选修4-7优选法与试验设计初步 第一讲 优选法 一什么叫优选

思考2：假设因素区间为[0，1]，取两个 试点0.1和0.2，则对峰值在(0，0.1)内 的单峰函数，两次试验存优范围缩小到 了什么区间？对峰值在(0.2，1)内的单 峰函数，两次试验存优范围缩小到了什 么区间？
y y f( x) f( x ) O 0.1 0.2 1 x O 0.1 0.2 1
x
思考4：对于那些试验结果和相关因素的 关系不易用数学形式表达或数学表达很 复杂的优选问题，人们往往通过做试验 的办法来寻找各种因素的最佳点.通过试 验方法来求最佳点时，如果不合理安排， 就可能面临什么问题？ 面临大量试验.
花费大量人力、财力和时间. 有时可能不具有操作性.
思考5：利用数学原理，合理安排试验， 以最少的实验次数迅速找到最佳点的科 学试验方法称为优选法.那么使用优选法 的目的是什么？需要进一步探究的问题 是什么？
选修4－7优选法与试验设计初步
第一讲
优选法
一.什么叫优选法 二.单峰函数
问题提出
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t
1.利用线性规划原理，可以解决在线 性约束条件下，求线性目标函数的最大 值或最小值问题，同时还可以求得使目 标函数取得最大或最小值的最优解.其中 在可行域内寻找最优解，体现了一种优 选法思想.
2.蒸馒头是日常生活中常做的事情， 为了使蒸出的馒头好吃，就要放碱，如 果碱放少了，蒸出的馒头就发酸；碱放 多了，馒头就会发黄且有碱味.如果你没 有做馒头的经验，也没有人可以请教， 就要用数学的方法迅速找出合适的碱量 标准.
3.在实践中的许多最优化问题，试 验结果与因素的关系，有些很难用数学 形式来表达，有些表达式很复杂，这需 要我们学习解决这类问题的数学方法.
1 3 2 2 f ( x) x 2ax 3a x 2 3
例3
已知函数
4 (, 0] U[ , ) 3
小结作业
1.如果影响试验的某个因素（记为x） 处于某种状态（记为x＝x0）时，试验结 果最好，那么这种状态（x＝x0）就是这 个因素（x）的最佳点.
2.具有单峰性的试验是优选法研究的 最简单的试验，在这样的试验中，试验 结果可以表示为实验因素的单峰函数.
t
1.优选法的含意是什么？
利用数学原理，合理安排试验，以最少 的实验次数迅速找到最佳点的科学试验 方法. 2.区间[a，b]上的单峰函数的基本特 点是什么？ 函数在区间[a，b]上只有唯一的最大(小) 值点C，且在点C的两侧单调，并具有相 反的单调性.
3.好点、差点和单峰函数存优范围的 含义分别是什么？
a
两次舍弃后的存优范围占舍弃前全区间 的比例数.
x1 a 思考10：设 t ，有什么办法求出 ba
t的值吗？
5 1 t 2
探究（二）：黄金分割法
思考1： 示，ω ≈0.618.试验方法中，利用黄金 分割常数确定试点的方法叫做黄金分割 法，也叫做0.618法.一般地，利用这个 方法寻找单峰函数在因素区间[a，b]内 的最佳点，具体如何操作？ 在存优范围内取黄金分割点为试点.
a a
x2 x1 x3 x2 x1
b
b x1 x1 x2 ba x1 a
思考9：将上面的等式可得,
如何理解这个等式两边的实际意义？
a
b x1 x1 x2 x1 a x2 a 1 1 ,即 ba x1 a b a x1 a
x2 x1
x3 x2 x1 b
a x2 x1 b 存优范围是[a，x1] 取一个试点
思考7：在存优范围[a，x1]内取第三个 试点x3，则点x2与x3的相对位置关系如何？ 舍去的区间长度为多少？
a x3 x2 x1
关于区间[a，x1]的中心对称，且点x3在 点x2左侧，舍去的区间长度为x1－x2.
思考8：根据按比例舍去原则，可得什么 等式？
(0，0.2)
(0.1，1)
思考3：上述结果表明，如果试点选取是 随意的，则对寻找单峰函数最佳点的效 率会产生一定的影响.由于在试验之前无 法预知哪个试点是好点，为了克服盲目 性和侥幸心理，在每次选取两个试点时， 你认为这两个试点应具有什么相对位置 关系为好？ a b
关于区间中点对称
思考4：在一个区间内关于中点对称的两 点有无数对，实践表明，两个试点离中 点太近或太远，都不利于很快接近最佳 点.我们设想：每次舍去的区间长度与舍 去前的区间长度之比为常数.对单峰函数， 若两个试点的试验结果一样，应如何舍 去区间？
思考3：把试验中可以人为调控的因素叫 做可控因素，不能人为调控的因素叫做 不可控因素，炮弹发射试验中哪些是可 控因素，哪些是不可控因素？一般地， 在试验中我们感兴趣的因素是哪种因素？ 发射角是可控因素，空气阻力是不可控 因素，感兴趣的是可控因素.
思考4：表示试验目标与因素之间对应关 系的函数称为目标函数，常用x表示因素， f(x)表示目标函数，包含最佳点的因素 范围下限用a表示，上限用b表示. 炮弹 发射试验的目标函数，因素范围上、下 限分别是什么？
目的：减少试验次数.
问题：优选法如何实施.
探究（二）：单峰函数
思考1：在军事训练中，发射炮弹要考虑 发射角多大时炮弹的射程最远，这是一 个优选问题，能否用数学形式表达炮弹 的射程与发射角之间的关系？
能
思考2：设炮弹的初速度为v，发射角为 θ(0°≤θ ≤90°)，在时刻t炮弹距发射 点的水平距离为x，离地面的高度为y， 空气阻力忽略不计，则在下面的直角坐 标系中，炮弹飞行轨迹的参数方程和普 通方程分别是什么？ y x tv cos (t 为参数 ) 1 2 θ y tv sin gt
例2 已知函数f(x)为区间[0，1]上的 单峰函数，且f(x)在x＝a时取最大值， 并称a为峰点，包含峰点的区间叫做含峰 区间.证明：对任意x1，x2∈(0，1)， x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含 峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x1，1)为 含峰区间.
若f(x)是[0，4]上的单峰函数，求a的取 值范围.
思考7：若目标函数为单峰函数，则最佳 点，好点，差点的相对位置关系如何？
y f( x) y f( x)
O
a
C
b x
O
a
C
b
x
最佳点与好点必在差点的同侧. 思考8：以差点为分界点，把因素范围分 成两部分，其中好点所在部分称为存优 范围.据此，你能设计一个找最佳点的方 法吗？ 不断缩小存优范围
理论迁移 例1 据医学统计，人群中带有某种传染病毒的 人所占的比例为0.25%.某市在一次高考体检中有1 万名考生待检，为了查清这些考生中哪些人携带 此病毒，医院采取一种叫“群试”的方法，通过 血液化验进行排查.即把从每位考生身上抽取的血 样分成两部分，一份保存备用，一份与其他若干 人的血样混合在一起化验．若某组混合血样中含 此病毒，说明这组人中有该病毒携带者，然后利 用备用血样逐个化验排查；若某组混合血样中不 含此病毒，说明这组人中没有该病毒携带者，这 样就可以减少化验的次数．若将这1万名考生平均 分成200组进行群试化验排查，那么至多做多少次 化验，就一定能找出所有该病毒携带者. 1424次
思考6：设x1和x2是因素范围[a，b]内的 任意两个试点，C为最佳点，把两个试点 中效果较好的点称为好点，效果较差的 点为差点.若目标函数为单峰函数，则 好点与差点哪个更接近最佳点？
y O a f( x) y f( x)
C
b
x
O
a
C
b
x
若好点和差点在最佳点同侧，则好点比 差点更接近最佳点；否则，不好说.
同时舍去两个试点外侧的区间.
思考5：在因素区间[a，b]内选取两个试 点x1和x2，且x1＞x2，由点x1和x2关于区 间[a，b]的中心对称，可得什么关系？ 舍去的区间长度为多少？ a x2 x1 b
x2 － a＝ b－ x1
思考6：不妨设x2是好点，x1是差点，则 舍去的区间是什么？存优范围是什么？ 再在存优范围内[a，x1]内做试验要取几 个试点？ 舍去(x1，b]
好点：两个试点中效果较好的点；
差点：两个试点中效果较差的点； 存优范围：以差点为分界点，把因素范 围分成两部分，好点所在 部分对应的范围.
4.优选法的基本原则是以最少的实验 次数迅速找到最佳点，在实际问题中， 应采取什么办法贯彻这个原则？对具有 单峰性的试验，如何安排试点才能迅速 找到最佳点？这才是优选法的核心内容， 也是我们必须解决的问题.
3.目标函数并不需要f(x)的真正表 达式，因素范围可以用a到b的线段来表 示. 不断缩小存优范围是寻找最佳点的 一个有效办法.
作业： P3习题1.1：1，2.
P5习题1.2：1，2.
选修4－7优选法与试验设计初步
第一讲
优选法
三.黄金分割法——0.618法
问题提出
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探究（一）：黄金分割常数
思考1：对于单峰函数，最佳点与好点必 在差点的同侧，从而可以通过不断缩小 存优范围来寻找最佳点，具体如何操作？
先在因素范围[a，b]内任选两点各做一 次试验，根据试验结果确定好点与差点， 在差点处把[a，b]分成两段，截掉不含 好点的一段，留下存优范围[a1，b1]再 在[a1，b1]内重复上述工作，„.



思考5：下图中的两个函数称为区间 [a，b]上的单峰函数，那么单峰函数的 定义特征是什么？
y f( x) C b y g(x) x O a C b x
O a
函数f(x)在区间[a，b]上只有唯一的最 大(小)值点C，且在点C的两侧单调，并 具有相反的单调性.
思考6：下列各图中的函数是区间[a，b] 上的单峰函数吗？单峰函数一定是连续 函数吗？
探究（一）：优选法
思考1：有一种商品价格竞猜游戏，参与 者在只知道售价范围的前提下，对一件 商品的价格进行竞猜.当竞猜者给出的估 价不正确时，主持人以“高了”或“低 了”作为提示语，再让竞猜者继续估价， 在规定时间或次数内猜对了即可获得相 应奖品.如果你参与这项活动，每次会怎 么给出估价？