最优化思想黄金分割与优选法
五章 优选法
x2做试验得y2= f(x2),假定x2> x1，如果y2 > y1，则最大值 肯定不在区间（a, x1 ）内，因此只考虑在（ x1 ，b）内 求最大值的问题。再在（ x1 ，b）内取一点x3，做试验 得y3= f(x3),如果x3> x2，而y3 < y2，则去掉（ x3 ，b）内 取一点x4，…，不断做下去，通过来回调试，范围越 缩越小，总可以找到f(x)的做大值。
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10
二、黄金分割法（ 0.618法）
0.618法的要点是先在试验范围的0.618分点和 它的对称点0.382分点处作试验，比较两个点的结 果，去掉“坏点”部分，保留“好点”所在的区 间；然后在留下区间内再找到上一次“好点”的 对称点，作第二次试验，比较结果，决定取舍， 逐步缩小试验范围。这种方法每次可以去掉试验 范围的0.382倍，而且从第二次试验后每次只须做 一次试验，因此可以用较少的试验次数，迅速找 到最佳点．
2、如果f(x1)比f(x2)差， x2是好点，于是把试验范围（ x1，
如果 x1 是“好点”，把试验范围[a, x2] 掉，保留 好点” x1 所在区间，得到新的搜索区间[x2, b] ，得
x 3 x 2 b x1
x2 b x3 x1 比较 x1 x3处试验结果，找出“好点”，保留“好点” 所在区间，依次进行下去…
式可以表示为： 第一点＝小＋0.618（大－小） 第二点＝大＋小－第一点
' (5-1)
14 ' (5-2)
a
x2
x1
b
用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果： x2）划去剩下（ x2，b）； b） 划去剩下（a， x1），下一步是在余下的范围内寻 找好点
一维搜索的最优方法(黄金分割法)
( 1 )＝ ( 2 )＝0.264， f1＝－1.125
新点 ( 2 )＝a 0.618( b a )＝0.354, f 2＝f ( ( 2 ) ) ＝-1.103 (4) 比较函数值，缩短搜索区间 f1 f 2 a 0.118, b ( 2 ) 0.354 判断迭代终止条件: b - a 0.354 0.118 0.236 继续缩短
区间为[a, b] [－0. 5,0.5]，取迭代精度＝0.15。
解：(1) 在初始区间[a, b]内取点并计算函数值。
( 1 )＝b 0.618( b a )＝ 0.118, f1＝f ( ( 1 ) ) ＝－0.854 ( 2 )＝a 0.618( b a )＝0.118,
( 1 )＝b 0.618( b a ) ( 2 )＝a 0.618( b a )
计算f ( ( 1 ) )和f ( ( 2 ) )，令f ( ( 1 ) ) f1 , f ( ( 2 ) ) f 2
( 2 ) 比较函数值，缩小搜索区间 a. f1 f 2 ,则丢掉区间( ( 2 ) ,b ] 部分，取[ a , ( 2 ) ]为 新区间[ a1 , b1 ],在计算中作置换：
(2)+h (3)。计算（ ），令（ ） f3 f f
(3) (3)
(1) 若f 3 f1，则[a,b]=[(3) ,(2)]，停止计算。 (2) 若f 3 f1，则 2h h，(2) (1)，f 2 f1，
(3) (2)，f 3 f 2 (2) h (3)，计算（ ），令（ ） f3 , f f
h 2 1 2 1＝ 2＝1,
2＝ 3＝2 , 3＝ 2 h＝4
黄金分割-数学之美
黄金分割中的数学文化摘要：中世纪德国的数学家、天文学家开普勒曾经指出：“在几何学中有两件瑰宝：一是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割率。
”黄金分割这个名词现在已经被越来越多的人所知。
黄金分割这个数学中的名词已经不在神秘。
它被运用在各种各样的方面。
大到建筑、美术、摄影，到处都有它的身影。
关键词：黄金分割数学美一、什么是黄金分割什么是黄金分割？或许大多数人只知道0.618这个数字。
但是，难道黄金分割就只有这些吗？黄金分割﹝Golden Section﹞是一种数学上的比例关系。
黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
把一条线段分成两段，使其中较大的一段是原线段与较小一段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割．如图：AC/BC=AB/AC，则图中C点就为黄金分割点取AB＝L，AC=x因为AC2=AB×BC所以x2＝（L－x）×L即x2＋xL－L2＝0解得x＝AC=在黄金分割线段的基础上，还有一种矩形叫做黄金矩形。
上图中，以AC为长，BC为宽，作出的长方形既黄金矩形。
凡是符合这种比例分割的任何物体和对象，都具有很好的使用价值和美学特征。
毕达哥拉斯曾把“0.618”这个数誉为人间最精巧的比例，哪里有0.618，那里就闪烁着美。
二、黄金分割的发现历史公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。
这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法。
五章 优选法
34
在x ＝x4处做试验，得试验结果y4 假定y1，y2，y3，y4中的最大值是由xi’给出
除xi’之外，在x1，x2，x3和x4中取较靠近xi’的左
右两点，将这三点记为 x1’，x2’，x3’
此处x1’＜x2’＜x3, ，若在处的函数值分别为 y1’，
(5 1) (5 2) (5 3)
b x11 a x12 称a为试验范围的小头，b为试验范围的大头，上述公
' (5-1)
14 ' (5-2)
a
x2
x1
b
用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果： x2）划去剩下（ x2，b）； b） 划去剩下（a， x1），下一步是在余下的范围内寻 找好点
1% 2.7% 4.4%
第一次加碱量（试验点）：2.7%=(1%+4.4%)/2 有皂化，说明碱加多了，于是划去2.7%以上的范围
32
第二次试验加碱量（试验点）：1.85%=(1%+2.7%)/2 乳化良好
1% 1.85% 2.7%
第三次，为了进一步减少乳化时间，不考虑少于1.85%的 加碱量，而取2.28%=(1.85%+2.7%)/2
设二次函数在x4取得最大值：
在三个试验点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，分别得试验值y1， y2，y3，根据Lagrange插值法可以得到一个二次函数：
1 y1 ( x x ) y2 ( x x ) y3 ( x x ) x4 2 y1 ( x2 x3 ) y2 ( x3 x1 ) y3 ( x1 x2 )
黄金分割搜索算法
黄金分割搜索算法一.介绍黄金分割律是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。
这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618 : 1或1 : 0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。
0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。
大多数门窗的宽长之比也是0.618…；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137°28'，这恰好是把圆周分成1:0.618……的两条半径的夹角。
据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。
建筑师们对数学0.618…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618…有关的数据。
人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618…处。
艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618…处，能使琴声更加柔和甜美。
在学术界的应用数字0.618…更为数学家所关注，它的出现，不仅解决了许多数学难题(如：十等分、五等分圆周；求18度、36度角的正弦、余弦值等)，而且还使优选法成为可能。
优选法是一种求最优化问题的方法。
如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000—2000克之间，为了求得最恰当的加入量，需要在1000克与2000克这个区间中进行试验。
通常是取区间的中点(即1500克)作试验。
然后将试验结果分别与1000克和2000克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做试验，再比较端点，依次下去，直到取得最理想的结果。
这种实验法称为对分法。
但这种方法并不是最快的实验方法，如果将实验点取在区间的0.618处，那么实验的次数将大大减少。
美妙的黄金分割
美妙的黄金分割1015201-07李芬黄金分割历来被染上瑰丽诡秘的色彩，被人们称为"天然合理"的最美妙的形式比例。
黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
一、黄金分割的历史公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
他认为所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。
而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，...后二数之比2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,...近似值的。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。
这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的比例方法。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
其实有关"黄金分割"，我国也有记载。
虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。
经考证。
欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。
黄金数的广泛应用
课题组成员：薛昀 徐思维 庄子晨
这是公元前六丐纨古希腊数学家毕达哥拉斯所収现的。一天， 毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的 打铁声所吸引，便停下来仔细聆听，似乎这声音中隐匼着什么秘 密。他走迚作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，収现 它们之间存在着一种匽分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿 出一根线，想将它分为两殌。怎样分才最好呢？经过反复比较， 他最后确定1：0.618的比例戔断最优美。 后来古希腊美学家柏拉图将这一比例称为黄金分割律。这个 觃律意思是，整体不较大部分之比等亍较大部分不较小部分之比。 也就是说较大部分的平斱等亍整体不较小部分的乘积。 公元前4丐纨，古希腊数学家欧多兊索斯第一个系统研究了这一 问题，幵建立起比例理论。 公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多 兊索斯的研究成果，迚一步系统论述了黄金分割，成为最早的有 关黄金分割的论著。 中丐纨后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利 称中末比为神圣比例，幵与门为此著书立说。德国天文学家开普 勒称黄金分割为神圣分割。 到19丐纨黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多 有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优 选学中的黄金分割法戒0.618法，是由美国数学家基弗亍1953年 首先提出的，70年代在中国推广。
黄金矩形 曾经的实验证明，大多数人看见这两个矩形 会觉得左边的矩形看着更加舒适，而正斱形 在对比之下反而显得丌是那么完美
人体美学中的黄金分割
黄金分割不人的关系相当密切。 地球表面的纩度范围是0—90°， 对其迚行黄金分割，则34.38°— 55.62°正是地球的黄金地带。无论 从平均气温、年日照时数、年陈水 量、相对湿度等斱面都是具备适亍 人类生活的最佳地区。说来也巧， 这一地区几乎囊括了丐界上所有的 収达国家。 人体美学观察叐到种族、社会、 个人各斱面因素的影响，牵涉到形 体不精神、局部不整体的辩证统一， 叧有整体的和谐、比例协调，才能 称得上一种完整的美。本文主要讨 论美学观察的一些定律。
最优化方法中关于黄金分割的课题设计
1、阐述黄金分割的基本思路及原理基本思路：黄金分割法适用于[a,b]区间上的任何单股函数求极小值问题,对函数除要求”单峰”外不做其他要求,甚至可以不连续.因此,这种方法的适应面非常广,黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法,即在搜索区间[a,b 内适当插入两点a1,a2,并计算其函数值。
a1,a2将区间分成三段，应用函数的单峰性质，通过函数值大小的比较，删除其中一段，是搜索区间得以缩小。
然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小值的数值近似解。
基本原理：在单谷区间],[b a 内适当插入两点21,t t ，由此把区间],[b a 分为三段，然后再通过比较这两点函数值的大小，就可以确定是删去最左端还是最右端，或者同时删去左右两端保留中间段.如此继续下去可将单谷区间无缩小. 基本原理：所谓黄金分割就是将一线段分为两段时，要求整段长L 与较长段x 的比值正好等于较长段x 与较短段x L -的比值（如图所示），即xL xx L -= 于是有022=-+L Lx x ，解出其正根L L x 618.0215≈-=. 由此可见长段的长度应为全长的618.0倍，而短段的长度应为全长的382.0倍.因为古代的人们认为按618.0的比率来分割线段时最协调，胜似黄金，故称之为黄金分割. 2、黄金分割的算法步骤.（1）给定初始区间],[11b a ，精度要求0>ε。
令)(382.01111a b a -+=λ，)(618.01111a b a -+=μ，并计算)(1λf 与)(1μf 。
令1:=k 。
（2）若ε<-k k a b ，停止，且2kk a b x +=。
否则，当)()(k k f f μλ>时，转3；当)()(k k f f μλ≤时，转4。
（3）令k k k k k k b b a μλλ===+++111,,，)(618.01111++++-+=k k k k a b a μ，计算)(1+k f μ，令1:+=k k ，转2。
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最优化思想
——黄金分割和优选法
斐波那契数列及其应用 • 斐波那契《计算之书》兔子问题（1202年） • 如果每1对成兔每月生1对幼兔，幼兔经 过2个月后成为成兔，即开始繁殖， • 问年初的1对幼兔经过1年后能繁殖成多 少对兔子？ • 假定这一过程兔子不发生任何死亡。
ห้องสมุดไป่ตู้
由兔子问题抽象得递推关系 本月底幼兔总对数=上上个月底兔子总对数 所以：本月底兔子总对数 =上月底兔子总对数+上上个月底兔子总对数。
美观矩形
风景照片中 地平线的位置
正五角星中的线段比
（正五角星很美）
AB 0.618 AC
AB 0.618 AD
E' B
C
A'
D
AD 0.618 DC
A
D' C'
B'
E
舞台报幕者的最佳站位 在整个舞台宽度的 0.618处较美
小说、戏剧、战争的高潮出现： 在整个作品的0.618处较好
黄金分割为什么美
• 为什么不是0.5的分割点让人感觉愉悦，而是
0.618的分割点让人感觉愉悦呢？
• 因为0.618的分割点反映了“恰到好处的和谐”。 华罗庚先生证明了： 黄金分割点具有再生性。 黄金分割点的再生性，是“黄金分割” 之所以美的数学依据。
BA 即：C 如果是 AB 的黄金分割点， C是 的 黄金分割点，C 与 C 当然关于中点O 对称。 特殊的是， C 又恰是 AC的黄金分割点。同样， AC 如果 C 是 CA的黄金分割点，则 C又恰是
的黄金分割点，等等，一直延续下去 。（再生）
0.618优选法（黄金分割法）
• 问题：做2千克大米的干饭，放多少水最好吃？
• （1000g-2000g)
• “饭好吃f(x)”是“放水量x”的函数； • 但不知其具体表达式，或即使知道但太复杂；
• 函数f(x)有何特点？
• 单峰（谷）函数
• 不能用数学方法寻找单峰函数的最优点，怎么办？ .
用un表示第n个月底兔子的总对数 ，则有
u1 1, u2 2 (n 1,2,3) un 2 un1 un .
——斐波那契数列。(A.Girard,1634) 为方便，补充定义u0=1。
“走楼梯”问题
• 某人要走一架n个台阶的楼梯，某人每步 向上走1个台阶或2个台阶。 • un表示该人从地面向上走到第n个台阶时 所有不同的走法种数，求un。
n
解法1：
n-2
n-1
按第一步的 走法分类
2 1
4 3
当地面看，在这上面还有（n-1）个台阶 地面
n n-1 n-2
un=un-1+un-2 (n≥3)； u1=1,u2=2。 斐波那契数列
2 1
4 3 当地面看，在这上面还有（n-2）个台阶
地面
n阶
1 2 3 4 5
楼梯的所有走法
(1) (11)； (2) (111)；(21),(12) (1111)；(211),(121),(112)；(22) (11111);(2111),(1211),(1121),(1112) (221),(212),(122) 1 2 3 5 8
n n-1 n-2
4 3 2 1 地面
n阶
1 2 3 4 5 6 … n (1) (11),(2)
楼梯的所有走法
1 2 3 5
un
(111),(21),(12) (1111),(211),(121),(112),(22)
(11111),(2111),(1211),(1121),(1112), 8 (221),(212),(122)
5 1 2
黄金分割率，它是美的标准之一，也 是优选法的理论基础。
黄金分割的美（黄金比0.618）
人体各部分的比
肚 脐： 印堂穴： （头—脚） （口—头顶）
肘关节： （肩—中指尖） 膝 盖： （髋关节—足尖）
著名建筑物中各部分的比
埃及的金字塔，高（137米）
与底边长（227米）之比为
0.629.古希腊的巴特农神殿， 塔高与工作厅高之比为 340∶553≈0.615
选修3-1：数学史选讲 选修3-3：球面上的几何 选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类 选修4-1：几何证明选讲 选修4-2：矩阵与变换 选修4-3：数列与差分 选修4-4：坐标系与参数方程 选修4-5：不等式选讲 选修3-2：信息安全与密码 选修3-4：对称与群 选修3-6：三等分角与数域扩充 选修4-6：初等数论初步 选修4-7：优选法与试验设计初步 选修4-8：统筹法与图论初步 选修4-9：风险与决策 选修4-10：开关电路与布尔代数
• 通过作试验的方法来寻找最佳点。
• 优选法是以最少的试验次数迅速找到最佳点的试验方法。
• 这是最优化一种新的思维方法！
• 问题：做2千克大米的干饭，放多少水最好吃？ （1000g-2000g) • 最“笨”的方法是分别加入1001克，1002克，…， 2000克，做1千次试验，就能发现最佳方案。 • 华罗庚证明了，每次取试验区间的0.618处去做试验 的方法，才是最好的，这种优选法称为“黄金分割 法”或“0.618法”。
un
… n
u4 C 4 C3 C 2
0 1 2
0
1
2
u5 C 5 C 4 C 3
k
0
1
2
un C n C n1 C n2 C n k ，贾宪三角形表达式 n 其中k [ ] 2
E.Piccioli，1916
u1 1, u2 2 (n 1,2,3) un 2 un1 un .
浙江省中小学教师专业发展培训项目
高中数学知识拓展指导
温州大学数学与信息科学学院 黄忠裕 zyhuang0577@
2012年12月16日
浙江普通高中知识拓展类选修课程实施方案
必修拓展课程从国家课程选修模块中选用： 数学1-1，数学1-2，数学2-1、数学2-2、数学2-3 大学初级课程：微积分、线性代数、空间解析几何 介绍学科最新成果的课程：现代数学概览、分形几何 学科应用性课程：数学史选讲、信息安全与密码、球面上的几何、 几何证明选讲、矩阵与变换、数列与差分、坐标系与参数方程、 不等式选讲、初等数论初步、优选法与试验设计初步、风险与决 策、开关电路与布尔代数、生活中的数学、数学与经济
1 5 n1 1 5 n1 un [( ) ( ) ] 2 2 5 1
通项公式
De Moivre提出，J.P.M.Binet 1843年证明，世称Binet公式
该数列相邻两项之比构成 1 1 2 3 5 8 , , , , , , 的“比值”数列 1 2 3 5 8 13 该数列极限为