湘教版高中数学选修4-7优选法与试验设计初步：分数法最佳性的理解
1.对分法-湘教版选修4-7优选法与实验设计初步教案
1. 对分法-湘教版选修4-7优选法与实验设计初步教案一、教学目标：1.了解对分法的基本概念和原理；2.了解对分法的用途和适用范围；3.掌握对分法的具体操作方法；4.学会利用对分法进行实验设计。
二、教学重点：1.对分法的基本概念和原理；2.对分法的具体操作方法；3.实验设计中的对分法应用。
三、教学内容：1. 对分法的基本概念和原理对分法是实验设计中常用的一种设计方法，它的基本原理是将试验区域按照某种规则分成若干个不同的区域，每个区域分别进行不同条件的试验，最终比较得出最优策略或最佳方案。
对分法不仅适用于生物学、医学、心理学等社会科学领域，也适用于机械工程、电子工程等自然科学领域。
2. 对分法的用途和适用范围对分法可以用于以下几种情况：1.试验样本数量有限的情况；2.要对多个变量进行控制和观察的情况；3.需要进行多组比较的情况。
3. 对分法的具体操作方法对分法的具体操作方法主要包括以下几个步骤：1.确定对分区域；2.制定试验计划；3.进行实验；4.分析结果。
在确定对分区域时，应根据实验目的和实验条件合理分区。
在制定试验计划时，需考虑控制变量的数量和范围，以及数据的采集和处理方式。
在进行实验时，应尽量减小误差，保证实验结果的准确性。
在分析结果时，应比较各组数据的差异，并综合考虑各种因素，得出最终结论。
4. 实验设计中的对分法应用对分法在实验设计中的应用较为广泛，常见的应用场景包括优化设计、产品改进、工艺优化等。
以产品改进为例，假设某车间需要改进某款机械产品的加工工艺，需确定最佳的工艺参数。
此时可以利用对分法进行设计，将工艺参数按照某种规则划分为若干个区域，分别进行试验，最终得出最优工艺参数组合。
四、教学方法：本课程采用讲授、互动交流和案例演示等教学方法，重点突出实践操作和实验设计。
五、教学评估：采用考试、分组讨论和实验报告等方式，对学生的学习效果进行评估，重点考察其对于对分法的理解和应用能力。
六、参考文献：1.杨秀珍，罗劲松. 对分法的基本原理和操作[C]. 第七届全球科学技术论坛论文集, 2016.2.赵明, 黄智, 杨建国. 基于对分法的优化设计研究[C]. 机械设计与制造, 2017.3.余景胜, 余波. 对分法在产品改进中的应用分析[C]. 工业技术与装备, 2018.。
选修4-7
栏目导引
判断下列函数在[1,6]上哪些是单峰函数： 上哪些是单峰函数： 判断下列函数在 上哪些是单峰函数 1 (1)y＝ ； ＝ x (2)y＝－ 2＋4x－3； ＝－x ＝－ － ； (3)y＝sin x； ＝ ； (4)y＝ x. ＝
选修4－7 优选法与试验设计初步
栏目导引
解析： 由基本初等函数的图象知： 解析： 由基本初等函数的图象知： 1 (1)y＝ 在 [1,6]上是单调递减的， 上是单调递减的， ＝ 上是单调递减的 x 1 上是单峰函数． 所以函数 y＝ 在 [1,6]上是单峰函数． ＝ 上是单峰函数 x 2 2 (2)y＝－ ＋4x－3＝－ －2) ＋ 1. ＝－x ＝－(x－ ＝－ － ＝－ 2 上是单调增加， ∴函数 y＝－x ＋4x－ 3 在[1,2]上是单调增加 ， ＝ － 上是单调增加 上是单调减少． 在 [2,6]上是单调减少． 上是单调减少 ＝－x 上是单峰函数． ∴函数 y＝－ 2＋4x－ 3 在[1,6]上是单峰函数 ． ＝－ － 上是单峰函数
选修4－7 优选法与试验设计初步
栏目导引
(3)y＝ sin x ＝
π π 在1， 上是单调增加，在 ，6 ， 上是单调增加， 2 2
上单调性不确定． 上单调性不确定． 上不是单峰函数． ∴ y＝ sin x 在 [1,6]上不是单峰函数． ＝ 上不是单峰函数 (4)y＝ x在 [1,6]上是单调增加的， 上是单调增加的， ＝ 在 上是单调增加的 ∴ y＝ x在 [1,6]上是单峰函数． ＝ 在 上是单峰函数． 上是单峰函数
选修4－7 优选法与试验设计初步
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单峰函数
单峰函数是研究优选问题的最基本的函数． 单峰函数是研究优选问题的最基本的函数．能 够从定义的角度判断函数是否为单峰函数， 够从定义的角度判断函数是否为单峰函数，为 进一步学习单峰函数的优选法作下铺垫． 进一步学习单峰函数的优选法作下铺垫．
1.现实生活中的优选问题实例-湘教版选修4-7优选法与实验设计初步教案
现实生活中的优选问题实例-湘教版选修4-7优选法与实验设计初步教案一、导入作为生物学和化学中的方法之一，优选法在很多实验中都扮演着重要的角色，选化物质、筛细胞、寻找最佳反应条件等等都与优选法不可或缺。
然而，优选法如果只是单纯地使用，会由于问题的多样性，效率低下，甚至得不到预定的实验效果。
因此，本节课立足于实际生活来将初步的优选法与实验设计互为对应，利用实例和实验让学生了解优选法的优点、问题和改进。
二、铺垫针对学生已有的实验基础，可以提出一些课外实验的情形，比如制作香皂、提炼硫酸铜、测量牛奶质量等等。
通过展现这些案例，可以让学生感受到实验中思考问题和解决问题的重要性，以期能引出实验设计的重要性及方法；同时，若对案例中出现问题的原因、解决方案进行讲解，便可以让学生大致地了解现实生活中优选问题应该如何用更为科学的方式解决。
三、知识讲解在介绍实验设计方法前，需要强调一些优选法的基本原则:•尽可能多的数据可行性: 通过提高实验的重复次数、扩大样品量等手段增加数据量，以此提高结果的可靠性和优选精度。
•拟定科学的实验设计方案：需提前预设好实验流程、原料的取舍、环境条件等参数，有详细的配方表，以使实验准确和有约束性。
•合理地评定实验成功的标准：依据所测量参数来设定合理标准，对数据进行数学分析，然后得到更详细、更符合实际的结果。
这些原则的介绍可以在教学中通过测量、对比等方式展现，在讲解时可以让学生自行思考和探讨。
四、实验设计方法的讲解实验的立项实验立项可以针对不同的实验目的进行具体分析，在制作香皂实验中，可以设定实验目的为了得到数量可控且品质良好的香皂而进行实验。
实验的设计根据实验的立项，需要进行实验的前期设计。
在香皂实验中，可以设计不同的实验参数，如使用不同的原料和配方，不同的硬度程度，不同的致密性等等。
在设计中需要关注的是先要有多个参数，然后对每个参数单独进行调整，以此得到更少的变量，更容易得到最优参数集把。
湘教版高中数学选修4-7优选法与试验设计初步：优选小结
3.优选法中理论最成熟，最基木的方法是对
分法、分数法与0.618法，分数法能从
个待
试点中只试验n个点即得到最优点，当n足够大时，
是一个十分大的数，即分数法免试的
点所占的比例当n较大时远远超过待试点数的半
数。
4.由于目标函数是单峰的，所以当在试验区间 [a，b]内的两个点x1与x2已试验，x1＜x2，且知x2比 x1好时，则丢掉子区间[a，x1），否则丢掉（x2，b]。 所以对于单峰目标函数，若通过试验得知两点上的 函数值时，可从较差的点上把区间切开，留下“较 好点”的那个子区域，如此可以逐渐缩短最优点的 所在区间，直至得到满意的最优点的近似值。
2.优选问题的最优点似可用均匀细分试验区间 的办法，在各均分点上用穷举法逐个普查出对应的 目标函数的取值，再从所有这些均分点上的函数值 中比较选拔出峰值的近似值但这种方法需要试验的 点太多，不是上策。有没有不必穷举试验出所有均 分点上的函数值，尽可能少地试验出其中若干个点 上的目标函数的值即可求得最优点近似值的方法呢？ 有，这种方法就是优选法。
8.优选法是快速地通过试验、比较与鉴别找到 最优的因素值的数学方法，但各种优选法的适用范 围和具体操作是有区别的。
1.从现实生活中与工农商学兵各行业中举出五个 优选问题实例而且加以说明。
2.论述如何用对分法解决“电饭锅做米饭加多少 水”的优选问题。
今天的学习到此结束，大家都学会了么？
谢谢
5.0.618法是分数法的极限情形，与分数法 一样，可以用“对折纸条”的办法，逐次找到下 次需试验的点，0.618法第一试点应取在试验区问 [a，b ]的黄金分割点a+0.618（b-a）处。下一个 试点是上一个试点关于区间中点的对称点，即对 折纸条时，与上一试验点重合的那个点。
高中数学选修4-7综合复习题优选法与试验设计初步
新增考点 优选法和试验设计初步考纲要求：（1）掌握0.618法、分数法及其适用范围，能运用这些方法解决一些简单的实际问题，知道优选法的思想方法；（2）了解斐波那契数列{}n F ，理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明，通过连分数 知道1n nF F -和黄金分割的关系； （3）知道对分法、盲人爬山法、和分批试验法，了解目标函数为多峰情况下的处理方法；（4）了解多因素优选问题，了解处理双因素问题的一些优选方法及其优选的思想方法；（5）了解正交实验的思想和方法，能使用这种方法思考和解决一些简单的实际问题.考点分析：考点1 什么叫做优选法一、要点归纳1. 如果影响试验的某个因素（记为x ）处于某种状态(记为0x x =)时，试验结果最好，那么这种状态（0x x =）就是这个因素（x ）的 .2. 对试验中相关因素的最佳点的选择问题，称为 .3. 利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点，从而解决优选问题的科学试验方法，称为 .4. 优选法是一种旨在 . 在科学试验和生产工艺条件选择中，它可用以合理安排试验，以较少的试验次数找到合理的配方、合适的工艺条件等.它所依据的是 的较快的计算方法.5. 在进行合理的试验安排中，对试验情况的考虑及试验次数的计数，常常用 等计数方法和原理.二、典例分析例1、下列各问题中，不属于优选问题的是（ ）.A 用热水器洗澡时，把开关调到“合适”的位置.B 举重运动员在比赛时，选第一次抓住的重量.C 足球比赛中，上下半场交换场地.D 营养师在调配饮料时，选取合适的“配方”考点2 单峰函数一、要点归纳1. 函数()f x 在区间[],a b 上只有唯一的最大值点(或最小值点)C ，而在最大值点(或最小值点) C 的左侧，函数单调增加(减少)；在C 的右侧，函数单调减少(增加)，则称这个函数为区间[],a b 上的 ，其中C 点叫做 ，最大值(或最小值)称为 .2. 单峰函数 连续函数，也 连续函数.3. 如果函数()f x 在区间(),a b 上有唯一的极值点，则()f x 在区间[],a b 上 单峰函数.4. 如果函数()f x 在区间[],a b 上是单调函数，则()f x 在区间[],a b 上是 .5. 若函数()f x 在区间[],a b 上是单峰函数，C 是最佳点，如果在区间[],a b 上任取12,x x ，如果在试验中效果较好的点是1x ，则必有C 和1x 在2x 的 ，若以2x 为分界点，含1x 点的区间范围是函数的一个 .二、典例分析例1、下列函数中：①2()3f x x x =-；②[]()s i n 2(2,2)f x x x =∈-;③()31()f x x x N =+∈;④3()2f x x x =-其中单峰函数是 .例2、已知32()26f x x x m =-+在区间[]3,2-上是单峰函数，则下列哪个存优范围最小（ ） .A []2,2- .B []1,1- .C 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .D 11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例3、某主要因素对应的目标函数如图所示，若c .A ,d e 都是好点.B 区间[],a d 是一个存优范围.C d 不是好点.D ,a b 是分界点a c d e b例4、已知3221()2323f x x ax a x =-++的定义域是[]0,4 （1）若()f x 的最佳点是3x =，求a 的值；（2）若()f x 是单峰函数，求a 的取值范围.三、达标训练1. 关于单峰函数，有下列说法：①在区间[],a b 上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数；②在区间[],a b 上的单调函数不是单峰函数；③区间上[],a b 的单峰函数可以是不连续函数.其中正确的有 .2. 函数()ln(1)1(0)xf x e x x =-+-≥峰值点（即在何处取峰值）是 .3. 已知函数32()331f x x ax x =+++.（1）若()f x 在[)0,+∞上单调，求a 的取值范围；（2）若()()3g x f x x =-在[]1,4-上是单峰函数，求a 的取值范围.考点3 黄金分割法一、要点归纳1. 黄金分割常数用ω表示，其值ω= ，其近似值是 .2. 利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做 ，又叫 .3. 利用黄金分割法寻找最佳点，为了合理地选取实验点，需要注意两点：①每次要进行比较的两个试验点，应关于 .②每次舍去的区间长和舍去前的区间长的比例数大约是 .4. 在原始的因素范围[],a b 上确定第一个试验点1x 的方法是: 1x = ，在此基础上确定第二个试验点2x = ，即这可以概括为“ ”.5. 在确定第n 个试验点n x 时，如果存优区间的好点是m x ，则n x = .6. 精度是反映试验效率的数值，它和 有关，0.618法中n 次试验后的精度n δ= .在达到精度δ条件下的试验的次数n 应满足： .二、典例分析例1、下列关于黄金分割常数ω的说法中： ①15ω-+=；②0.618ω≈；③11ωω=+；④方程210x x +-=的根是ω. 其中正确的是 .变式1： 若直角三角形中一个内角的正弦值是黄金分割常数ω15ω⎛-+= ⎝⎭，则称这样的 直角三角形为黄金直角三角形.若,,a b c 是黄金直角ABC ∆的三边，且c a b >>.则下列各结论中： ①a c ω=；②b cω=；③2a bc =；④ sin cot A A =. 其中正确的是 . 变式2：如果一个矩形的两边之比是0.618，则称这样的矩形为黄金矩形，已知一个黄金矩 形的一边是1m ，则这个矩形的面积是 2m .( 结果保留两位小数)变式3： 若一个数列{}n a 的前项和后项的比是15ω-+=，称这个数列是黄金数列.设{}n b 是一个黄金数列，且21b =，则下列说法中： ①351b -=；②{}n b 是等比数列；③312b b b =+；④ 21n n n b b b ++=+. 正确的有 .例2、若试验的因素范围是[]10,100，用黄金分割法来确定试验点，则第一个试验点是（ ）.A 0.618 .B 6.18 .C 61.8 .D 65.6例3、配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10mL 到110mL 之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量是（ ）.A 35mL .B 40.9mL .C 33.6mL .D 86.4mL例4、用0.618法确定试点，则经过5次试验后，存优范围缩小为原来的（ ）.A 0.618 .B 40.618 .C 50.618 .D 60.618三、达标训练1. 用0.618法选取试点，试验区间为[]2,4，若第一个试点1x 处的结果比2x 处好，且12x x >，则第三个试点应选取在 .2. 若某实验的因素范围是[]100,1100，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量.分别以n a 表示第n 次试验的加入量（结果都取整数）（1）1a = ；（2）若干次试验后的存优范围包含在区间[]700,750内，则5a = .3. 用黄金分割法对某试验进行优选，要达到精度0.1的要求需要 次试验.4. 配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10mL 到110mL 之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，误差不能超过0.5mL ，则需要做 次试验.（lg0.6180.209≈-）5. 用0.618法进行优选法时，若某次存优范围[]2,b 上的一个好点是2.382，则b 的值为 .考点4 分数法一、要点归纳1. 0.618法不能用于一切优选问题，如某些问题的试验范围是由不连续的点组成，此时一般用 进行优选问题.2. 分数法的基本思想是 来确定第一个试验点的值，后续试点都可以用“ ”的方法来确定.3. 无穷连分数是一个 ，如111111111111ω==++++++.4. 斐波那契数列{}n F 的前两项为 ，从第三项起，每一项是其相邻的前两项的和，即： ，其通项公式是 .5. 用分数法安排试点时，若可能的试点总数正好是某一个 ，则前两个试点放在因素范围的和 位置上.若可能的试点总数大于某一个 ，而小于 ，先分析能否减少试点数，把所有可能的试点数减少为 ；如果不能减少，则采取试点范围之外，虚设几个试点，凑成 个试点.6. 在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从 个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是 .7. 在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n 次试验保证从个试点中找出最佳点.二、典例分析例1、111123=++ . 变式1：若11429n =+，则n = . 变式2：若11191213n >++，则不等式的解集为 . 变式3：设222,x =+++则x = .例2、在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.8,1.2,K K ΩΩ1.8,3,3.5,4,5K K K K K ΩΩΩΩΩ等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第一个试点值的电阻是（ ）.A 0.8K Ω .B 1.8K Ω .C 3K Ω .D 3.5K Ω例3、某试验因素对应的目标函数是单峰函数，若用分数法需要从20个试验点中找到最佳点，则需要做试验的次数是 次.三、达标训练1. 下列关于分数法的叙述中：①分数法是用分数值近似代替黄金分割法常数，分数法和0.618法并无其他不同；②分数法在第一个试点确定后，后续试点都可以用“加两头，减中间”的方法来确定；③在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从11n F +-个试点中保证找出最佳点；④在目标函数为单峰的情形，只有安排分数法安排试验，才能通过n 次试验，保证从1n F -个试点中找出最佳点.其中正确的叙述有 .2. 配置某种饮料，需要加入某种配料.经验表明，加入量超过120ml 肯定不好，用120ml 的锥 形量杯加入量，该量杯的量程分为12格，每格代表10ml ，若用分数法安排各试验点的测试， 则第二次的试点值是 ml.考点5 对分法一、要点归纳1. 试验时对每个试点都取在因素范围的中点，将因素范围对分为两半，这种方法称为 .2. 从试验的效果来看，对分法比0.618法的效果 ，每次可以去掉 存优区间.但并不是所有的试验都可以用对分法，如果每做一次试验，根据结果可以决定 ，就可以用对分法.3. 对分法的操作步骤：第一次在试验因素范围[],a b 的 1x （12a b x +=）处做，然后根据试验结果判断下 次试验的方向，若试验结果表明1x 取小了，那么存优范围是 ；若试验结果表明 1x 取大了，那么存优范围是 . 这样，每试验一次，存优范围就 .4. 用对分法寻找最佳点时，n 次试验后的精度为n δ= .二、典例分析例1、有一条1000m 长的输电线路出现了故障，在线路的开始端处有电，在末端处没有电，现在用对分法检查故障所在位置，则第二次检查点在（ ）.A 500m 处 .B 250m 处 .C 750m 处 .D 250m 或750m 处例2、用对分法进行试验时，3次试验后的精度为 .三、达标训练1. 蒸馒头的问题里，当放碱太少时，馒头不好吃，碱放多了也不好吃，要找到合适的放碱量，则采用（ ）好些..A 黄金分割法 .B 分数法 .C 对分法 .D 盲人爬山法2. 用对分法寻找最佳点时，达到精度为0.01的要求需要 次试验. （lg 0.50.301≈-） 考点6 盲人爬山法一、要点归纳1. 盲人爬山法是一种 的优选法，其依据的原理就是 .2. 盲人爬山法的操作步骤：先找一个起点A (可以根据经验或估计)，在A 点做试验后可以向该因素的减少方向找一点B 做试验，如果好，就 ；如果不好，就往 做试验，这样一步一步地提高.如果增加到E 点，再增加F 点时反而坏了，这时可以从点E 减少增加的步长，如果还是没有E 点好，则 就是该因素的最佳点.3. 盲人爬山法的效果和 关系很大，另外， 对试验效果关系也很大，在实践中往往采用 的办法.二、典例分析例1、关于盲人爬山法，下列说法中，不正确的是（ ）.A 盲人爬山法是一种采用小步调整策略的优选法.B 盲人爬山法的原理就是单峰函数的最佳点和好点在差点的同侧.C 盲人爬山法使用于某些可变因素要调到某点，必须经过由小到大或由大到小的连续过程的问题上.D 盲人爬山法在实践中往往采取“两头大，中间小”，即先在各方向上用大步试探开始 例2、小明家安装了太阳能热水器，水管水温最高时可达075C ，安装技术员小刘告诉小明，在使用过程中，先不要直接打开开关，站在淋浴头下洗，这样容易烫伤，最好先根据个人情况调试好开关（开关从左往右表示水温依次加高）至合适的水温，再去冲洗.这种寻找 “合适”水温的方法是（ ）.A 黄金分割法 .B 分数法.C 对分法 .D 盲人爬山法考点7 分批试验法一、要点归纳1. 分批试验法是为了 而采用的方法，即把全部试验分 ，一批同时安排 ，同时进行比较，一批一批做下去，直到找出最佳点.2. 分批试验法可分为 和 两种.3. 在均匀分批试验法中，假设每批做2n 个试验.(1) 首先2n 个均分点122,,,n x x x ⋅⋅⋅把试验范围均分为 份，若i x 是好点，则存优范围是 .(2) 再将()11,i i x x -+均分为 份，即将2n 个试验点均匀地安排在 ，在未做过试验的 个分点上再做试验.(3) 如此反复，就能找到最佳点.用这个方法，第一批试验后存优范围为原来的 ，以后每批试验后，存优范围都为前次留下的 .4. 比例分割分批试验法适合 的情形.5. 每批试验个数 试验范围等分数 第一批试验点 图示2 7 3，4 2⨯⨯24 17 5，6，11，12 4⨯⨯4⨯⨯46 31 7，8，15，16，23，24 6⨯⨯6⨯⨯6⨯⨯66. （1）先不管是“单峰”还是“多峰”，用 去做，找到一个“峰”后，如果达到预先要求，就先用于生产，以后再找其他更高的“峰”（即 ）.（2）用均匀法做一批试验（试点划分的比例最好按 划分），看它是否有“多峰”现象，如果有，则 ，在 的范围内做试验，把这些 “峰”找出来再比较.二、典例分析例1、（1）对试验范围是(0,6)的单因素进行均分分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点的值分别是（ ）.A 2，5 .B 2，4 .C 3，4 .D 4，5变式1：对试验范围是(2,8)的单因素进行均分分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点的值分别是（ ）.A 3，5 .B 4，7 .C 4，6 .D 5，6变式2：某优选试验中需要用均分分批试验法来寻找最佳点，已知试验范围是(20,100)，若准备每批做3个试验，则第一批试验点的值应该是 .（2）用均分分批试验法在试验范围(2,8)内安排2个试验点，通过试验结果表明有一个是好点，则试验后的存优范围是原来的（ ）.A 13 .B 23 .C 14 .D 12变式1：某优选试验中需要用均分分批试验法来寻找最佳点，已知试验范围是(1,100)，若准备 每批做2个试验，第一批试验后的存优范围是原来的 ，第二批试验后的存优范围是上一批试验后存优范围的 .变式2：某优选试验中需要用均分分批试验法来寻找最佳点，已知试验范围是(1,100)，若准备每批做4个试验，第一批试验后的存优范围是原来的，第二批试验后的存优范围是上一批试验后存优范围的 .变式3：某优选试验中需要用均分分批试验法来寻找最佳点，已知试验范围是(20,100)，若准备每批做3个试验，则第一批试验后的存优范围是原来的 .例2、（1）对试验范围是(0,7)的单因素进行比例分割分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点的值分别是（）.A 2，5 .B 2，3 .C 3，4 .D 4，5变式1：对试验范围是(1,8)的单因素进行比例分割分批试验法，若第一次做2个试验，则这两个试验点的值分别是（）.A 3，6 .B 3，4 .C 4，5 .D 5，6变式2：对试验范围是(2,19)的单因素进行比例分割分批试验法，若第一次做4个试验，则这四个试验点的值分别是（）.A 3，4，5，6 .B 9，10，13，14 .C 7，8，11，12 .D 15，16，17，18 （2）用比例分割分批试验法在试验范围(2,9)内安排2个试验点：5，6，通过试验结果表明有一个是好点，则试验后的存优范围是原来的（）.A 57.B47.C37.D27三、达标训练1. 下列说法中，正确的是（）.A分批试验法因为是分批进行，所以总的试验次数少.B分批试验法因为是为了减少试验周期，兼顾试验设备、代价等方面，加快试验进度而采用的方法.C分批试验法中，均匀分批法比比例分割分批法要好.D分批试验法中，每次的存优范围变化率都相同2. 某优选试验中需要用均分分批试验法来寻找最佳点，已知试验范围是(2,6)，若第一批试验均分4份，取三个试验点，其值分别为进行试验,若好点值是4，则存优范围是 .3. 某优选试验中需要用均分分批试验法来寻找最佳点，已知试验范围是(2,6)，若每批做2个试验，则从第n批开始，每批试验后的存优范围是上一批试验后存优范围的12，那么n的值为 .4. 对试验范围是(0,7)，采用分批试验法，第一批取的试验点的值是3，4，则这种分批试验法是 .5. 在比例分割分批试验法中，每批安排2n个试验点，这2n个试验点可将试验范围等分为n a份，第一批的试验点的第一个值是nb开始取，为此教材中给出了具体的表格，表格中只列出了一每批试验个数试验范围等分数第一批试验点图示2 7 3，4 2⨯⨯24 17 5，6，11，12 4⨯⨯4⨯⨯46 31 7，8，15，16，23，24 6⨯⨯6⨯⨯6⨯⨯6 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅2n n a n b ，1n b +,⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅如：23，则(1)44,a b 的值分别为 ;(2)n a = , n b = . 考点8 多因素优选问题一、要点归纳1．在优选问题中，影响试验结果的因素不只一个，而是有多个因素，这就是 . 双因素问题是最常见的多因素问题，处理双因素问题，一般采用 来解决. 2. 对于双因素的降维法，一般是先 ，对另一个因素进行优选，然后 ， 再对 进行优选，依次继续，直到找到最佳点.3. 处理双因素问题的常见优选方法有 ， ， ， .4. 纵横对折法先用横纵坐标分别表示两个因素，试验的第一步是：先将因素Ⅰ固定 ，对因素Ⅱ进行 ，得到一个最佳点1A .再将因素Ⅱ固定 ，对因素Ⅰ 进行单因素优选，得到一个最佳点1B ，然后比较1A 和1B 的试验结果，丢弃 平面区域.从第二次试验后开始，存优范围将变为前一次的 .5. 从好点出发法对某一因素进行优选试验时，另一因素 （除第一次外）. 若 ，则试验到此结束.6. 平行线法（1）平行线法用于双因素问题中，若一个因素不容易调整，而另一个因素容易调整的情形;（2）步骤：①先将 （记为因素Ⅰ，并用纵坐标表示）固定在因素范围的 处， 用 对另一个因素（记为因素Ⅱ，并用横坐标表示）进行优选，得到最值点A ;②然后再将 固定在其因素范围的 处，再用单因素法对 进行优选，得到最值点B .③若点A 比B 点好，则去掉 ；若A 点比B 点差，则去掉 .④然后按 法找出因素Ⅰ的第三好点，对因素Ⅱ进行单因素优选，⋅⋅⋅，如此继续下去，直到找到满意的结果为止.7. 双因素盲人爬山法在试验范围区域上从某点出发，向 四个方向前进一步，如向右前进一步，若得到的点要好，再 前进一步，若不好，则改变前进方向，⋅⋅⋅， 若在某处D 的四个方向的点都不比D 好，就认为这个双因素单峰问题的最佳点是 .二、典例分析例1、（1）下列关于纵横对折法和从好点出发法的叙述中，正确的是（ ）.A 两种方法都是处理多因素优选问题的试验方法.B 纵横对折法每次的好点都是在因素范围的中点处.C 从好点出发法主要是对某一因素进行优选试验时，另一因素固定在上次试验结果的好点上（第一次除外）.D 从好点出发法每次丢弃的平面区域比纵横对折法要多，所以试验效果要好（2）右图是一个纵横对折法某次试验后得到两个 因素Ⅱ试验点1A ,1B ，比较试验结果表明1B 比1A 好， 40则存优范围（Ⅰ，Ⅱ分别表示两个因素） 1A是 . 30 1B 20 因素Ⅰ 10 15 30例2、右图是某双因素优选试验中的图示，试验好点的生成顺序是1122,,,,A B A B ⋅⋅⋅，则这种试验方法应该是（ ） 时间.A 纵横对折法 10.B 从好点出发法 8.C 平行线法 7.D 盲人爬山法52.2 2.7 33.5压力例3、（1）右图是某双因素试验结果图，则这种方法应该是（ ）.A 纵横对折法 因素Ⅱ.B 从好点出发法 1.C 平行线法.D 盲人爬山法 0.6180.3820 1 因素Ⅰ（2）用平行线法进行双因素单峰问题优选时，在用0.618法先固定某因素，然后再对另一因素进行单因素优选，则每次去掉的试验范围区域面积占存优范围区域面积的 （用小数表示）.例4、右图是某双因素单峰函数的优选试验中所用的盲人爬山法的示意图，由此图可知下列说法中： 因素Ⅱ（1）试验表示先从A 点出发；（2）C 点比B 点好，但比D 点差；（3）F 比E 点好，但比D 点差.正确的说法有（ B ）.A 1个 .B 2个.C 3个 .D 0个 因素Ⅰ三、达标训练1. 下列四个优选方法中，哪一个方法不是用于双因素优选法（ ）.A 纵横对折法 .B 对分法 .C 平行线法 .D 盲人爬山法2. 某一平行线法优选问题中的图如右图所示，则图中a = , b = .因素Ⅰ1b0.618a0 1 因素Ⅱ1.下列函数图像不是单峰函数的图像的是（ ）2.下列函数在区间[－2,7]上是单峰函数的是（ ）(A) 32231y x x =++, (B) 221y x x =+- (C) cos y x = (D) 2sin y x x =+.3.下列哪些函数在区间[1,5]上是单峰函数(1) 312y x x =-, (2) 45y x =-- (3) cot 3y x =+ (4) lg y x =.4．黄金分割常数是下列哪一个方程的根(A) 210x x ++=, (B) 210x x -+= (C) 210x x +-= (D) 210x x --=.5．用黄金分割法找最佳点的过程中，每次舍去后的存优区间占舍去前的全区间的比例数为（ ）(A) 12, (B) 14 (C) 1 (D) 51-. 6．确定第n 个试点n x 时，存优范围内相应的好点是m x ，那么有(A) n x =小+大—m x , (B) m x =小+大—n x (C) m x =大+小—n x (D) n x =大—小—m x .7．黄金分割常数ω的近似分数列为（ ） 8．在1n F -个试点中，用分数法去找到最佳点只需要的试验次数为 ().A n ()1B n - ().1C n + ().2D n9．若试验范围是0130mL ，用分数法去找到最佳点，用10mL 、20mL 、30mL120mL 把试验范围分为13格，则试点12,x x 分别等于（ ） ().50,80A ().80,50B ().80,100C ().80,30D10.．调酒师为了调制一种鸡尾酒.每100k 烈性酒中需要加入柠檬汁的量1000g 到2000g 之间，现准备用黄金分割法找到它的最优加入量.(1) 写出这个试验的操作流程.(2) 如果加入柠檬汁误差不超出1g ，问需要多少次试验? O Y X O Y X O Y X O YX(A)(B)(C)(D)112358(), , , , , , ,235813n n F A F +1112358(),, , , , , , ,1235813n n F B F +12358(), , , , , ,35813n n F C F +()1,2,3,5,8,13D11．阿托品是一种抗胆碱药.为了提高产量、降低成本，利用优选法选择合适的脂化工艺条件.根据分析，主要因素为温度和时间，定出其试验范围为 温度：55℃~75℃， 时间：30min~210min.用从好点出发法对工艺条件进行优选:参照生产条件，先固定温度为55℃,用单因素法优选时间，得最优时间为A ：150min ，再固定时间为150min ，用单因素法优选温度，得最优温度为B ：67℃，再固定温度为67℃，用单因素法再优选时间，得最优时间为C ：80min ，再固定时间为80min ，又对温度进行优选，结果还是67℃好.实际中采用这个工艺进行生产，平均产率提高了多少? 210A B C。
优选法教材中对分数法的几点思考(精)
关于优选法教材中对分数法的几点思考人教A版选修4-7的内容是优选法与试验设计初步.在实践中的许多情况下，试验结果与因素的关系，要么很难用数学形式来表达，要么表达式很复杂，优选法与试验设计是解决这类问题的常用数学方法．简单地说，优选法是合理地安排试验以求迅速找到最佳点的数学方法．试验设计也是一种数学方法，一般说来，它是考虑在多因素情况下安排试验的方法，它可以帮助人们通过较少的试验次数得到较好的因素组合，形成较好的设计方案．人们在做试验时，每个人都有自己的经验，但往往带有盲目性．有时试验次数较少，有的试验次数较多，有时却长时间找不到结果．优选法是从实践中总结和提高得来的，可以帮助我们以尽可能少的试验次数，迅速选定最佳方案，其目的是为了防止盲目性，防止最差效果。
优选法的重点和难点是0.618法和分数法，而分数法是在0.618法的基础上形成的，是用渐进分数代替确定试点的方法, 它可以解决0.618法不能解决的问题.下面对以下4个方面进行思考可以帮助我们理解分数法．一、怎样理解随着n的增大,数列的项越来越趋向于？由于，对，有递推公式．根据数列的这个定义，有==即有（1）类似地计算，又有（2）因此，，（3）于是（4）因为所以，由（3）和（4）知道存在．现在证明这个极限便是．事实上，从看出，记时，适合方程即解方程知．由（4）知道．不仅如此，还有（5）．这说明随着增大会越来越接近于．二、分数法能解决哪几类优选问题？有时碰到试验点只能取整数的情况．例如，某单位在配制某种清洗液时，要优选某材料的加入量，其加入量用150ml（毫升）的量杯来计量，该量杯的整个量程分为15格，每格代表10ml．由于量杯是锥形的，所以，每格的高度不等，很难量出几ml或者是几点几ml，因此不便于用0.618法．在这种情况下，就可以采用分数法．工人在实践中得知某含量的加入量大于130ml以上时肯定不好，因此试验范围就定为0～130ml．中间正好是13格，就可以用来代0.168，第一个试验在80ml 处．以后则用加两头减中间的方法做，这样做几次试验后，就能找到满意的结果．当然，分数法的好处不仅在于此，例如，由于某种条件的限制，只能做几次实验，在这种情况下，采用分数法较好．如果只能做一次试验．就用，其精确度，即这一点与实际最佳点的最大可能距离为．如果只能做二次试验，则用，第一次在处做试验；第二次在处做试验，其精确度为．如果能做三次试验，则可用，其精确度为……．做次试验就用，其精确度为．式中为1，2，3，5，8，13，21，……又如，试验范围是一些不连续的、间隔不等的点组成，试验点只能取某些特定数时只能采用分数法．例如在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有几种阻值不等的电阻，如果阻值为,,,,等七种．如果用0.618法，则计算出来的电阻，调试者手里可能没有．这时我们可以先把这些电阻由小到大，顺序排列：阻值：,,,,．排列：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．这样，就把阻值优选变为排列序号的优选，问题就好办了．做试验时，可在两端增加虚点（0）、（8），然后在0～8之间运用分数法，并用代替0.618，做第一次试验，取第五个电阻即，第二次用第三个电阻即．这样按分数法做下去，就可以较快地找到较好的点．有时试验范围中的份数不够分数中的分母数，例如10份，这时可以用两种方法来解决，一种是分析一下能否缩短试验范围，如能缩短两份，则可应用，如果不能缩短，就可以用第第二种办法，即添几个数，凑足13份，应用．三、分数法与0.618法有哪些区别？分数法与0.618法的本质是相同的,两者的区别在于第1个试点的确定不同．对区间[0，1]而言，0.618法选择的第一个试点为，而分数法选择的第一个试点为，后续的步聚都是相同的，从第2个点开始，两个方法都是用“加两头，减中间”来选取．另外,分数法解决的问题，与0.618法稍有不同，0.618法是做下去看，达到要求即告结束，而分数法是预先给定试验次数，并且在试验范围内划出一些分点，目的是通过这几次试验，找出最好的分点。
湘教版选修4《分数法》教案及教学反思
湘教版选修4《分数法》教案及教学反思一、教案设计1.1 教学背景本课是《数学》选修4中的一节课，属于第三章“数学思想”中的“分数法”部分。
本节课的教学目标是让学生能够了解分数的定义、分数的基本性质、分数的加减乘除、分数与整数的互换等知识。
1.2 教学目标（1）了解分数的定义、分数的基本性质；（2）掌握分数的加减乘除运算方法；（3）能够进行整数和分数的转化。
1.3 教学重点和难点（1）难点：分数与整数的互换。
（2）重点：分数的加减乘除运算。
1.4 教学方法通过讲解、示范、互动、讨论等方式进行。
1.5 教具准备黑板、彩色粉笔、教具包括：分数图示、整数图示、实物。
1.6 教学过程1.第一部分：引入（5分钟）以一幅图形或实物为例，引导学生认识分数的概念，比如一块巧克力可以分成几个部分，每一部分就是分数，从而让学生了解什么是分数，分数的定义和意义等。
2.第二部分：讲解（15分钟）根据学生的理解情况，逐步讲解分数的基本概念和基本性质，并重点阐述分数的加减乘除方法，通过一些例题，引导学生理解和掌握分数的计算方法。
3.第三部分：练习（25分钟）通过小组讨论和个人探究的方式，引导学生独立思考和解决简单的分数计算问题，以课本中的习题作为练习内容，以加深对于分数概念的理解和加强分数计算能力。
4.第四部分：拓展（5分钟）让学生了解分数与整数互换的问题，以及分数的应用领域，如结算问题、比赛得分等，从而丰富学生分数知识。
1.7 教学评价（1）通过观察、讨论等方式，了解学生对于分数的掌握情况；（2）通过小组讨论、个人练习等方式，了解学生对于分数计算的运用能力；（3）通过教学效果反馈及时调整教学策略，对于难点和重点进行强化提醒。
二、教学反思本节课的教学通过引入、讲解、练习和拓展等几个环节，使学生了解、掌握了分数的基本概念、基本性质和基本运算方法，但是在教学过程中还有一些不足之处：（1）时间规划不合理。
在教学的前期引入环节用时过长，造成后面练习和拓展的时间比较紧张，导致相关知识的讲解压缩和练习时间不足；（2）讲解内容可能过于简单。
湘教版高中数学选修4-7优选法与试验设计初步：连分数、和黄金分割的关系
本节我们通过连分数来讨论
以及分数法
与黄金分割法的关系。
什么是“连分数”？先看一个实例。
一般是正整
数。仅当β时有理数时，β的连分数中有有限个分
数线。
下面我们来讨论一个十分漂亮十分有趣的连分 数。
这个无穷个分数线的连分数γ与我们讲的优选 法有密切关系。
因此，分数法与0.618法是有着相似的“折纸 条”式的操作过程，原来它们之间有着极限关系。
今天的学习到此结束，大家都学会了么？
谢谢
γ的渐进分数序列为： 事实上，
假设截止到上数第n-1条分数线得到的是 ， 则截止到第n条分数线如图所示：
γ=？，由于γ的分数线构造，可以看出 解得正根 由于γ大于0，所以只取正根。
至此我们得出连分数γ其实是［0，1］区间的 黄金分割点，而此连分数的结构以及它的渐进分数 列我们又发现 的极限即［0，1］的黄金分割 点，从而0.618法是分数法的极限情形。
1.分数法最佳性的理解-湘教版选修4-7优选法与实验设计初步教案
分数法最佳性的理解-湘教版选修4-7优选法与实验设计初步教案一、前言本教案主要介绍分数法最佳性的理解，帮助学生初步了解优选法以及实验设计，并通过实验加深对分数法最佳性的理解。
本教案适用于湘教版选修4-7的教学。
二、教学目标1.理解分数法最佳性的原理和应用；2.掌握常见的优选法；3.了解实验设计的基本原则；4.运用实验设计和优选法探究问题。
三、教学重点分数法最佳性的理解和应用。
四、教学难点优选法的应用和常见实验设计的选择。
五、教学方法和教学内容1. 教学方法1.讲解法；2.实验演示法；3.课堂讨论法。
2. 教学内容(1) 分数法最佳性的理解•分数法最佳性的含义；•分数法最佳性的计算方法；•分数法最佳性的应用。
(2) 优选法•均一法；•逐步搜索法；•等功率线法。
(3) 实验设计•实验预备；•实验方案设计；•实验步骤说明；•实验结果处理。
六、实验设计1. 实验目的通过本实验，学生应该能够：•了解实验设计的基本原则；•运用优选法探究问题。
2. 实验步骤1.实验预备：1.装备；2.试剂；3.仪器。
2.实验方案设计：1.优选法的选择；2.实验方案的设计。
3.实验步骤说明：1.实验步骤；2.实验注意事项。
4.实验结果处理：1.数据处理；2.结果分析。
3. 实验记录学生应该记录实验方案设计和实验结果处理的内容。
七、教学评价本教案以讲解法和实验演示法为主，通过实验加深对分数法最佳性的理解和应用。
通过课堂讨论法，激发学生的思维和探究欲望，让学生更加深入地了解优选法和实验设计的应用。
2.分数法的最优性-人教A版选修4-7优选法与试验设计初步教案
2.分数法的最优性-人教A版选修4-7 优选法与试验设计初步教案一、教学目标1.理解分数法选优的基本思想。
2.能够利用分数法为多目标问题求解最优解。
3.能够将其他类型的问题转化为分数法问题求解。
4.能够初步了解试验设计的基本概念与方法。
二、教学内容1.分数法的最优性2.试验设计的基本概念和方法三、教学重点1.理解分数法选优的基本思想。
2.能够利用分数法为多目标问题求解最优解。
四、教学难点1.将其他类型的问题转化为分数法问题求解。
2.试验设计的基本概念和方法。
五、教学方法授课、分组讨论、案例分析。
六、教学过程1. 分数法的最优性分数法是一种用于多目标问题求解的一种方法，它可以将多个目标指标通过分数之和的方式转化为单一目标指标，从而求解最优解。
分数法在实际问题中应用广泛，在工程领域尤为常见。
例如，在产品设计中，我们需要考虑多个因素，如造价、质量、效率等，而这些因素往往是相互矛盾的，通过分数法就可以将这些因素综合起来，从而得到最优解。
分数法的具体步骤如下：1.确定需要综合评价的指标和权重。
这些指标和权重通常需要由多方面的专家或者相关人员进行评估和确定。
2.将各项指标和权重代入到分数公式中进行计算。
3.比较各个方案的得分，并选出得分最高的方案。
下面通过一个简单的例子对分数法进行说明：某公司拟投资三项工程，若仅按单一因素–利润进行选优，则可得出箭头所示的最优方案：可见，第二项工程的利润最高，应该优先选择。
如果采用分数法，则可先评估三项工程的成本、利润、风险等几个影响项目投资收益的因素。
假定对这些因素的评分标准和相应权数分别如下表所示：则分别计算三个方案的综合评分，如下表所示：可见，三个方案的综合评分得分相差不多，因此可以认为三个方案的优劣相当。
若不考虑风险因素，则方案B成为最优方案。
2. 试验设计的基本概念和方法试验设计是一种系统地选择试验方案并实施试验，以研究某一因素对试验结果的影响、确定最佳因素水平或确定因素之间的交互关系的方法。
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分数法的最优性
运用分数法解决离散型因素的取点时：
(1)当因素范围内有Fn+1-1个试点时，最 多只需作nБайду номын сангаас试验就能找出其中的最佳点.
(2)通过n次试验，最多能从Fn＋1-1个试 点中保证找出最佳点.
(3)只有按照分数法安排试点，才能通过 n次试验,从Fn＋1-1个试点中保证找出最 佳点.
在Fn-1个试点中，用分数法取点，则 做n-1次试验能保证找到最佳点.反之：
设某试验的因素范围是[0，1] 问：如果只能做2次试验，应该用哪个 渐近分数取试点？两个试点分别在哪？ 精度为多少？
0
1
2
2,1
1
3
33
3
分数法在连续因素试验中的应用
在Fn-1个试点中，用分数法取点，则 做n-1次试验能保证找到最佳点.反之：
设某试验的因素范围是[0，1] 问：如果只能做n-1次试验，应该用哪 个渐近分数取试点？前两个试点分别在 哪？精度为多少？
0
1
Fn1
Fn1 ,1 Fn1 Fn2
1
Fn
Fn
Fn
Fn
Fn
课堂小结
1、分数法适用于单因素单峰函数的 离散因素试验。
2、其操作过程为：先凑(Fn-1)个点， 并增设0、Fn两个虚点，再用渐近分数 Fn-1 /Fn代替，然后按0.618法取试点.
3、分数法的最优性体现为： 试验次数一定，分数法试点范围最大； 试点数目一定，分数法试验次数最少； 只有分数法能保证n-1次验出（Fn-1）点.
谢谢！
分数法在连续因素试验中的应用
在Fn-1个试点中，用分数法取点，则 做n-1次试验能保证找到最佳点.反之：
设某试验的因素范围是[0，1]
问：如果只能做1次试验，应该用哪个
渐近分数取试点？试点落在何处？
1
1
2
2
问：若定义精度为“存优范围”与“因
素范围”之比的一半，则精度为多少？
0.5
分数法在连续因素试验中的应用