2(121222212212-=--+-=----=+∞→++nn n nnnn nn S S S S例2设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n =23 (a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n =4n +3;(1)求数列{a n }的通项公式；(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明 数列{d n }的通项公式为d n =32n +1;(3)设数列{d n }的第n 项是数列{b n }中的第r 项，B r 为数列{b n }的前r 项的和；D n 为数列{d n }的前n 项和，T n =B r －D n ，求lim∞→n n n命题意图 本题考查数列的通项公式及前n 项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力知识依托 利用项与和的关系求a n 是本题的先决；(2)问中探寻{a n }与{b n }的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点错解分析 待证通项d n =32n +1与a n 的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r 与n 的关系，使T n 中既含有n ，又含有r ，会使所求的极限模糊不清技巧与方法 (1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n 与r 的关系，正确表示B r ，问题便可迎刃而解解 (1)由A n =23(a n －1)，可知A n +1=23(a n +1－1)，∴a n +1－a n =23 (a n +1－a n )，即nn a a 1+=3，而a 1=A 1=23 (a 1－1)，得a 1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{a n }的通项公式a n =3n(2)∵32n +1=3·32n =3·(4－1)2n=3·［42n +C 12n ·42n －1(－1)+…+C 122-n n·4·(－1)+(－1)2n ］=4n +3， ∴32n +1∈{b n } 而数32n =(4－1)2n=42n +C 12n ·42n －1·(－1)+…+C 122-n n·4·(－1)+(－1)2n =(4k +1)， ∴32n ∉{b n }，而数列{a n }={a 2n +1}∪{a 2n }，∴d n =32n +1(3)由32n +1=4·r +3，可知r =43312-+n ，∴B r =)19(827)91(9127,273433)52(2)347(1212-=-⋅-=+⋅-=+=++++nnn n n D r r r r ，89)(lim,3)(,433811389)19(827821349444241212=∴=+⋅-⋅=---⋅+=-=∴∞→++n n n nn nnnn n n r n a T a D B T例3 设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项(1)写出数列{a n }的前3项(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)(3)令b n =)(2111+++n n nn a a a a (n ∈N *)，求lim ∞→n (b 1+b 2+b 3+…+b n －n )解析 (1)由题意，当n =1时，有11222S a =+，S 1=a 1，∴11222a a =+，解得a 1=2 当n =2时，有22222S a =+，S 2=a 1+a 2，将a 1=2代入，整理得(a 2－2)2=16，由a 2＞0，解得a 2=6当n =3时，有33222S a =+，S 3=a 1+a 2+a 3，将a 1=2，a 2=6代入，整理得(a 3－2)2=64，由a 3＞0，解得a 3=10 故该数列的前3项为2，6，10(2）解法一 由(1）猜想数列{a n } 有通项公式a n =4n －2 下面用数学归纳法证明{a n }的通项公式是a n =4n －2，(n ∈N *） ①当n =1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a 1=2，所以上述结论成立②假设当n =k 时，结论成立，即有a k =4k －2，由题意，有kk S a 222=+，将a k =4k －2 代入上式，解得2k =k S 2，得S k =2k 2，由题意，有11222++=+k k S a ，S k +1=S k +a k +1，将S k =2k 2代入得(221++k a )2=2(a k +1+2k 2)，整理得a k +12－4a k +1+4－16k 2=0，由a k +1＞0，解得a k +1=2+4k ， 所以a k +1=2+4k =4(k +1)－2，即当n =k +1时，上述结论成立根据①②，上述结论对所有的自然数n ∈N *成立解法二 由题意知nn S a 222=+，(n ∈N *) 整理得，S n =81(a n +2)2,由此得S n +1=81(a n +1+2)2，∴a n +1=S n +1－S n =81［(a n +1+2)2－(a n +2)2］整理得(a n +1+a n ）(a n +1－a n －4)=0， 由题意知a n +1+a n ≠0，∴a n +1－a n =4，即数列{a n }为等差数列，其中a 1=2，公差d =4∴a n =a 1+(n －1)d =2+4(n －1)，即通项公式为a n =4n －2解法三 由已知得nn S a 222=+,(n ∈N *) ①，所以有11222++=+n n S a ②，由②式得11222++=+-n n n S S S ，整理得S n +1－22·1+n S +2－S n =0， 解得nn S S ±=+21，由于数列{a n }为正项数列，而2,211>+∴=+n n S S S ，因而n n S S +=+21，即{S n }是以21=S 为首项，以2为公差的等差数列所以n S = 2+(n －1) 2=2n ,S n =2n 2， 故a n =⎩⎨⎧≥-=-=-)2(,24)1(,21n n S S n n n 即a n =4n －2(n ∈N *)(3)令c n =b n －1，则c n =)2(2111-+++n n nn a a a a1212111[(1)(1)],221212121n n n n n n +-=-+-=--+-+1212n n b b b n c c c +++-=+++ 111111(1)()()1,335212121n n n =-+-++-=--++121()(1) 1.lim lim 21n n n b b b n n →∞→∞∴+++-=-=+学生巩固练习1 设z n =(21i -)n ，(n ∈N *)，记S n =｜z 2－z 1｜+｜z 3－z 2｜+…+｜z n +1－z n ｜，则lim ∞→n S n =_________2 作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________3 数列{a n }满足a 1=2，对于任意的n ∈N *都有a n ＞0,且(n +1)a n 2+a n ·a n +1－na n +12=0，又知数列{b n }的通项为b n =2n －1+1(1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)猜想S n 与T n 的大小关系，并说明理由4 数列{a n }中，a 1=8,a 4=2且满足a n +2=2a n +1－a n ,(n ∈N *) (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n =｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜,求S n ;(3)设b n =)12(1n a n -(n ∈N *),T n =b 1+b 2+……+b n (n ∈N *),是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *均有T n ＞32m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由5 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =(m +1)－ma n 对任意正整数n 都成立，其中m 为常数，且m ＜－1(1)求证 {a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比q =f (m )，数列{b n }满足 b 1=31a 1,b n =f (b n －1)(n ≥2,n∈N *) 试问当m 为何值时，)(3lim )lg (lim 13221n n n n n n b b b b b b a b -∞→∞→+++=⋅ 成立？6 已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145 (1)求数列{b n }的通项b n ；(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论7 设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式 3tS n －(2t +3)S n －1=3t (t ＞0,n =2,3,4…)(1)求证 数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1=1,b n =f (11-n b )(n =2,3,4…)，求数列{b n }的通项b n ；(3)求和 b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1 参考答案,)22(|)21()21(|||:.1111+++=---=-=n nn n n n i i z z c 设解析22)22(1221])22(1[2121--=--=+++=∴nnn n c c c S221222221lim +=+=-=∴∞→n n S答案 1+222 解析 由题意所有正三角形的边长构成等比数列{a n }，可得a n =12-n a ，正三角形的内切圆构成等比数列{r n }，可得r n =12163-n a ,∴这些圆的周长之和c =lim ∞→n 2π(r 1+r 2+…+r n )=233π a 2，面积之和S =lim ∞→n π(n 2+r 22+…+r n 2)=9πa 2答案 周长之和233πa ，面积之和9πa 23 解 (1）可解得11+=+n n a a nn ，从而a n =2n ，有S n =n 2+n ，(2)T n =2n +n －1(3)T n －S n =2n －n 2－1，验证可知，n =1时，T 1=S 1，n =2时T 2＜S 2；n =3时，T 3＜S 3;n =4时，T 4＜S 4；n =5时，T 5＞S 5；n =6时T 6＞S 6 猜想当n ≥5时，T n ＞S n ，即2n ＞n 2+1可用数学归纳法证明(略）4 解 (1）由a n +2=2a n +1－a n ⇒a n +2－a n +1=a n +1－a n 可知{a n }成等差数列，d =1414--a a =－2,∴a n =10－2n(2)由a n =10－2n ≥0可得n ≤5，当n ≤5时，S n =－n 2+9n ， 当n ＞5时，S n =n 2－9n +40，故S n =⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤+-540951 922n n n n n n(3)b n =)111(21)22(1)12(1+-=+=-n n n n a n n)1(2)]111()3121()211[(2121+=+-++-+-=+++=∴n n n nb b b T n n ；要使T n ＞32m 总成立，需32m ＜T 1=41成立，即m ＜8且m ∈Z ，故适合条件的m 的最大值为7 5 解 (1）由已知S n +1=(m +1)－ma n +1 ①， S n =(m +1)－ma n ②, 由①－②，得a n +1=ma n －ma n +1，即(m +1)a n +1=ma n 对任意正整数n 都成立 ∵m 为常数，且m ＜－1∴11+=+m m a a nn ，即{1+n n a a }为等比数列(2)当n =1时，a 1=m +1－ma 1，∴a 1=1，从而b 1由(1)知q =f (m )=1+m m ，∴b n =f (b n －1)=111+--n n b b (n ∈N *,且n ≥2)∴1111-+=n nb b ，即1111=--n nb b ，∴{nb 1}为等差数列 ∴nb 1=3+(n －1)=n +2，21+=∴n b n (n ∈N *)11(),(lg )[lg ]lg ,lim lim 1211n n n n n n m n m m a b a m n m m -→∞→∞-=∴⋅==++++ 122311111113()3()1lim lim 344512n n n n b b b b b b n n -→∞→∞+++=-+-++-=++ 而lg1,10,11m m m m m =∴=∴=-++由题意知6 解 (1)设数列{b n }的公差为d ，由题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1452)110(1010111d b b解得b 1=1,d =3,∴b n =3n －2(2)由b n =3n －2,知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n )=log a ［(1+1)(1+41) (1)231-n )］，31log a b n +1=log。
2009年普通高等学校招生全国统一考试语文全国Ⅱ逐题详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ）逐题详解语文第一卷（选择题，共30分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时l50分钟。
第Ⅰ卷本卷共l0小题。
每小题3分。
共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
一、（12分，每小题3分）1.下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是A.作．坊（zuō）心广体胖．（pán）处．方（chǔ）给予．帮助（jǐ）B.燕．山（yān）戎马倥偬．（zǒng）落．枕（lào）分．外高兴（fēn）C.干．系（gān）呼天抢．地（qiǎng）饮．马（yìn）供不应．求（yìng）D.泡．桐（pāo）济济．．一堂（jǐ）空．余（kòng）作者附识．（shí）【答案】A【考点】识记现代汉语普通话的字音，能力层级为识记 A【解析】B项分fèn外高兴，C呼天抢qiāng地，D作者附识zhì。
【思路分析】本题主要考查多音字，多音字的识记，一要注意从词语含义上区别；二要注意从词性上区别，如“处”；三要注意通过书面语与口头语的不同记忆，如“血”；四要注意记少不记多，像“胖”只有“心广体胖”中读pán，记住这一处特殊读音既可。
2.下列各句中，加点的成语使用不正当的一项是A.研究结果表明，那些心态平和、性格开朗、胸怀宽广的人比那些愁眉苦脸、孤独紧张、忧心忡忡．．．．的人出现精神疾患的概率要少50﹪。
B.对于在战略上的调整使该公司必须做出选择：要么联手业内巨头，强势逼宫，使对手就范；要么急流勇．．．退．，套现获利，回归软件市场。
C.自第三分钟朴智星被断球后，曼联队在五分钟内竟然无法控制局面，而阿森纳队排山倒海．．．．般地高速狂攻，压得曼联喘不过气来。
D.新版电视剧《四世同堂》引起争议，有人认为该局加进了太多现代元素，把一幅老北京市井生活画卷变得南腔北调．．．．，丢掉了原著的灵魂。
2009高考备考
2009年大纲(课标)解读共8条修改一、能力要求1条08年“F 探究：指探讨疑难问题，有所发现和创新，是在识记、理解和分析综合的基础上发展了的能力层级。
”改为“F 探究：指对某些问题进行探讨，有见解、有发现、有创新，是在识记、理解和分析综合的基础上发展了的能力层级。
”解析：1.“某些问题”比“疑难问题”范围更大。
2.增加“有见解”，要求低一些，要求更宽。
这样，可以更灵活、充分地考查考生的可发散、迁移探究能力。
例如08海南宁夏题“14.（8分） 1鲍勃值得同情，因为他重情守信；2鲍勃罪有应得，因为他是通缉犯；3吉米忠于职守，因为他不徇私情；4吉米背叛了友谊，因为他抓捕了朋友。
”也许不算“疑难问题”，也未必“创新”，但能够考查发散、迁移探究能力。
二、必考内容1条08年“（四）写作”增加“表达应用 E”。
解析：原大纲在写作中未明示这项考试能力要求，修改后更严谨。
三、选考内容修订3处，6条。
第一处，1点：08年“鉴赏评价D ⑪体会重要语句的丰富含意，品味精彩语句的表现力。
”改为：“体会重要语句的丰富含意，品味精彩的语言表达艺术。
”解析：表述更为严谨合理。
“精彩的语言”，范围比“精彩语句”大，可以是语段、文段等等甚至全文。
“表达艺术”比“表现力”更全面，可以涉及表现方法和表达效果。
表述更严谨。
第二处，2点：文学类“探究”的（1）（2）两条要求。
08年“（1)从不同的角度和层面发掘作品的丰富意蕴(2)探讨作品蕴含的民族心理和人文精神”改为“（1）从不同的角度和层面发掘作品的意蕴、民族心理和人文精神（2)探讨作者的创作背景和创作意图”。
解析：A.把原来的（1）、(2)两项合为一条。
原“（1) 从不同的角度和层面发掘文本的深层意蕴”和“鉴赏评价”的：“（1）体会重要语句的丰富含意，品味精彩语句的表现力（2）欣赏作品的形象，赏析作品的内涵，领悟作品的艺术魅力（3）对作品表现出来的价值判断和审美取向作出评价”或许有些重复。
高中英语试题解析高考英语单项填空分析指导
2009年高考单项填空分析指导（二）技巧四：利用定势思维受应试教育的影响，不少学校和考生大搞“题海战术”，严重地影响了中学生身心的健康发展，也不利于培养和造就“创新”人才。
为扭转这种局面，命题者反其道而行之，有意设计些“请君入瓮”的试题。
对于这类试题，如我们按照正常的思维方式去解题的话，就容易受思维定势的干扰，从而落入命题者有意设计的圈套、陷阱；若我们使用逆向思维法，则可以排除思维定势的影响，更准确地选出答案。
例1：I can ' t remember when exactly Rthoebinsons left ___ city. I only remember it was ____ Monday.A. the, theB. a, theC. a, aD. the, a 该题的陷阱在第二空，一看到星期名称，考生马上想到“星期名称前不用冠词”这一语法规则；但这仅仅是一般情况，而此处根据语境指“某个星期一”，故其前应使用不定冠词。
答案为D。
例2 ：The day we had been looking forward to ____ at last.A. comeB. cameC. comingD. to comelooki ng forward to sth. / doi ng sth也是同学们记得很牢的一个固定搭配，故会不加思索地选C,其实空白处缺少的是谓语动词，应选B。
此句意为：我们一直盼望的那一天终于到来了！例3：Which do you enjoy ____ your spare time, playing cards at home or taking awalk in the park?A. spendingB. to spendC. having spentD. to have spent同学们对于enjoy 后接动词-ing 形式记得很熟，已成定势，所以会不假思索地选A;而实际上此句enjoy的宾语是which，空白处应填入一个表示目的的不定式，故正确选项应为B 。
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★2009级二轮复习精品专题★---填空题攻略200904★方法总结与2009年高考预测（一）方法总结1. 能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。
2．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。
3. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.（二）2009年高考预测1. 继续出现创新能力题；2．应用问题更用可能前移，在填空题中加大考查应用能力★考点回顾填空题就是不要求写出计算或推理过程，只需将结论直接写出的―求解题‖，它的主要作用是考查考生的基础知识，基本技巧以及分析问题、解决问题的能力，高考试卷中25分．它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。
★数学填空题的特点填空题缺少选择支的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上。
但填空题既不用说明理由，又无须书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题。
填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型。
填空题不需过程，不设中间分，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误。
填空题题小,跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有目的、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力.要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一此解题策略，尽量避开常规解法。
★数学填空题的类型根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等.由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现.二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等.近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.★解数学填空题的原则解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.填空题快速解答---你准备好了吗？Let’s go!（一）数学填空题的解题方法1、直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法.它是解填空题的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法. 例1、设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又)()(b a b a -⊥+，则实数m = 。
解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴0)()(=-⋅+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-⋅-++-++j m m j i m m m j m m ，而i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m 。
例2、已知函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 。
解：22121)(+-+=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x ax g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴21>a 。
例3、现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。
解：由题设，此人猜中某一场的概率为31，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为1331。
例4、在三棱柱ABC —A’B’C’中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB’C’F 将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1:V 2＝ 。
解：由题意分析，结论与三棱柱的具体形状无关，因此，可取一个特殊的直三棱柱，其底面积为4，高为1，则体积V ＝4，而V 1＝13（1＋4＋4）=73，V 2＝V －V 1＝53，则V 1:V 2＝7:5。
例5、已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝ 。
解：令x ＝1，则有（－1）7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1；令x ＝0,则有a 0＝1。
所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－1=－2。
例6、方程log 2(x ＋1)2＋log 4(x ＋1)＝5的解是 。
解：由换底公式得4log 4(x ＋1)＋log 4(x ＋1)＝5，即log 4(x ＋1)＝1,解得x ＝3。
例7、已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈(0,π)，则ctgθ的值是 。
解：已知等式两边平方得sinθcosθ＝－1225，解方程组得sinθ＝45，cosθ＝35，故答案为：－34。
【另解】设tg θ2＝t ，再利用万能公式求解。
例8、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）.解：三名主力排有33A 种，其余7名选2名安排在第二、四位置上有27A 种排法，故共有排法数33A 27A =252种.例9、102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为 .解：10201019281010210101010(2)(1)(242)(1)x x C x C x C x C x +-=+++⋅⋅⋅+-得展开式中10x 的系数为010C -2104C +=179. 例10、已知函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 . 解：22121)(+-+=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x ax g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴21>a . 2、特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.例11、已知（1－2ｘ）７＝ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ２＋…＋ａ７ｘ７，那么ａ1＋ａ2＋…＋ａ７＝_____． 解：将已知与求解对照：ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ２＋…＋ａ７ｘ７=（1－2ｘ）７， ａ1＋ａ2＋…＋ａ７＝？可见取ｘ＝0时，得ａ0＝1；再取ｘ＝1以求值．有 ａ1＋ａ2＋…＋ａ７＝（1－2）７－ａ0＝－2．说明：通过对未知变量x 赋以特殊值0和1，十分简洁地求出了问题的答案，收到了事半功倍的效果．例12、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。
若a 、b 、c 成等差数列，则=++CA CA cos cos 1cos cos 。
解：特殊化：令5,4,3===c b a ，则△ABC 为直角三角形，0cos ,53cos ==C A ，从而所求值为53。
例13、 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长分别为p 、q ，则=+qp 11 。
解：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k 的直线与抛物线均有两个交点P 、Q ，当k 变化时PF 、FQ 的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF 、FQ 不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。
设k = 0，因抛物线焦点坐标为),41,0(a 把直线方程a y 41=代入抛物线方程得ax 21±，∴a FQ PF 21||||==，从而a qp 411=+。
例14、 求值=++++)240(cos )120(cos cos 222 a a a 。
分析：题目中―求值‖二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令0=a ，得结果为23。
已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝ 。
解：令x ＝1，则有（－1）7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1；令x ＝0,则有a 0＝1。
所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－1=－2。
例15、在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列，则=++CA CA cos cos 1cos cos解法一：取特殊值a ＝3, b ＝4, c ＝5 ,则cosA ＝,54cosC ＝0, =++C A C A cos cos 1cos cos 45. 解法二：取特殊角A ＝B ＝C ＝600 cosA ＝cosC ＝21,=++C A C A cos cos 1cos cos 45. 例16、如果函数2()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么(1),(2),(4)f f f 的大小关系是.解：由于(2)(2)f t f t +=-，故知()f x 的对称轴是2x =.可取特殊函数2()(2)f x x =-，即可求得(1)1,(2)0,(4)4f f f ===.∴(2)(1)(4)f f f <<.例17、已知SA ，SB ，SC 两两所成角均为60°，则平面SAB 与平面SAC 所成的二面角为.解：取SA=SB=SC ，则在正四面体S －ABC 中，易得平面SAB 与平面SAC 所成的二面角为1arccos3. 例18、已知,m n 是直线，,,αβγ是平面，给出下列命题：①若,αγβγ⊥⊥，则α∥β；②若,n n αβ⊥⊥，则α∥β；③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；④若,n m αα⊂⊂≠≠，且n ∥β，m ∥β，则α∥β；⑤若,m n 为异面直线，n ⊂≠α，n ∥β，m ⊂≠β,m ∥α，则α∥β.则其中正确的命题是.（把你认为正确的命题序号都填上）解：依题意可取特殊模型正方体AC 1（如图），在正方体AC 1中逐一判断各命题，易得正确的命题是②⑤.3、数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.数形结合，能使抽象的数学问题转化成直观的图形，使抽象思维和形象思维结合起来．这种思想是近年来高考的热点之一，也是解答数学填空题的一种重要策略． 例19、如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<<⊆x x A ，那么实数a 的取值范围是 。